Приложения качественной теории дифференциальных уравнений к биологическим задачам

Существование и единственность решений дифференциальных уравнений. Геометрическая интерпретация решений. Линейные и нелинейные системы. Дифференциальные уравнения, моделирующие динамику популяций конкурирующих видов, их решения и фазовые портреты.

Рубрика Математика
Вид дипломная работа
Язык русский
Дата добавления 27.06.2012
Размер файла 2,5 M

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Типичной трубкой траекторий. В полярных координатах это

При замене переменных и гарантирует существование системы

она имеет вид координат, в которой локальный фаз

. вый портрет в точке принимает вид, изображенный на рис. 4.8.

Например, на рис. 4.9 надо перейти к полярным координатам r, . На плоскости( r, ), окружности (r = const) превратятся в прямые, параллельные оси , а радиальные прямые ( = const) станут прямыми, параллельными оси r. Таким образом, трубка траекторий на рис. 4.9 примет в полярных координатах такой вид, как на рис. 4.8.

На рис. 4.10 траектории в окрестности точки лежат на гиперболах . Если мы введем переменные , то трубка траекторий будет ограничена координатными линиями ,

и на плоскости локальный фазовый портрет снова имеет такой вид, как на рис. 4.8.

Теорема о трубке траекторий или о выпрямлении векторного поля. В достаточно малой окрестности обыкновенной точки системы х = Х(х) существует дифференцируемая взаимно однозначная замена переменных у = у(х), переводящая исходную систему в систему .

Теорема о трубке траекторий гарантирует существование новых координат, обладающих указанным выше свойством, по крайней мере в некоторой окрестности произвольной обыкновенной точки любой системы. Таким образом, все локальные фазовые портреты в обыкновенных точках качественно эквивалентны.

5 ПРИМЕРЫ, ИЛЛЮСТРИРУЮЩИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

1) Исследуем на устойчивость нулевое решение системы

(5.1)

Выделяя линейную часть функций по формуле Тейлора, получаем

функции равны и, значит, линеаризация системы (5.1) будет выглядеть так:

Теперь находим собственные значения матрицы коэффициентов

.

Они вещественные и один из них положителен, значит, особая точка является седлом, и нулевое решение неустойчиво.

2) Выясним, при каких значениях параметров a и b нулевое решение данной системы устойчиво.

(5.2)

Как и в прошлом примере рассмотрим линеаризацию системы (5.2)

и найдем собственные значения матрицы коэффициентов

Мы знаем, что нулевое решение устойчиво тогда и только тогда, когда корни отрицательны.

Рассмотрим, при каких значениях корни будут удовлетворять этому

условию.

Когда корни комплексные с отрицательной вещественной частью.

Когда корни вещественные, и отрицательными будут при

.

Следовательно, нулевое решение системы (5.2) устойчиво при .

3) Исследуем, устойчиво ли решение системы

Для этого сначала переведем решение в нулевое.

Сделаем замену При этом данная система примет вид:

После преобразований и линеаризации получим:

Теперь найдем корни характеристического уравнения

Они вещественные и разных знаков, значит, решение неустойчиво.

В четвертом и пятом примерах найдем все положения равновесия и исследуем их на устойчивость.

4) Рассмотрим систему:

Чтобы найти ее положения равновесия надо решить систему уравнений:

Получаем две особые точки .

Перенесем точку в начало координат.

При замене система примет вид:

.

Теперь линеаризуем ее и получим:

.

Найдем собственные значения матрицы коэффициентов:

.

Они равные и положительные, следовательно, в точке положение равновесия является неустойчивым вырожденным узлом.

Теперь точку переведем в заменой

Получим систему:

которая после линеаризации будет иметь вид

.

Корни характеристического уравнения

вещественные и разных знаков: , следовательно, в точке положение равновесия неустойчиво и является седлом.

5) Теперь найдем положения равновесия системы

(5.3)

Из уравнения

находим, что

.

Подставив найденные в уравнение:

,

получаем точки вида (), , в которых данная система находится в равновесии.

Для исследования этих точек на устойчивость надо перенести их в начало координат.

Сделаем замену

и рассмотрим два случая, когда четные числа и когда нечетные.

(a) При после замены система (5.3) останется прежней:

,

и ее линеаризация имеет вид:

Найдем корни характеристического уравнения:

.

Они вещественные и разных знаков. Поэтому в точках вида ( положение равновесия неустойчиво и является седлом.

