Математический анализ

Нахождение области определения, области значений функции, построение ее графиков с помощью преобразований кривых. График линейной функции с областью значений - все положительные действительные числа. Исследование функции на непрерывность. Расчет предела.

Рубрика Математика
Вид контрольная работа
Язык русский
Дата добавления 13.12.2012
Размер файла 922,4 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

107. Найти область определения функции

y = lg(64 - x2) +

Решение:

Воспользуемся свойствами элементарных функций.

Составим систему неравенств:

Решим последовательно:

х2 64

- 8 х 8

2)

= 7

3)

x R

4)

x 0

в итоге получаем х (0; 7) (7; 8)

117. Найти области определения, области значений и построить графики функций с помощью преобразований кривых

а) у = х2; б) y = sinx.

Для периодических функций найти период и амплитуду.

а) у = 7х - 20,5 - ;

б) у = 2 -

Решение

а) у = 7х - 20,5 - ;

Область определения функции - множество всех действительных чисел R

Область значений функции :

у = 7х - 20,5 - = - х2/2 + 7х - 20,5

2у = - х2 + 14х - 41 = -(х2 - 14х + 49) + 8

у = 4 -

координаты вершины параболы: (7; 4), следовательно, область значений:

у (- ; 4)

Составим цепочку:

7х - 20,5 - - 20,5 - - - х2

И строим последовательно графики:

у = - х2

у = - х2/2 - график расширяется в 2 раза

у = -20,5 - х2/2 - вершина опускается по оси У вниз на 20,5 единиц

у = 7х - 20,5 - х2/2 - окончательный график

б) у = 2 -

Область определения: множество всех действительных чисел

Область значений: (-1+3/2; 1+3/2) = (0,5; 2,5)

Составим цепочку:

у = 2 - - - - -

Строим последовательно:

- период Т = 2р

y = - sin(x/2) - график растягивается в 2 раза, период Т = 4р

y = - sin(рx/2) - график сжимается в р = 3,1415927 раз, во столько же раз уменьшается период функции: Т = 4р/3,1415927 = 1,2732р

y = - sin(рx/2+3р/8) - произошло смещение графика на 3р/8 вправо

y = 2 - sin(рx/2+3р/8) - график поднялся вверх по оси У на 2

амплитуда: А = 1

период Т = 1,2732р

127. Построить графики функций

y = + 1

Решение:

Составим расчетную таблицу, с учетом того, что функция - линейная и область значений функции - все положительные действительные числа

х

- 10

- 8

- 7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

4

у

5

3

2

1

2

3

4

1

4

7

10

19

137. Вычислить пределы не используя правило Лопиталя

а)

б)

в)

г)

д)

решение:

а)

При числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности. В этом случае теорема о пределе частного неприменима. Говорят, что имеется неопределенность вида «бесконечность на бесконечность» . Чтобы ее раскрыть, нужно числитель и знаменатель дроби разделить почленно на бесконечно-большую величину, в данном случае на наивысшую степень , то есть на , от чего величина дроби не изменится.

В результате получим:

,

так как ; ;

б) = =

Здесь теорема о пределе частного не применима, имеется неопределенность вида «ноль на ноль» .

Неопределенность нужно «раскрыть», то есть выполнить такие тождественные преобразования над функцией , после которых теоремы о пределах станут применимы.

Неопределенность вида раскрывается сокращением дроби на бесконечно-малую, которая обращает числитель и знаменатель в нуль. В данном примере это функция , которая стремится к нулю при .

Предварительно разложим на множители числитель и знаменатель данной функции . Для этого используем формулу разложения на множители квадратного трехчлена:

,

где и - корни квадратного трехчлена: ,

- дискриминант трехчлена.

Разложим на множители числитель данной функции , предварительно найдя его корни:

;

.

Следовательно: .

Аналогично раскладываем на множители знаменатель функции :

;

.

Следовательно: .

Тогда искомый предел равен

Теорема о пределе частного стала применимой после сокращения дроби на множитель (х - 7)

в)

Здесь теорема о пределе частного не применима, имеется неопределенность вида «ноль на ноль» .

Неопределенность нужно «раскрыть», то есть выполнить такие тождественные преобразования над функцией , после которых теоремы о пределах станут применимы.

