Автономные системы дифференциальных уравнений и их фазовые пространства

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Курсовая работа

Автономные системы дифференциальных уравнений и их фазовые пространства



1. Механическая интерпретация нормальной системы дифференциальных уравнений первого порядка

Теорема существования и единственности решения Коши имеет следующее геометрическое истолкование: через каждую точку рассматриваемой области пространства Rn+1 проходит единственная интегральная кривая.

Здесь дадим еще одну интерпретацию системы дифференциальных уравнений первого порядка, особенно важную для приложений в механике и физике. Обозначим независимую переменную через t и будем ее рассматривать как время; искомые функции обозначим через x1, x2,…, xn и будем считать, что они задают закон движения xi=xi(t), i=1, n, материально й точки. Систему значений этих переменных будем рассматривать как множество точек n - мерного пространства, которое и называют фазовым пространством переменных (x1, x2,…, xn)=x. Тогда нормальная система дифференциальных уравнений первого порядка примет вид

dxi/dt=fi (t, x1, x2,…, xn)= fi (t, x), i=1, n (1)

Система (1) в каждый момент времени t в данной точке (x1, x2,…, xn) фазового пространства определяет вектор скорости f=(f1, f2,…, fn) движущейся материальной точки, т.е. система (1) задает поле скоростей в пространстве (x1, x2,…, xn). Решением системы (1) является такой закон движения x=x(t)=(x1 (t), x2 (t),…, xn(t)) материальной точки, при котором эта точка в процессе движения имеет в каждый момент времени t заданную скорость f. При такой интерпретации система (1) называется динамической системой, а каждое ее решение - движением. Кривая, описываемая материальной точкой при таком движении, называется траекторией движения (не следует путать эту траекторию с интегральной кривой системы (1), так как интегральная кривая расположена в Rn+1). Задачи Коши для системы (1) теперь состоит в том, что требуется найти движение xi=ц(t), i=1, n, системы (1), удовлетворяющее при t=t0 начальным условиям

xi(t0)= ц(t0)=xi(0), i=1, n. (2)

Это значит, найти закон движения

xi= цi (t, t0, x1 (0), x2 (0),…, xn (0))= цi (t, t0, x0), (3)

определяющий в любой момент времени t положение движущейся точки, которая в начальный момент времени t0 занимала начальное положение x0=(x1 (0), x2 (0),…, xn (0)).

Для обеспечения существования и единственности решения задачи Коши для системы (1), т.е. задачи (1) и (2), предположим, что все функции fi (t, x) непрерывны и имеют непрерывные частные производные ? fi (t, x) /?xk, k=(1, n), в цилиндрической области Q= DЧ(- ?,+?), где D - ограниченная замкнутая область пространства Rn переменных (x1, x2,…, xn), t (- ?,+?).

В силу теоремы Пикара решение (3) задачи Коши определяется в малой окрестности точки (t0, x0) области Q. Будем предполагать, что это решение продолжено на всю числовую ось - ? < t < +?.

Наибольший интерес представляет частный случай системы (1), когда ее правые части явно не зависят от t:

dxi/dt=fi (x1, x2,…, xn)= fi(x), i=(1, n)-- (4)

где функции fi (x) и ? fi /?xj, i.j=1, n, определены и непрерывны в области D Rn. Тогда D является фазовым пространством системы (4).

Систему уравнений (4) называют автономной. Она определяет стационарное движение среды, т.е. скорость движения в каждой точке фазового пространства не зависит от времени t и, следовательно, является постоянной в этой точке в течение всего времени.

Например, автономная система x1= x2, x2=-x1 имеет общее решение

x1=C1cos (t+C2), x2=C1sin (t+C2).

В пространстве R3 переменных x1, x2, t эти функции изображаются винтовыми линиями, а в фазовом пространстве переменных x1, x2 (здесь оно вся плоскость R2) - окружностями x12+x22=С12. Каждая окружность изображает бесконечное множество решений, отличающихся только значениями С1. Точка x1=x2=0 является особой точкой - центром.