(b) При после замены система (5.3) примет вид

После линеаризации получим:

Корни характеристического уравнения

вещественные и меньше нуля, следовательно, в точках вида положение равновесия является устойчивым узлом.

6) Исследуем особую точку (0,0) уравнения:

Составим и решим характеристическое уравнение:

значит

Корни вещественные, различные и положительные. Следовательно, особая точка - неустойчивый узел.

Чтобы начертить траектории, находим для собственный вектор , а для вектор На плоскости строим прямые, направленные вдоль этих векторов, а затем кривые, касающиеся в начале координат первой из этих прямых, так как .

7) Найдем и исследуем особые точки уравнения

(5.4)

Его можно записать в виде системы:

(5.5)

Особыми точками уравнения (5.4) являются точки, в которых

Следовательно, уравнение имеет две особые точки

Исследуем особую точку .

Перенесем ее в начало координат с помощью замены:

, .

и линеаризуем:

Найдем корни характеристического уравнения

.

Значит, особая точка - фокус.

Строим в точке вектор скорости. Следовательно, возрастанию t соответствует движение по траекториям по часовой стрелке. Так как вещественная часть корней равна , то особая точка устойчива, следовательно, при возрастании t решения приближаются к особой точке , как показано на рис. 5.2.

Особую точку исследуем аналогично.

Система (5.5) после замены , и линеаризации примет вид:

Решим характеристическое уравнение:

Собственные числа: .

Значит, особая точка неустойчивый узел (рис. 5.2).

Разделив получим уравнение вида

Прямые, проходящие через особую точку, ищем в виде .

Здесь .

Значит, искомые прямые.

8) Найдем и исследуем особые точки системы

Система уравнений

имеет решения . Следовательно, точки особые.

Исследуем каждую из этих точек.

С помощью замены

данную систему приводим к виду:

.

Отсюда, применяя формулу Тейлора и отбрасывая нелинейные члены, получаем:

.

Решив характеристическое уравнение

видим, что первая особая точка - неустойчивый узел.

Для находим собственный вектор , а для - вектор . На плоскости строим прямые, направленные вдоль этих векторов, а затем кривые, касающиеся своими вершинами с обеих сторон второй из этих прямых в точке , так как , как показано на рис.5.3.

Положив

из данной системы аналогично предыдущему случаю получаем:

.

И после аналогичных выкладок приводим ее к линеаризованной:

.

Корни характеристического уравнения: вещественные и разных знаков, следовательно, вторая особая точка - седло.

Теперь находим собственные вектора, и по ним устанавливаем направление движения по траекториям.

В примерах 9,10 и 11 исследуем особые точки.

9) Система

имеет две особые точки: .

Аналогично предыдущим задачам получим, что в особой точке линеаризованная система имеет вид:

Корни характеристического уравнения: равные и отрицательные, значит, особая точка является устойчивым вырожденным узлом. По теореме о линеаризации особая точка данной системы будет того же типа, что и особая точка линеаризованной системы. Более того, картины расположения интегральных кривых данной системы и укороченной системы в малой окрестности особой точки будут примерно одинаковы.

Собственный вектор для . Прямая, направленная вдоль этого вектора является интегральной и ее касаются все интегральные кривые в точке .

Теперь исследуем интегральные кривые уравнения

с помощью метода изоклин. В точках пересечения с кривой

(где -- некоторая постоянная) интегральные кривые имеют наклон .

При

При

При

Линеаризация системы в окрестности особой точки имеет вид:

.

Корни характеристического уравнения:

вещественные и разных знаков, следовательно, особая точка . Аналогично предыдущему случаю, точка будет седлом и для исходной системы.

Для собственный вектор равен , а для равен .

Значит, по прямой интегральные прямые входят в седло, а по прямой выходят из него.

10) Рассмотрим систему:

Поскольку эта система при замене x на -x, y на -y вида не меняет, то картина фазовых траекторий симметрична как относительно оси Ox, так и относительно оси Oy.

Данная система имеет четыре особые точки:

Рассмотрим точки

После замены

и линеаризации, получим систему:

Поскольку корни характеристического уравнения этой системы:

комплексные и чисто мнимые, то особая точка - центр. Для исходной системы эта точка может быть фокусом или центром. В силу симметрии интегральных кривых относительно оси Ox, точка центр, аналогично точка тоже является центром.

Направление движения по траекториям определим по вектору скорости.

Для точки вектор скорости в точке равен , следовательно, движение идет по положительному направлению.

Теперь рассмотрим точку .

Сделаем замену .

