О пифагорейской математике

ma>nb => mc>nd;

ma=nb => mc=nd;

ma<nb => mc<nd.

Евдоксова теория отношений покончила с арифметической теорией пифагорейцев, применяемой только к соизмеримым величинам, т.е. понятие "отношения" стало применимым и для несоизмеримых отрезков. Это была чисто геометрическая теория, изложенная в строго аксиоматической форме.

По словам Архимеда, Евдокс разработал один из важнейших методов в математике, " метод исчерпывания " (предвестник современного метода пределов), с помощью которого он дал первое строгое доказательство формулы объема пирамиды. Метод исчерпывания доказывает единственность предела, но не решает вопрос о существовании предела.

2.2 Платон

Развитие математики, приведшей к созданию "Начал" Евклида, стимулировалось борьбой между существующими тогда философскими школами. Не последнюю роль в этой борьбе играла платоновская школа.

Платон (427-347 гг. до н.э.), ученик Сократа, жил в период упадка Афин. Платон основал философскую школу, получившую название Академии, которая в течение целого века руководила всей интеллектуальной жизнью города.

Начиная изучение Платона, следует учитывать некоторые трудности: внешнюю и внутреннюю. Внешняя трудность заключается в том, что отсутствует не только специальное и систематическое изложение, но и отсутствует вообще система всей философии. Ее приходится извлекать из массы диалогов Платона, где спорящие стороны часто не приходят ни к какому ясно выраженному выводу.

Еще большую трудность представляет внутреннее понимание философии Платона. Существует ряд интерпретаций платонизма, отличающихся друг от друга.

По Диогену Лаэртскому платоновский диалог имеет два самых общих вида: наставительный и исследовательский. Наставительный в свою очередь разделяется на два вида: теоретический и практический; теоретический разделяется на физический и логический, а практический - на этический и политический. Исследовательский разделяется на два вида: упражнительный и состязательный; упражнительный разделяется на повивальный (рождающий мысль) и испытательный, а состязательный - на доказующий и опровергающий.

К физическому роду диалогов принадлежит, например: "Тимей"; к логическому роду - "Политик", "Парменид, или Об идеях"; к этическому - "Федр, или о любви", "Пир, или О благе"; к политическому - "Государство, или О справедливости", "Законы, или О законодательстве"; к повивальному - "Лахет, или О мужестве", оба "Алкивиада"; к испытательному - "Менон, или О добродетели", "Феэтет, или О знании"; к доказующему - "Протагор" и к опровергающему - оба "Гиппия".

Самым трудным для понимания является платоновское учение об идеях. Очень сложно дать ясный анализ этого учения.

Платоновская идея не есть просто субстанция, не просто миф, не просто тот или иной Бог и не просто причина соответствующего рода вещей - это их смысловой образец, их предельная структура, из которой вещи истекают не только натуралистически но и логически.

Не будучи сам математиком, Платон отделял математике важное место в своей воспитательной системе и энергично поощрял её изучение. Уже то обстоятельство, что над входом в "Академию" помещалась надпись: "Пусть не знающий геометрии не войдет сюда " - сыграло положительную роль для развития математики.

Платон и платоники считали, что математические объекты занимают промежуточное место между чувственными вещами и идеями. Как известно, лишь идеям платоники приписывали подлинное существование, наделяя их единственностью, вечностью и не изменчивостью. Материальные вещи являются лишь тенью идей. Они множественны, преходящи и изменчивы. Любой математический объект, например треугольник, хотя и обладает вечность, обладает и множественностью, т.е. существует много треугольников, которые являются лишь образами абсолютного треугольника, пребывающего в мире идей.

Назревшая в V в. до н.э. в Греции необходимость полного и окончательного синтеза софистов и Сократа привела к небывалому расцвету философской мысли, без предварительной формулировки которого останется совсем неясной вся философия Платона. Формулировка эта сводится к синтезу космологизма и антропологизма. Синтезировать это значит:

во-первых, понять человеческое сознание, разум с его идеями и человеческую душу с ее вечными стремлениями как объективную реальность, как достояние космоса:

во-вторых, прежний космос понять как рождающее человеческой души со всеми ее разумными идеями и жизненными стремлениями.

Космический разум рассматривал уже Сократ, но это происходило у него не систематически и было далеко от философско-эстетической системы. Необходимо было конструировать такое космическое бытие, которое было бы и понятным для человека разумным миром идей, создаваемых рассуждающей способностью человека, и конструировать такой разум, который был бы столь же объективно реален и в своей реальности столь же понятен и очевиден. Здесь и появляется платоновский термин " ИДЕЯ ".

Платоновская идея не есть просто субъективно - человеческая идея, это объективно - реальное бытие, независимое от человеческого сознания и существующее до и вне всякого человека. Эта платоновская идея, с одной стороны, уже не имеет ничего общего с материальной действительностью; а с другой стороны, она и есть не что иное, как разумно жизненная и вполне материальная действительность. Она и есть порождающая модель всего чувственного мира.

Мы привыкли думать, что субъективная идея есть отражение объективной материальной действительности. Платон же прямо признавал идеи существующими вне и независимо от вещей, хотя они и были для него принципами оформления этих вещей. Платоновскую идею следует понимать как тождество субъективного и объективного, мысленного и материального.

Разум Платона со всеми своими идеями реален, а материя со всей своей непреодолимой реальностью воплощает в себе идеи разума и без них повисает в воздухе, превращаясь в непознаваемое.