2. Свойства решений автономных систем

Лемма1. Если xi=ц(t), i=(1, n)- решение автономной системы (4), то для любой постоянной С xi=ц (t+С), i=(1, n), также является решением этой системы.

Доказательство. Из правила дифференцирования сложной функции имеем

d/dt цi (t+C)=d/(d (t+C)) (цi (t+С)) (d (t+C))/dt= цi (t+С), (5)

По условию при любом t R справедливы равенства

цi(t)=fi (ц1 (t), ц2 (t),…, цn(t)), i=(1, n)

Заменяя в этих тождествах t на t+C, получим

цi (t+C)=fi (ц1 (t+С), ц2 (t+С),…, цn (t+С)), i=(1, n) (6)



Тогда из равенства (5) и (6) следует требуемое утверждение.

Лемма 2. Если xi=ц(t) и xi=ш(t), i=(1, n), - два решения системы (4) и цi(t1)=шi(t2), то шi(t)= цi (t+C), где С=t1-t2 т.е. если траектории xi=цi(t) и xi= шi(t), имеют общую точку, то эти траектории совпадают.

Доказательство. В силу леммы 1 функции xi=цi (t+C), i=(1, n), С=t1-t2 являются решением системы (4). В силу равенства цi(t1)=шi(t2) при t=t2 имеем

xi(t2)=цi (t2+C)= цi(t1)=шi(t2)

Следовательно, решения xi=цi (t+C) и xi=шi(t), i=(1, n), удовлетворяют при t=t2 одинаковым начальным условиям, поэтому, в силу единственности решения задачи Коши для системы (4), они совпадают, т.е. цi (t+C)=шi(t), i=(1, n).

Лемма 2 показывает, что траектории, описываемые первым и вторым решениями, совпадают между собой, при этом второе решение описывает ту же самую траекторию, что и первое, но с «запозданием» на время С.

Следствие 1. Решение автономной системы (4) не может войти в особую точку за конечное время.

Доказательство. Пусть a=(a1, a2,…, an) - особая точка системы (4), т.е. xi=ai является решением этой системы. Если траектории решений xi=ai и xi=цi(t) не совпадают, то они не имеют общих точек. Следовательно, xi?цi(t) при всех t. Решение цi(t), i=(1, n), системы (4) может приближаться к особой точке только при t>+? или t>-?

Лемма 3. Решения автономной системы (4) обладают групповым свойством, т.е. если xi=цi (t, x0) i=(1, n), - решение системы (4), удовлетворяющее начальному условию: цi (0, x0)=xi(0), i=(1, n), то

цi (t, ц (ф, x0))= цi (t+ф, x0).



Доказательство. Пусть xi(1)= цi (ф, x0), i=(1, n). Тогда цi(1)=цi (t, ц (ф, x))=цi (t, x1 (1), x2 (1),…, xn(1)) - решение системы (4). В силу леммы 1, цi(2)= цi (t+ф, x0), i=(1, n), также является решением системы (4). При этом в точке t=0:

цi(1) (0)=цi (0, x1 (1), x2 (1),…, xn(1))=xi(1), i=(1, n);

цi(2) (0)=цi (ф, x1 (0), x2 (0),…, xn(0))=xi(1), i=(1, n).

Следовательно, решения цi(1) (t) и цi(2) (t) системы (4) удовлетворяют одним и тем же условиям. Тогда на основании теоремы единственности они совпадают. Тем самым справедливость равенства (7) доказана.

Наглядный смысл леммы 3 состоит в следующем: чтобы выяснить куда точка x0 переместится за время t+ф, надо выяснить, в какую точку она перейдет за время t, а затем куда эта вторая точка перейдет за время ф.

Определение. Пусть xi=цi(t), i=(1, n), - решение автономной системы (4), определенное на всей прямой - ? < t < + ?. Число С называется периодом решения xi=цi(t), i=(1, n), если цi (t+C)= цi(t), i=(1, n), при всех t R.

Пусть F - множество всех периодов решения xi=цi(t), i=(1, n), системы (4). Это множество непусто, так как 0 F.