Укороченная система имеет вид:

.

Корни характеристического уравнения: следовательно особая точка седло.

Найдем собственные векторы для и :

Для собственный вектор равен , и по прямой интегральные прямые выходят из седла.

Для вектор равен , значит, по прямой интегральные прямые входят в седло.

В силу симметричности траекторий относительно оси Oy, точка также седло, и из нее наоборот интегральные прямые выходят по оси Ox, а входят по прямой .

11) Исследуем особые точки системы:

.

Из системы уравнений

находим координаты особых точек:

Полагая , приводим систему дифференциальных уравнений к укороченному виду:

Из характеристического уравнения

видим, что собственные числа вещественные и разных знаков, значит, точка седло.

Найдем собственные векторы для .

Для - это вектор ,

а для - вектор

Аналогично, положив и удержав линейные члены, из данной системы получаем укороченную:

Решив характеристическое уравнение

заключаем, что точка является устойчивым узлом.

Так же найдем для собственный вектор и для Следовательно, все интегральные кривые касаются вектора , так как .

Теперь сделаем замену , и как в предыдущих случаях рассмотрим укороченную систему, получившуюся из данной:

Поскольку корни уравнения

равны , то особая точка неустойчивый фокус.

Для выяснения направления закручивания интегральных кривых (спиралей) построим вектор скорости в точке :

.

Приняв во внимание, что фокус неустойчивый, видим, что при движении по спиралям от особой точки будет происходить вращение по часовой стрелке.

Для рассмотрения оставшейся точки сделаем замену

и приведем данную систему к укороченной:

характеристическое уравнение которой имеет корни . И, значит, точка тоже неустойчивый фокус.

В этом случае построим вектор скорости в точке :

.

И так как фокус неустойчивый, будет происходить вращение по спиралям от особой точки против хода часовой стрелки.

12) Начертим на фазовой плоскости траектории системы, записанной в полярных координатах, и исследуем, имеются ли предельные циклы.

Для этого нужно правую часть прировнять к нулю и найти корни.

получаем

Посмотрим, где функция возрастает, а где убывает.

Так как , возрастанию t соответствует движение по траекториям против часовой стрелки.

Получается, что к предельному циклу с радиусом траектории неограни-ченно приближаются с обеих сторон при , то есть он устойчивый.

А от предельного цикла с радиусом траектории неограниченно удаляются с обеих сторон при , то есть он неустойчивый.

13) Начертим на фазовой плоскости траектории системы:

и исследуем, имеются ли предельные циклы.

Сначала раскроем модули. Обозначим

Когда

Когда

И когда

.

Получается:

Существуют замкнутые траектории, заданные уравнениями

.

Кроме того,

Так как , возрастанию t соответствует движение по траекториям против часовой стрелки.

Мы видим, что траектории неограниченно приближаются при к предельному циклу с радиусом при и к предельному циклу с радиусом при , значит они устойчивые.

При не меняется, следовательно, в этом промежутке лежит множество замкнутых траекторий, которые не являются предельными циклами, и каждая из этих траекторий является устойчивой.

дифференциальный уравнение популяция фазовый

ГЛАВА 2

1. ПРИЛОЖЕНИЕ КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ К БИОЛОГИЧЕСКИМ ЗАДАЧАМ

1.1 ФАЗОВЫЕ ПОРТРЕТЫ И ДИНАМИКА

В различных приложениях дифференциальное уравнение

моделирует изменение какого-нибудь параметра х некоторой физической системы в зависимости от времени. Мы говорим, что состояние системы определяется значением величины х. Например, уравнение

(1.1)

моделирует рост популяции р некоторого изолированного вида. В рамках этой модели состояние вида в момент времени t задается количеством индивидуумов , существующих в момент t.

Фазовый портрет фиксирует только направление скорости фазовой точки и, следовательно, отражает лишь качественную картину динамики. Такая качественная информация может оказаться полезной при построении моделей. Например, рассмотрим (1.1) -- модель роста изолированной популяции. Заметим, что для всех , и фазовый портрет на рис. 1.1 показывает, что популяция растет неограниченно. Это свойство выглядит неправдоподобно: та среда, в которой живет этот вид, имеет свои ограничения и не может обеспечить ресурсами неограниченно растущую популяцию.

