Математическая обработка опытной информации

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Математическая обработка опытной информации

2. Графическая обработка опытной информации

3. Методика математической обработки многократно усеченной информации

Заключение

Литература



Введение

Курсовая работа по надежности технических систем занимает особое место в системе подготовки инженеров-механиков.

В курсовой работе студенты должны рассмотреть методы расчетов показателей надежности, решить основные задачи системы обработки информации. Во время выполнения курсовой работы, должны быть умело использованы знания, полученные в процессе изучения общеобразовательных дисциплин.

Главной целью курсовой работы является освоение математической обработки и графического изображения опытной информации, а также освоение графического метода обработки информации. Немаловажным является и освоение методики расчета г % - го ресурса и оценки качества ремонта.



1. Математическая обработка опытной информации

Цель работы: Освоить математическую обработку и графическое изображение опытной информации.

Определить средний доремонтный ресурс двигателя А-41и количество двигателей, которые потребуют ремонта с начала эксплуатации и до конца третьего интервала статистического ряда.

Составим сводную таблицу исходной информации в порядке возрастания показателей надежности.

1500	1620	1710	1830	1920	2010	2080	2180
2220	2280	2310	2380	2400	2420	2460	2520
2660	2740	2830	2860	2940	2990	3010	3040
3260	3330	3370	3440	3560	3670	3720	3860

Составим статистический ряд исходной информации

где t_к - конечное или максимальное значение показателей надежности;

t_см - величина смещения;

А - величина интервала статистического ряда.

Таблица 1 - Статистический ряд исходной информации

Интервал	Среднее значение	Частота	Вероятность	Суммарная вероятность
		Опыт.	Теор.	Опыт.	Теор.	Опыт.	Теор.
1236-1564	1400	1	0,3	0,031	0,198	0,031	0,01
1564-1892	1728	3	1,9	0,094	0,384	0,125	0,039
1892-2220	2056	5	3,5	0,156	0,682	0,281	0,148
2220-2548	2384	7	3,3	0,219	0,779	0,500	0,221
2548-2876	2712	4	2,6	0,125	0,837	0,625	0,302
2876-3204	3040	4	2,7	0,125	0,858	0,750	0,387
3204-3532	3368	4	2,8	0,125	0,844	0,875	0,437
3532-3860	3696	4	4,1	0,125	0,801	1,000	0,632

Опытная вероятность определяется по формуле:

где m_i - опытная частота i-того интервала статистического ряда;

N - количество испытуемых двигателей.

Определяем среднее значение показателя надежности и абсолютную характеристику рассеивания - среднее квадратическое отклонение.

где n - количество интервалов статистического ряда t_iс - значение среднего i-го интервала. Р_опi - опытная вероятность i-го интервала.

Проверим опытную информацию на выпадающие точки. Проверку производим по правилу:



+ 3у =2561 + 1944 = 4594 мото-ч;

- 3у = 2561 - 1944 = 707 мото-ч.

Поскольку в границы обозначенные выражением входит вся имеющаяся опытная совокупность, то все точки данной совокупности являются достоверными

Графическое изображение опытного распределения показателя надежности.

Строим гистограмму, полигон и кривую накопленных вероятностей.

Определение относительной характеристики рассеивания показателя надежности, коэффициента вариации.

Выбор теоретического закона распределения, определение его параметров и графическое изображение дифференциальной и интегральной кривых.

Поскольку расчетное значение коэффициента вариации V превышает 0,33, то предпочтение отдаем закону распределения Вейбулла.

Уравнения, предопределяющие характер протекания дифференциальной и интегральной кривых

где а, b - параметры распределения Вейбулла.



где t - конечное значение i-го интервала.

Однако пользоваться данными уравнениями не представляется возможным, поскольку неизвестны параметры распределения Вейбулла «a» и «b».

Графический метод

где m_i - опытная частота

b - параметр Вейбулла: b = 2…3,5.

Задаемся значениями «b» и при каждом из них определяем соответствующее значение y₁ и y₂.

b = 2,0y₁ = 267y₂ = 265

b = 2,5y₁ =264y₂ = 268

b = 3,0y₁ = 262y₂ = 270

b = 3,5y₁ = 260y₂ = 272

Значения y₁ и y₂ соответственно равны:

По полученным значениям у₁ и у₂ строим графики, проекция точки пересечения кривых у₁ и у₂ на ось абсцисс будет являться искомым значением параметра b.

b = 2,1

Примем b = 2

Найдем недостающий параметр «а» из уравнения:

математический надежность вариация усеченный



где N - количество испытуемых двигателей

b = 2,1;

a = 2743 мото-ч

Функция плотности вероятности закона распределения Вейбулла табулирована в таблице.

