Системы с постоянной четной частью

Основным инструментом нашего исследования является понятие отражающей функции. Исследования с помощью отражающей функции позволяет получить новые результаты даже для уже хорошо изученных линейных систем.

При изучении вопросов существования периодических решений дифференциальных систем и уравнений используются свойства симметричности (четность, нечетность и т.п.) как функций, задающих изучаемую систему, так и самих решений.

В данной работе мы будем рассматривать семейства решений с постоянной четной частью, т.е. когда четная часть будет представлена в виде константы.

Разберем примеры систем, семейства решений которых имеют постаянную четную часть. Будем изучать построение систем с заданной четной частью.

1. Четные и нечетные вектор-функции

Рассмотрим систему

считая, что её правая часть непрерывна и имеет непрерывные частные производные по . Общее решение этой системы в форме Коши обозначим через . Через обозначим интервал существования решения

Пусть

Определение: Отражающей функцией системы назовем дифференцируемую функцию

определяемую формулой

или формулами

Для отражающей функции справедливы свойства:

1) Для любого решения

системы верно тождество

2) Для отображающей функции любой системы выполнены тождества:

3) Дифференцируемая функция

будет отражающей функцией системы тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнениям в частных производных

и начальному условию

Уравнение будем называть основным уравнением (основным соотношением) для отражающей функции.

Доказательство. Свойство 1) следует непосредственно из определения . Для доказательства свойства 2) заметим, что согласно свойству 1) для любого решения системы верны тождества

Из этих тождеств в силу того, что через каждую точку проходит некоторое решение системы , и следуют тождества .

Приступим к доказательству свойства 3). Пусть - отражающая функция системы . Тогда для неё верно тождество . Продифференцируем это тождество по и воспользуемся тем, что - решение системы , и самим тождеством . Получим тождество

из которого в силу произвольности решения следует, что - решение системы . Начальное условие согласно свойству 2) так же выполняется.

Пусть некоторая функция удовлетворяет системе и условию . Так как этой системе и этому условию удовлетворяет так же и отражающая функция, то из единственности решения задачи - функция должна совпадать с отражающей функцией. Свойство 3) доказано.

Лемма Основная лемма 3 Пусть правая часть системы -периодична по , непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным . Тогда отображение за период для системы можно найти по формуле

и поэтому решение

системы будет -периодическим тогда и только тогда, когда есть решение недифференциальной системы

В качестве следствия этой леммы докажем следующее предположение.

Утверждение 4 Пусть непрерывно дифференцируемая функция -периодична и нечетна по , т.е.

и . Тогда всякое продолжение на отрезок решение системы будет -периодическим и четным по .

Доказательство. Для доказательства достаточно заметить, что функция удовлетворяет уравнению и условию . Поэтому она согласно свойству 3) является отражающей функцией рассматриваемой системы. Уравнение в нашем случае вырождается в тождество, и ему удовлетворяет любое , для которого определено значение

Согласно основной лемме любое продолжимое на решение системы будет -периодическим. Четность произвольного решения системы следует из тождеств

справедливых в силу свойства 1) отражающей функции.

Справедливы следующие утверждения .

Теорема 5 Пусть все решения системы -периодичны и однозначно определяются своими начальными данными. Тогда отражающая функция этой системы -периодична по

Теорема 6 Пусть система -периодична по а ее решения однозначно определяются своими начальными данными и существуют при всех Если, кроме того, отражающая функция этой системы -периодична по то все решения системы периодичны с периодом

Аналогичная теорема имеет место в том случае, когда не все решения системы продолжимы на отрезок При этом заключение о -периодичности можно сделать лишь для тех решений, которые существуют при всех

Из -периодичности отражающей функции следует -периодичность всех продолжимых на решений периодической системы . Из -периодичности отражающей функции не следует, вообще говоря, -периодичность решений -периодической системы, хотя следует их -периодичность.

Не следует думать, что если все решения -периодической системы -периодичны, то ее отражающая функция обязана быть -периодической. Этому противоречит пример уравнения

В случае, когда , т.е. когда система вырождается в уравнение, верна

Теорема 7 Пусть уравнение -периодично по а его решения однозначно определяются своими начальными данными и существуют при всех Тогда для того, чтобы все решения уравнения были -периодичны, необходима и достаточна -периодичность по отражающей функции этого уравнения.

3. Системы чёт-нечет

Лемма 9 Для всякой непрерывно дифференцируемой функции

для которой выполнены тождества , имеют место соотношения

Теорема 10 Для всякой дважды непрерывно дифференцируемой функции определенной в симметричной области , содержащей гиперплоскость для которой выполнены тождества , существует дифференциальная система

c непрерывно дифференцируемой правой частью, отражающая функция которой совпадает с .

Теорема 11 Для всякой дважды непрерывно дифференцируемой функции

определенной в области содержащей гиперплоскость , для которой выполнены тождества , при всех и достаточно малых существует дифференциальная система

отражающая функция которой совпадает с а общий интеграл задается формулой

Следствие 12 Дважды непрерывно дифференцируемая функция

является отражающей функцией хотя бы одной дифференциальной системы тогда и только тогда, когда для нее выполнены тождества .

Системы, существование которых гарантируется теоремами и , называются соответственно простой и простейшей.

Теорема 13 Пусть

простейшая система, тогда

где - отражающая функция системы .

Доказательство. Если система простейшая,

Теорема 14 Пусть

есть отражающая функция некоторой дифференциальной системы, решения которой однозначно определяются своими начальными данными, а для непрерывно дифференцируемой функции

выполнены тождества . Тогда для того, чтобы в области функция совпадала с необходимо и достаточно, чтобы рассматриваемая система имела вид

или вид

где

есть некоторая непрерывная вектор-функция.

Будем говорить, что множество систем вида образует класс эквивалентности, если существует дифференцируемая функция

со свойствами:

1) Oтражающая функция

любой системы из рассматриваемого множества совпадает в своей области определения с функцией

2) Любая система вида , отражающая функция

которой совпадает в области с функцией содержится в рассматриваемом множестве.

Две системы вида , принадлежащие одному классу эквивалентности, будем называть эквивалентными. Допуская определенную вольность речи, будем говорить также, что они имеют одну и ту же отражающую функцию. Функцию при этом будем называть отражающей функцией класса, а класс - соответствующим отражающей функции .

Из третьего свойства отражающей функции следует, что система и система

принадлежат одному классу эквивалентности тогда и только тогда, когда система уравнений

совместна.

Необходимым условием совместности этой системы является тождество .

6. Построение множества систем, четная часть общего решения которых постоянна

Основным результатом данной работы является построение дифференциальных систем, семейство решений которых имеет заданную четную часть. А так же теорема о связи простейшей системы и системы, семейство решений которой имеет постоянную четную часть.

Теорема. Общее решение дифференциальной системы имеет постоянную четную часть тогда и только тогда, когда эта система простейшая.