Предположим, что окружающая среда может обеспечивать существование популяции . Очевидно, неограниченный рост р должен быть чем-то остановлен. Одна из возможностей -- ввести устойчивую неподвижную точку , как показано на рис. 1.1(б). Это значит, что популяции, большие чем , уменьшаются, меньшие чем , растут, а равновесие достигается при . Чтобы могли существовать две неподвижные точки при и , функция в (1.1) должна быть нелинейной. Уравнение

хорошо тем, что при оно сводится к (1.1); в противном случае оно имеет неподвижную точку .

(a) (b)

Рис. 1.1. Фазовые портреты для уравнений (a) (b)

. В обоих случаях нас интересует только поведение неотрицательных популяций (). Уравнение (b) называется логистическим законом роста популяции.

Конечно, чаще в моделях биологических систем состояние системы определяется более чем одной переменной, и в дальнейшем мы будем рассматривать именно такие системы.

1.2 КОНКУРИРУЮЩИЕ ВИДЫ

Два сходных вида животных конкурируют друг с другом на некоторой территории с ограниченными запасами пищи. Возможны различные исходы их конкурентной борьбы:

(a) вид 1 выживает, а вид 2 вымирает;

(b) вид 2 выживает, а вид 1 вымирает;

(c) оба вида сосуществуют;

(d) оба вида вымирают.

Каждый из этих исходов соответствует некоторому положению равновесия для популяций и двух рассматриваемых видов. Поэтому дифференциальные уравнения, моделирующие динамику популяций и , должны иметь четыре изолированные особые точки.

Рассмотрим следующие нелинейные динамические уравнения:

(1.2)

где Заметим, что прирост на особь состоит из трех слагаемых: скорости размножения изолированной популяции a; члена, соответствующего внутривидовой конкуренции члена, соответствующего межвидовой конкуренции . Аналогично интерпретируются члены в уравнении для . Необходимое условие для возможности выживания обоих видов состоит в том, что должна существовать неподвижная точка уравнений (1.2), обе координаты которой положительны. Такая неподвижная точка для уравнений (1.2) существует тогда и только тогда, когда линейные уравнения

(1.3)

имеют решение с положительными координатами. Мы будем предполагать, что система (1.3) имеет единственное решение в первом квадранте плоскости , . В этом случае неподвижная точка имеет координаты

причем либо

(1.4)

либо

(1.4')

Сейчас рассмотрим характер изменения величин , при условиях (1.4).

Начнем с того, что произведем линеаризацию системы во всех четырех неподвижных точках. Каждую из линеаризованных систем мы обозначим , где у -- локальные координаты в окрестности соответствующей неподвижной точки. Ниже для каждой из неподвижных точек указана ее матрица :

(1.5)

(1.6)

(1.7)

(1.8)

Все неподвижные точки простые, а их вид определяется собственными значениями соответствующих матриц . Для (1.5) это числа ,и по теореме о линеаризации начало координат -- неустойчивый узел. Собственные значения из (1.6) тоже легко усматриваются, так как матрица треугольная, и оба значения отрицательны (по (1.4)). То же справедливо относительно из (1.7), и в каждом из этих случаев теорема о линеаризации позволяет сделать вывод, что эти точки -- устойчивые или вырожденные узлы (заметим, что возможны равенства или ).

Наконец, неподвижная точка (1.8) является седлом, поскольку

(по условиям (1.4)), и собственные значения должны обладать противоположными знаками (как видно на рис. 3.7. первой главы).

Теперь видно, что сосуществование является чрезвычайно маловероятным, так как при в седло входят только две сепаратрисы. Неподвижные точки устойчивы и соответствуют вымиранию видов 1 и 2. Начало координат является неустойчивым узлом, так что возможность вымирания обоих видов исключена, поскольку все траектории удаляются от точки Предполагая, что все начальные положения в первом квадранте равновероятны, мы видим, что наиболее вероятным исходом является вымирание одного из видов. Полученный нами результат находится в соответствии с «принципом конкурентного исключения», согласно которому в таких ситуациях конкурентной борьбы один из видов вымирает.

Дальнейшие подробности относительно эволюции этих двух видов можно получить, нарисовав фазовый портрет рассмотренной модели. Заметим, что прямые из уравнений (1.3) -- это изоклины направлений соответственно. Направление векторного поля можно получить, исследуя знаки , как это показано на рис. 1.3. Этой информации вместе со сведениями о характере неподвижных точек достаточно для того, чтобы построить фазовый портрет, изображенный на рис. 1.4. Различные детали, например какой оси касаются траектории, выходящие из начала координат, зависят уже от величин собственных значений. Например, на рис. 1.4 предполагается, что и поэтому траектории на рисунке касаются оси .