Высоким принципом для античной философии был чувственный и идеально организованный космос. Этот принцип и положил в основание всей своей эстетики Платон.

Платон исходит из геоцентрической модели космоса: центром Мироздания для него является неподвижная Земля, вокруг которой на семи сферах вращаются Луна, Солнце, Венера, Меркурий, Марс, Юпитер и Сатурн. Далее следует сфера неподвижных звезд. На базе этой системы Мироздания Платон развивает теорию небесного гептахорда (семиструнника) т.е. теорию семи неподвижных сфер, построенных на музыкальных отношениях. Согласно Платону, небесный гептахорд описывается рядом чисел

1 2 3 4 8 9 27



Однако порядок членов этого ряда в космической системе Платоном не указан.

Ключ к платоновскому гептахорду спрятан в числах 1, 2, 3, именно в пифагорейском понимании единицы как символа неделимого начала, двойки как символа неопределенной бесконечности и тройки - как символа определенности. Но Платон добавляет к этому ряду в качестве символа беспредельного куб со стороной 2, площадью грани 4 и объемом 8. А в качестве символа определенности - куб со стороной 3, площадью грани 9 и объемом 27.

Платон погружает свои идеи в недра живого телесного космического бытия. Тот самый, живой, вполне физический космос, который был воспет досократиками. Платон никуда не пошел дальше пифагорейских сфер, Парменидова "единого", Демокритовых атомов. А никуда и невозможно было идти, оставаясь греческим и античным мыслителем. Но он интерпретировал этот космос с точки зрения его идеальных связей, расчленил в нем физическое и смысловое и опять отождествил это но уже по смыслу при помощи чистых понятий.

Слово "идея" имеет своим корнем "вид". Идея - то, что видно в вещи. В греческом языке это слово очень часто служит для обозначения внешнего вида вещи, наружности человека. Если всмотреться в сущность вещи, в ее смысл, то он ("вид") тоже будет "виден" и глазу и главным образом уму. Вот эта видимая умом ("умная") сущность вещи, ее внутренне - внешний облик, и есть ИДЕЯ вещи.

Однако идея вещи есть не только видимая умом пассивная фигурность вещи. Она есть в то же время и самая субстанция вещи, ее внутренне определяющая сила.

Лосев А.Ф. говорит: "Платон вовсе не гонится за философской системой, но считает своим главным философским методом вечное искание, вечный переход от одних концепций к другим, сплошное становление философской мысли, и притом становление ценою полной неустойчивости употребляемой терминологии, ценой разнобоя в самом существенном словоупотреблении ".

2.3 Александрийская школа

2.3.1 Евклид

В конце IV в. до н.э. после походов Александра Македонского, была создана огромная, но недолговечная империя, включавшая Грецию, Египет, Месопотамию, Персию и др. страны Средиземноморья и Ближнего и Среднего Востока. Период эллинизма длился до завоевания эллинистических стран Римом, закончившегося I в. до н.э. Крупнейшими центрами культурной жизни эллинистических стран были Александрия, Пергам и остров Родос. Александрия становится крупнейшим научным центром.

К первым представителям Александрийской школы принадлежит Евклид, который жил около 300 г. до н.э. Его жизнь мало известна. В одном из своих сочинений поздний пифагореец - неоплатоник Папп, живший в Александрии в - вв. н.э., изображает Евклида, как человека исключительно честного, скромного, которому были чужды гордость и эгоизм Он очень строго относился к изучению математики, об этом можно судить из рассказа неоплатоника Прокла: царь Птолемей спросил Евклида, нельзя ли найти более короткий и менее утомительный путь к изучению геометрии, чем его "Начала". Евклид ответил: " Нет царской дороги к геометрии!".

Из трудов Евклида, кроме "Начал", до нас дошли: 1) "Данные" - задачи, решаемые с помощью геометрической алгебры; 2) "О делении фигур" - задачи на построение; 3) "Феномена" (явления) - астрономическое сочинение; 4) "Оптика". Другие произведения утеряны.

Славу Евклиду принесли его "Начала", состоящие из тринадцати книг. Первые шесть книг этого труда посвящены планиметрии, 7-10 - учению о числе, 11-13 - стереометрии. Содержание книг 1-4, 7-9 происходят в основном от ионийской и пифагорейской школ, 5 и 12 - от Евдокса, 10 и 13 - от Теэтета. Оригинальная рукопись "Начал", которая долгое время сохранялась в Александрийском музее, не дошла до нас. "Начала" распространялись в многочисленных рукописях, которые на протяжении десятков и сотен лет комментировались, снабжались примечаниями и исправлениями, местами дополнялись и изменялись. Отсюда понятно, почему тексты дошедших до нашего времени рукописных копий не совпадают полностью. "Начала" Евклида были переведены на десятки языков, изданы и переизданы в разных странах много раз. На русском языке "Начала" были изданы три раза в 18 в. и четыре раза в 19 в. Последний и самый совершенный перевод с греческого на русский язык был осуществлен советским ученым, профессором Д.Д. Мордухай - Болтовским и опубликован в 1948-1950 гг.