Во-первых, сделаем разложение:

(х2 - 4) = (х - 2)(х + 2)

Во- вторых, умножим числитель и знаменатель на , тогда

= = =

= = =

= = 6

г)

при х 0:

tg(x) = x + o(x) tg(x2) = x2 + o(x)

sin(x) = x + o(x)

sin(2x) = 2x + o(x), таким образом

= = = Ѕ = 0,5

Или через замечательный предел:

= = = *= *1=0.5

д)

Воспользуемся замечательным пределом:

функция график предел непрерывность

= =

= =

= =

Найдем предел в степени экспоненты:

= -2 =

= - 2* = -2* =

= -2* = -2*1 = -2

В итоге получаем:

= е- 2

147. Исследовать функцию у = f(х) на непрерывность. Если имеются точки разрыва - определить их тип. Сделать чертеж

а) у =

б) у =

Решение:

а) у =

найдем область определения данной функции:

х - 2 0 ? х 2

В этой точку функция f(х) имеет разрыв

Исследуем на непрерывность точку х = 2, где функция неопределена. Найдем в этой точке односторонние пределы функции.

При х = 2:

Так как односторонние пределы бесконечны, то в точке х = 2 разрыв второго рода.

б) у =

Функция определена при x.

При x. - непрерывная, как экспотенциальная функция.

При y = 1 - x - непрерывная, как линейная функция.

При x. у = (х - 2)2 - непрерывна, как квадратичная функция.

Исследуем на непрерывность точки х = 0 и х = 2, где происходит смена аналитических выражений для функции . Найдем в этих точках односторонние пределы функции.

При х = 0 :

Так как в точке односторонние пределы равны и они равны значению функции в этой точке , то выполняется определение непрерывности и функция непрерывна в точке .

При х = 2:

Так как односторонние пределы существуют, но не равны, то в точке х = 2 имеется разрыв первого рода, неустранимый.

Строим график функции

Ответ: а) Функция непрерывна во всех точках, кроме точки х = 2, где имеется разрыв первого рода;

1. Размещено на www.allbest.ru


Подобные документы

  • Число как одно из основных понятий математики. Виды чисел, абсолютная и переменная величины. Область определения функции, четные и нечетные функции. Построение графиков функций. Пределы последовательности и пределы функции. Непрерывность функции.

    учебное пособие [895,7 K], добавлен 09.03.2009

  • Область определения и свойства функции (четность, нечетность, периодичность). Точки пересечения функции с осями координат. Непрерывность функции. Характер точек разрыва. Асимптоты. Экстремумы функции. Исследование функции на монотонность. Точки перегиба.

    презентация [298,3 K], добавлен 11.09.2011

  • Понятие числовых функций с областью определения, аргумент и области их значений, свойства и графическое выражение. Определение четных и нечетных функций, периодичность тригонометрических функций. Свойства, используемые при построении их графиков.

    презентация [22,9 K], добавлен 13.12.2011

  • Понятие и основные свойства обратной функции. Нахождение функции, обратной данной. Область определения функции. Обратимость монотонной функции. Построение графиков функций и определение их свойств. Симметричность графиков функций относительно прямой у=х.

    презентация [98,6 K], добавлен 18.01.2015

  • Область определения функции. Очки пересечения с осями координат, промежутки знакопостоянства. Исследование функции на непрерывность. Асимптоты, определение точки экстремума и точки перегиба. Расчет области определения функций, заданных аналитически.

    контрольная работа [178,7 K], добавлен 14.06.2013

  • Определение вертикальной, горизонтальной и наклонной асимптот графиков функций. Точки разрыва и область определения функции. Нахождение конечного предела функции. Неограниченное удаление точек графика от начала координат. Примеры нахождения асимптот.

    презентация [99,6 K], добавлен 21.09.2013

  • Способы задавания функции: табличный, графический и аналитический. Область определения и область значений функции, промежутки ее знакопостоянства. Свойства постоянной функции. Множества значений функции y=arctgx. Основные свойства функции y=sinx.

    реферат [799,4 K], добавлен 22.06.2019

  • Ознакомление с принципами параллельного переноса, растяжения и сжатия функции y=f(x) вдоль осей Ох и Оу. Рассмотрение правил симметрического отображения функции относительно осей координат. Особенности сложения и умножения ординат точек графиков.

    презентация [356,6 K], добавлен 16.12.2011

  • Расчет частных производных первого порядка. Поиск и построение области определения функции. Расчет полного дифференциала. Исследование функции на экстремум. Поиск наибольшего и наименьшего значения функции в замкнутой области. Производные второго порядка.

    контрольная работа [204,5 K], добавлен 06.05.2012

  • Исследование функции на непрерывность. Определение производных показательной функции первого и второго порядков. Определение скорости и ускорения материальной точки, движущейся прямолинейно по закону. Построение графиков функций, интервалов выпуклости.

    контрольная работа [180,3 K], добавлен 25.03.2014

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.