О пифагорейской математике

К концу Vв.до н.э. пифагореец Теодор из Кирены(? -369 до н.э.), математик, астроном и музыковед, учитель Теэтета, показал, что стороны квадратов, площади которых равны 3, 5, 6,…,15, несоизмеримы со стороной единичного квадрата, т.е. числа v3, v5, v6,…, v15 иррациональные. Мы не знаем доказательства Теодора, но ясно, что он рассматривал каждую иррациональность в отдельности. Существуют различные гипотезы относительно того, почему Теодор не смог доказать иррациональность следующего числа: v17 и выше. Наиболее убедительная из них утверждает, что все доказательства Теодора основывались только на учении о четном и нечетном, а первое число, для которого этот способ не проходит, как раз и есть v17.

Но уже в самом начале IV в. до н.э. (по-видимому, в 399 г. до н.э., в год казни Сократа) юным и талантливым учеником Теодора Теэтетом было получено общее доказательство иррациональности чисел вида , где N-целое число, не являющееся полным квадратом. В доказательстве Теэтет, по-видимому, опирался на основную теорему созданной им же теории делимости: произведение двух целых чисел AB делится на простое число P тогда и только тогда, когда, по крайней мере, один из сомножителей делится на P. Если бы знать эту теорему, то доказательство иррациональности (NM) фактически не отличается от доказательства иррациональности v2. Позднее Теэтет доказал иррациональность чисел вида , а также рассмотрел иррациональности вида , N, и предпринял попытку классификации иррациональностей. Эти результаты Теэтета собраны в X-ой, наиболее трудной, книге "Начал" Евклида.

Итак, открытие несоизмеримости не загнало пифагорейцев в тупик, напротив, стимулировало развитие новых, красивых и глубоких теорий. Открытие несоизмеримости было едва ли не первым теоретическим результатом, который невозможно получить с помощью опыта. Более того, оно противоречило всей измерительной практике, ибо в жизни все величины соизмеримы в пределах точности измерительного инструмента.

Открытие несоизмеримости оказало решающее влияние на все дальнейшее развитие греческой математики. Поскольку некоторые геометрические объекты не измерялись отношением целых чисел, то есть естественно было предположить, что геометрические объекты являются величинами более общей природы, чем рациональные числа. Поэтому в пифагорейской школе предпринимается попытка построить всю математику, основываясь не на арифметике, а на геометрии. Для этого величины (и в первую очередь числа) представлялись отрезками, площади и все алгебраические операции (в том числе и извлечение корня) интерпретировались геометрически. Так в пифагорейской школе родилась "геометрическая алгебра".

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА

Почему все доказательства теоремы Пифагора были геометрическими? Почему древние греки боялись алгебры и фактически свели ее к геометрии?

Чтобы выйти из тупика, в который пифагорейцев поставила задача о несоизмеримости, рассматривались два пути:

1) либо расширить понятие числа так, чтобы новыми числами стало возможный характеризовать отношение любых двух геометрических отрезков;

2) либо строить математику на основе геометрии, определив для геометрических величин все алгебраические операции.

Числа стали мыслится в виде отрезков, полученных повторением конечного числа раз некого единичного отрезка. Сложение чисел-отрезков производилось путем приставления одного отрезка к другому вдоль некоторой прямой, вычитание путем отбрасывания от большего отрезка меньшего. Умножение представлялось в виде построения прямоугольника на этих отрезках, площадь которого и выражала произведение чисел. Складывать и вычитать, позволялось только однородные величины (либо отрезки, либо площади). Деление определялось как задача "приложения площадей": "приложить" к данному отрезку c прямоугольник, равновеликий данному прямоугольнику ab, то есть найти вторую сторону x прямоугольника так, чтобы xc=ab. "Геометрическое деление": к стороне a=AB прямоугольника ab приставляется отрезок c, на котором достраивается прямоугольник BCEF (рис. 1).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Затем проводится диагональ FC до пересечения с продолжением стороны AD в точке K и строится внешний прямоугольник AKGF. Тогда закрашенные на рисунке прямоугольники ABCD и CEGH оказываются равновеликими, так как они получились из равных треугольников AFK и FKG путем отбрасывания двух равных ab=cx частей:

Д BCF = Д FCE и ДCDK = ДCKH.

Итак, сторона FG, равная стороне CH искомая сторона x.

Геометрически вводились и многие алгебраические соотношения.

Например:

a(b+c+d)=ab+ac+ad; (18)

(a+b)=; (19)

(20)

Геометрическая интерпретация тождеств:

------T----------T---------¬

¦ ¦ ¦ ¦

a¦ ab ¦ ac ¦ ad ¦

¦ ¦ ¦ ¦ a(b+c+d)=ab+ac+ad

¦ ¦ ¦ ¦

L-----+----------+----------

b c d

Рис. 3

Доказательство первых двух тождеств очевидно из рисунков 3 и 4.

Для доказательства третьего к прямоугольнику ab=ABCD достроим квадрат b=BCFE, найдем точку G делящую отрезок AE пополам, то есть AG=GE=, и построим квадрат GHKE= (рис.5). По построению прямоугольник AGMD равен прямоугольнику BEKL, поэтому исходный прямоугольник ABCD равновелик гномону GEKLCM, так как у них GBCM - общая часть, а остальные части равны. Но гномон GEKLMC является разностью двух квадратов: GEKH= и MCLH=. Таким образом,



, откуда ab=

Рис. 5

Однако уже геометрическое произведение трех величин требовало пространственных построений, а произведение большего числа сомножителей вообще не поддавалось геометрической интерпретации в пространстве трех измерений. Вот почему античная геометрическая алгебра ограничивалась произведениями двух сомножителей, то есть основывалась на планиметрии, в которой все построения делались с помощью циркуля и линейки. По этой же причине геометрическая алгебра оказалась хорошо приспособленной для решения квадратных уравнений и фактически этим и ограничивалась.