Функция распределения F(t) табулирована в таблице.



Проверка совпадения опытного и теоретического распределения по критерию согласия:

где m_тi - теоретическая частота.

Определяем теоретическую частоту появления события в пределах каждого интервала статистического ряда:

где N - количество машин в совокупности или повторности информации;

F(ti+1) и F(ti) - смежные или рядом стоящие точки накопленной информации.

Используя, критерий согласия можно определить вероятность совпадения опытного и теоретического распределения показателя надежности, используя данные таблицы 7. Для входа в таблицу необходимо определить число степеней свободы, которое определяется по уравнению:

;

где n - число интервалов статистического ряда,

k - число обязательных связей.

По таблице 7 по пятой строке ищем вероятность совпадения опытного и теоретического распределения показателя надежности.

Вероятность совпадения опытного и теоретического распределений составляет примерно 15%.

Определяем доверительные границы рассеивания одиночного и среднего значений показателя надежности, а также наибольшее возможное значение абсолютной и относительной погрешности.

Для одиночного значения:



Для определения коэффициента Стьюдента t_б задаемся величиной доверительной вероятности, тогда б = 0,80 и N/б = 36/0.80 = 45. Используя таблицу 10, получим t_б = 1.3.

где Н_k - значение квантиля при соответствующем параметре «b»

Для среднего значения:

где r₁ и r₃ коэффициенты Вейбулла, зависящие от величины доверительной вероятности и повторности информации

b - параметр распределения Вейбулла

r₁ = 1.15; r₃ = 0.88;

Определяем наибольшую возможную относительную ошибку:

Ответ: В результате математической обработки опытной информации по показателям надежности двигателей А - 41, установлено, что опытное распределение показателей надежности подчинено закону распределения Вейбулла с коэффициентом вариации V = 0,46 при, среднем значении показателя надежности 2651 мото-ч и среднем квадратическом отклонении у = 648 мото-ч. Вероятность совпадения опытного и теоретического распределений составляет примерно 15%. Доверительные границы рассеивания одиночного и среднего значений показателя надежности соответственно равны:

Величина абсолютной ошибки составляет I_б = 184 мото-ч.,

относительная предельная ошибка при, доверительной вероятности б = 0,80, равна 6,9% .

Графические изображения дифференциальной и интегральной кривой прилагаются.



2. Графический метод обработки информации по показателям надежности

При изготовлении вероятностной бумаги Вейбулла - Гнеденко выбираем миллиметровую бумагу. С этой целью на обе оси наносим точки, соответствующие значениям логарифмов нормального ряда чисел от 10° до 10¹ по оси ординат и от 10° до 10² по оси абсцисс. Если мантиссы учитываем с точностью до 2 знака и выбираем масштаб 1:1 (единица мантиссы соответствует 1 мм на чертеже). Эти точки будут отстоять от начала координат на следующих расстояниях:

Т₂ - 30 мм

Т₃ - 48 мм

Т₄ - 60 мм

Т₅ - 70 мм

Т₆ - 78 мм

Т₇ - 85 мм

Т₈ - 90 мм

Т₉ - 95 мм

Т₁₀ - 100 мм

Последняя точка будет отстоять от начала координат на расстоянии 200 мм.

Откладываем значения нормированных квантилей распределения Вейбулла при параметре b = 2 (табл. 9) напротив квантилей пишем цифру, обозначающую величину соответствующей функции отказности F(t). Значение второй точки F(t) = 0.02 со значением квантиля Н_{к/ a}=0,143, будет совпадать с точкой оси ординат 1,43. Значение F(t) = 0,1 со значением квантиля Н_к/a= 3,25 логарифмической шкалы и т.д. до значений F(t) = 0,99 которое совпадает с точкой 21,5 логарифмической шкалы оси ординат. При выбранном масштабе в т. F(t) = 0,632 отстает от начала отсчета на расстоянии 100 мм, а поэтому все остальные точки отстают на величину квантиля умноженного на 10. Отличительной особенностью функциональной сетки вероятностной бумаги является то, что по ней определяют не характеристики рассеивания показателей надежности, а параметры Вейбулла (a, b). Для определения параметров “а” и “b” на функциональную сетку наносим вспомогательную ось координат, которая размечается в единицах параметра “b”. Для построения вспомогательной оси координат и проведения дальнейших расчетов на функциональную сетку наносим главную ординату с абсциссой в т. 10¹- Б, и главную абсциссу с ординатой 0,632 и точкой А на главной оси абсцисс с абсциссой 27,2 по логарифмической шкале. Нулевой точкой вспомогательной оси координат является точка ее пересечения с главной абсциссой. При выбранном масштабе (М 1:1) т. F(t) = 0,632 отсчета от начала отсчета на расстоянии 100 мм. Значение b = 0.5 отстоит от начала отсчета вспомогательной оси координат на расстоянии 11 мм, b = 1,0 на расстояние 22 мм, и т.д. Для проверки правильности построения функциональной сетки, необходимо точку начала координат соединить с точкой Б прямой пунктирной линией(10⁰-Б - пунктирная линия) далее через точку А проводим пунктирную линию параллельную 10⁰- Б до пересечения с главной ординатой 10¹- Б и точку пересечения проецируем на вспомогательную ось. Если проекция совпадает со значением b=2,0, то построение произведено, верно.