1.3 УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА - ЛОТКА

Самые общие колебания, которые могут возникнуть при рассмотрении автономных линейных уравнений на плоскости, имеют вид

(1.9)

им соответствуют замкнутые эллиптические траектории на фазовом портрете. Кривые, заданные уравнениями (1.9), сильно симметричны, и, хотя изменение параметров допускает изменение амплитуды и сдвиг начального положения точки, форма траекторий остается неизменной.

В динамике популяций существует много примеров, когда изменение численности популяций во времени носит колебательный характер. Однако эти колебания заметно отличаются от гармонических, и для того, чтобы их промоделировать, необходимы нелинейные уравнения. Одним из самых известных примеров уравнений описания динамики взаимодействующих популяций являются уравнения Вольтерра -- Лотка.

Рассмотрим модель, содержащую два вида, один вид -- хищники, а другой -- их добыча. Пусть и -- популяции жертв и хищников соответственно. Предположим, что между особями одного вида нет соперничества. Пусть прирост на особь для жертв составляет -- скорость размножения жертв в отсутствие хищников, есть член, учитывающий потери от хищников. Популяция хищников уменьшалась бы в отсутствие их пищи (т. е. жертв), так что при . Однако наличие жертв в случае удачной охоты на них компенсирует это уменьшение, так что при имеем Таким образом, система имеет вид

где . Это и есть уравнения Вольтерра -- Лотка. Система (1.10) имеет две неподвижные точки: . Первая из этих точек -- седло, для которого оси являются сепаратрисами, причем ось устойчивая. Линеаризованная система в нетривиальной неподвижной точке имеет центр, и, следовательно, теорема о линеаризации не дает возможности определить характер этой точки для исходной системы.

Дифференциальное уравнение

является уравнением с разделяющимися переменными, и его решения удовлетворяют равенству

.

Следовательно система (4.9) имеет первый интеграл

Здесь функции одного и того же вида: обе они положительны на полуоси и имеют на ней один максимум.

Функции принимают максимальные значения при и соответственно, и, таким образом, функция принимает максимальное значение в точке Следовательно, линии уровня функции являются замкнутыми кривыми, окружающими точку . Траектории системы (1.10) совпадают с этими линиями уровня, и точка является центром.

Функции не симметричны относительно своих максимальных значений и, следовательно, замкнутые траектории не являются эллипсами. Обе функции имеют крутой подъем и относительно пологий спуск (см. рис. 1.5); это значит, что траектории имеют форму, указанную на рис. 1.6. Неэллиптическая форма траекторий этого нелинейного центра отражает негармонический характер колебаний численности популяций (рис. 1.7).

1.4 МОДЕЛЬ ХОЛЛИНГА -- ТЭННЕРА

Хотя незатухающие негармонические колебания встречаются для нелинейных систем с центрами на фазовых портретах, неизвестно, являются ли такие колебания устойчивыми относительно возмущений самой модели. Если модифицировать уравнения Вольтерра -- Лотка (1.10) таким образом, чтобы учитывалась внутривидовая конкуренция, на фазовом портрете измененной таким образом системы уже не будет центра, он превратится в фокус, и колебания популяции будут затухать. Способность к легкому разрушению вообще является характерным свойством центров; говорят, что они структурно неустойчивы.

Другая возможность, при которой в нелинейных системах возникают незатухающие колебания, -- это наличие предельных циклов на их фазовых портретах. Предельные циклы являются структурно устойчивыми и, следовательно, представляют собой более «постоянную» характерную черту фазового портрета системы: они не имеют тенденции исчезать при относительно малых возмущениях модели. Модели, не чувствительные к малым возмущениям, называются грубыми. Поскольку большинство моделей являются идеализациями, в которых внимание сосредоточено только на некоторых основных переменных и соотношениях между ними, такой вид устойчивости чрезвычайно важен.

Система «хищник -- жертва» для двух видов является, конечно, именно такой идеализацией, и модель Вольтерра -- Лотка не является грубой. Поэтому возникает сомнение, отражает ли система (1.10) настоящий механизм колебаний численности популяций. Модель, в которой возникают структурно устойчивые колебания численности популяций для системы «хищник -- жертва», -- это модель Холлинга -- Тэннера. Динамические уравнения этой модели имеют вид

(1.11)

где

Скоростью роста популяции жертв является разность двух членов:

a) , задающего скорость размножения жертв в отсутствие хищников. Сюда включен член, соответствующий межвидовой конкуренции в условиях ограниченных ресурсов ;

b) , описывающего влияние хищников.