Пифагорейцы рассматривали три типа геометрических задач, эквивалентных квадратным уравнениям:

1. Построить квадрат, равновеликий прямоугольнику ab. На языке алгебры это означает решить уравнение

x= ab. (21)

2. К данному отрезку a приложить прямоугольник, равновеликий прямолинейной фигуре площади S, так чтобы "недостаток" был квадратом. Иначе, на отрезке a=AB построить прямоугольник ACDE площади S так, чтобы прямоугольник CBFD был квадратом. Обозначая сторону квадрата через x, приходим к уравнению

x (a-x) = S. (22)

3. К данному отрезку a приложить прямоугольник, равновеликий прямоугольной фигуре площади S, так, чтобы "избыток" был квадратом. Иначе, на отрезке a=AB построить прямоугольник ACDE площади S так, чтобы прямоугольник BCDF был квадратом (рис.6). Обозначая сторону квадрата через x, имеем

x (a+x) = S. (23)

Задачи 1-3 решались геометрически путем преобразования произведений ab, x (a-x) и x (a+x) в разности квадратов по формуле (20). Уравнение (21) при этом принимало вид:

,

то есть x, согласно теореме Пифагора, находился как катет прямоугольного треугольника с гипотенузой и другим катетом . Построением такого треугольника и заканчивается II книга Евклидовских "Начал".

Для этого на отрезке AB=AC+CB=a+b как на диаметре стоим окружность (рис.7). Из точки C к прямой AB восстанавливаем перпендикуляр до пересечения с окружностью в точке D. Тогда в треугольнике ODC OD=, OC=. и, следовательно, по теореме Пифагора CD и есть искомая величина x. Таким образом, квадрат CDGH=x будет равновеликим прямоугольнику ACFE=ab. Итак, уравнение x=ab решено геометрически, или из величины ab геометрически извлечен квадратный корень.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Итак, одним из важнейших результатов открытия иррациональности было быстрое развитие геометрии. Понятие несоизмеримости, иррациональности связано с понятием бесконечности и непрерывности. Об этом говорил и Зенон в своих парадоксах.

В результате открытия "геометрической алгебры", на первое место выходит геометрия.

ГЕОМЕТРИЯ

"Пифагор преобразовывал геометрию, придавая ей форму свободной науки, рассматривая ее принципы чисто абстрактным образом и исследуя теоремы с нематериальной, интеллектуальной точки зрения. Именно он нашел теорию иррациональных количеств и конструкцию космических тел". Так оценивал вклад Пифагора в геометрию Прокл.

В самом деле, в школе Пифагора геометрия оформлялась в самостоятельную научную дисциплину. Именно Пифагор и его ученики первыми стали изучать геометрию систематически - как теоретическое учение о свойствах абстрактных геометрических фигур, а не как сборник прикладных рецептов по землемерию. При этом, что самое главное, свойства геометрических фигур устанавливались не путем измерений, а с помощью логических доказательств.

Обладая широчайшей областью практических приложений, геометрия первой из учений пифагорейцев, сбросила пелену "секретности" и стала популярной наукой.

Каково было содержание "Предание Пифагора", к сожалению, мы не знаем. Однако сохранились фрагменты из сочинений замечательного греческого математика середины V в. до н.э. Гиппократа с ионийского острова Хиоса. Так вот, в сочинениях Гиппократа Хиосского свойства плоских прямолинейных фигур предполагаются хорошо известными, тогда как свойства круга и хорд подробно изучаются. Поскольку до Гиппократа геометрией занимались только пифагорейцы, то естественно предположить, что все, что Гиппократ считал хорошо известным, было открыто пифагорейцами.

Таким образом, благодаря Гиппократу Хиосскому у нас есть основания считать, что пифагорейцы в целом построили всю планиметрию прямолинейных фигур. Они изучали свойства треугольников, прямоугольников, параллелограммов, трапеций, доказали теорему о сумме углов треугольников, теорему о стороне треугольника, лежащей против тупого угла, теоремы о равновеликости треугольников. Вершиной же планиметрии прямолинейных фигур явилось доказательство знаменитой теоремы Пифагора. Эти результаты пифагорейской геометрии и составили основу 1 книги "Начал" Евклида, которая завершается теоремой Пифагора.

Пифагорейцы проявляли повышенный интерес к правильным телам. Правильные геометрические формы благодаря их "правильности", то есть наличию зеркальной или поворотной (а часто и той и другой) симметрии, как нельзя более отвечали всей пифагорейской философии о закономерном, структурно-упорядоченном гармоничном устройстве мироздания. Пифагорейцы доказали теорему о том, что плоскость можно сплошь (то есть без "дырок" и наложений) покрыть лишь тремя правильными многоугольниками: треугольниками, квадратами и шестиугольниками. Не представляет труда и построение этих правильных фигур, а также фигур, получаемых из них удвоением сторон.

Но вот построение правильного пятиугольника уже не столь очевидно. Мы не знаем, как строили правильный пятиугольник пифагорейцы. Но известно, что пятиконечную звезду - свой главный символ и опознавательный знак (пентаграмму) - они складывали из трех равнобедренных треугольников. А это пересекается с методом построения правильного пятиугольника, описанным у Евклида ("Начала" кн., пред. 11). Так что метод Евклида, возможно, восходит к пифагорейцам. Рассмотрим его.

Пусть дан вписанный в окружность равнобедренный треугольник ACD <C=<D=2<A. Проведем биссектрисы CE и DB углов C и D соответственно. Тогда углы 1-5 (рис.8) будут равны, а, следовательно, будут равны соответствующие им дуги и стягивающие их хорды, то есть AB=DC=CD=DE=EA. Итак, вписанный в окружность пятиугольник ABCDE будет равносторонним. Поскольку <6=<2 и <7=<5 как углы, опирающиеся на одинаковые дуги AE и AB соответственно, то все углы 1-7 будут равными и, следовательно, каждый угол пятиугольника ABCDE будет составлен из трех равных углов, то есть <A=<B=<C=<D=<E=3<1.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 8

Таким образом, построенный пятиугольник является равносторонним и равноугольным, то есть правильным. Позднее были найдены и другие способы построения правильного пятиугольника. Один из них описан в другом выдающемся сочинении античности - "Альмагесте" Птолемея, которое, подобно "Началам" Евклида в геометрии, является энциклопедией античных знаний по астрономии. Другой, в 1525 г., был открыт художником и ученым - Альбрехтом Дюрером. Однако он указал приближенный способ построения правильного пятиугольника.