Начиная с III в. до н.э. и до середины прошлого века "Начала" были образцом строго логического изложения геометрии. Евклид исходил из определений геометрических понятий и аксиом. Характер определений у Евклида различен. В большинстве случаев они описательные, например: "Точка есть то, что не имеет частей" книга I. Но встречаются словесные определения, вроде определения 19 книги I: "Прямоугольные фигуры суть те, которые содержатся между прямыми", и аксиоматические, т.е. те, которые могут быть сформулированы в виде аксиом, например, определение I книги III: "Равные круги суть те, у которых диаметры равны или прямые из центра (радиусы) равны". Если определения предписаны почти каждой книге (кроме VIII, IX, XII и XIII), постулаты (их пять) и аксиомы (их девять) помещены впереди всего труда - в первой книге.

Постулаты - это требования построить некоторые простейшие фигуры. Построения, допустимые постулатами, предполагают линейку без делений, не допускающую измерения расстояний. Циркуль предназначался для описания из данной точки окружностей с данным радиусом.

Ограничения, наложенные на употребление линейки и циркуля, по-видимому, были связаны с тем, что эти инструменты заменили собой веревку, первоначально служившую как для проведения прямых, так и для описания окружностей.

Первые три постулата гласят: "Что от всякой точки до всякой точки «можно» провести прямую линию"; "Что ограниченную прямую «можно» непрерывно продолжать по прямой"; "Что из всякого центра и всяким раствором «может быть» описан круг". Четвертый постулат выдвигает требование равенства всех прямых углов между собой, которое теперь не считается постулатом, а доказывается. Смысл пятого постулата заключается в том, что точка пересечения двух прямых считается построенной, если при пересечении третьей прямой внутренние односторонние углы в сумме меньше двух прямых. Этот постулат получил название постулата параллельности. Попытки доказательства данного постулата делались еще со времен Евклида и продолжались на протяжении двух тысячелетий, пока в 1826 г. Русский математик Н.И. Лобачевский не создал свою неевклидову геометрию. Из этого вытекало, что пятый постулат доказать нельзя.

Каждое геометрическое предложение формулируется в общих выражениях, затем конкретно указывается на чертеже что дано и что требуется доказать или построить. После доказательства следует заключение, повторяющее начальную формулировку и заканчивающееся словами: "что и требовалось доказать" или "что и требовалось сделать".

На протяжении многих столетий до 19 в. изучение геометрии велось по "Началам" Евклида. Наши современные учебники имеют много общих черт с "Началами": планиметрия и стереометрия излагаются раздельно; теоремам предшествуют определения и аксиомы. Многие теоремы по содержанию совпадают с теми, которые имеются в "Началах".

2.3.2 Архимед

Величайшим математиком эпохи эллинизма был Архимед (287-212 гг. до н.э.), живший в Сиракузах, где он был советником царя Гиерона. Он - один из немногих ученых древности, которых мы знаем не только по имени, сохранились немногие сведения о его жизни. Архимед был убит, когда римляне взяли Сиракузы, при осаде которых было использовано защитниками техническое искусство ученого. Подобная склонность к практическим применениям представляется весьма необычной, если учесть как относились к этому ученые раннего периода.

Наиболее важный вклад Архимеда в математику относится к той области, которую теперь мы называем интегральным исчислением:

теоремы о площадях, плоских фигур и об объемах тел. Архимед впервые ввел понятие и рассмотрение верхней и нижней сумм, ограничивающих искомую величину (площадь или объем), разность между которыми становилась сколь угодно малой. Для прямой, окружности, конических сечений и спирали он доказал важнейшее свойство непрерывных величин: т.е. то, что они между двумя своими значениями принимают все промежуточные значения. Архимед нашел также способ сведения большого класса задач на экстремум к задачам на построение касательной.

В "Измерении круга" он нашел приближенное выражение для окружности, пользуясь вписанными и описанными правильными многоугольниками.

Одной ярко выраженной особенностью математического творчества Архимеда является его связь с механикой, гидростатикой и астрономией, сближение теории с практикой, вычислительной математике и развитие ее приемов.

В математике Архимеду принадлежит сочинение относящееся к полуправильным многогранникам, т.е. таких выпуклых многогранников, все грани которых - правильные многоугольники, более чем одного вида. Архимед нашел тринадцать таких тел, ограниченных 8,14,26,32,38,62 или 92 гранями, имеющими форму треугольников, квадратов, пятиугольников, шестиугольников, десятиугольников или двенадцати угольников.

Обилие вычислений у Архимеда отличает его от большинства математиков Греции.

2.3.3 Эратосфен

Также одним из выдающихся математиков периода эллинизма был Эратосфен. О нем сохранилось сравнительно много биографических данных, родившемся в 276 или 275 (а по другим сведениям в 284) г. до н.э. в Кирене, на северном побережье Африки. Прожил почти всю свою жизнь в Александрии. Некоторое время Эратосфен провел в Афинах. Умер около 194 г. до н.э., ослепший и в полной нищете.

Дарования Эратосфена были разносторонни; Архимед их высоко ценил, но выдающихся трудов Эратосфен не создал.

До нас дошли лишь два собственно математических открытия Эратосфена: это его знаменитое "решето" ("коскинон") и его решение делийской проблемы. Решето Эратосфена представляет собой известный прием для нахождения всех простых чисел, меньших чем заданное число n, кроме числа 2, которое нужно добавить.