Чтобы объяснить вид члена , надо понять влияние хищников в терминах «коэффициента хищничества». Это -- количество жертв, убиваемых одним хищником в единицу времени. В уравнениях (1.10) коэффициент хищничества равен . Это значит, что количество жертв, убиваемых одним хищником в единицу времени, неограниченно растет вместе с популяцией жертв.

Более разумным представляется предположение, что существует верхний предел коэффициента хищничества, т. е. что хищник перестает убивать, когда насыщается. Это учитывается видом члена , в котором коэффициент хищничества равен (см. рис. 1.8).

Скорость роста популяции хищников такая же, как в (1.11), в предположении, что жертвы достаточно редки. Допустим, что количество жертв, необходимых для поддержания жизни одного хищника, равно . Таким образом, популяция из жертв может поддерживать не более чем хищников. Мы должны построить модель таким образом, чтобы количество хищников не превышало критическую величину; это достигается при

Именно это уравнение задано в (1.11).

Как видно на чертеже, существует неподвижная точка с положительными значениями ; обозначим ее Чтобы определить характер этой неподвижной точки, удобно в уравнениях (1.11) изменить масштаб переменных, разделив их на . Получим уравнения

(1.12)

где а Кроме того, на плоскости неподвижная точка имеет координаты

(1.13)

Матрица коэффициентов линеаризованной в точке системы имеет вид

Заметим, что

так что никогда не может быть седлом. Однако, подставив из (1.13), получим, что

а это выражение может быть как положительным, так и отрицательным.

Если то является неустойчивой неподвижной точкой. Так же, если набор параметров удовлетворяет условию

то на фазовом портрете системы (1.12) имеется устойчивый предельный цикл, как показано на рис. 1.10. А если точка лежит левее максимума на нулевой изоклине , то она является просто устойчивым фокусом.

2. ДРУГИЕ МОДЕЛИ

1. Исследуем характер неподвижных точек модели, описывающей конкуренцию видов

.

Из системы

Найдем особые точки: .

Рассмотрим точку . Линеаризация данной системы имеет вид:

Составив и решив характеристическое уравнение:

видим, что корни одинаковые и положительные, значит, особая точка - неустойчивый дикритический узел. То есть множество интегральных прямых вида выходят из точки .

При рассмотрении точки сделаем замену:

и приведем исходную систему к укороченной:

Из уравнения

находим и, следовательно, точка является устойчивым вырожденным узлом. Собственный вектор для равен . Таким образом, прямая интегральная, и ее касаются все интегральные кривые в точке . Если рассмотреть векторы скорости, например, в точке , то можно построить поле направлений, и затем начертить интегральные кривые, как показано на рисунке 2.1.

Далее, сделаем замену

,

и получим для особой точки укороченную систему:

.

Характеристическое уравнение имеет корни . Как и в предыдущем случае, точка тоже устойчивый вырожденный узел. Здесь собственный вектор для равен , и интегральная прямая, которую касаются все кривые - это . Построив векторы скорости в точке , строим интегральные кривые.

Осталось рассмотреть точку .

Укороченная система имеет вид:

Корни характеристического уравнения

вещественные и разных знаков, значит, особая точка седло.

Для собственный вектор равен Следовательно, прямые интегральные, а остальные кривые в окрестности особой точки их касаются.

Интерпретация фазового портрета в терминах поведения вида:

Мы рассматриваем взаимодействие двух видов, численности которых x и y, описаны уравнениями

Начало координат является неустойчивым дикритическим узлом, значит, все траектории удаляются от точки , поэтому возможность вымирания обоих видов исключена. Неподвижные точки (0, 2) и (2, 0) - устойчивые узлы и соответствуют вымиранию одного из видов 1 и 2. Точка является седлом и она характеризует сосуществование двух видов. Из рисунка видно, что она неустойчива, в нее входят только две сепаратрисы, отделяющие области выживания каждого из видов, а все остальные траектории от нее удаляются. Сместившись от этой особой точки даже на маленькое расстояние, мы сразу попадем либо в точку (0,2), либо в (2,0), то есть один из видов вымирает.

2. Исследуем поведение особых точек системы, описывающих конкуренцию видов

(2.1)

при изменении параметра для всех

Приравняем к нулю правые части уравнений системы

и найдем особые точки:

Матрицы для каждой из неподвижных точек:

Рассмотрим характер неподвижных точек при различных значениях .

a) Когда у системы

(2.2)

будет три особые точки:

Начало координат является неустойчивым узлом, так как собственные значения матрицы вещественные и положительные. Собственный вектор для , для

Собственные значения матрицы вещественные и разных знаков, значит, особая точка является седлом. А собственные векторы для равны и соответственно.

