Приближенное вычисление интегралов

Построение квадратурной формулы максимальной степени точности. Определение алгебраической степени точности указанной квадратурной формулы. Сравнительный анализ квадратурных формул средних прямоугольников и трапеций на примере вычисления интеграла.

Рубрика Математика
Вид лабораторная работа
Язык русский
Дата добавления 21.12.2015
Размер файла 195,9 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1

Методы численного анализа

Приближенное вычисление интегралов

МИНСК - 2014

Постановка задачи

1. Построить квадратурную формулу максимально возможной степени точности вида

.

2. Определить алгебраическую степень точности указанной квадратурной формулы

.

квадратурный формула алгебраический интеграл

3. Используя правило Рунге, провести сравнительный анализ квадратурных формул средних прямоугольников и трапеций на примере вычисления интеграла .

4. Вычислить с точностью интеграл .

5. Найти с точностью решение уравнения .

Решение

Задача №1

Построить квадратурную формулу максимально возможной степени точности вида

.

Построим систему линейных уравнений вида:

Получим:

Решение этой системы будет следующим: , , , .

Таким образом, квадратурная формула максимально возможной степени точности будет иметь вид:

Примечание: вычисления проводились вручную.

Задача №2

Определить алгебраическую степень точности указанной квадратурной формулы

.

Значение правой части

Значение левой части

1

2

2

0

0

0

0

0

0

Из таблицы видно, что АСТ указанной квадратурной формулы равна 5.

Примечание: вычисления проводились вручную.

Задача №3

Используя правило Рунге, провести сравнительный анализ квадратурных формул средних прямоугольников и трапеций на примере вычисления интеграла .

Формула средних прямоугольников:

.

Формула трапеций:

.

Правило Рунге:

точность достигнута и приближенное значение будет .

Критерий сравнения

КФ средних прямоугольников

КФ трапеций

Кол-во узлов в простой КФ

1

2

Класс функции

Число итераций, необходимых для достижения точности

4

5

Шаг, необходимый для достижения точности

0,125

0,0625

Приближенное значение интеграла (точность = )

0,478441

0,479534

Число итераций, необходимых для достижения точности

11

11

Шаг, необходимый для достижения точности

Приближенное значение интеграла (точность = )

0,4791634314

0,4791635669

Вывод: из таблицы мы видим, что квадратурная формула средних прямоугольников использует меньше узлов, чем квадратурная формула трапеций (количество узлов на единицу меньше). Этот факт дает нам понять о том, что число арифметических операций, затрачиваемых на выполнение одной итерации, у квадратурной формулы средних прямоугольников меньше, чем у квадратурной формулы трапеций. У обеих квадратурных формул функция является дважды дифференцируемой, поэтому требуемая точность достигается приблизительно одинаково. Но на практике квадратурная формула средних прямоугольников незначительно быстрее достигает требуемой точности, чем квадратурная формула трапеций, если сделать еще больше опытов (для нашей задачи). Исходя из наших заключений, мы можем с уверенностью сказать, что на практике квадратурная формула средних прямоугольников более предпочтительна, чем квадратурная формула трапеций, т.к. за одну итерацию она делает меньшее количество арифметических операций.

Листинг программы для задачи №3(язык программирования Java 6):

public class Test{

public static double e = 0.001,//0.0000001

a = 1, b = 3;

public static double f_x(double x){

return Math.log(Math.sin(x)*Math.sin(x)+3)/(x*x+2*x-1);

}

public static double f_middle_rect(int n){

double sum = 0.0;

for(int i=1; i<=n; i++) sum += f_x(a+(i-0.5)*(b-a)/n);

return sum*(b-a)/n;

}

public static double f_trap(int n){

double sum = 0.5*(f_x(a)+f_x(b));

for(int i=1; i<n; i++) sum += f_x(a+i*(b-a)/n);

return sum*(b-a)/n;