Лемма4. а) Если С F, то - С F. б) Если C1 C2 F, то C1+ C2 F. в) F - замкнутое множество.

Доказательство. а) Поскольку С - период, то для любого t: цi (t+C)= цi(t)), i=(1, n). Заменяя в этом тождестве t на t-C, получим цi(t)= цi (t-C), i=(1, n), и это означает, что - С есть период.

б) цi (t+C1+С2)= цi (t+С1)=цi(t), i=(1, n)



в) Пусть C0 - произвольная предельная точка множества F. Тогда существует последовательность Cn из F такая, что limTnCn= C0. Тогда в силу непрерывности решения цi(t) имеем

цi (t+C0)= цi (t+limTnCn)= цi (limTn(t+Cn) =limTnцi (t+Cn)=limTnцi(t)= цi(t), i=(1, n)

Отсюда следует, что C0 F, значит, F есть замкнутое множество.

Решение системы (4) вида xi=ai, i=(1, n) где ai - постоянные, называется положением равновесия или точкой покоя. Ясно, что xi=ai, i=(1, n), является положением равновесия системы (1) только тогда, когда fi (a1, a2, …, an)=0, i=(1, n).

Теорема 1. Пусть траектория xi=цi(t), i=(1, n), автономной системы (4) сама себя пересекает, т.е. цi(t1)=цi(t2) i=(1, n) при t1?t2 И числа t1 и t2 принадлежит интервалу r1< t< r2 определения решения xi=цi(t), i=(1, n). Тогда решение xi=цi(t), i=(1, n), может быть продолжено на всю прямую - ? < t < + ? и имеет место одна из следующих возможностей: 1) для все t имеет место равенство цi(t)=ai, i=(1, n), т.е. решение цi(t) является положением равновесия, т.е. точка (ц1 (t), ц2 (t), …, цn(t)) не движется при изменении t, а стоит на месте;

2) существует число Т>0 такое, что при любом t имеет место равенство

цi (t+T)=цi(t), i=(1, n),

но при 0 <|t¬1-t2|<T хотя бы для одного I, i=(1, n), имеет место неравенство цi(t1)? цi(t2).

В случае 2) решение xi=цi(t), i=(1, n), системы (4) называется периодической, а его траектория - замкнутой траекторией или циклом.

Доказательство. Пусть выполнены условия теоремы и для определенности t1< t2. В силу леммы 2 при C = t1 - t2 имеем

цi(t)=цi (t+C), i=(1, n), (8)

Функции xi=цi (t+C), i=(1, n), являются решением системы (4) при r1 - C< t< r2 - C, и, кроме того, в силу равенства (8), решения цi(t) и цi (t+C) совпадают на общей части их областей определения, т.е. при r1 - C< t< r2 - C. Значит, решение

xi=шi(t)={(цi(t), r1 < t< r2,@ цi (t+C), r1 - C< t? r2 - C,)+

является продолжением решения xi=цi(t), i=(1, n), на интервалe (r1 - C, r2). Последовательно повторяя описанную процедуру, получим продолжение решения xi=цi(t), i=(1, n), определенное на интервале (- ?, r2). На основании равенства цi(t)=цi (t-C), i=(1, n) аналогично найдем продолжение решения xi=цi(t), i=(1, n), с интервала (- ?, r2) на всю числовую прямую - ? < t < + ?. Таким образом, решение xi=цi(t), i=(1, n) можно считать определенным при всех t R и из самого способа продолжения следует, что постоянная C= >0 является периодом этого решения. Пусть F - множество периодов решения xi=цi(t), i=(1, n). Могут представиться две возможности: а) F содержит сколь угодно малые положительные числа; б) в F существует наименьшее положительное число.