В комментарии к сочинению Архимеда "О шаре и цилиндре" Евтохий рассказывает историю делийской проблемы, ее легендарное возникновение и решения, предложенные Архитом, Евдоксом и Менехмом, причем все это в виде письма Эратосфена Птолемею. Хотя само письмо является подложным, но содержащееся в нем решение Эратосфена подлинно. Решение Эратосфена является механическим и осуществляется при помощи простого прибора, названного "месолабон". Эратосфен придавал своему открытию столь большое значение, что воздвиг колонну, посвященную Птолемею, с надписью, излагающей суть построения, и бронзовым изображением прибора.

Эратосфен является также автором сочинения "Платоникос", в котором основные математические понятия, в частности пропорции, а также принципы музыки рассматривались в свете платоновой философии.

Наряду с чисто математическими нельзя, однако, не упомянуть и астрономические работы Эратосфена, среди которых находится прославившее его имя измерение Земли, описанное им в отдельном сочинении. Это - первое исторически установленное определение размеров Земли. Эратосфен нашел, что длина большой окружности земного шара равна 250 000 египетских стадий, т.е. в зависимости от различных оценок, даваемых этой мере, заключена между 39 и 46 тысячами километров; эта оценка более точна, чем у Архимеда, и должна считаться необыкновенно удачной.

Сочинение "Измерение Земли" содержало и многие другие сведения по математической географии и астрономии. Эратосфен занимался также хронологией; ему приписывают разработку взамен старого египетского календаря с високосным годом в 366 дней каждый четвертый год. Этот календарь, приводивший в соответствие календарные даты с действительными временами года, был введен указом от 7 марта 238 г. до н.э., объявленном на собрании жрецов в Канопе.

2.3.4 Аполлоний

Третьим и последним из великих математиков эпохи эллинизма наряду с Евклидом и Архимедом был Аполлоний Пергский. Ели Евклиду мы обязаны знакомством с элементарной геометрией древних, то их теорию конических сечений мы знаем по великому труду Аполлония.

Аполлоний из Перги (ок. 260-170 гг. до н.э.),по-видимому, вел обучение в Александрии, где изучал математику у учеников Евклида, и в Пеогаме. Ярчайшим его достижением является трактат из восьми книг о конических сечениях ("О кониках"). Сохранилось семь книг из восьми, три из них только в арабском переводе.

Первые четыре книги содержат систематическое изложение главных свойств данных сечений. Эти свойства служат для приложения теории к решению задач на построение посредством пространственных мест. Навина исходной точки исследования Аполлония заключается в следующем : вместо того, чтобы рассматривать сечения конусов вращения плоскостями, находящихся в определенном положении, Аполлоний сразу же приступает к изучению произвольных плоских сечений. Затем, чтобы связать с этими сечениями некоторое планиметрическое свойство, способное лечь в основу для дальнейших исследований, Аполлоний обобщает прием изучения сечений, перпендикулярных к плоскости симметрии конуса, на произвольные сечения. Это обобщение позволяет относить конические сечения к любому ее диаметру и сопряженным с ним хордам.

Книга первая "Конических сечений" открывается определением кругового конуса, причем конус рассматривался по обе стороны от вершины. Здесь же выводились основные понятия теории конических сечений, вершина конического сечения, его диаметры, сопряженные диаметры.

Аполлоний получает эллипс, гиперболу или параболу в зависимости от того, пересекает ли плоскость одну только полость конуса, обе его полости или она параллельна одной из образующих конуса. Мы называем данные кривые, следуя Аполлонию, который впервые ввел эти термины. Данные названия выражают одно из свойств этих кривых, связанное с площадями и выражаемое, в наших обозначениях, уравнениями :

y=px, y=px+

(у Аполлония p и d - отрезки; знак "+" дает гиперболу, знак "-"дает эллипс). Парабола здесь значит "приложение", эллипс - "приложение с недостатком", гипербола - "приложение с избытком".

В первой книге Аполлоний также доказывает, что вид уравнения, которым характеризуется каждое из трех конических сечений, не зависит от линий (диаметра и сопряженной ему хорды), к которым оно отнесено. Т.е. доказывается инвариантность этого свойства при переходе от одной системы координат к другой.

Вторая книга начинается разделом об асимптотах гиперболы, а далее Аполлоний находит касательные и асимптоты к кривым второго порядка.

В III книге содержатся предложения о равенстве площадей прямоугольных фигур, образованных касательными и секущими конических сечений, выводятся фокусы эллипса, гиперболы и исследуются их свойства.

В IV книге Аполлоний определяет число точек пересечения двух кривых второго порядка и доказывает, что это число не превышает 4. Этот вопрос был важен для греков, так как именно точки пересечения нужны были для решения таких задач, как задача удвоения куба, для которой эти кривые и были изобретены. Четвертой книгой как бы завершалась более элементарная часть учения о конических сечениях.

В оставшихся четырех книгах Аполлоний рассматривает подобные сечения двух прямых подобных конусов; хорды, параллельные сопряженным диаметрам и доказывает теоремы о постоянстве суммы квадратов сопряженных диаметров и площади построенного на них параллелограмма и др.

Аполлоний занимался усовершенствованием системы счисления, значительно облегчил умножение больших чисел в греческой нумерации.

Теория конических сечений Аполлония была положена в основу "Введения" Ферма и "Геометрии" Декарта. У Аполлония не было общих произвольно взятых координат, но были координатный угол и координатные линии, всегда ориентированные по двум сопряженным направлениям кривой второго порядка. Этим он и предвосхитил идеи аналитической геометрии.



ГЛАВА 3. ЭЛЛИНИЗМ (ПОЗДНЕЕ ПИФАГОРЕЙСТВО)

После завоевания римлянами главных эллинистических стран характер математики в Александрии стал отличатся от математики периода эллинизма. Основной причиной изменения характера математики было широкое усвоение традиций математиков и астрономов Вавилона. В результате этого усвоения область практического применения математики расширилась, в особенности за счет применения к астрономии. На первое место начинает выдвигаться вычислительная математика, в частности возникает нужная астрономии тригонометрия.

Рассмотрение александрийской математики римской эпохи начнем с одного из самых ранних математиков Никомаха из Герасы.

3.1 Никомах

Никомах из Герасы (около 100 г.), его "Введения к арифметике" наиболее полное из сохранившихся изложений пифагорейской арифметики. Там рассматриваются большей частью те же вопросы, что и в арифметических книгах Евклида, но в отличие от Евклида Никомах пользуется арифметическими обозначениями.

"Введение к арифметике" следует считать не столько научным произведением, сколько популярным введением в пифагорейское учение о числах. По уровню изложения оно далеко отстает от Евклида. Никомах не дает настоящих доказательств, а только подтверждает предложения конкретными примерами. Из содержания "Введения к арифметике", кроме классификации чисел и отношений между ними, включая и многоугольные, пирамидальные и другие фигурные числа, заслуживает внимания, что Никомах, не давая формулы суммирования кубов чисел, тем не менее указывает, что в ряду нечетных чисел 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... кубами являются 1, 3+5=2, 7+9+11=3, ... Однако, одним из крупнейших произведений Александрийской школы римского периода являются сочинения Птолемея.

3.2 Птолемей

Знаменитый греческий астроном, географ и оптик Птолемей, производивший свой наблюдения с 127 г. по 151 г. в Александрии, написал "Математическое собрание в XIII книгах", получившие позднее арабизированное название "Альмагест" ("Величайшее построение"). Это труд является превосходным изложением всех астрономических знаний того времени.

Книга I "Альмагеста" излагает теорию плоской и сферической тригонометрии, необходимой для составления таблиц хорд (синусов) и пользование ею.

Кроме "Альмагеста" Птолемей оставил нам "Съемку" и "Планисферий" - астрономические сочинения, широко применяющие математику. Первое сочинение излагает теорию ортогональной проекции небесной сферы на три взаимно перпендикулярные плоскости: меридиана, горизонта и вертикального круга. С помощью этих проекций решалась задача нахождения положения Солнца над горизонтом в определенный день и час для определенной широты.

"Планисферий" сохранился лишь в переводе с арабского и содержит сведения о проекции северной небесной полусферы на плоскость экватора из точки, помещенной в южном полюсе.

Однако, Птолемей занимался не только астрономией, но и уделял время математике. Как свидетельствует Прокл (см.[6]) у Птолемея был труд посвященный доказательству V постулата Евклида о параллельности. Итак, Птолемей сделал первую попытку из тех многочисленных попыток доказать V постулат, которые делались математиками разных веков и народов.



3.3 Герон

Одним из виднейших математиков эпохи эллинизма, писавшим почти по всем вопросам математики, механики, астрономии, был Герон Александрийский, родившийся в III в н.э. Сочинения Герона носили больше прикладные, чем теоретические цели. Им было создано практическое и теоретическое руководство по геодезии, служившее этой цели на протяжении многих веков.

В чисто теоретической области Герон оставил после себя комментарии к "Началам" Евклида. В другом сочинении, "Определения", он излагает геометрические термины, опираясь на учение Евклида. Ценность этого сочинения в том, что здесь даны различные определения отдельных геометрических понятий в их историческом развитии. (см. [32])

Наиболее важным геометрическим сочинением Герона является его "Метрика" (учение об измерении) в трех книгах. В них содержатся правила измерения площадей и объемов поверхностей; формула для вычисления площади неравностороннего треугольника, так называемая "формула Герона", которая была известна еще Архимеду. Причем, все эти правила строго доказываются. Другое же сочинение Герона, "Геометрия", напротив не содержит ни каких доказательств и даже формулировок в общем виде, а представляет собой набор конкретных задач.

В механике и оптике Герону принадлежат следующие достижения: доказательство того, что равномерное движение складывается по правилу параллелограмма; доказательство равенства углов падения и отражения.

3.4 Диофант

До 300 г. к сокровищнице арифметики в том объеме, в котором она имелась во времена расцвета греческой геометрии, были присоединены лишь отдельные открытия. Только у Диофанта александрийского мы встречаем нечто новое, представляющее большой интерес.

Родился Диофант вероятно в III в., о его жизни нет почти никаких сведений, наши представления ограничиваются стихотворением-задачей, в которой говорится, что его отрочество составляло 1/6 его жизни, борода начала расти спустя 1/12, женился он после 1/7, и спустя пять лет у него родился сын, который прожил 1/2 возраста отца, а последний умер спустя четыре года после смерти сына. Составив и решив уравнение получаем, что Диофант прожил 84 года.

Диофант напрямую не принадлежал к пифагорейской традиции, хотя многое заимствовал у пифагорейцев. Главной отличительной чертой было понятие числа. Диофанта фактически разрушает понимание числа как величины. Для него число несет отголосок функциональной зависимости и появляются дроби.

Сохранилось часть математического трактата Диофанта "Арифметика", состоящая из 13 книг (до нас дошли только 6 книг). Теоретическая основа труда Диофанта и цель его исследований заключается в том, чтобы избежать иррациональных количеств. При помощи этой теории он в состоянии дать примеры определенных задач, приводимых к уравнениям с рациональными решениями, и, кроме того, дать обширный ряд неопределенных задач, для которых можно всегда найти рациональные решения.

Специфика Диофанта заключается в том, что он занимается лишь специальными числовыми задачами и для их решения пользуется лишь чисто числовыми операциями, не устанавливая никогда общих теорем.

Диофант не нуждается в геометрическом представлении чисел, чем резко и отличается от пифагорейцев, однако заимствует свою терминологию из мира геометрических представлений, говоря, например, прямоугольник вместо произведения.

У Диофанта мы впервые встречаем систематическое использование алгебраических символов.

Диофант нашел решения около 130 неопределенных уравнений, принадлежащих более чем к 50 различным классам. Общих методов решения неопределенных уравнений или их классификации у Диофанта нет. Нет и доказательств справедливости полученного результата, его истинность проверяется непосредственной подстановкой.

В "Арифметике", помимо изложения начал алгебры, приведено много задач, сводящихся к неопределенным уравнениям различных степеней, и указаны методы нахождения решений таких уравнений в рациональных положительных числах. Неопределенные квадратные уравнения встречаются в "Арифметике" прежде всего в виде :

Ax+ Bx + C=y

В зависимости от значений коэффициентов A,B,C возникают различные случаи решения. В случае когда В=0 Диофант дает способ нахождения произвольного числа неполного уравнения, если известен один из них. Диофант замечает, что уравнение решается лишь тогда, когда А является суммой двух квадратов. В случае полного уравнения он не сводит его к неполному виду, а рассматривает лишь случай, когда либо А, либо С являются полными квадратами, либо когда таковым является выражение В - АС.

Кроме этих уравнений, Диофант решает и системы (см. [29],[32]):

Типично для Диофанта то, что его интересуют только положительные рациональные решения. Иррациональные решения он называет "невозможными" и тщательно подбирает коэффициенты так, чтобы получались искомые положительные рациональные решения. Имел также представление об отрицательных числах, например знал, что квадрат отрицательного числа равен положительному числу.

Имя Диофанта прочно закрепилось и в той части теории чисел, которая изучает приближения действительных чисел рациональными. Эти приближения называются диофантовыми. К теории диофантовых приближений относят вопросы, касающиеся решения в целых числах неравенств или их систем.

Именем Диофанта названы два больших раздела теории чисел: теория диофантовых уравнений и теория диофантовых приближений. Сочинение Диофанта были отправной точкой для теоретико-числовых исследований Ферма, Эйлера, Гаусса и др. математиков.

В дальнейшем, следовавшие за Диофантом математики Римской эпохи были больше комментаторами, чем самостоятельными созидателями. К ним относятся например: Порфирий, Ямвлих, Прокл. Но наиболее яркими были Ямвлих и Прокл.

3.5 Ямвлих

Порфирий (233-304 гг.), ученик виднейшего представителя мистической философской школы неоплатонизма Плотина, написал комментарии к "Началам" Евклида. Его учеником был Ямвлих, который родился около 240-245 г. на севере Сирии в городе Халкиде. Было очень много споров о дате его рождения, остановились на данной.

Однако, спорными оказались не только даты жизни Ямвлиха, но и его место его ученичества и сами его учителя. Наиболее приемлемым считается, что Ямвлих учился в Александрии и Риме, где учился у Анатолия, а затем у Порфирия. Александрия к этому времени стала центром платонизма. Что незамедлительно сказалось на Ямвлихе. Нельзя было учится в Александрии и не быть платоником.

Ямвлих продолжает и углубляет основную тенденцию всего неоплатонизма, а именно тенденцию о трех ипостасях - единого, ноуменальной сферы и души.

К математическим трактатам Ямвлиха относится трактат "Телогумены арифметики" ("Арифметическая теология"), причем считается, что большая часть произведения приписывается кому-нибудь из учеников (точных сведений на этот счет нет). Данный трактат имеет очень большую ценность, так как это единственное дошедшее до нас произведение, в котором учение о числах, преимущественно пифагорейское учение о числах, изложено полно и разнообразно.

Трудность изучения возникает во-первых из-за разрозненности, иногда противоречивости материала; во-вторых, отсутствие внутренней системы; с одной стороны, речь идет о числах, тем не менее выводы делаются иной раз из чисел, а иногда выводы ничего общего с арифметикой не имеют, а носят философский характер.

Трактат включает в себя учение о единицы, двоицы, троицы и т.д. до девятерицы. Очень важно выделить учение о единице, которая мыслится как принцип всякого числа. Но это не просто единица как начало числового ряда это неделимая единица. Т.е. представить себе какое-нибудь отдельное число не значит представить его в виде механической суммы ничем не связанных единиц. Допустим говоря "миллион" мы не представляем себе огромное количество единиц, а представляем в виде одного неделимого целого.

Ямвлих также написал девять сочинений о союзе пифагорейцев, из которых сохранилось четыре. Наибольший интерес для истории математики представляет книга IV "О введении в арифметику Никомаха". Здесь Ямвлих приводит различные предложения пифагорейцев о квадратных и "продолговатых" числах, т.е. о числах вида n(n+1).