}

public static double h(int n){ return (b-a)/n; }

public static void main(String[] args){

int n1 = 1, n2 = 2, i = 1; double f;

while((f = Math.abs(h(n2)*h(n2)*(f_middle_rect(n2)-f_middle_rect(n1))/

(h(n1)*h(n1)-h(n2)*h(n2))))>e){ n1 *= 2; n2 *= 2; i++;}

System.out.printf("%d\n%.10f\n%.10f\n", i, h(n2), f_middle_rect(n2)+f*h(n2)*h(n2));

n1 = 1; n2 = 2; i = 1;

while((f = Math.abs(h(n2)*h(n2)*(f_trap(n2)-f_trap(n1))/

(h(n1)*h(n1)-h(n2)*h(n2))))>e){ n1 *= 2; n2 *= 2; i++;}

System.out.printf("%d\n%.10f\n%.10f\n", i, h(n2), f_trap(n2)+f*h(n2)*h(n2));

}

}

Задача №4

Вычислить с точностью интеграл .

Приведем исходный интеграл к более желанному виду:

Воспользуемся формулой:

Проводим дальнейшие вычисления по предыдущей формуле, начиная с =1, =2. На каждой итерации увеличиваем значения , в 2 раза. Требуемая точность достигается при выполнении условия:

Ответ: после запуска программы получили, что количество итераций k=4, точность равна 0,0000145681, значение интеграла с требуемой точностью .

Листинг программы для задачи №4(язык программирования Java 6):

public class Test{

public static double e = 0.0001, a = -1, b = 1;

public static double f_x(double x){

return (1-x*x)*Math.sin(x*x)/(1+Math.log(x+1)*Math.log(x+1));

}

public static double f_NAST(int n){

double sum = 0.0;

for(int i=0; i<=n; i++) sum += f_x(Math.cos(Math.PI*(2*i+1)/(2*n+2)));

return sum*Math.PI/(n+1);

}

public static void main(String[] args){

int n1 = 1, n2 = 2, i = 1; double f;

while((f = Math.abs(f_NAST(n2)-f_NAST(n1)))>e){ n1 *= 2; n2 *= 2; i++; }

System.out.printf("%d\n%.10f\n%.10f\n", i, f, f_NAST(n2));

}

}

Задача №5

Найти с точностью решение уравнения

Обозначим через Получили нелинейное уравнение:

решение которого можно найти методом Ньютона по формуле:

Наша расчетная формула для решения нелинейного уравнения примет вид:

Приближенное значение интеграла, находящегося в числителе расчетной формулы для нахождения корня уравнения, будем вычислять по составной квадратурной формуле средних прямоугольников, используя правило Рунге (точность ).

Сделаем отделение корней:

1. с точностью ; с точностью ;

2. , не равна нулю и сохраняет знак на отрезке ; , не равна нулю и сохраняет знак на отрезке ;

3. Начальное приближение . Возьмем . Проверим выполнение условия Фурье:

Таким образом, мы нашли начальное приближение для нахождения корня нашего нелинейного уравнения методом Ньютона: .

Примечание: вычисления проводились на WolframAlpha.

Ответ: после запуска программы получили: при количестве итераций , с точностью (квадратичная сходимость метода Ньютона).

Итерация

Решение нелинейного уравнения

Точность

1

2,67254642

0,227453578767844

2

2,52436649

0,148179930565486

3

2,46362236

0,060744123524822

4

2,45478895

0,008833410818934

5

2,45462216

0,000166793744647

6

2,45462210

0,000000059009325

Листинг программы для задачи №5(язык программирования Java 6):

public class Test{

public final static double e = 0.0001, a = 0;

public static double f_x(double x){ //подынтегральное выражение.

return Math.pow(x-1, 6)*(Math.log10(Math.pow(x*x+1, 0.5))+2);

}

public static double df_dx(double x){ //производная подынтегрального выражения.

return 6*Math.pow(x-1, 5)*(Math.log10(Math.pow(x*x+1, 0.5))+2)+

x*Math.pow(x-1, 6)/(Math.log(10)*(x*x+1));

}

public static double f_middle_rect(double b, double h, int n){ //КФСП.

double sum = 0.0;

for(int i=1; i<=n; i++) sum += f_x(a+(i-0.5)*h);

return sum*h;

}

public static double calc_integral_acc(double b){ //правило Рунге.

int n1 = 1, n2 = 2;

double f, h1 = (b-a)/n1, h2 = (b-a)/n2,

I1 = f_middle_rect(b, h1, n1), I2 = f_middle_rect(b, h2, n2);

while((f = Math.abs(h2*h2*(I2-I1)/(h1*h1-h2*h2)))>e){

n1 = n2; n2 *= 2; h1 = h2; h2 /= 2;

I1 = I2; I2 = f_middle_rect(b, h2, n2);

}

return I2+f*h2*h2; //значение интеграла с точносью e.