Почему именно пентаграмму пифагорейцы выбрали в качестве символа приветствия и тайного опознавательного знака? Знакомство с математическими свойствами пентаграммы поможет ответить на этот вопрос.

Пусть окружность разделена на пять равных частей. Соединяя последовательно точки деления, получим правильный пятиугольник, диагонали которого образуют пятиконечную звезду, или звездчатый пятиугольник. Это и есть пентаграмма. Легко видеть, что внутри пятиконечной звезды вновь образуется правильный пятиугольник, диагонали которого дают новую звезду, и т.д., (рис. 9)

Рассмотрим треугольник ABC. Он равнобедренный, так как хорды AB и AC стягивают равные дуги. Далее,<A=36°, <B=<C=72° как вписанные в окружность углы, опирающиеся на дуги в 72°(=360°:5) и в 144°(=72°•2) соответственно. Но <BCD равен 36° как опирающийся на дугу FB в 72°, и, следовательно, CD является биссектрисой в Д ABC и отсекает от него

ДBCD ~ ДABC. Из подобия этих треугольников имеем AB:BC=BC:DB. Учитывая, что BC=CD=AD (так как в Д ADC <A=<C и, следовательно, CD=AD), приходим к пропорции

(24)

то есть данный отрезок AB так относится к его большей части AD, как большая часть относится к меньшей AB. Иначе говоря, точка D делит отрезок AB в золотой пропорции. Равнобедренный треугольник, у которого углы при основании (72°) вдвое больше угла при вершине (36°), обладает уникальным свойством: биссектриса угла при основании делит противоположную сторону в золотом сечении. За это свойство этот треугольник был прозван средневековыми математиками возвышенным.

Именно золотое свойство возвышенного треугольника и использовал Евклид для его построения, а значит, и для построения правильного пятиугольника (см. рис.8). В самом деле, если данный отрезок AB точкой D разделить в золотой пропорции, а затем циркулем из точки B сделать засечку радиусом AD, а из точки A - радиусом, AB то точка пересечения C и будет вершиной возвышенного треугольника ABC. Далее остается лишь описать окружность около ABC и провести биссектрисы углов B и C до пересечения с окружностью. Окружность разделена на пять равных частей, и, значит правильный пятиугольник готов.

Остается показать, как во время Евклида делили отрезок в золотой пропорции. Величина x, делящая отрезок a в золотом сечении, запишем условие золотого сечения:

а : х = х : (а-х)

Эта пропорция приводит к уравнению:

положительный корень, которого можно представить в виде

(25)

Греки это решение находили геометрически. Подкоренное выражение в (25), согласно теореме Пифагора, можно рассматривать как гипотенузу треугольника с катетами а и (или как диагональ двойного квадрата со стороной ). Отнимая с помощью циркуля от гипотенузы отрезок , мы и найдем искомую величину х. Остается только (опять - таки с помощью циркуля) перенести отрезок х на отрезок а. (рис. 11). Золотое сечение отрезка а построено.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 10

Вернемся к пентаграмме. Принимая сторону AF=AD=1 исходного правильного пятиугольника за единицу, полагая DB=x и, следовательно, AB=1+x и подставляя все это в (24), приходим к уравнению

которое имеет единственный положительный корень :

x=

Так как

1-ц =1- и

, то

,

и мы окончательно находим

AD=DC=CB=AF=...=1;

x=DB=AF=EF=...= ц;

ED=EG=GH=...=1- ц = .

повторяя наши рассуждения для Д DGH, в котором DG=ц, легко видеть,

что стороны внутренней звезды будут равны ц, а стороны ее внутреннего правильного пятиугольника - ц и т.д.

Таким образом, последовательность правильных пятиугольников и вписанных в них звезд образует бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем =0,618...<1, или ряд золотого сечения:

,

причем стороны правильных пятиугольников образуют ряд четных степеней:

,



а стороны звезд - ряд нечетных степеней:

Итак, пентаграмма обладает массой интереснейших математических свойств:

1. Лучи пентаграммы делят друг друга в золотой пропорции:

2. Сторона правильного пятиугольника, сторона вписанной в него пентаграммы и сторона образованного пентаграммой внутреннего пятиугольника также относятся в золотой пропорции:

3. Лучи пентаграммы, выходящие из одной точки, образуют возвышенный треугольник.

4. Последовательность сторон правильных пятиугольников и вписанных в них пентаграмм образует ряд золотого сечения:

, (26)

который является бесконечно убывающей геометрической прогрессией со знаменателем ц<1 и обладает аддитивным свойством:

(n=0,1,2,..).



5. Отрезки пентаграммы AB=Ф, AD=1, AE= и ED= связаны между собой всеми видами средних (11), известных пифагорейцам, а именно

AD= - арифметическое среднее;

- геометрическое среднее;

- гармоническое среднее.

Подведем итог. Мы видим, что пентаграмма буквально соткана из золотой пропорции и всей видов средних. К математике присоединялась и числовая мистика: число 5=2+3 было для пифагорейцев числом любви как сумма первого женского (2) и первого мужского (3) чисел.

Перейдем теперь к правильным многогранникам. Их всего пять, и Пифагор знал лишь три тела - тетраэдр, гексаэдр, куб и додекаэдр, позднее Теэтет открыл и два оставшихся - октаэдр и икосаэдр.

По-видимому, сама природа подсказала пифагорейцам форму правильных тел: кристаллы поваренной соли имеют форму куба, кристаллы кварцев - октаэдра, а кристаллы пирита - додекаэдра.

Название правильному многограннику дается по числу его граней

Геометрическая характеристика правильных многогранников

Правильный многоугольник	Число граней	вершин	ребер	Геометрия грани	m
Тетраэдр Октаэдр Гексаэдр Икосаэдр Додекаэдр	4(тетра) 8 (окто) 6 (гекса) 20(икоси) 12(додека)	4 6 8 12 20	6 12 12 30 30		3 4 3 5 3

Буква m в таблице обозначает число граней при вершине.