Теперь рассмотрим точку . Собственные значения ее матрицы: . То есть особая точка сложная. Определитель ее равен нулю, а след ненулевой. Мы рассматривали такие сложные особые точки в параграфе 4, это случай I. Перенеся точку в начало координат и поменяв местами оси, представим систему (2.2) в виде:

Обозначим и получим систему:

Мы видим, что . Введем в рассмотрение функцию

И подставив ее в увидим, что . Теперь подставим найденное в и введем обозначение

Получается По теореме 2 из параграфа 4, особая точка является седло-узлом с устойчивым узловым сектором и, кроме того, траектории узлового сектора стремятся к этой точке справа от оси Изображение особой точки на плоскости представлено на рисунке 2.2.

Поведение фазовых траекторий системы дает наглядное представление о возможных исходах конкуренции.

Найдем уравнения для главных изоклин системы (2.2):

- уравнения изоклин вертикальных касательных.

- уравнения изоклин горизонтальных касательных.

Мы видим, что если скорость размножения изолированной популяции больше скорости размножения популяции в 4 раза, а внутривидовая конкуренция меньше чем у конкуренции тоже в 4 раза, то выживает популяция , а популяция вся вымирает.

b) При данная система примет вид:

(2.3)

Особых точек у нее тоже 3, как и в предыдущем случае:

Начало координат является неустойчивым дикритическим узлом. Собственные значения его матрицы:

Для матрицы . Одно из них равно нулю и, значит, особая точка сложная.

Как и в предыдущем случае, определитель матрицы нулевой, а след не равен нулю. Перенесем точку в начало координат и получим систему:

После замены эта система примет вид:

Подставив функцию в , найдем и подставим его в , после чего найдем

Следовательно, По теореме 2 из параграфа 4, особая точка является седло-узлом с устойчивым узловым сектором, траектории которого стремятся к этой точке слева от оси

Для матрицы: вещественные и отрицательные, следовательно, особая точка - устойчивый узел.

Собственный вектор для

Для построения интегральных кривых найдем уравнения для главных изоклин системы (2.3):

- уравнения изоклин вертикальных касательных.

- уравнения изоклин горизонтальных касательных.

Из рисунка видно, что выживает популяция , это случается, потому что внутривидовая конкуренция у популяции больше чем у популяции и популяция вся вымирает.

c) Посмотрим характер особых точек системы при

).

Особая точка при всех значениях является неустойчивым узлом, так как собственные значения ее матрицы: вещественные и положительные.

Особая точка является седлом при и устойчивым узлом при , так как собственные значения ее матрицы вещественные и разных знаков, когда , и оба отрицательные, когда

Особая точка является седлом при и устойчивым узлом при , так как собственные значения ее матрицы равны вещественные и разных знаков при и оба отрицательные при .

Особая точка при не находится в первом квадранте, и поэтому мы не рассматриваем этот случай.

Матрица для этой точки имеет след

,

определитель

,

который при положительный, а при ) отрицательный, и , которая при любых положительная.

Таким образом, исследуемая особая точка при является устойчивым узлом, при ) - седлом.

Случай (а) соответствует сосуществованию видов , случай (b) - выживанию вида , а в случае (c) исход конкуренции зависит от начальных условий, так как ненулевая особая точка для обоих видов является неустойчивым седлом, через которое проходит сеператриса, отделяющая области выживания каждого из видов.

3. Рассмотрим уравнение типа «хищник - жертва» с «логистической» поправкой

для .

При данная система примет вид:

У этой системы две неподвижные точки - .

Особая точка является седлом с собственными значениями матрицы коэффициентов линеаризованной системы: .

Собственный вектор для

Переведем точку в начало координат заменой:

Получим систему:

Решив характеристическое уравнение укороченной системы

мы видим, что собственные значения комплексные с нулевой вещественной частью, следовательно, особая точка центр.