}

public static double calc_newton(double x){ //метод Ньютона.

return x-(calc_integral_acc(x)-5.0)/f_x(x);

}

public static void main(String[] args){

System.out.println(calc_integral_acc(3)-5);//для отделения корней.[2,3].

System.out.println(f_x(2.9)); //для проверки.

System.out.println(df_dx(2.9));//для проверки.

System.out.println((calc_integral_acc(2.9)-5)*df_dx(2.9));// условие Фурье.

double xk = 0.0, xk1 = 2.9; int i = 0;

while(true){

xk = xk1; xk1 = calc_newton(xk);

i++;

if(Math.abs(xk1-xk)<e) break;

System.out.printf("%d\n%.15f\n%.15f\n", i, xk1, Math.abs(xk1-xk));

}

System.out.printf("%d\n%.15f\n%.15f\n", i, xk1, Math.abs(xk1-xk));

}

}

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Задача численного интегрирования функций. Вычисление приближенного значения определенного интеграла. Нахождение определенного интеграла методами прямоугольников, средних прямоугольников, трапеций. Погрешность формул и сравнение методов по точности.

    методичка [327,4 K], добавлен 01.07.2009

  • Решение задачи по вычислению определенного интеграла с помощью квадратурных формул и основная идея их построения. Количество параметров квадратурного выражения, степень подынтегральной функции. Построение квадратурных формул с плавающими узлами.

    реферат [51,4 K], добавлен 08.08.2009

  • Вычисление двойного интеграла в прямоугольных координатах. Замена переменных в двойном интеграле. Аналог формул прямоугольников и формулы трапеции. Теорема существования двойного интеграла, его геометрический и физический смысл и основные свойства.

    курсовая работа [1,3 M], добавлен 13.02.2013

  • Использование численных методов, позволяющих найти приближенное значение определенного интеграла с заданной точностью. Анализ формул трапеции и параболы (Симпсона). Основной принцип построения формул приближенного вычисления определенного интеграла.

    презентация [96,6 K], добавлен 18.09.2013

  • Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл. Численные методы вычисления определенных интегралов. Формулы прямоугольников и трапеций. Применение пакета Mathcad для вычисления интегралов, проверка результатов вычислений с помощью Mathcad.

    курсовая работа [1,0 M], добавлен 11.03.2013

  • Вид определенного интеграла от непрерывной на заданном отрезке функции. Сущность квадратурных формул. Нахождение численного значения интеграла с помощью методов левых и правых прямоугольников, трапеций, парабол. Выведение общей формулы Симпсона.

    презентация [120,3 K], добавлен 18.04.2013

  • Способы вычисления интегралов. Формулы и проверка неопределенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции. Неопределенный, определенный и сложный интеграл. Основные применения интегралов. Геометрический смысл определенного и неопределенного интегралов.

    презентация [1,2 M], добавлен 15.01.2014

  • Математическая модель: определение интеграла и его геометрический смысл. Приближённые методы вычисления. Формула прямоугольников, трапеций, парабол. Программа для вычисления значения интеграла методом трапеций в среде пакета Matlab. Цикл if и for.

    контрольная работа [262,8 K], добавлен 05.01.2015

  • Постановка задачи вычисления значения определённых интегралов от заданных функций. Классификация методов численного интегрирования и изучение некоторых из них: методы Ньютона-Котеса (формула трапеций, формула Симпсона), квадратурные формулы Гаусса.

    реферат [99,0 K], добавлен 05.09.2010

  • Выбор точных методов численного интегрирования при наибольшем количестве разбиений. Вычисление интеграла аналитически, методом средних прямоугольников, трапеций, методом Симпсона. Вычисление интеграла методом Гаусса: двухточечная и трехточечная схема.

    курсовая работа [366,2 K], добавлен 25.12.2012

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.