Пифагорейцы заметили, что в кубе число вершин (8) есть среднее гармоническое числа граней (6) и числа ребер (12) и поэтому назвали куб гармоническим телом. Позднее, ко времени Евклида было замечено, что куб и октаэдр, а также додекаэдр и икосаэдр дуальны (двойственны),т.е. число граней одного тела равно числу вершин другого и наоборот. Тогда одно тело может быть получено из другого, если центры тяжести граней одного принять за вершины другого или наоборот. Тетраэдр дуален сам себе.

Как построение правильного многоугольника начинается с окружности, точно также и сфера является основой для построения правильного многогранника. Как в правильном многоугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают, так и в правильном многограннике совпадают центры вписанной и описанной сфер.

И все - таки самым интригующим свойством правильных тел является то, что их существует всего пять. Доказательством этого факта завершается последняя X111 книга "Начал" Евклида. В самом деле, сумма плоских углов S при вершине выпуклого многогранника должна быть строго меньше 360 , а число граней при вершине m>3. Значит, гранями правильных тел могут быть только три правильных многоугольника: треугольник, квадрат, и пятиугольник, ибо уже для шестиугольника S=120є 3=360є. Из правильных треугольников можно составить три правильных тела: m=3 - тетраэдр, m=4 - октаэдр и m=5 - икосаэдр (m=6 S=60є 6=360є). Из квадратов и правильных пятиугольников - только по одному (куб и додекаэдр) при m=3 (при m=4 S=90є 4=360є) - для квадратов и S=108є 4=432є - для пятиугольников.

Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с теоремой Пифагора. Пожалуй, даже те, кто в своей жизни навсегда распрощался с математикой, сохраняют воспоминания о «пифагоровых штанах» -- квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах. Причина такой популярности теоремы Пифагора триедина: это простота -- красота -- значимость. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.), свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций. Открытие теоремы Пифагором окружено ореолом красивых легенд. Прокл, комментируя последнее предложение первой книги «Начал» Евклида, пишет: «Если послушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придется сказать, что эта теорема восходит к Пифагору; рассказывают, что он в честь этого открытия принес в жертву быка». Впрочем, более щедрые сказители одного быка превратили в одну гекатомбу, а это уже целая сотня. И хотя еще Цицерон заметил, что всякое пролитие крови было чуждо уставу пифагорейского ордена, легенда эта прочно срослась с теоремой Пифагора и через две тысячи лет продолжала вызывать горячие отклики. Так, оптимист Михаил Ломоносов (1711--1765) писал: «Пифагор за изобретение одного геометрического правила Зевсу принес на жертву сто волов. Но ежели бы за найденные в нынешние времена от остроумных математиков правила по суеверной его ревности поступать, то едва бы в целом свете столько рогатого скота сыскалось». А вот ироничный Генрих Гейне (1797--1856) видел развитие той же ситуации несколько иначе: «Кто знает! Кто знает! Возможно, душа Пифагора переселилась в беднягу кандидата, который не смог доказать теорему Пифагора и провалился из-за этого на экзаменах, тогда как в его экзаменаторах обитают души тех быков, которых Пифагор, обрадованный открытием своей теоремы, принес в жертву бессмертным богам».

Сегодня теорема Пифагора обнаружена в различных частных задачах и чертежах: и в египетском треугольнике в папирусе времен фараона Аменемхета первого (ок. 2000 до н.э.), и в вавилонских клинописных табличках эпохи царя Хаммурапи (XVIII в. до н.э.), и в древнеиндийском геометрическо-теологическом трактате VII --V вв. до н.э. «Сульва сутра» («Правила веревки»). В древнейшем китайском трактате «Чжоу-би суань цзинь», время создания которого точно не известно, утверждается, что в XII в. до н. э. китайцы знали свойства египетского треугольника, а к VI в. до н.э. и общий вид теоремы. Несмотря на все это, имя Пифагора столь прочно сплавилось с теоремой Пифагора, что сейчас просто невозможно представить, что это словосочетание распадется. То же относится и к легенде о заклании быков Пифагором. Да и вряд ли нужно препарировать историко-математическим скальпелем красивые древние предания. Сегодня принято считать, что Пифагор дал первое доказательство носящей его имя теоремы. Увы, от этого доказательства также не сохранилось никаких следов.

Я рассмотрю некоторые классические доказательства теоремы Пифагора, известные из древних трактатов. Сделать это полезно еще и потому, что в современных школьных учебниках дается алгебраическое доказательство теоремы. При этом бесследно исчезает первозданная геометрическая аура теоремы, теряется та нить Ариадны, которая вела древних мудрецов к истине, а путь этот почти всегда оказывался кратчайшим и всегда красивым. Итак, Теорема Пифагора.

Рис. 11

"Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах".

Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников (рис. 11), чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для ?ABC: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах,-- по два. Теорема доказана.

Древнекитайское доказательство. Математические трактаты Древнего Китая дошли до нас в редакции II в. до н.э. Дело в том, что в 213 г. до н.э. китайский император Ши Хуан-ди, стремясь ликвидировать прежние традиции, приказал сжечь все древние книги. Во II в. до н.э. в Китае была изобретена бумага и одновременно начинается воссоздание древних книг. Так возникла тематика в девяти книгах» -- главное из сохранившихся математико-астрономических сочинений в книге «Математики» помещен чертеж (рис. 12, а), доказывающий теорему Пифагора.

Рис. 12

Ключ к этому доказательству подобрать нетрудно. В самом деле, на древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами а, b и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной а+b, а внутренний -- квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе (рис. 12, б). Если квадрат со стороной с вырезать и оставшиеся 4 затушеванных треугольника уложить в два прямоугольника (рис. 12, в), то ясно, что образовавшаяся пустота, с одной стороны, равна с², а с другой -- а²+Ь², т.е. с²=а²+Ь². Теорема доказана. Заметим, что при таком доказательстве построения внутри квадрата на гипотенузе, которые мы видим на древнекитайском чертеже (рис. 12, а), не используются. По-видимому, древнекитайские математики имели другое доказательство. Именно если в квадрате со стороной с два заштрихованных треугольника (рис.12, б) отрезать и приложить гипотенузами к двум другим гипотенузам (рис.12, г), то легко обнаружить, что полученная фигура, которую иногда называют «креслом невесты», состоит из двух квадратов со сторонами а и b, т.е. с²=а²+Ь²

На рисунке 13 воспроизведен чертеж трактата «Чжоу-би». Здесь теорема Пифагора рассмотрена для египетского треугольника с катетами 3, 4 и гипотенузой 5 единиц измерения. Квадрат на гипотенузе содержит 25 клеток, а вписанный в него квадрат на большем катете - 16. Ясно, что оставшаяся часть содержит 9 клеток.