Производим расчет параметров распределения и определим характеристики рассеивания ресурса двигателя А-41, установленного на трактор ДТ-75М, пользуясь вероятностной бумагой Вейбулла-Гнеденко.

Таблица 2 - Статистический ряд информации по доремонтным ресурсам двигателей.

Интервал	1,236-1,564	1,564-1,892	1,892-2,22	2,22-2,584	2,584-2,876	2,876-3,204	3,204-3,532	3,532-3,86
Частота,	1	3	5	7	4	4	4	4
Вероятность Роп	0,031	0,094	0,156	0,219	0,125	0,125	0,125	0,125
	0,031	0,125	0,281	0,500	0,625	0,750	0,875	1

Принимаем величину смещения 1236 мото-ч.

Как видно из статистического ряда, испытания проводились по плану (N,U,N) и из общего количества N=32 вышло из строя N₀=32

Наносим на сетку значение накопленных опытных вероятностей по концам интервалов статистического ряда (см. рисунок 3).

По нанесенным точкам проводим прямую МN.

Определяем абсциссу точки пересечения прямой MN с главной абсциссой БА. Проекция точки пересечения на оси абсцисс является значением параметра а =2715 мото-ч.

Определяем параметр Вейбулла “b”. Для этого через точку А, находящуюся на главной абсциссе проведем прямую M'N' Р Р МN точки пересечения M'N' c главной ординатой 10' - Б проецируем на вспомогательную ось ординат и по ее шкале определяем искомое значение параметра b.

Определяем значение вспомогательных коэффициентов Вейбулла К_b и С_b.

К_b = 0,886

Определяем средний ресурс двигателя с учетом величины смещения



Определяем среднее квадратическое отклонение

Определяем значение коэффициента вариации

3. Методика математической обработки многократно усеченной информации

Задание: Определить межремонтный 80% - ый г ресурс двигателя А - 41 и коэффициент качества ремонта.

Межремонтные ресурсы двигателя А - 41 располагаются в следующий вариационный ряд:

1500	2080	2310	2380	2460	2520
2660	2860	2990	3040	3670	3860

Составим сводную ведомость информации с учетом приостановленных двигателей в порядке возрастания:

1500	2080	2310	2380	2460	2520
2660	2860	2990	3040	3670	3860

Определим порядковый расчетный номер отказавших двигателей с учетом приостановленных по формуле:



где - расчетный номер i-го двигателя;

- расчетный номер предыдущего двигателя;

N - количество двигателей по ведомости информации;

N_o - количество двигателей отказавших до N_pi;

N_пр - количество приостановленных двигателей до N_pi.

По формуле получим:

N_p1 = 1

Полученные значения заносим в таблицу:

N n/n		N n/n
P1	1500	Пр4	2660
Пр1	2080	P4	2860
P2	2310	P5	2990
Пр2	2380	Пр5	3040
P3	2460	P6	3670
Пр3	2520	Р7	3860



Р - номер отказавшего двигателя

Пр - номер приостановленного двигателя.

Выбираем 6 точек равномерно расположенных по всей информации: 2,09; 3,3; 4,91; 6,53; 8,69;10,85

Строим таблицу, при этом приостановленные двигатели во внимание не берутся.

Определяем сумму накопленных опытных вероятностей по формуле:

где - расчетный номер I - го двигателя;

N_p - количество двигателей по ведомости информации.

Npi	2	3	4	5	6	7
	2,09	3,3	4,91	6,53	8,69	10,85
	2310	2460	2860	2990	3670	3860
	0,16	0,25	0,38	0,5	0,67	0,83
ЗРВ	xi	11,1	15,8	26,5	29,4	42,3	45,3
	yi	62,5	73,3	84,4	92,4	102,6	112,8
ЗНР	xi	115,5	123	143	149,5	183,5	193
	yi	66,6	82,5	101	116,3	138,3	164

По формуле получим:

Определяем координаты (x_i; y_i) выбранных точек для теоретических законов распределения (ЗНР и ЗРВ).

Для закона нормального распределения:

x_i определяем по формуле:

где М - масштаб, мм/мото-ч, 1 мм = 20 мото-ч;

Ординаты выбранных точек y_i определяем по формуле:

где 50 - масштабный коэффициент;

Н_к(0,01) - квантиль ЗНР, Н_к(0,01) = 2,326;

Используя таблицу 13 получим:

Для закона распределения Вейбулла:

x_i определяем по формуле:

где C - сдвиг начала зоны рассеивания

Определяем сдвиг начала зоны рассеивания по формуле:

При определении абсцисс размерность ресурса рекомендуется выбирать так чтобы в скобках была получена цифра имеющая 1 знак перед запятой. В начале расчета для этого принята размерность ресурса в тысячах мото- ч.

Значения ординат выбранных точек выбираем по таблице 14, по известным величинам накопленных опытных вероятностей:

По данным таблицы строим прямые для ЗНР и для ЗРВ.

Выбираем теоретический закон распределения межремонтных ресурсов двигателя А - 41 по критерию согласия.

где n - количество отказавших двигателей;

m_опi - опытная частота.

Опытная частота, как разность между соседними номерами двигателей:

Теоретическая частота определяется по формуле:



где N - количество испытуемых объектов, N = 12;

- определяется по интегральным прямым.

Для этого измеряем в мм ординаты опытных точек y_т2; y_т3; y_т4; y_т5; y_т6; y_т7. Далее по этим значениям и по таблицам 13 и 14, для ЗНР и ЗРВ соответственно определяем накопленную теоретическую вероятность.

Для ЗНР :

Для ЗРВ:

Полученные таким образом значения заносим в таблицу.

N			ЗНР	ЗРВ
			yт1		mтi	yт1		mтi
2	2,09	2,09	69	0,17	2,04	65	0,21	2,52
3	3,3	1,21	77	0,22	0,6	71	0,23	0,24
4	4,91	1,61	99	0,36	1,68	87	0,42	2,28
5	6,53	1,67	106	0,42	0,72	91	0,48	0,72
6	8,69	2,16	144	0,71	3,6	109	0,78	3,6
7	10,85	2,16	154	0,78	0,72	114	0,85	0,84



По формуле получим:

Для дальнейших расчетов выбираем тот закон у которого расчетное значение критерия Пирсона получилось меньше.

Т.к. то дальнейшие расчеты ведем по закону нормального распределения. Определяем параметры закона нормального распределения.

Определение значения среднего ресурса производится по интегральной прямой ЗНР: на оси ординат откладываем отрезок длиной 116,3 мм , что соответствует =0,50 и проводим прямую параллельную оси абсцисс до пересечения с интегральной прямой (А =159), тогда:

где М - масштаб оси ординат, М(1мм = 20 мото-ч)

Среднее квадратичное отклонение у определяем как разность между отрезком А абсциссой точки пересечения интегральной прямой с горизонталью, имеющую ординату - 66,6 мм, что соответствует

Определяем 80% -й межремонтный г ресурс, для этого на оси ординат откладываем отрезок 74,2 мм, что соответствует и проводим прямую, параллельную оси абсцисс до пересечения с интегральной прямой ЗНР, замеряем длину отрезка В.



Определяем доверительные границы рассеивания среднего значения межремонтного ресурса и относительную ошибку переноса.

где Т_мр - среднее значение ресурса, Т_мр =3180 мото-ч.

t_б - коэффициент Стьюдента.

Коэффициент Стьюдента для б₀ = 0,90 и N = 12

При этом б₀ = б (для двусторонних доверительных границ но взятом левее б₀ = 0,90 равно б₀ = 0,80). В нашем случае N/б = 12/0.9 = 13 тогда t_б = 1,36.

По формуле получим:

Относительная предельная ошибка определяется по формуле:

Определяем коэффициент качества ремонта по 80%-му межремонтному г-ресурсу.



где К_з = 0,8

По формуле получим:

Доверительные границы рассеивания коэффициента качества определяем из уравнений:

По формулам соответственно получим:

Определяем коэффициент качества ремонта и его доверительные границы рассеивания по определенному межремонтному ресурсу:

По формуле получим:

По формулам соответственно получим:



Заключение

При проверке качества ремонта двигателя А - 41, установленного на тракторе ДТ - 75М установлено, что 80%-й г-ресурс находится в интервале от 1,5 до 2,25, при среднем значении 1,88, а коэффициент среднего ресурса находится в интервале от 1,37 до 2,1 при среднем значении 1,7, т.е. качество ремонта можно считать удовлетворительным.



Литература

1 Методические указания к курсовой работе. Брянск: 1999г. - 23с.

2 Надежность и ремонт машин. Под редакцией Курчаткина В.В. М: «Колос» 2000г - 775с

Размещено на Allbest.ru