В случае а) найдется бесконечно малая последовательность положительных периодов Cn, т.е. Cn>0 и Cn 0 при n +?. Пусть t - произвольная фиксированная точка из R. Рассмотрим последовательность дробных частей чисел t/Cn:

an=t/Cn - [t/Cn]=t/Cn - бn,



где бn = [t/Cn] - целая часть числаt/Cn, которая ограничена, и поэтому limTnanCn=0. Числа бnCn будучи целыми кратными периодов Cn, сами также являются периодами решения цi(t), i=(1, n). Тoгда 43

цi(t)= цi (t - бnCn).

Переходя здесь к пределу при n +?, получим

цi(t)=limTnцi (t-бnCn)=цi (limTn(t-бnCn))= цi (limTnбnCn)= цi(0).

Следовательно, в случае а) решение xi=цi(t), является положением равновесия. В случае б) при любом t R имеет место равенство

цi (t+T)= цi(t), i=(1, n).

Покажем, что цi(t1)?цi(t2) при всех t1 и t2, удовлетворяющих неравенству 0 < |t¬1-t2|<T, и при некоторoм i, i=(1, n). Допустим противное, т.е. существуют t1 и t2 такие, что 0 < |t¬1-t2|<T и при всех i=(1, n): цi(t)= цi (t+C), где С=t1-t2 >0. В силу леммы 2, цi(t)= цi (t+C), где С=t1-t2 >0. Значит, С=t1-t2 служит положительным периодом решения цi(t), i=(1, n), и С<T, а это противоречит условию, что Т - наименьший положительный период решения цi(t), i=(1, n).

Из доказанной теоремы 1 вытекает следующее

Следствие 2. Траектория любого непродолжаемого решения автономной системы (4) может быть либо положением равновесия, либо замкнутой траекторией, либо траекторией без самопересечений.

3. Предельное поведение траекторий. Предельные циклы

Рассмотрим определенное решения xi=цi(t), i=(1, n), или в векторной форме x=ц(t) системы (4) и соответствущую ему тректорию l в фазовом пространстве D.

Точка x Ю=((x1) Ю, (x2) Ю,…, (xn) Ю) D называется предельной точкой решения x=ц(t) (или траектории l) при t> ¬+?, если существует последовательность tn> ¬+?, для которых ц(tn) x Ю. Совокупность всех таких точек называется предельным множеством при t> ¬+?, для данного решения. Аналогично определяются понятия б - предельной точки и б - предельного множества при t> ¬-?. (Предельные точки, множества при t> ¬+? и при t> ¬-? называют также соответственно щ - предельными и б - предельными точками, множествами решения x=ц(t) системы (4)).

Приведем примеры.

1. Пусть при t> ¬+?, траектория l по спирали приближается к циклу l Ю (рис. 1). Тогда этот цикл и является предельным множеством для l при t> ¬+?. Действительно, выбирая любую точку x Ю ? l Ю, посторим точки a1=x (t¬1), a2=x(t2), a3=x(t3), … так, как показaно на рис. 1, последовательность котрых сходится к точке x Ю

Если цикл является предельным множеством при t> ¬+? или t> ¬-? для отличной от него траектории, то он называется предельным циклом, т.е. предельным циклом называется замкнутая траектория, у которой существует окрестность, целиком заполненная траекториями, неограниченно приближающимися к этой замкнутой траектории при t> -+? или при t> ¬-?.

Предельный цикл называется устойчивым, если все траектории (как внешние, так и внутренние) приближаются к нему только при t> ¬+?, неустойчивым - если только при t> ¬+?, полуустойчивым - если только с одной стороны цикла траектории приближаются к нему при t> ¬+?, а с другой стороны при t> ¬-? или наоборот.

2. Tочка покоя системы (4) является своей едиснтвенной предельной точкой как при t> ¬+?, так и при t> ¬-?. Замкнутая траектория является своим собственным предельным множеством.

3. Для траектории x=e^(-t) (x R1) множество предельных точек при t> ¬+?, состоит из единственной точки x=0. Для траектории x1=сe^(-t) cost/(1+e^t), x1=сe^(-t) sint/(1+e^t), с=const>0, множество предельных точек при t> ¬- ? есть точка x1=x2=0, а множество предельныx точек при t> ¬+?, есть окружность x12+x22=с2.

