Математическая система информации

11

Курс: "Теория информации и кодирования"

Тема: "МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ"

1. КОЛИЧЕСТВО ИНФОРМАЦИИ, И ЕЕ МЕРА

Рис.1. Система передачи информации

Ансамбль сообщений - множество возможных сообщений с их вероятностными характеристиками - {Х, р (х) }. При этом: Х={х₁, х₂,…, х_m } - множество возможных сообщений источника; i = 1, 2,..., m, где m - объем алфавита; p (x_i) - вероятности появления сообщений, причем p (x_i) 0 и поскольку вероятности сообщений представляют собой полную группу событий, то их суммарная вероятность равна единице

.

Каждое сообщение несет в себе определенное количество информации. Определим количество информации, содержащееся в сообщении x_i, выбранном из ансамбля сообщений источника {Х, р (х) }. Одним из параметров, характеризующих данное сообщение, является вероятность его появления - p (x_i), поэтому естественно предположить, что количество информации I (x_i) в сообщении x_i является функцией p (x_i). Вероятность появления двух независимых сообщений x₁ и x₂ равна произведению вероятностей p (x₁, x₂) = p (x₁). p (x₂), а содержащаяся в них информация должна обладать свойством аддитивности, т.е.:

I (x₁, x₂) = I (x₁) +I (x₂). (1)

Поэтому для оценки количества информации предложена логарифмическая мера:

. (2)

При этом, наибольшее количество информации содержат наименее вероятные сообщения, а количество информации в сообщении о достоверном событии равно нулю. Т.к. все логарифмы пропорциональны, то выбор основания определяет единицу информации:

log_ax = log_bx/log_ba.

В зависимости от основания логарифма используют следующие единицы информации:

2 - [бит] (bynary digit - двоичная единица), используется при анализе ин-формационных процессов в ЭВМ и др. устройствах, функционирующих на основе двоичной системы счисления;

e - [нит] (natural digit - натуральная единица), используется в математических методах теории связи;

10 - [дит] (decimal digit - десятичная единица), используется при анализе процессов в приборах работающих с десятичной системой счисления.

Битом (двоичной единицей информации) - называется количество информации, которое снимает неопределенность в отношении наступления одного из двух равновероятных, независимых событий.

Среднее количество информации для всей совокупности сообщений можно получить путем усреднения по всем событиям:

. (3)

Количество информации, в сообщении, состоящем из n не равновероятных его элементов равно (эта мера предложена в 1948 г.К. Шенноном):

. (4)

Для случая независимых равновероятных событий количество инфор-мации определяется (эта мера предложена в 1928 г.Р. Хартли):

. (5)

2. СВОЙСТВА КОЛИЧЕСТВА ИНФОРМАЦИИ

1. Количество информации в сообщении обратно-пропорционально вероятности появления данного сообщения.

2. Свойство аддитивности - суммарное количество информации двух источников равно сумме информации источников.

3. Для события с одним исходом количество информации равно нулю.

4. Количество информации в дискретном сообщении растет в зависимости от увеличения объема алфавита - m.

Пример 1. Определить количество информации в сообщении из 8 двоичных символов (n = 8, m = 2), если вероятности равны: p_i0 = p_i1 = 1/2.

Количество информации равно:

I = n log m = 8 log₂ 2 = 8 бит.

Пример 2. Определить количество информации в сообщении из 8 двоичных символов (n = 8, m = 2), если вероятности равны:

p_i0 = 3/4; p_i1 = 1/4.

Количество информации равно:

3. ЭНТРОПИЯ ИНФОРМАЦИИ

Энтропия - содержательность, мера неопределенности информации.

Энтропия - математическое ожидание H (x) случайной величины I (x) определенной на ансамбле {Х, р (х) }, т.е. она характеризует среднее значение количества информации, приходящееся на один символ.

. (6)

Определим максимальное значение энтропии H_max (x). Воспользуемся методом неопределенного множителя Лагранжа - для отыскания условного экстремума функции [6]. Находим вспомогательную функцию:

(7)

Представим вспомогательную функцию F в виде:

. (8)

Найдем максимум этой функции

т.к .

Как видно из выражения, величина вероятности p_i не зависит от i, а это может быть в случае, если все p_i равны, т.е. p₁ =p₂ =... =p_m =1/m.

При этом, выражение для энтропии равновероятных, независимых элементов равно:

. (9)

Рис.2. График энтропии для двух альтернативных событий

Найдем энтропию системы двух альтернативных событий с вероятностями p₁ и p₂. Энтропия равна

При m = 2 для равновероятных событий p_i = 1/2 энтропия равна 1. Изменение энтропии в зависимость от вероятности события приведено на рис. 2. Как видно, максимум энтропии соответствует равновероятным событиям.

4. СВОЙСТВА ЭНТРОПИИ СООБЩЕНИЙ

1. Энтропия есть величина вещественная, ограниченная, не отрицательная, непрерывная на интервале 0 p 1.

2. Энтропия максимальна для равновероятных событий.

3. Энтропия для детерминированных событий равна нулю.

4. Энтропия системы двух альтернативных событий изменяется от 0 до 1.

Энтропия численно совпадает со средним количеством информации но принципиально различны, так как:

H (x) - выражает среднюю неопределенность состояния источника и является его объективной характеристикой, она может быть вычислена априорно, т.е. до получения сообщения при наличии статистики сообщений.

I (x) - определяется апостериорно, т.е. после получения сообщения. С по-лучением информации о состоянии системы энтропия снижается.

5. ИЗБЫТОЧНОСТЬ СООБЩЕНИЙ

Одной из информационных характеристик источника дискретных сообщений является избыточность, которая определяет, какая доля максимально-возможной энтропии не используется источником

, (10)

где - коэффициент сжатия.

Избыточность приводит к увеличению времени передачи сообщений, уменьшению скорости передачи информации, излишней загрузки канала, вместе с тем, избыточность необходима для обеспечения достоверности передаваемых данных, т.е. надежности СПД, повышения помехоустойчивости. При этом, применяя специальные коды, использующие избыточность в передаваемых сообщениях, можно обнаружить и исправить ошибки.

Пример 1. Вычислить энтропию источника, выдающего два символа 0 и 1 с вероятностями p (0) = p (1) = 1/m и определить его избыточность.

Решение: Энтропия для случая независимых, равновероятных элементов равна:

H (x) = log₂m = log₂2 = 1 [дв. ед/симв.]

При этом H (x) = H_max (x) и избыточность равна R = 0.

Пример 2. Вычислить энтропию источника независимых сообщений, выдающего два символа 0 и 1 с вероятностями

p (0) = 3/4, p (1) = 1/4.

Решение: Энтропия для случая независимых, не равновероятных элементов равна:

При этом избыточность равна

R = 1-0,815=0,18

Пример 3. Определить количество информации и энтропию сообщения из пяти букв, если число букв в алфавите равно 32 и все сообщения равновероятные.

Решение: Общее число пятибуквенных сообщений равно: N = mⁿ = 32

Энтропия для равновероятных сообщений равна:

H = I = - log₂ 1/N = log₂32⁵ = 5 log₂32 = 25 бит. /симв.

Литература