Следовательно, в точке сосуществование обоих популяций, остальные траектории движутся вокруг нее. Если рассматривать точку , соответствующую моменту, когда численность жертв минимальна, то можно увидеть, что по мере возрастания количества жертв, численность хищников потихоньку убывает, потому что им пока нечем питаться. Когда количество жертв доходит до определенного числа , которое необходимо для того чтобы рождаемость хищников превышала их смертность, популяция хищников начинает возрастать. Но в определенный момент, когда , хищников становится настолько много, что численность жертв начинает убывать, но хищникам пока пищи достаточно и их количество, все еще, растет. Через некоторое время число жертв уменьшится настолько, что хищникам будет нечем питаться, их численность начнет убывать и в конце концов мы придем в первоначальную точку , и все начнется заново.

Чем дальше мы берем точку от положения равновесия системы, тем больше времени требуется на прохождении цикла.

При система

имеет четыре неподвижные точки:

Особая точка , как и при является седлом с собственными значениями: .

Особая точка является неустойчивым узлом, так как собственные значения ее матрицы: вещественные положительные.

Особая точка является седлом, так как собственные значения ее матрицы: вещественные и разных знаков.

Линеаризация системы в особой точке :

имеет след , который при принимает отрицательные значения, определитель , который при отрицательный и, . Значит, исследуемая особая точка является устойчивым фокусом.

Траектории движутся против часовой стрелки к особой точке , которая является фокусом, аналогично тому как двигалась точка по окружности, в предыдущем случае, только здесь точка движется по спирали и в конечном итоге приходит в положение равновесия системы, то есть жертвы и хищники сосуществуют. Вымирание обоих видов или одного из видов невозможно, потому что особые точки и являются сёдлами, а точка , и все траектории от нее удаляются.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Баутин Н.Н. Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. - Москва, «Наука», 1990. - 486 с.

2. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. - Москва, «Высшая школа», 1967. - 564 с.

3. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Ижевск, 2000. - 176 с.

4. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. - Москва, «Мир», 1986. - 243 с.

5. Гаузе Г.Ф. Борьба за существование. - Москва, 2002. - 160 с.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Понятия и решения простейших дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений произвольного порядка, в том числе с постоянными аналитическими коэффициентами. Системы линейных уравнений. Асимптотическое поведение решений некоторых линейных систем.

    дипломная работа [395,4 K], добавлен 10.06.2010

  • Механическая интерпретация нормальной системы дифференциальных уравнений первого порядка. Свойства решений автономных систем. Предельное поведение траекторий, циклы. Функция последования и направления их исследования, оценка характерных параметров.

    курсовая работа [2,0 M], добавлен 24.09.2013

  • Установление прямой зависимости между величинами при изучении явлений природы. Свойства дифференциальных уравнений. Уравнения высших порядков, приводящиеся к квадратурам. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

    курсовая работа [209,4 K], добавлен 04.01.2016

  • Система двух нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, порождённая прямым и обратным преобразованиями Беклунда высшего аналога второго уравнения Пенлеве. Аналитические свойства решения, наличие у системы четырёхпараметрических семейств решений.

    реферат [104,0 K], добавлен 28.06.2009

  • Дифференциальные уравнения Риккати. Общее решение линейного уравнения. Нахождение всех возможных решений дифференциального уравнения Бернулли. Решение уравнений с разделяющимися переменными. Общее и особое решения дифференциального уравнения Клеро.

    курсовая работа [347,1 K], добавлен 26.01.2015

  • Анализ методов решения систем дифференциальных уравнений, которыми можно описать поведение материальных точек в силовом поле, законы химической кинетики, уравнения электрических цепей. Этапы решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений.

    курсовая работа [791,0 K], добавлен 12.06.2010

  • Представления линейных дифференциальных уравнений как средств математического решения практических задач в естествознании. Простейшая модель однородных популяций на примере определения роста численности карасей. Отлов с постоянной и относительной квотой.

    курсовая работа [413,2 K], добавлен 11.07.2011

  • Дифференциальные уравнения как математический инструмент моделирования и анализа разнообразных явлений и процессов в науке и технике. Описание математических методов решения систем дифференциальных уравнений. Методы расчета токов на участках цепи.

    курсовая работа [337,3 K], добавлен 19.09.2011

  • Описание колебательных систем дифференциальными уравнениями с малым параметром при производных, асимптотическое поведение их решений. Методика регулярных возмущений и особенности ее применения при решении задачи Коши для дифференциальных уравнений.

    курсовая работа [1,5 M], добавлен 15.06.2009

  • Практическое решение дифференциальных уравнений в системе MathCAD методами Рунге—Кутты четвертого порядка для решения уравнения первого порядка, Булирша — Штера - системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и Odesolve и их графики.

    лабораторная работа [380,9 K], добавлен 23.07.2012

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.