3.6. Прокл

Вторым великим комментатором данного периода был Прокл, родившийся родился в 412 г. в Византии (Константинополь), получил обычное образование для юноши хорошего происхождения (отец его был адвокатом), затем отправился в Александрии, где изучал риторику, латинский язык и право. Отправившись в Константинополь начинает изучать философию, а возвратившись в Александрию становится учеником Герона, который обучает его математики. Так как толкования философских текстов, предлагаемые его учителями, представлялись Проклу "недостойными философской мысли", Прокл отправляется в Афины, где продолжает свое обучение, приступив к таинствам Платонова учения. Впоследствии, после смерти Сириана, возглавлявшего Академию, Прокл становится главой Платоновской Академии в Афинах. (см. [6])

Прокл продолжает и углубляет философию Платона, особенно это касается философии числа. Им написаны комментарии ко всем диалогам Платона. Для математики наибольшее значение имеют его комментарии к книге "Начал" Евклида, являющиеся одним из важнейших источников истории геометрии. При составлении своих "Комментариев" Прокл пользовался рядом трудов, которые были затем утеряны, и сведения о них дошли до нас лишь благодаря Проклу.

"Комментарии" к первой книге Евклида начинаются двумя введениями (книгами). В первом говорится об отношении математики к философии, во втором - о геометрии ее предмете.

Всего в первой книге пятнадцать пунктов. Некоторые авторы отмечают ее сходство с Ямвлихом. Однако у Прокла отмечается почти полное отсутствие специальных и подчеркнутых отсылок к пифагорейским учениям, столь характерное для Ямвлиха. Прокл почти всегда ссылается на тексты Платона.

План второй книги состоит из 11 пунктов. В отличие от первой книги она более разнородна. В ней можно выделить три части: первая посвящена философии геометрии; вторая представляет собой "каталог геометров"; третья посвящена конкретно Евклиду, его сочинениям, характеристике "Начал" в целом и их первой книге.

Приступая затем к ее комментированию, Прокл разбирает по порядку исторически и критически каждое определение, постулат и аксиому, после чего переходит к предложениям. Как правило, он сначала объясняет доказательство, данное Евклидом, а потом указывает несколько конкретных примеров для упражнения, и в конце опровергает возражения, которые делались или могут быть сделаны относительно аргументов доказательства. Лишь в одном случае он добавляет самостоятельно от себя новое, а именно, пытаясь доказать V постулат о параллельности после того, как он привел попытку Птолемея и возражения против нее. Прокл, при доказательстве опирался на неявное предположение о том, что расстояние между непересекающимися прямыми, лежащими в одной плоскости, ограничено, что равносильно доказываемому постулату. Попытка Прокла также как и Птолемея оказалась неудачной. (см. [6], [32])

Попытки доказательства пятого постулата продолжались вплоть до открытия великим русским ученым Лобачевским Неевклидовой геометрии. Это открытие поставило точку на пятом постулате Евклида



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

"Лучший метод для предвидения будущего развития математических наук заключается в изучении истории и нынешнего состояния этих наук". А. Пуанкаре

Очевидно, что незнание опыта развития науки, неумение его анализировать делает нас беспомощными перед задачами будущего. Отсюда вытекает необходимость изучения истории любой науки и, конечно, математика не является исключением. Мы, естественно не претендуем на полноту изложения и анализа, тем не менее, надеемся, что в данной работе достаточно адекватно отразили историю развития и отличительные особенности более, чем тысячелетней научной и философской традиции пифагорейства. Вообще говоря, в методологии каждой науки принято различать 4 уровня ее структурного состава:

1. факты, накопленные в результате экспериментов и наблюдений в ходе развития этой науки;

2. гипотезы, т.е. основанные на обобщении этих фактов научные предложения, которые объясняют их и которые подвергаются в дальнейшем проверке опытом;

3. теории и законы, т.е. подтвердившиеся гипотезы;

4. методология, т.е. общетеоретические и философские истолкования этих законов и теорий, характеризующее общий подход к изучению данного предмета.

Все эти элементы тесно связаны и находятся в постоянном развитии. В работе была сделана попытка раскрыть содержание всех четырех пунктов на всех этапах развития пифагорейства. И хотя их общая характеристика была уже дана выше, все-таки хотелось еще раз остановиться на этом.

Бессмертную славу неоплатоникам-пифагорейцам принесла не только их непревзойденная философия числа и не только дедуктивно-аксиоматический метод, дошедший до нас почти в неизменном виде в "Началах" Евклида.

Изучая пифагорейскую математику мы на каждом шагу убеждаемся в поразительном их умении находить глубокие, "вечные" проблемы мироздания. До сегодняшнего дня ждет своего решения проблема совершенных чисел, единственную пока формулу для которых нашли пифагорейцы. Ждет объяснения (математиков и философов) тайна "золотого сечения". Лишь в 19 веке было строго доказано, что все три знаменитые задачи древности (трисекция угла, квадратура круга, удвоение куба), также восходящие к трудам пифагорейцев, неразрешимы с помощью циркуля и линейки. Однако пифагорейцы умели не только ставить задачи, но блестяще их решать, как показано в данной работе. Кроме того, они создавали универсальные методы, пригодные для решения не просто отдельных, а целого класса задач. Несмотря на скудность источников, мы также можем явно проследить процесс дифференциации отдельных математических дисциплин в рамках единой математики, осуществленный пифагорейцами и их последователями. Так уже в школе Пифагора из арифметики была выделена в отдельную область теории чисел, т.е. совокупность математических знаний, относящихся к общим свойствам операций с натуральными числами. В это же время происходит интенсивная систематизация геометрических сведений. Были написаны специальные книги, в которых излагались накопившиеся к этому времени геометрические знания, причем уже делались попытки аксиоматизации. Открытие пифагорейцами иррациональности послужило толчком к созданию геометрической алгебры. Ее первичными элементами были отрезки прямой, а одним из ее методов был метод приложения площадей. Это в свою очередь повлекло за собой необходимость создания общей теории отношений, способной оперировать с несоизмеримыми величинами, т.е. с иррациональными. Такая теория была создана Евдоксом во второй половине IV в. до н.э.

