Функции

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Реферат на тему Функции



Определение функции:

* Функция (отображение, оператор, преобразование) -- математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Можно сказать, что функция -- это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).

* Числовой функцией называется такое соответствие между числовым множеством Х и множеством R действительных чисел, при котором каждому числу из множества Х сопоставляется единственное число из множества R. Множество Х называют областью определения функции. Функции обозначают буквами f, g, h и др. Если f - функция, заданная на множестве Х, то действительное число у, соответствующее числу х их множества Х, часто обозначают f(x) и пишут у = f(x).Переменную х при этом называют аргументом. Множество чисел вида f(x) называют областью значений функции.

Способы задавания функции

1.Табличный способ.

Такой способ задания функции применяется в том случае, когда область определения функции является дискретным конечным множеством.

При табличном способе задания функции можно приближенно вычислить не содержащиеся в таблице значения функции, соответствующие промежуточным значениям аргумента. Для этого используют способ интерполяции.

Преимущества табличного способа задания функции состоят в том, что он дает возможность определить те или другие конкретные значения сразу, без дополнительных измерений или вычислений. Однако, в некоторых случаях таблица определяет функцию не полностью, а лишь для некоторых значений аргумента и не дает наглядного изображения характера изменения функции в зависимости от изменения аргумента.

2. Графический способ.

Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Графический способ задания функции не всегда дает возможность точно определить численные значения аргумента. Однако он имеет большое преимущество перед другими способами - наглядность. В технике и физике часто пользуются графическим способом задания функции, причем график бывает единственно доступным для этого способом.

Чтобы графическое задание функции было вполне корректным с математической точки зрения, необходимо указывать точную геометрическую конструкцию графика, которая, чаще всего, задается уравнением.

3.Аналитический способ.

Этот способ дает возможность по каждому численному значению аргумента x найти соответствующее ему численное значение функции y точно или с некоторой точностью.

Если зависимость между x и y задана формулой, разрешенной относительно y, т.е. имеет вид y = f(x), то говорят, что функция от x задана в явном виде.

Если же значения x и y связаны некоторым уравнением вида F(x,y) = 0, т.е. формула не разрешена относительно y, что говорят, что функция y = f(x) задана неявно.

Функция может быть определена разными формулами на разных участках области своего задания.

Аналитический способ является самым распространенным способом задания функций. Компактность, лаконичность, возможность вычисления значения функции при произвольном значении аргумента из области определения, возможность применения к данной функции аппарата математического анализа -- основные преимущества аналитического способа задания функции. К недостаткам можно отнести отсутствие наглядности, которое компенсируется возможностью построения графика и необходимость выполнения иногда очень громоздких вычислений.

Основные свойства функций

1) Область определения функции и область значений функции.

Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f(x) определена.

Область значений функции - это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.

2) Нули функции.

Нуль функции - такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

3) Промежутки знакопостоянства функции.

Промежутки знакопостоянства функции - такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

4) Монотонность функции.

Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

5) Четность (нечетность) функции.

Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

6) Ограниченная и неограниченная функции.

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ? M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.

7) Периодичность функции.

Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими.

Элементарные функции

Функции, которые могут быть получены из основных элементарных функцийпосредством арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление) и образования сложных функций, называются элементарными функциями.

Примером может являться функция .

Очень удобно классификацию элементарных функций представить в виде таблицы.

Элементарные функции

Трансцендентные

Алгебраические

Иррациональные

Рациональные

Целые рациональные

Дробные рациональные

Итак, по приведенной классификации элементарные функции подразделяются на алгебраические и трансцендентные.

1.Постоянная функция

Постоянной называется функция, заданная формулой , где b -- некоторое число.

Свойства постоянной функции:

Область определения: все множество действительных чисел.

Постоянная функция является четной.

Область значений: множество, состоящее из единственного числа С.

Постоянная функция невозрастающая и неубывающая (на то она и постоянная).

Говорить о выпуклости и вогнутости постоянной не имеет смысла.

Асимптот нет.

Функция проходит через точку (0,b) координатной плоскости.

2. Линейная функция

Линейной функцией называется функция вида

где k, b - некоторые числа.

Функция вида называется прямой пропорциональностью, является частным случаем линейной зависимости.

Графиком линейной функции является прямая линия.

Свойства линейной функции

1) Область определения функции - множество всех действительных чисел

2) Множеством значений функции является множество всех действительных чисел

3) Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

4) Функция не является ни четной, ни нечетной (кроме особых случаев).

5) Функция непериодическая.

6) График функции пересекает ось Ох в точке , а ось Оу - в точке (0; b).

7) - является нулем функции.

8) Функция монотонно возрастает на области определения при k>0, монотонно убывает при k<0.

9) При k>0: функция принимает отрицательные значения на промежутке и положительные значения на промежутке

При k<0: функция принимает отрицательные значения на промежутке и положительные значения на промежутке

10) Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая с положительным направлением Ох. Поэтомуk называют угловым коэффициентом. Если k>0, то этот угол острый, если k<0 - тупой, если k=0, то прямая совпадает с осью Ох.

3. Квадратичная функция

Квадратичной (квадратной) функцией называется функция вида

где a, b, с - числа.

Графиком квадратичной функции является парабола.

Парабола имеет вершину, ось, проведенная через вершину и параллельная оси Оу, делит параболу на две симметричные части. Вершиной параболы называется точка

Если коэффициент а>0, то ветви параболы направлены вверх, если a<0, то ветви параболы направлены вниз.

Свойства квадратичной функции y=x2

1) Областью определения функции является множество всех действительных чисел, т.е.

2) Множеством значений функции является промежуток

3) Значение функции y=0 является наименьшим, а наибольшего значения функция не имеет.