Это и будет квадрат на меньшем катете

Древнеиндийское доказательство. Математики Древней Индии заметили, что для доказательства теоремы Пифагора достаточно использовать внутреннюю часть древнекитайского чертежа. В написанном на пальмовых листьях трактате «Сиддханта широмани» («Венец знания») крупнейшего индийского математика XII в. Бхаскары помещен чертеж (рис.14,а) с характерным для индийских доказательств словом «смотри!».

Рис. 13

пифагор математический философия число

Как видим, прямоугольные треугольники уложены здесь гипотенузой наружу и квадрат с² перекладывается в «кресло невесты» а²-b² (рис.14, б). Заметим, что частные случаи теоремы Пифагора (например, построение квадрата, площадь которого вдвое больше площади данного квадрата) встречаются в древнеиндийском трактате «Сульва сутра» (VII --V вв. до н.э.).

Доказательство Евклида

Приведено в предложении 47 первой книги «Начал». На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника АВС строятся соответствующие квадраты (рис. 15) и доказывается, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, а прямоугольник ICEL -- квадрату АСКС. Тогда сумма квадратов на катетах будет равна квадрату на гипотенузе. В самом деле, затушеванные на рисунке треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними: FB=AB, BC==BD и FBC=d+ABC=ABD. Но S_ABD=1/2 S_BJLD, так как у треугольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично S_FBC=1\2 S_ABFH (BF--общее основание, АВ--общая высота).

Рис. 15

Отсюда, учитывая, что S_ABD=S_FBC , имеем S_BJLD= S_ABFH. Аналогично, используя равенство треугольников ВСК. и АСЕ, доказывается, что S_JCEL=S_ACKG. Итак, S_ABFH+S_ACKG=S_BJLD+S_JCEL= S_BCED , что и требовалось доказать. Доказательство Евклида в сравнении с древнекитайским или древнеиндийским выглядит чрезмерно сложным. По этой причине его нередко называли «ходульным» и «надуманным». Но такое мнение поверхностно. Теорема Пифагора у Евклида является заключительным звеном в цепи предложений 1-й книги «Начал». Для того чтобы логически безупречно построить эту цепь, чтобы каждый шаг доказательства был основан на ранее доказанных предложениях, Евклиду нужен был именно выбранный им путь.

Еще давно была изобретена головоломка, называемая сегодня «Пифагор». Нетрудно убедиться в том, что в основе семи частей головоломки лежат равнобедренный прямоугольный треугольник и квадраты, построенные на его катетах, или, иначе, фигуры, составленные из 16 одинаковых равнобедренных прямоугольных треугольников и потому укладывающиеся в квадрат. Такова лишь малая толика богатств, скрытых в жемчужине античной математики -- теореме Пифагора. Далее я рассмотрю несколько алгебраических доказательств теоремы.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА

Пусть Т-- прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с (рис.16, а). Докажем, что с²=а²+Ь².

Построим квадрат Q со стороной а+Ь (рис.16, б). На сторонах квадрата Q возьмем точки А, В, С, D так, чтобы отрезки АВ, ВС, CD, DA отсекали от квадрата Q прямоугольные треугольники Т₁, Т₂, Т₃, Т₄ с катетами а и b. Четырехугольник ABCD обозначим буквой Р. Покажем, что Р -- квадрат со стороной с.

Все треугольники Т₁, Т₂, Т₃, Т₄ равны треугольнику Т (по двум катетам). Поэтому их гипотенузы равны гипотенузе треугольника Т, т. е. отрезку с. Докажем, что все углы этого четырехугольника прямые.

Пусть и -- величины острых углов треугольника Т. Тогда, как вам известно, += 90°. Угол у при вершине А четырехугольника Р вместе с углами, равными и , составляет развернутый угол. Поэтому +=180°. И так как += 90°, то =90°. Точно так же доказывается, что и остальные углы четырехугольника Р прямые. Следовательно, четырехугольник Р -- квадрат со стороной с.

Квадрат Q со стороной а+Ь слагается из квадрата Р со стороной с и четырех треугольников, равных треугольнику Т. Поэтому для их площадей выполняется равенство S(Q)=S(P)+4S(T).

Так как S(Q)=(a+b) ²; S(P)=c² и S(T)=1/2(ab), то, подставляя эти выражения в S(Q)=S(P)+4S(T), получаем равенство (a+b)²=c²+4(1/2)ab Поскольку (a+b)²=a²+b²+2ab, то равенство (a+b)²=c²+4(1/2)ab можно записать так: a²+b²+2ab=c²+2ab. Из равенства a²+b²+2ab=c²+2ab следует, что с²=а²+Ь².

ЕЩЕ ОДНО АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Пусть АВС - данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту CD из вершины прямого угла С (рис.17).

По определению косинуса угла (Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе) соsА=AD/AC=AC/AB. Отсюда AB*AD=AC². Аналогично соsВ=BD/BC=BC/AB. Отсюда AB*BD=ВС². Складывая полученные равенства почленно и замечая, что AD+DB=AB, получим: АС²+ВС²=АВ(AD + DB)=АВ². Теорема доказана.

В заключении еще раз хочется сказать о важности теоремы. Значение ее состоит, прежде всего, в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. К сожалению, невозможно здесь привести все или даже самые красивые доказательства теоремы, однако хочется надеется, что приведенные примеры убедительно свидетельствуют об огромном интересе сегодня, да и вчера, проявляемом по отношению к ней.

Все задачи, связанные с решением квадратных уравнений, решались пифагорейцами геометрически с помощью циркуля и линейки. Геометрические методы этих уравнений были хорошо разработаны, причем никаких проблем с несоизмеримостью при геометрических построениях не возникало. Казалось, в геометрической алгебре надолго воцарился безоблачный покой.