Рассмотрим свойства предельных множеств, причем для определенности при t> ¬+?.

Лемма 5. Предельное множество траектории замкнуто.

Доказательство. Пусть l Ю - предельное множество траектории l, заданной решением x=ц(t). Пусть x Ю - произвольная предельная точка l Ю. Тогда существует последовательность (xk) Ю l Ю такая, что x Юk >x Ю при k>+?. По определению предельного множества l Ю для любого k найдется последовательность tkn ?, для которой x (tkn) (xk) Ю при n>+?. Выберем tk так, чтобы tk>k и расстояние с (x(tk), (xk) Ю)< 1/k. Тогда при tk +? (k>+?) имеем

с (x(tk), x Ю) с (x(tk), (xk) Ю) + с((xk,) Юx Ю)< 1/k + с((xk,) Юx Ю)>0,

a это означает, что x Ю есть предельная точка l при t> ¬+?, т.е. x Ю ? l Ю.

Лемма 6. Предельное множество состоит из целых траекторий, т.е. это означает, что если x Ю l Ю, то и вся траектория lx Ю с начальной точкой x Ю целиком принадлежит l Ю.

Доказательствo. Пусть исходная траектория l определена решением x=ц (t, t0, x0). Тогда ц (tn, t0, x0) x Ю l Ю при 432 и при любом фиксированном t на основании леммы 3

ц (tn+t, t0, x0) = ц (t0, t0, ц (t0+ tn, t0, x0)) ц (tn, t0, x0),

т.е. ц (tn, t0, x0) l Ю.

Лемма 7. Для того чтобы предельное множество было пустым, необходимо и достаточно, чтобы траектория, определенная решением x=ц(t), «уходила в бесконечность», т.е.

i2 (t) > +? при t>+?

Дoказательство. Если условие (9) не выполнено, то найдется шар B:?_(i=1)^nxi2 d2 в Rn, внутри которого траектория решения x=ц(t) содержит точки при как угодно больших t. Тогда существует последовательность tk>+?, для которой ц(tk) B. Выделяя из этой ограниченной последовательности сходящуюся подпоследовательность, найдем при t+? предельную точку решения x=ц(t).

Лемма 8. Для того, чтобы предельное множество состояло из одной точки x Ю, необходимо и достаточно, чтобы траектория l решения x=ц(t) входила в точку x Ю при +?, т.е. ц(t)> x Ю при t>+?.

Действительно, достаточность очевидна. Пусть x Ю - единственная предельная точка траектории l. Зададим произвольное е >0 и надо показать, что для всех достаточно больших t расстояние с (x(t), x Ю)<е. Допустим противное. Тогда существует последовательность tk>+? и с (x(tk), x Ю)? е. По определению предельной точки x Ю найдется последовательность tk>+?, для которой с (x(tk), x Ю)< е. Из этих рассуждений в силу непрерывности функции ц(t) следует, что существует новая последовательность tk>+? и с (x(t), x Ю) = е. Выделяя из ограниченной последовательности x(tk) сходящуюся подпоследовательность, при k>+? получим новую предельную точку x Ю Ю, для которой с(x Ю Ю, x Ю)=е. Следовательно, кроме x Ю, имеется еще, по крайней мере, одна предельная точка траектории l.

Оказывается, когда размерность фазового пространства n=2, то о предельном поведении траекторий на фазовой плоскости можно установить больше интересных фактов, чем в случае n>2. Это установили математики А. Пуанкаре и И. Бендиксон. Здесь приведем несколько утверждений, принадлежащих им.

В качественной теории дифференциальных уравнений важную роль играют признаки, которые позволяют выделить области на фазовой плоскости, где содержатся или отсутствуют предельные циклы.

Утверждение 1. Внутри области G, ограниченной замкнутой траекторией системы (4) (n=2) и целиком лежащей на фазовой плоскости, существует по крайней мере одна особая точка.

Отсюда, в частности, следует, что если в некоторой области фазового плоскости нет особой точки системы (4), то в этой области нет и замкнутых траекторий.