4) Функция является четной, график симметричен относительно оси Оу.

5) Функция непериодическая.

6)Парабола имеет с осями координат единственную общую точку (0;0) - начало координат.

7) Значение аргумента x=0 является нулем функции.

8) На промежутке функция убывающая, а на промежутке - возрастающая.

9) Функция принимает положительные значения на множестве , т.е. все точки параболы, кроме начала координат.

4.Степенная функция

Функция, заданная формулой f(x) = xn, где , называется степенной функцией с натуральным показателем.

Свойства функции f(x) = xn, где .

1) D(f) = R;

2) f(0) = 0; f(1) = 1.

n = 2k, f(x) = x2k

3) f(x) > 0

4)

5) Функция четная, так как D(f) симметрична относительно 0x и f(-x) = (-x)2k = x2k = f(x).

6) Функция возрастает на ; функция убывает натак как она четная.

4.Показательная функция

Показательной функцией называется функция вида , где и является числом.

Свойства функции

1) Областью определения функции является множество всех действительных чисел R.

2) Множеством значений функции являются все положительные числа, т.е. промежуток

3) Наименьшего и наибольшего значений функция не имеет.

4) Функция не является ни нечетной, ни четной. Имеет общий вид.

5) Функция непериодическая.

6) График функции пересекает координатную ось Oy в точке (0; 1).

7) Функция не имеет нулей.

8) При a>1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0<а<1 функция убывает на множестве R.

9) Функция принимает положительные значения на всей области определения.

5. Логарифмическая функция

Логарифмической функцией называется функция вида , где и является числом.

Свойства функции:

1) Областью определения функции является множество всех положительных чисел

2) Множеством значений функции являются все действительные числа R.

3) Наименьшего и наибольшего значений функция не имеет.

4) Функция не является ни нечетной, ни четной. Имеет общий вид.

5) Функция непериодическая.

6) Нули функции. График функции пересекает координатную ось Ox в точке (1; 0).

7) При a>1 функция возрастает; при 0<а<1 функция убывает.

6. Тригонометрические функции.

6.1. Функция синуса

Основные свойства функции y=sinx:

1) Область определения функции - множество всех действительных чисел

2) Множеством значений функции является промежуток

3) Функция является нечетной, график симметричен относительно начала координат (0;0).

4) Функция периодическая. Наименьший положительный период равен

5) График функции пересекает ось Ох (нули функции) в точках

6) График функции пересекает ось Оy в точке (0; 0).

7) Функция принимает положительные значения на промежутках

8) Функция принимает отрицательные значения на промежутках

9) Функция возрастает на промежутках

10) Функция убывает на промежутках

11) Точки минимума:

12) Точки максимума:

13) Графиком функции является синусоида

6.2. Функция косинуса

График косинуса получается из графика синуса с помощью параллельного переноса на расстояние влево.

Основные свойства функции y=cosx:

1) Область определения функции - множество всех действительных чисел

2) Множеством значений функции является промежуток

3) Функция является четной, график симметричен относительно оси Оу.

4) Функция периодическая. Наименьший положительный период равен

5) График функции пересекает ось Ох (нули функции) в точках

6) График функции пересекает ось Оy в точке (0; 1).

7) Функция принимает положительные значения на промежутках

8) Функция принимает отрицательные значения на промежутках

9) Функция возрастает на промежутках

10) Функция убывает на промежутках

11) Точки минимума:

12) Точки максимума:

13) Графиком функции является косинусоида

6.3. Функция тангенса

Основные свойства функции y=tgx:

1) Область определения функции:

2) Множеством значений функции:

3) Функция является нечетной, график симметричен относительно начала координат (0;0).

4) Функция периодическая. Наименьший положительный период равен

5) График функции пересекает ось Ох (нули функции) в точках

6) График функции пересекает ось Оy в точке (0; 0).

7) Функция принимает положительные значения на промежутках

8) Функция принимает отрицательные значения на промежутках

9) Функция возрастает на промежутках

10) Промежутки убывания отсутствуют.

11) Точек минимума нет.

12) Точек максимума нет.

13) Графиком функции является тангенсоида.

6.4. Функция котангенса

Основные свойства функции y=сtgx:

1) Область определения функции:

2) Множеством значений функции:

3) Функция является нечетной, график симметричен относительно начала координат (0;0).

4) Функция периодическая. Наименьший положительный период равен

5) График функции пересекает ось Ох (нули функции) в точках

6) Функции не пересекает ось Оy.

7) Функция принимает положительные значения на промежутках

8) Функция принимает отрицательные значения на промежутках

9) Функция не имеет промежутков возрастания.

10) Промежутки убывания:

11) Точек минимума нет.

12) Точек максимума нет.

13) Графиком функции является котангенсоида

7. Обратные тригонометрические функции.

7.1. Функция y=arcsinx

Свойства функции y=arcsinx:

1) Область определения функции:

2) Множеством значений функции является промежуток

7.2. Функция y=arccosx

Свойства функции y=arccosx:

1) Область определения функции:

2) Множеством значений функции является промежуток

7.3. Функция y=arctgx

Свойства функции y=arctgx:

1) Область определения функции:

2) Множеством значений функции является промежуток

функция определение значение

7.4. Функция y=arcctgx

Свойства функции y=arcctgx:

1) Область определения функции:

2) Множеством значений функции является промежуток



Список используемых ресурсов

http://fizmat.by/math

http://gigabaza.ru/

http://www.cleverstudents.ru/

http://mathematichka.ru/

http://refsurf.ru/

http://1cov-edu.ru/mat_analiz

Учебник по алгебре для 8 классов общеобразовательных учреждений. Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др.

Размещено на Allbest.ru