Однако уже в V в. до н.э. появились задачи, которые никак не удавалось решить с помощью циркуля и линейки. Это знаменитые три классические задачи древности, которые были окончательно решены только в XIX в., то есть через два с половиной тысячелетия! Вот эти задачи:

1. Удвоение куба. Построить куб, объем которого в два раза больше объема данного куба.

2. Трисекция угла. Произвольный угол разделить на три равные части.

3. Квадратура круга. Построить квадрат, равновеликий данному кругу.

Остановимся подробно лишь на первой задачи, поскольку ее поразительное по красоте решение было найдено на рубеже - вв. до н.э. последним и наиболее выдающимся представителем пифагорейской школы Архитом. Что касается двух других классических задач, то они также были решены примерно в это же время софистом Гиппием из Элиды и его учеником Диностратом. Гиппий дал способ построения особой линии, называемой квадратрисой, (должна быть сноска) с помощью которой и было найдено решение задач о трисекции угла и квадратуре круга. Но ни решение Архита, ни решение Гиппияи Динострата не были классическими решениями задач древности, так как они либо привлекали другие построения, кроме построений циркулем и линейкой, либо (как у Архита) выходили их плоскости в пространство.

Начиная с эпохи Возрождения, с возрождением интереса к античному наследию и развитием математики, страсти вокруг классических задач разгораются с новой силой. Простота постановки задач завораживала и притягивала как магнит. Поток "решений" рос как снежный ком, так что в 1775г. Парижская Академия наук. Лишь в 1837 г. французский математик Пьер Ванцель (1814-1848) доказал, что задачи удвоения куба и трисекции угла сводятся к решению кубических уравнений



которые неразрешимы в квадратных радикалах и, значит, не могут быть решены с помощью циркуля и линейки. Еще через 50 лет, в 1882 г., немецкий математик Карл Линдеман (1852-1939) доказал трансцедентность (от лат. transcendent - выходящий за пределы) числа (т.е. тот факт, что число не удовлетворяет никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами), а значит, и невозможность построения квадратуры круга с помощью циркуля и линейки.

Но вернемся к задаче об удвоении куба. Эту задачу называют делосской проблемой, ибо с ней связана красивая легенда. Однажды на острове Делос вспыхнула эпидемия чумы. Испуганные жители острова обратились за советом к Дельфийскому оракулу, который сказал, что нужно удвоить золотой жертвенник богу Аполлону, имеющий форму куба. Простодушные делосцы отлили еще один куб и поставили его на первый. Однако чума не унималась. Тогда они вновь обратились к оракулу, и оракул ответил, что они не решили поставленной задачи: новый жертвенник имел вдвое больший объем, но не имел формы куба. Не найдя нужного решения, жители Делоса обратились к Платону, но великий философ ответил уклончиво: "Боги недовольны вами за то, что вы мало занимаетесь геометрией". Платон сам не знал решения задачи, которую вскоре блестяще решил его друг Архит.

Архит из Тарента (ок. 428-365 гг до н.э.) ярчайшая личность в античной истории. Живое воплощение пифагорейского идеала, последний представитель раннего пифагорейства. Математик и механик, философ и музыкант, полководец и политический деятель, Архит первым упорядочил механику на основе математики, работал над деревянной моделью летающего голубя. Архит является автором арифметической теории пропорций, изложенной в VII книге "Начал" Евклида.

И все-таки самой яркой страницей в научной биографии Архита является решение делосской проблемы. Если ребро данного куба равно a, а ребро искомого-x, то задача об удвоении куба приводит к уравнению

(27)

Сегодня его решение без труда найдет каждый школьник

(28)

но вот построит ли он циркулем и линейкой ?

Пифагорейцы не знали иррациональных чисел, поэтому они искали геометрическое решение задачи. В V в. до н.э. Гиппократ Хиосский показал, что решение делосской проблемы можно свести к отысканию двух средних пропорциональных x и y, называемых вставками, которые, будучи "вставленными" между данными a и 2a, образуют непрерывную пропорцию

(29)

В самом деле, из первого равенства имеем x =ay, а из второго y =2ax. Следовательно,

Итак, первая вставка x и есть ребро искомого куба.

Архит заметил, что если из вершины M прямоугольного треугольника, опирающегося на диаметр, опустить перпендикуляр в точку C, а из C опустить перпендикуляр на другой катет (рис.18), то получится пять подобных треугольников. Назовем их треугольниками Архита. Достаточно рассмотреть три из них:

?ADC ~ ?AMC ~ ?AMB,

отсюда

Это и есть непрерывная пропорция вида (29).

Рис. 18

Пусть теперь AB=2a и пусть точка M движется по полуокружности диаметра 2a от точки B к точке A. Тогда точка C будет двигаться по диаметру AB от точки B к точке A, а длина отрезка AD примет все возможные значения от 2a (при M=B) до 0 (при M=A). Следовательно, найдется такое промежуточное положение точки M, при котором AD=a. Тогда AC=x= и AM=y=.Это и будет решение делосской проблемы. Осталось только найти его.

Для этого Архит фиксирует в плоскости окружность диаметра, AB=2a. Назовем ее . На диаметре AB строится окружность в перпендикулярной плоскости (по этой окружности и будет пробегать точка M). Далее Архит начинает вращать вокруг точки A, причем положение точки M на определяется положением тоски C, которая все время движется по .Таким образом, точка M пробегает от точки B к точки A (рис19). Поверхность, которую окружность опишет в пространстве, будет тором с внутренним диаметром, равным нулю. Поверхность, описываемая в пространстве перпендикуляром CM, будет круговым цилиндром с радиусом a и образующей CM. Наконец, траектория точки M будет линия пересечения тора и цилиндра. Линия в плоскостях, перпендикулярных плоскости окружности , определяет совокупность треугольников Архита (рис.19), у которых наибольшая гипотенуза постоянна AB=2a, а катет AD изменяется от 2a(когда ) до 0 (когда ).