Утверждение 2. Пусть G - ограниченная замкнутая область, лежащая на плоскости системы (4) и не содержащая ее особых точек. Если траектория l решения x=ц(t) системы (4) при n=2 в начальный момент времени t=t0 выходит их точки, лежащей в области G, и остается в G при всех t?t0, то траектория l либо сама является замкнутой, либо с течением времени она по спирали наматывается на замкнутую траекторию.

Коротко это утверждение можно сформулировать так: ограниченное предельное множество траектории l, не содержащее особых точек, состоит из замкнутой траектории.

Из утверждений 1 и 2 вытекает следующий принцип кольцевой области: пусть на фазовой плоскости системы (4) построена кольцевая область G, через границы которой все интегральные кривые при t?t0 входят в нее или одновременно все выходят из G, тогда если эта G не содержит особых точек, то внутри G содержится предельный цикл.

Внутренняя граница кольца может вырождаться в особую точку.

Эти геометрические признаки весьма трудны при практическом применении, так как не указаны правила построения нужных кольцевых областей. Наиболее употребляемый прием - это рассмотрение семейства замкнутых дифференцируемых непересекающихся кривых F (x, y)=C=const. Такое семействo называют топографической системой. В качестве такой системы рассмотрим семейство концентрических окружностей: x2+y2=C2. Производная от функции F (x, y)= x2+y2 в силу данной системы

dx/dt=P (x, y), dy/dt=Q (x, y) (10)

Имеет вид

dF/dt=2xdx/dt+2ydy/dt=2 (xP+yQ) (11)

Отсюда вытекает

Утверждение 3. Если существуют такие две постоянные r0 и r1, r0 <r1 что для x2+y2=r02 выражение xP+yQ?0, а для x2+y2=r12 выражение xP+yQ?0 и в кольце G между окружностями r=r0 и r=r1 нет особых точек системы (10), то в G содержится устойчивый предельный цикл; если знаки xP+yQ обратны указанным, то в кольце G имеется неустойчивый предельный цикл.

В самом деле, равенство (11) в первом случае показывает, что через круги x2+y2=r02 и x2+y2=r12 интегральные кривые системы (10) не могут выходить из кольцевой области G при росте параметра t, а во втором случае при уменьшении параметра t.

Утверждение 4. Если в односвязной замкнутой области фазовой плоскости выражение Px+Qy сохраняет знак и не тождественно обращается в нуль, то в этой области система (10) не имеет замкнутых траекторий.

Доказательство. Пусть G - односвязная замкнутая область на фазовой плоскости, граница Г которой целиком состоит из траекторий системы (10). Тогда по формуле Грина

G(?P/?x+ ?Q/?y) ?(24&dx) ?(24&dy)=?_ГP (24&dy) - Q(24&dx)= dt=0,

Но это возможно только тогда, когда выражение Px+Qy меняет знак внутри области G.

В плоском случае предельные циклы могут быть соответственно трех видов (рис. 2): устойчивые (а), неустойчивые (б) и полуустойчивые (в).

Пример 1. Показать, что система уравнений на плоскости (x1, x2)=(x, y)

{(x=-y+x (1-v(x^2+y^2))@y=x+y (1-v(x^2+y^2)))+

Имеет единственное положение равновесия (0,0) и устойчивый предельный цикл.

Решение. Для исследования данной системы удобно на фазовой плоскости (х, у) перейти к полярным координатам х=rcosц, y=rsinц. Тогда из данной системы получаем следующие уравнения для определения rI и цI(t):



r cosц - r sinц*ц= - r sinц+ r cosц (1 - r),

r sinц+ r cosц*ц= r cosц+ r sinц (1 - r).

Отсюда имеем

r1=r*(1-r), ц1=1.

Первое из этих уравнений имеет 2 частных решения r=0 и r=1. В области 0 < r <1 производная r1 (t)>0, следовательно, решение r(t) возрастает от нуля до единицы, а в области r>1, напротив, r1 (t) и функция r(t) убывает от бесконечности к единице. Поскольку ц=t+ц0, то при r?0 и r?1 все траектории при t>+? с обеих сторон от окружности r=1 приближаются по спирали к ней. Следовательно, окружность r=1 является, устойчивым предельным циклом. Положение равновесия x=y=0 есть устойчивый фокус.

Пример 2. Показать, что система уравнений

dx/dt=y + x/v(x^2+y^2) (1-x2-y2), dy/dt= - x + y/v(x^2+y^2) (1-x2-y2) имеет устойчивый предельный цикл x2+y2=1.

Решение. Из данного уравнения составим выражение

xP+yQ=v(x^2+y^2) (1-x2-y2)

из которого вытекает, что если x2 + y2 = 1 + е, то xP + yQ < 0, если x2 + y2 = 1 - е, 0< е1, то xP + yQ > 0. Тогда в илу утверждения 3 в кольце между окружностями x2 + y2=1- е и x2 + y2 = 1 + е имеется устойчивый предельный цикл. Поскольку е произвольно мало, то этим предельным циклом может быть лишь окружность x2 + y2 = 1.

Пример 3. Показать, что нелинейное уравнение



x + f(x) x +g(x) = 0, x=x(t),

где функции f(x), g(x) непрерывно-дифференцируемы на сегменте a ? x ? b и f(x) cохраняет там знак, в полосе a ? x ? b не может иметь предельных циклов.

Решение. Рассмотрим систему, соответствующую данному уравнению:

dx/dt=P (x, y)=y, dy/dt=Q (x, y)= - f(x) y - g(x).

Составим выражение

?P/?x + ?Q/?x= - f(x),

которое сохраняет знак в полосе a ? x ? b. Тогда в силу утверждения 4 данное уравнение в полосе a ? x ? b фазовой плоскости (х, у) не имеет предельного цикла.

4. Функция последования

Для разыскания циклов применяют так называемую функцию последования. Пусть дана гладкая линия L без контактов, т.е. линия L ни в какой своей точке не касается траекторий системы (4). Такими линиями могут служить малые отрезки нормалей к траекториям. Пусть положение точки на L определяется параметром ф, т.е. a=a(ф) ? L. Проведем через точку a(ф0) траекторию l решения x=ц(t) системы (4) в сторону возрастания t и продолжим эту траекторию до первого пересечения с L, если оно состоится. Тогда точке пересечения отвечает значение ф=ф1, зависящее от ф0. Эта зависимость ф1=ш(ф0) и называется функцией последования. Функция последования определена, вообще говoря, не для всех значений ф (т.е. она определена не вдоль всей линии L), а только для тех, для которых траектория l при своем продолжении вновь встречает (пересекает) линию L. Эта функция может даже оказаться не определенной ни для одной точки L. Оказывается, если она определена при некотором значении ф, то она обязательно определена и непрерывна для всех достаточно близких значений ф, что вытекает из теоремы о непрерывной зависимости решения от начальных данных и из того, что линия L без контакта, и поэтому траектории, встречаясь с L, пересекают ее. Можно также показывать, что функция последования является строго монотонной и непрерывно дифференцируемой.

Теорема 2. Для того чтобы через точку a(ф0) проходил цикл, необходимо и достаточно, чтобы значение ш(ф0) было определено и ш(ф0) = ф0.

Доказательство. Достаточность. Если ш(ф0) = ф0, то траектория проходящая через точку ф1= ш(ф0), сама себя пересекает. Тогда в силу следствия из теоремы 1 она является замкнутой или положением равновесия. Последнее невозможно, так как в этом случае вектор f(x0)=0, x0=ц (a(ф0)) и он был бы касательным к линии L в точке ф0, что противоречит определению линии L.