Недостаточность геометрической алгебры как общей математической теории была особенно подчеркнута выделением класса задач, не поддающихся решению с помощью циркуля и линейки. В попытках решить эти задачи были открыты "луночки" Гиппократа, "конические сечения " Аполлония, в свою очередь конические сечения предопределили появление координатной сетки. А методы Архимеда для нахождения площадей криволинейных фигур на плоскости представляют собой зачаток интегрального исчисления, построенного через две тысячи лет трудами Ферма, Ньютона, Лейбница и др.

Если апофеозом всей математики стали "Начала" Евклида, то апофеозом физики стали труды Архимеда по механике.

Достижения пифагорейцев не ограничиваются только математическими или физическими. Ими была создана теория музыки, которая более 2 тысячелетий является фундаментом искусства музыки. Нельзя также себе представить развитие греческой науки без астрономии.

Пифагорейцы впервые выделили астрономию как науку. И здесь им принадлежит множество открытий: измерение Земли, создание календаря Эратосфеном, определение времени солнцестояния и т.д. Но главным достижением является построение геоцентрической модели мира, достаточно эффективно служившей вплоть до появления коперниковской системы. Даже уже сказанного достаточно для вывода о том, что своими открытиями пифагорейцы заложили фундамент европейской науки.

Совершенство и одновременно простота многих открытий пифагорейства делает их вполне доступными современным школьникам. Опыт, хотя и небольшой, позволяет сделать вывод о значительном повышении уровня усвоения материала учениками при введении элементов истории математики, значительный интерес вызывают оригинальные доказательства древних, особенно изложенных в занимательной форме.

Так будем помнить сами и дадим нашим ученикам знание того неоспоримого и часто забываемого факта, что Древняя Греция - колыбель нашей науки, а открытия эллинского гения не только сопоставимы с современными, но и часто превышают их по глубине проникновения в самую суть природы вещей.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лосев А.Ф. / История античной эстетики т. 1 М., 1994 г.

2. Лосев А.Ф. / История античной эстетики. Последние века. М., "Искусство", 1988 г.3. Лосев А.Ф. / История античной эстетики. Поздний эллинизм.

4. Лосев А.Ф. / История античной эстетики. т. 2 М., 1994 г.

5. Лосев А.Ф. / Миф. Сущность. Число./

6. Прокл / Комментарий к первой книге "Начал" Евклида. Введение / Греко-латинский кабинет, М. 1994г.

7. Евклид "Начала" I-VI книги. / Перевод и комментарии Д.Д. Мордухай-Болтовского. / М.; Л.: Гостехиздат, 1949 г.

8 Евклид "Начала" VII-X книги. / Перевод и комментарии Д.Д. Мордухай-Болтовского. / М.; Л.: Гостехиздат, 1949 г.

9. Евклид "Начала" VII-X книги. / Перевод и комментарии Д.Д. Мордухай-Болтовского. / М.; Л.: Гостехиздат, 1949 г.

10. Лебедев В.И. / Очерки по истории математики. Знаменитые задачи древности.

11. Лебедев В.И. / Очерки по истории математики. Кто автор первых теорем.

12. Цейтен Г.Г. / История математики в древние и средние века. перев. Юшкевича П. Государственное технико-теоретическое издательство . М.,1932 г.

13. Стройк Д.Я. / Немного истории.

14. Стройк Д.Я. / Краткий очерк истории математики. М."Наука" Главная редакция физико - математической литературы. 1984г.

15. Чистяков В.Д. / Три знаменитые задачи древности. М. 1963 г.

16. Смышляев В.К. / Знакомые имена.

17. Кольман Э.Я. / Математика до эпохи возраждения.

18. Гегель т. 1

19. Гегель т. 2

20. Даан-Дальмедико. / Пути и лабиринты. М 1986 г.

21. Лицман В. / Теорема Пифагора. М. 1960 г.

22. Башмаков Ю.А. / Хрестоматия по истории математики. М. 1976 г.

23. Волошинов А.В. / Пифагор. М. 1993 г.

24. Глейзер Г.И. / История математики. М. 1990 г.

25. Глейзер Г.И. / История математики в школе 9-10 кл. М. 1983 г.

26. Глейзер Г.И. / История математики в школе 6-9 кл.

27. Диоген Лаэртский. / О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов. "ТАНАИС", М., 1995г.

28. Бородин А.И., Бугай А.С. / Выдающиеся математики. Биографический словарь - справочник. Киев. "Радянська школа" 1987 г.

29. Рыбников / История математики./ "Московский университет" 1979 г.

30. Жмудь Л.Я. / Пифагор и его школа. / Л."Наука", 1990 г.

31. Юшкевич П. / История математики./

32. Кольман Э.Я./ История математика в древности. / Издательство физико-математической литературы, М., 1961 г.

Размещено на allbest.ru