Остается "поймать" нужное положение точки M на, при котором AD=a. Для этого Архит делает следующее построение (рис.20) (Для большей наглядности на рисунках прямая показана не как касательная.) Из точки A на . откладывается хорда =a, прямая продолжается до пересечения в точке с касательной к . в точке B, и затем строится конус с образующей и осью AB. Угол полураствора конуса =60° (так как ? прямоугольный, как опирающийся на диаметр, и AB=2a, =a). Конус пересекает цилиндр по некоторой линии . Так вот, пространственные линии и пересекаются и их точка пересечения M* и дает искомое положение точки M на окружности или торе. Докажем это.

Пусть - произвольная точка на (рис. 21). Образующая цилиндра, проходящая через , пересекает . в точке . Пусть <=б (б ? 60), перпендикуляр, опущенный из точки на , попадает в точку , а перпендикуляр, восстановленный из точки к , попадает в точку и пусть проходящее через круговое сечение конуса пересекает AB в точке . Тогда линия также будет определять совокупность треугольников Архита, которые также располагаются в плоскостях, перпендикулярных плоскости окружности . Рассмотрим подробнее эти треугольники.

Из Д находим

(30)

Из Д, учитывая (30), имеем

. (31)

Из Д, учитывая (31), находим

. (32)

Из Д, обозначая < и учитывая (30) и (32), имеем

(33)

Наконец, из Д, учитывая (30) и (33), находим

.

Итак, точки линии определяют треугольники Архита, у которых катет постоянен и равен a: =a, а наибольшая гипотенуза изменяется от a (при ) до 8a (при ).

Таким образом, линия определяет треугольники Архита с постоянной гипотенузой AB=2a, а линия в тех же плоскостях определяет треугольники Архита, у которых наибольшая гипотенуза изменяется от a до 8a, а катет =a постоянен. Из соображений непрерывности следует, что найдется такая точка M*, на в которой AB*=2a. При этом точка треугольников Архита, определяемых (см. рис.21), попадает на окружность, то есть лежит на поверхности тора (см. рис.20 ). Следовательно, линии и пересекаются и в точке их пересечения у треугольников Архита AB*=2a, AD*=a и, значит, AC*=a, что и дает решение делосской проблемы.

Итак, проекция точки пересечения цилиндра, тора и конуса на окружность - точка C* - определяет решение задачи об удвоении куба. Таково решение делосской проблемы Архита- жемчужины античной геометрии.

2.2.2 Музыка

Музыка и математика. Сегодня эти два слова редко стоят вместе. Между тем в пифагорейской "математике" именно музыке суждено было стать первым, и, пожалуй, единственным физическим свидетелем, подтверждающим справедливость пифагорейского тезиса: «Все есть число". Родство с арифметикой в пифагорейской "математе" обогатило музыку методами построения ее фундамента - музыкальной гаммы, фундамента, на котором и было возведено прекрасное здание искусства музыки.

Согласно преданию, сам Пифагор обнаружил, что приятные слуху созвучия - консонансы (от лат. consonantia- созвучие) - получается лишь в том случае, когда длины струн, издающих эти звуки, относятся как целые числа первой четверки, то есть как 1:2, 2:3, 3:4. При этом также было замечено, что, чем меньше число n в отношении (n=1,2,3), тем созвучнее интервал. Это открытие потрясло Пифагора. Еще бы: ведь столь эфемерное физическое явление, как звук и тем более приятное созвучие, поддавалось числовой характеристике. Именно это открытие впервые указывало на существование числовых закономерностей в природе, и именно оно послужило отправной точкой в развитии пифагорейской философии.

Закон целочисленных отношений в консонансах был открыт Пифагором. Он ставил эксперименты, не меняя натяжение струны с помощью различных грузов, а меняя длину струны на монохорде.

Монохорд был одним из перовых музыкальных инструментов древних греков. Он представлял собой длинный ящик, необходимый для усиления звука, над которым натягивалась струна. Снизу струна поджималась передвижкой подставкой. Таким образом, струна имела постоянное натяжение, но разную длину.

Видимо, на монохорде и было впервые обнаружено, что струна, вдвое короче данной струны, звучит на октаву выше. Но полной ясности в том, каков физический смысл чисел n в отношении , определяющим консонанс, у древних долгое время не было. Одни толковали их как силу натяжения струны, другие - как длину струны, третьи - как высоту тона, хотя никто не знал, что такое высота тона. Ясность в этом вопросе наступила, пожалуй, только после Архита, который сущность высоты тона видел не в длине струны и не в силе ее натяжения (ведь один и тот же тон можно получить на струнах разной длины и разного натяжения), а в скорости ее движения, то есть в скорости ударения струны по частичкам воздуха. Сегодня эту "скорость движения" мы называем частотой колебания струны. Далее Архит установил, что высота тона (или частота колебания струны) обратно пропорциональна ее длине.

Два закона легли в основу пифагорейской теории музыки:

1. Две звучащие струны дают консонанс лишь тогда, когда их длины относятся как целые числа, составляющие треугольное число 10=1+2+3+4, то есть как 1:2, 2:3, 3:4. При этом интервал тем созвучнее, чем меньше число n в отношении

(n=1, 2, 3,). (34)

2. Высота тона определяется частотой колебания струны, которая обратно пропорциональна длине струны l:

(35)

Гаммой, или звукорядом, называется последовательность звуков (ступеней звукоряда) некоторой музыкальной системы, расположенных начиная от основного звука (основного тона) в восходящем или нисходящем порядке. Интервалом между тонами называется порядковый номер ступени верхнего тона относительно нижнего в данном звукоряде, а интервальным коэффициентом I двух тонов - отношение частоты колебаний верхнего тона к частоте нижнего:

(36)

Интервальные коэффициенты (34) и соответствующие им интервалы в средние века были названы совершенными консонансами и получили латинские названия:

Октава

Квинта

Кварта

Звуки в музыкальной системе связаны между собой определенными зависимостями. Одни из них являются неустойчивыми и тяготеют к другим - устойчивым. В каждой музыкальной системе существует наиболее устойчивый, основной тон, именуемый тоникой, с которого начинается данная система. Ладом называется приятная для слуха взаимосвязь музыкальных звуков, определяемая зависимостью неустойчивых звуков от устойчивых, и прежде всего от тоники, и имеющая определенный характер звучания - наклонение. Наиболее распространенные лады состоят из семи основных ступеней. Наконец, математическое выражение системы звуковысотных отношений (лада) называется музыкальным строем.