Необходимость. Если ш(ф0) не определено, то траектория l_(a (ф_0)) при t > t0 не пересeкает L и поэтому она не может быть циклом (не может вновь пройти через a(ф0)). Пусть теперь значение ф1= ш(ф0) определено, но ф1?ф0. Обозначим a(ф0) = a0, a(ф1)= a1. Тогда дуга a0a1 траектории l_(a_0) и дуга a0a1 линии L вместе образуют замкнутую кривую Г, которая делит плоскость на две области. Конечную из них обозначим через G. Так как L - линия без контакта, поэтому все траектории пересекают ее в одном направлении, т.е. все траектории либо входят в область G (рис. 3, а), либо выходят из нее (рис. 3, б). Ни одна траектория не может выйти из области G (или зайти в область G) через дугу a0a1 линии L и дугу a0a1 траектории l_(a_0).

Дуга a0a1 линии L (на рис. 3 линия L - отрезок) может пересекаться траекториями либо внутри области G, либо вне этой области. Рассмотрение обоих случаев показывает, что траектория l_(a_0), продолженная за точкой a1, не может вновь прийти в точку a0, т.е. не может быть циклом. Теорема 2 полностью доказана.

Теорема 3. Для того чтобы через точку a(ф0) проходил предельный цикл автономной системы (4), необходимо и достаточно, чтобы функция ш(ф) была определена при ф=ф0, ш(ф0) =ф0 и для достаточно малых ф: | ф-ф0|>0 выполнено равенство ш(ф) ? ф.

Действительно, поскольку выполнены все условия теоремы 2, то траектория l, проходящая через точку a(ф0), будет циклом. В силу дополнительного условия этот цикл К изолированный, так как траектории, отличные от К и проходящие через точки, достаточно близкие к К, не будут замкнуты. В противном случае, замкнутые траектории пересекали бы линию L в точках, как угодно близких к точке ш(ф0). Поскольку функция ш(ф) непрерывна и строго монотонна, то этим траекториям отвечали бы корни уравнения ш(ф)= ф, сколь угодно близкие к ф=ф0, что невозможно.

Пусть x=ц(t) - предельный цикл системы (4). Через произвольную точку x0=ц(t0) проведем отрезок L так, чтобы вектор f(x0) не был параллелен L. Это возможно, так как f(x0)?0. В противном случае предельный цикл есть положение равновесия.

Пусть x0=ш(ф0)=a0 и ш(ф)= a - функция последования. Чтобы установить связь между поведением функции ш(ф) вблизи точки ф0 с поведением как внешних, так и внутренних траекторий к предельному циклу К рассмотрим неравенства

| ш(ф) -ф0| < | ф-ф0|, | ш(ф) -ф0 | > | ф-ф0| (12)

Если в полуокрестности линии К (внешний или внутренней) выполнено первое из этих неравенств, то точка a1=ш(ф) линии L находится ближе к a0 , чем точка a (рис. 4, а), и поэтому в этой полуокрестности траектории спирально наматываются на К при t>+?. Если же в полуокрестности выполнено второе из неравенств (12), то в этой полуокрестности траектории спирально наматывается на К при t>-? (рис. 4, б)

В силу теоремы 3 на достаточно малом интервале ф-ф0|<д существует единственное решение ф=ф0 уравнения ш(ф)= ф. Не теряя общности, функцию последования ш(ф) будем считать строго возрастающей. Тогда имеет место одна из четырех возможностей взаимного расположении графиков функций ш=ш(ф) и ш=ф (рис. 5).

В случае, приведенном на рис. 5, a) производная ш'(ф0)<1, поэтому в обеих полуокрестностях точки ф0 выполнено первое из неравенств (12), и, следовательно, предельный цикл К устойчив. При ш'(ф0)>1 (рис. 5, б) выполнено второе из неравенств (12), предельный цикл К неустойчив. Если графики функций ш=ш(ф) и ш=ф в точке (ф0, ф0) касаются друг друга, то цикл К является либо устойчивым, либо неустойчивым. Если же кривая ш=ш(ф), касаясь биссектрисы ш=ф , находится по одну ее сторону: выше или ниже (рис. 5, в, г), то соответствующий предельный цикл К полуустойчив.



Литература

дифференциальный последование функция траектория

1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., 1977

2. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1982

3. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1984

4. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. М., 1986

Размещено на Allbest.ru