Функциональные уравнения на оси и полуоси
Содержание понятия, исследование свойств и применение различных методов решения функциональных уравнений. Порядок решения функциональных уравнений Коши на множестве Q рациональных чисел, на оси R, полуоси R. Измеримые функции и гиперболические косинусы.
| Рубрика |
Математика |
| Вид |
дипломная работа |
| Язык |
русский |
| Дата добавления |
01.10.2011 |
| Размер файла |
211,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
- Частное двух измеримых функций, при условии, что знаменатель не обращается в нуль, тоже измеримо.
- Предел сходящейся при каждом последовательности измеримых функций измерим
- Функция f(x), определенная на некотором измеримом множестве Е и эквивалентная на нем некоторой измеримой функции g(x), тоже измерима (функции называют эквивалентными, если м{x:f(x)?g(x)}=0).
Определение измеримой функции, данное в начале главы, относится к функциям на произвольных множествах и в общем случае никак не связано с понятием непрерывной функции. Однако, если речь идет о функциях на отрезке, то имеет место следующая важная теорема, установленная в 1913 г. Н.Н. Лузиным.
Теорема 5.1. (Теорема Лузина). Для того, чтобы функция f(x), заданная на отрезке [a, b], была измерима, необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0, существовала такая непрерывная на [a, b] функция ц(x), что
м{x : f(x) ? ц (x)} < е.[5, c.309]
С помощью свойств измеримых функций и воспользовавшись теоремой Лузина, будем искать решения функциональных уравнений Коши в классе измеримых функций:
5.1 Решение уравнения вида f(x+y)=f(x)+f(y) в измеримых функциях
Сформулируем и докажем следующую теорему:
Теорема 5.2. Если измеримая, ограниченная функция ц(x), удовлетворяет условию
ш(x)+ ш(y) = ш(x+y) , (5.1)
то она имеет вид С•x, где C.
Доказательство:
>Покажем, что всякая измеримая функция, удовлетворяющая (5.1) является непрерывной.
Так как ш измерима, то она измерима на произвольном отрезке I длины l>0. По теореме Лузина для любого числа е > 0 найдется замкнутое множество , такое, что сужение ш на F является непрерывной функцией и мера . Тогда существует последовательность замкнутых множеств , для которых , а сужение ш на Fn непрерывно, и более того, в силу компактности Fn равномерно непрерывно. Значит, найдется число , обеспечивающее выполнение неравенства
при и . Зафиксируем число дn, удовлетворяющее неравенствам 0 < дn< оn = min(зn, n-2). Очевидно, что множество точек измеримо и мера не превосходит n-2 + дn< 2•n-2. Тогда для , если по построению . Обозначим через множество точек щ, принадлежащих всем кроме конечного числа Ei / Если ввести множества Кi=I-Ei, H=I-G, то будет множеством точек из I, принадлежащих бесконечно многим Ki: значит,
для всех j=1,2…, поэтому m(H)=0, a m(G)=l. Следовательно, для произвольной последовательности { дn }, удовлетворяющей ограничениям 0 < дn< оn,
(5.2)
для почти всех .
Пусть теперь I--это отрезок [щ1 , щ2], а числа щ0, щ подчинены неравенствам: щ1 < щ < щ0 <щ2 . Тогда, взяв x= щ0 -щ, y= щ+ дn, из (5.1) получаем
,
если же точка берется из множества G, то, согласно (5.2)
т.е.
(5.3)
для всех . Последовательность положительных чисел { дn } здесь не произвольна, поскольку зависит от интервала I и дn. Пусть {иn }- любая последовательность положительных чисел, сходящаяся к нулю. Предположим, что
(5.4)
Тогда из {иn } можно выбрать подпоследовательность {иni } чисел , для которой в силу (5.3) имеем
Аналогичные рассуждения приводят нас к равенству
что противоречит (5.4).Значит, верхний и нижний пределы совпадают, и каждый из них равен ш(щ0). Так как от последовательности {иn}требуется лишь положительность, то функция ш(щ) непрерывна справа в произвольной точке щ, поскольку отрезок может быть выбран произвольно.
Для доказательства непрерывности слева положим Ш(x)= ш(-x); тогда из (5.1) следует равенство Ш(x)+ Ш(y)= Ш(x+y). Далее, аналогично тому, как это делалось выше, доказывается непрерывность Ш справа в произвольной точке x0. Отсюда вытекает непрерывность ш слева в произвольной точке щ=-x0. Итак, мы доказали, что произвольная измеримая функция ш, удовлетворяющая уравнению (5.1) непрерывна. Тогда, по теореме (3.3) она имеет вид ш(x)= С•x. Теорема доказана. ^ [6, c.18-20]
5.2 Решение уравнения вида f(x+y)=f(x)•f(y) в измеримых функциях
Доказав, что измеримая функция ш, удовлетворяющая уравнению (5.1) имеет вид ш(x)= С•x, мы можем найти также решение уравнения
ц(л) ?ц(г) =ц(л• г)
в измеримых функциях.
Сформулируем и докажем теорему
Теорема 5.3. Если измеримая, ограниченная функция ц(л), л>0, удовлетворяет условию
ц(л) •ц(г) =ц(л• г) (5.5)
то она имеет вид лс, где с.
Доказательство:
> Для доказательства этого рассмотрим произвольную измеримую функцию ц(x), удовлетворяющую условию (5.5). Исключается тривиальный случай, когда ц(x)?0.
Покажем, что если хотя бы в одной точке, то она свюду положительна. Положим в уравнении (5.5) г=л, тогда
0 ? ц(л)2 =ц(л2) (5.6)
то есть ц(x) ? 0, если х представим в виде квадрата некоторого числа, но по условиям теоремы ц определена на положительной полуоси, а любое положительное число представимо в виде квадрата некоторого числа.
Пусть далее при некотором л0>0 ц(л0)=0, тогда любое число г>0 представимо в виде: и (5.5) принимает вид:
(5.7)
Противоречие с тем что ц не равна нулю тождественно.
Таким образом, ц всюду положительна, а значит, ее можно логарифмировать по любому основанию.
После преобразования ш(x)=log ц(ex) (5.5) переходит в функциональное уравнение Коши
ш(x)+ ш(y) = ш(x+y) ,
где ш конечна и измерима, а по теореме (5.2) непрерывна и имеет вид ш(x)= С•x.
Значит ц(x)=xс. Теорема доказана. ^
Аналогично проведем доказательства для двух оставшихся уравнений:
5.3 Решение уравнения вида f(x•y)=f(x)+f(y) в измеримых функциях
Теорема 5.4. Если измеримая, ограниченная функция ц(x), x>0, удовлетворяет условию
ц(x) +ц(y) =ц(x• y) (5.8)
то она имеет вид log a x, где a>0, a?1.
Доказательство:
>После преобразования ,откуда
измеримая (как суперпозиция измеримых) функция ш(о) удовлетворяет условию
типа (5.1), значит она непрерывна и имеет вид:
и
если исключить случай С=0 (тогда ц(x)?0), то полученный результат может быть написан в виде
где . Этим все доказано ^.
5.4 Решение уравнения вида f(x•y)=f(x)•f(y) в измеримых функциях
Теорема 5.5. Если измеримая, ограниченная функция ц(x), удовлетворяет условию
ц(x) • ц(y) =ц(x +y) (5.9)
то она имеет вид ax, где a>0.
Доказательство:
> Для доказательства этого рассмотрим произвольную измеримую функцию ц(x), удовлетворяющую условию (5.9). Исключается тривиальный случай, когда ц(x)?0.
Итак, при некотором значении x=x0 эта функция отлична от 0. Полагая в (5.9) y=x0-x, получим
ц(x)? ц(x0-x) = ц(x0) ? 0;
отсюда ясно, что ц (x) отлично от нуля при всяком x. Более того, заменяя в (5.9) x и y через , найдем:
,
так что ц(x) всегда строго положительна.
Пользуясь этим, прологарифмируем равенство (5.9), например, по натуральному основанию е:
ln ц(x+y) = ln ц(x)+ln ц(y).
Если положить
ш(x) = ln ц(x),
то ш (x) есть измеримая функция (как результат суперпозиции измеримых) и удовлетворяющая условию:
ш (x+y) = ш (x)+ ш (y),
аналогичному (5.1). В таком случае, как мы установили, необходимо
ш (x) = ln ц (x) = Сx (С=const)
откуда, наконец,
ц (x)=ecx=ax
(если положить a=ec), что и требовалось доказать. ^
Таким образом, мы установили, что функциональные уравнения Коши:
f (x + у) = f (x) + f (y), f (x + у) = f (x) f (y), f (xy) = f (x) + f (y), f (xy) = f (x) f (y) имеют решения соответственно вида Cx, eCx, C•lnx, xa как в множестве функций, непрерывных на Q, так и в множестве функций, непрерывных на всей числовой оси R, на полуоси R+ , и вообще на любом измеримом множестве (в классе измеримых функций).
6. Некоторые обобщения и приложения
6.1 Функциональная характеристика тригонометрического и гиперболического косинусов
Если
f(x) = cos ax или ch ax (a ? 0) (6.1)
то, при любых вещественных значениях x и y,удовлетворяется соотношение
f(y+x)+f(y-x)=2f(x)•f(y) (6.2)
Это с легкостью вытекает из теоремы сложения для обоих косинусов:
(6.3)
Функциональное уравнение (6.2) вместе с требованием непрерывности функции, и на этот раз полностью характеризует оба косинуса:
Единственными функциями, определенными и непрерывными в промежутке (-?, +?) и удовлетворяющими в нем уравнению (6.2), являются тригонометрический и гиперболический косинусы (6.1) (если, не считать функции, тождественно равной нулю).
>Итак, пусть f(x) будет непрерывная для всех x функция, удовлетворяющая условию (6.2). Полагая x=0 и принимая за у какое либо из значений, для которого f(y)?0, заключаем, что
f(0)=1. (6.4)
При y=0 в таком случае получается
f(-x)=f(x) (6.5)
так что функция f(x) оказывается четной.
Поскольку непрерывная функция f(x) при x=0 будет положительна, то найдется такое, скажем, положительное число с, что f(x) будет положительна на всем промежутке [0, c]. В дальнейшем исследование пойдет по разным путям, в зависимости от того, будет ли а) f(c) ? 1 или б) f(c) > 1. Займемся случаем а).
Так как 0 < f(c) ? 1, то найдется такое и , что
f(c) = cos и. (6.6)
Приведя затем основное соотношение (6.2) к виду :
f(y +x) = 2 f(x)•f(y) - f(y - x),
станем в нем последовательно полагать
и т.д. Мы получим (с учетом (6.4) и (6.6))
и т.д. Пользуясь методом математической индукции, легко докажем для любого натурального m формулу
f(mc)=cos mи (6.7)
если же в (6.2) положить , то получим (снова с учетом (6.4) и (6.6)):
так как f(x) остается положительной между 0 и с, а функция cos x - между 0 и и, то, извлекая положительные корни в обеих частях, придем к равенству:
совершенно также, полагая в (6.2) x=y=, найдем , что
и т.д. Так, последовательно (математическая индукция!), получим и общее соотношение
(n=1, 2,3,…) (6.8)
Наконец, повторяя тот процесс, с помощью которого мы, отправляясь от (6.6) к (6.7), мы из (6.8) придем к равенству:
Итак, для положительных значений x вида имеем:
f(cx) =cos иx (6.9)
Но так как любое положительное число x можно представить как предел значений этого вида, то, с помощью предельного перехода (и опираясь на непрерывность функций f(x) и cos(x)), установим справедливость формулы (6.9) для всех x>0. Для x<0 она будет верна в силу (6.5), а для x=0 - в силу (6.4).
Если заменить в (6.9) x на и положить, то и получим окончательно:
f(x)=cos ax.
В случае б) имеем: f(c)>1; тогда найдется такое и, что
f(c) = ch и.
Повторяя дословно все проведенные только что рассуждения и опираясь на соотношения для гиперболического косинуса, совпадающие по форме с соответствующими соотношениями для тригонометрического косинуса, мы для рассматриваемого случая найдем, что
f(x)=ch ax. (a>0)
При a=0, по обеим формулам получили бы: f(x)?1.^
6.2 Решение уравнения для синуса на оси R
Наряду с уравнением (6.2), определяющим функции cos ax и сh ax, рассмотрим дифференциальное функциональное уравнение
f?(x - y)-f?(x + y)=2лf(x)•f(y) л?0 (6.10)
и покажем, что при дополнительном требовании дважды дифференцируемости f(x) оно характеризует функции С sin бx и С sh бx (если не считать функции, тождественно равной 0)
> 1. при у=0, имеем
, f?( x)-f?(x)=2лf(x)•f(0)=0 f(0)=0 (6.11)
2. при х=0, имеем
, f?(-у)-f?(у)=2лf(0)•f(у)=0 f?(х)-четная
3. продифференцируем (6.10) по у:
-f??(x-y)-f??(x+y)=2лf(x)•f?(y)
при у=0 имеем
-2f??(x)=2лf(x)•f?(0)
f?(0)=с
f??(x)+л•с•f(x)=0
f(0)=0
f?(0)=с
для л>0, будем рассматривать случаи, когда с=0, с<0, c>0
a) c=0:
f??(x)=0
f??(x)=C1x+C2
f(0)=f?(0)=0
C1=C2=0.
f(x)?0
b) c<0:
f(x)=
f(0)=C1+C2=0
C1=-C2
f(x)=
f?(x)=
f?(0)=
C=
f(x)=;
положив б=
f(x)==-в sh лвx ;
b) c > 0:
f(x)=
f(0)=C1 =0
f(x)=
f?(x)=
f?(0)=
C=
f(x)=;
положив б=
f(x)=, ^
6.3 Класс уравнений типа Коши
Сделаем далее еще одно обобщение. Классические функциональные уравнения Коши [8] f(x+y)=f(x)+f(y), f(x+y)=f(x)•f(y), f(x•y)=f(x)+f(y), f(x•y)=f(x)•f(y), имеющие непрерывные решения соответственно с•x, , с•lnx, xс, связывают основные смежные (в смысле распределительного закона) арифметические операции сложения + и умножения • .
В [9] указаны примыкающие к ним: «снизу» - операция xy = ln(ex+ey), «сверху» - операция xy=e(lnx•lny). Все эти операции являются звеньями «естественной цепи арифметических операций» [10], в которой +=0, • = +1, так что +1= +2 (и вообще ). Их связывает класс функциональных уравнений типа Коши (название указывает на связь различных арифметических операций)
где m,n - целые числа. Решения некоторых уравнений (с малыми индексами) таковы:
|
m
|
n
|
Решение
|
m
|
n
|
Решение
|
|
|
-1
|
-2
|
|
+1
|
-2
|
|
|
|
-1
|
-1
|
|
+1
|
-1
|
|
|
|
-1
|
0
|
|
+1
|
0
|
|
|
|
-1
|
+1
|
|
+1
|
+1
|
|
|
|
-1
|
+2
|
|
+1
|
+2
|
|
|
|
0
|
-2
|
|
+2
|
-2
|
|
|
|
0
|
-1
|
|
+2
|
-1
|
|
|
|
0
|
0
|
|
+2
|
0
|
|
|
|
0
|
+1
|
|
+2
|
+1
|
|
|
|
0
|
+2
|
|
+2
|
+2
|
|
|
|
- Наблюдающиеся здесь закономерности справедливы в общем случае.[7]
- Заключение
- В данной дипломной работе, посвященной решению некоторых функциональных уравнений на оси, был рассмотрен важнейший класс уравнений - класс уравнений Коши.
- Были приведены некоторые методы решения функциональных уравнений, с помощью которых впоследствии были решены важнейшие функциональные уравнения элементарной математики,
- f(x+у) = f (x) + f (y),
- f (x + у) = f (x) f (y),
- f (xy) = f (x) + (y),
- f (xy) = f (x) f (y),
- показано, что найденные решения могут служить для определения функции f(x)=Cx, а также показательной, логарифмической, степенной функций.
- Утверждения были сформулированы в виде теорем для функций, определенных на Q, функций непрерывных на R и R+, а также для любых измеримых функций. Все теоремы были доказаны и сделан вывод о том что решения имеют один и тот же вид для функций, определенных на Q, функций непрерывных на R и R+, а также для любых измеримых функций.
- Были решены уравнения, определяющие функции тригонометрический и гиперболический косинус. Также решено уравнение f?(x-y)-f?(x+y)=2лf(x)•f(y), решения которого имеют вид f(x)=-в sh лвx, , и f(x)=в sin лвx.
- Было приведено также важное обобщение свойств уравнений типа Коши и сделан вывод:
- Список использованных источников
- 1. Энциклопедия элементарной математики. Т.3. Под ред. П.С. Александрова, А.И. Маркушевича, А.Я. Хинчина. Государственное издательство технико-теоретической литературы. М.: 1952.--560 с.
- 2. Функциональные уравнения. Квант, 1985.-- № 7.
- 3. Прасолов, В. В. Задачи по алгебре, арифметике и анализу. М.: МЦНМО, 2005. - 545 с.
- 4. Фихтенгольц, Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1. М. : Наука, 1970.--616 с.
- 5. Колмогоров, А. Н., Фомин, С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Физматлит, 2006. - 572 с.
- 6. Сенета, Е. Правильно меняющиеся функции. М. : Наука, 1985.--143 с.
- 7. Блюмин, С. Л. Класс уравнений типа Коши / Научный журнал "Фундаментальные исследования"// Российская Академия Естествознания [Электронный ресурс]. - Электрон. журн. - 2008. - №2 - Режим доступа: http://www.rae.ru
- 8. Нечепуренко, М. И. Итерации вещественных функций и функциональные уравнения. - Новосибирск: ИВМиМГ СО РАН, 1997.- 228 c.
- 9. Арнольд, И. В. Теоретическая арифметика. - М.: ГУПИ, 1938. - 480 с.
- 10. Carroll, M. The Natural Chain of Binary Arithmetic Operations and Generalized Derivatives [arXiv.org/math.HO/0112050]
- Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Определение, свойства и примеры функциональных уравнений. Основные методы их решения, доказательство некоторых теорем. Понятие группы функций, применение их при решении функциональных уравнений с несколькими переменными. Класс уравнений типа Коши.
курсовая работа [86,3 K], добавлен 01.10.2011
Сведения из истории математики о решении уравнений. Применение на практике методов решения уравнений и неравенств, основанных на использовании свойств функции. Исследование уравнения на промежутках действительной оси. Угадывание корня уравнения.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 07.09.2010
Виды и методы решения функциональных уравнений, изучаемых в школьном курсе математики, с применением теории матриц, элементов математического анализа и сведения функционального уравнения к известному выражению с помощью замены переменной и функции.
курсовая работа [472,1 K], добавлен 07.02.2016
Анализ методов решения систем дифференциальных уравнений, которыми можно описать поведение материальных точек в силовом поле, законы химической кинетики, уравнения электрических цепей. Этапы решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений.
курсовая работа [791,0 K], добавлен 12.06.2010
Выведение формулы решения квадратного уравнения в истории математики. Сравнительный анализ технологий различных способов решения уравнений второй степени, примеры их применения. Краткая теория решения квадратных уравнений, составление задачника.
реферат [7,5 M], добавлен 18.12.2012
Понятие о голоморфном решении задачи Коши. Теорема Коши о существовании и единственности голоморфного решения задачи Коши. Решение задачи Коши для линейного уравнения второго порядка при помощи степенных рядов. Интегрирование дифференциальных уравнений.
курсовая работа [810,5 K], добавлен 24.11.2013
Понятие, закономерности формирования и решения дифференциальных уравнений. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши. Существующие подходы и методы решения данной задачи, оценка погрешности полученных значений. Листинг программы.
курсовая работа [120,8 K], добавлен 27.01.2014
Понятие Диофантовых уравнений, их сущность и особенности, методика и этапы решения. Великая теорема Ферма и порядок ее доказательства. Алгоритм решения иррациональных уравнений. Метод поиска Пифагоровых троек. особенности решения уравнения Каталана.
учебное пособие [330,2 K], добавлен 23.04.2009
Определение понятия уравнения с параметрами. Принцип решения данных уравнений при общих случаях. Решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, логарифмической и тригонометрической функциями. Девять примеров решения уравнений.
реферат [67,0 K], добавлен 09.02.2009
Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной. Применение рекуррентного соотношения. Техника применения метода Эйлера для численного решения уравнения первого порядка. Численные методы, пригодные для решения задачи Коши.
реферат [183,1 K], добавлен 24.08.2015