В основу музыкальной шкалы - гаммы - пифагорейцы положили интервал октавы. Октава настолько созвучный консонанс, что верхний звук кажется уменьшенной корней нижнего, поэтому его и принято называть октавным повторением нижнего тона и обозначать той же нотой. Далее октаву предстояло разделить на какие-то благозвучные части. И здесь пифагорейцы, конечно, обратились к средним величинам.

Составляя арифметическое среднее для основного тона и его октавного повторения :

мы обнаруживаем прекрасный результат: это арифметическое среднее дает следующий совершенный консонанс - квинту.

и т.д.

Пифагорейцы не только нашли строгие математические методы построения музыкальных ладов, которые практически без изменения вошли в современную музыку, но и заложили основы учения об этосе каждого лада. В пифагорейской теории музыки был достигнут союз математики и искусства, союз, принесший неоценимую пользу и науке математике, и искусству музыке.



2.2.3 Астрономия

Неотъемлемой частью пифагорейской философии, также как и музыка была астрономия.

Во все времена вселенная своей неизмеримой громадностью и красотой притягивала внимание людей. Разумеется, звездное небо не оставило равнодушным и разум пифагорейцев, и в пифагорейской системе знаний астрономия была наиболее мировоззренчески значимой и наиболее поэтической наукой.

В своих астрономических гипотезах пифагорейцы исходили из одной основной идеи - гармонического устройства Мироздания. Они верили в его стройную организованность, симметрию, а значит, и красоту. Вот почему Вселенную пифагорейцы называли словом КОСМОС, что в буквальном переводе означает строй, порядок, прекрасное устройство. К сожалению, сегодня это первоначальное пифагорейское значение слова "космос" забыто.

Пифагор из всех плоских линий самой совершенной считал окружность, а из пространственных тел - шар. Вероятно, что мерой совершенства этих геометрических объектов служила их симметрия: только окружность и шар обладают центральной симметрией бесконечного порядка, т.е. при любом повороте вокруг центра они совмещаются сами с собой. Именно из соображений совершенства пифагорейцы считали, что планеты имеют шарообразную форму, а их траекториями являются окружности. Эти соображения являются важнейшими астрономическими догадками пифагорейцев.

Издревле люди наблюдали на небосводе две самые яркие звезды. Они сияли в течение недолгого времени сразу после захода солнца и незадолго до его восхода и были названы Вечерней и Утренней звездами. Пифагор впервые высказал предположение о том, что эти звезды есть не что иное, как планета Венера.

По преданию, Пифагору принадлежит и первая космологическая модель устройства Вселенной. В центре Мироздания он помещает Землю, вокруг которой вращаются три сферы: Луны, Солнца и сфера звезд вместе с планетами. Очень скоро эта модель была заменена более совершенной моделью (например, моделью Филолая), в которой каждой планете выделялась своя круговая траектория.

Пифагореец Филолай, живший столетием позже своего учителя, по-видимому, является первым в истории астрономии, кто убрал Землю из центра Мироздания и поместил ее на круговую орбиту. Убрав Землю из центра Мироздания Филолай тем самым исключает особую роль Земли, а, следовательно, и особую роль человечества в этом мире. Филолай также и Луну животными и растениями, причем более крупными, красивыми, чем земные. Важнейшей особенностью модели Филолая было то, что он считал Землю подвижной.

Но Филолай не был гелиоцентристом, он сделал лишь первый шаг в этом направлении. В центре космоса Филолай поместил Центральный огонь, являющийся по Филолаю источником жизни. Кроме того, Вселенная и замыкается огненной сферой, служащей ее наружной границей.

Между двух огней Филолай на концентрических сферах располагает Землю, Луну, Солнце, пять планет: Меркурий, Венеру, Марс, Юпитер, Сатурн (точная последовательность их расположения неизвестна) и сферу неподвижных звезд. Помимо этих космических тел Филолай между Центральным огнем и Землей помещает Противоземлю (Антихон), вероятно для того, чтобы защитить Землю от сильного разогревания Центральным огнем или для объяснения солнечных затмений.

Но вскоре эта модель была заменена космологической моделью Платона, где уже не было ни Центрального огня, ни Противоземли.

Вот таким был космос пифагорейцев.



ГЛАВА 2. ВЕЛИКИЕ ЭЛЛИНЫ (среднее пифагорейство).

2.1 Евдокс

Евдокс Книдский, ученик Архита Тарентского, был непосредственно предшественником Евклида, родился около 408 г. до н.э. в Книде, на юго - западе Малой Азии, и был известен не только как математик, но и как астроном, врач, философ, географ, оратор и общественный деятель. Недаром друзья его называли "Евдокс Знаменитый". В молодости он изучал математику у Архита Тарентского, а затем философию в Академии Платона. Евдокс совершил путешествие в Египет, где изучал астрономию. По возвращению на родину, он основал собственную школу, сыгравшую большую роль в греческой науке.

После открытия несоизмеримости, прежняя пифагорейская теория, основанная на понимании отношения двух отрезков как отношения двух целых чисел, не могла дальше служить для решения геометрических задач.

Среди астрономов Евдокс получил известность благодаря описанию звездного неба, восходов и заходов неподвижных звезд. Именно Евдоксу принадлежит одна из первых попыток построения теории движения планет.

Важнейшим вкладом Евдокса в математику является его теория отношений, которая выясняется в трех определениях (Евклид "Начала", опр.3,4,5).

1. "Необходимым условием того, что две величины находятся в отношении, является их однородность, а основанием отношения служит количество".

2. "Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга" ("Начала", книга, опр.4). Иначе, для любых a и b существуют такие числа m и n, что ma>b и nb>a.

3. "Говорят, что величины находятся в том же отношении первая ко второй и третья к четвертой, если равнократные первой и третьей одновременно больше, или одновременно равны, или одновременно меньше равнократных второй и четвертой каждая каждой при какой бы то ни было кратности, если взять их в соответственном порядке" ("Начала", книга, опр. 5).

Иначе, a:b=c:d, если для любых m и n справедливо одно из утверждений: