Вычисление определенного интеграла

Вычисление определенного интеграла

Екатеринбург

2006

Вычисление определенного интеграла

Введение

Задача численного интегрирования функций заключается в вычислении приближенного значения определенного интеграла:

, (1)

на основе ряда значений подынтегральной функции .{ f(x) |x=x_k = f(x_k) = y_k}.

Формулы численного вычисления однократного интеграла называются квадратурными формулами, двойного и более кратного - кубатурными.

Обычный прием построения квадратурных формул состоит в замене подынтегральной функции f(x) на отрезке [a,b] интерполирующей или аппроксимирующей функцией g(x) сравнительно простого вида, например, полиномом, с последующим аналитическим интегрированием. Это приводит к представлению

В пренебрежении остаточным членом R[f] получаем приближенную формулу

.

Обозначим через y_i = f(x_i) значение подинтегральной функции в различных точках на [a,b]. Квадратурные формулы являются формулами замкнутого типа, если x₀=a , x_n=b.

В качестве приближенной функции g(x) рассмотрим интерполяционный полином на в форме полинома Лагранжа:

,

где

, при этом , где - остаточный член интерполяционной формулы Лагранжа.

Формула (1) дает

, (2)

где

. (3)

В формуле (2) величины {} называются узлами, {} - весами, - погрешностью квадратурной формулы. Если веса {} квадратурной формулы вычислены по формуле (3), то соответствующую квадратурную формулу называют квадратурной формулой интерполяционного типа.

Подведем итог.

1. Веса {} квадратурной формулы (2) при заданном расположении узлов не зависят от вида подынтегральной функции.

2. В квадратурных формулах интерполяционного типа остаточный член R_n[f] может быть представлен в виде значения конкретного дифференциального оператора на функции f(x). Для

.

3. Для полиномов до порядка n включительно квадратурная формула (2) точна, т.е. . Наивысшая степень полинома, для которого квадратурная формула точна, называется степенью квадратурной формулы.

Рассмотрим частные случаи формул (2) и (3): метод прямоугольников, трапеций, парабол (метод Симпсона). Названия этих методов обусловлены геометрической интерпретацией соответствующих формул.

Метод прямоугольников

Определенный интеграл функции от функции f(x): численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривыми у=0, x=a, x=b, y=f(x) (рисунок. 1).

Рис. 1 Площадь под кривой y=f(x)

Для вычисления этой площади весь интервал интегрирования [a,b] разбивается на n равных подинтервалов длины h=(b-a)/n. Площадь под подынтегральной кривой приближенно заменяется на сумму площадей прямоугольников, как это показано на рисунке (2).

Рис. 2 Площадь под кривой y=f(x) аппроксимируется суммой площадей прямоугольников

Сумма площадей всех прямоугольников вычисляется по формуле

(4)

Метод, представленный формулой (4), называется методом левых прямоугольников, а метод, представленный формулой(5) - методом правых прямоугольников:

(5)

Погрешность вычисления интеграла определяется величиной шага интегрирования h. Чем меньше шаг интегрирования, тем точнее интегральная сумма S аппроксимирует значение интеграла I. Исходя из этого строится алгоритм для вычисления интеграла с заданной точностью. Считается, что интегральная сумма S представляет значение интеграла I c точностью eps, если разница по абсолютной величине между интегральными суммами и , вычисленными с шагом h и h/2 соответственно, не превышает eps.

Метод средних прямоугольников