Теорема Силова

. ¦

Глава II. Теоремы Силова

2.1 Первая теорема Силова

Лемма 2.1.1. Пусть G конечная абелева группа порядка m и p -простое число, делящее m. Тогда G содержит подгруппу порядка p.

Для доказательства данного утверждения нам потребуется некоторые дополнительные понятия.

Пусть G - определена как и выше и a - некоторый элемент группы G натуральное число m такое, что a^m=e называется показателем элемента a. Среди показателей минимальным является порядок элемента a. ¦

Лемма 2.1.2. Все показатели элемента делится на его порядок.

Доказательство. Пусть n - порядок элемента a, то есть aⁿ=e, m>0 другой показатель элемента. Тогда по теореме о деление с остатком получаем m=nq+r, 0?r?n-1 и a^m=a^nq+r=(aⁿ)^q•a^r=e•a^r=a^r, так как 0?r?n-1 то r может равняться только нулю и поэтому m=nq и, очевидно, m делится n. Лемма доказана. ¦

Показатель группы G называется такое натуральное число m, что x^m=e для любого xG. Порядок группы принадлежит и числу его показателей.

Теперь возвратимся к доказательству Леммы 2.1.1. По условию леммы порядок группы G делиться на p. Если n делиться p, то в силу доказанного выше, в G существует элемент x такой что делиться на p. Пусть , s?, тогда x^s?e x^ps=(x^s)^p=e, то есть элемент x^s имеет порядок p. И, следовательно, порожденная им циклическая подгруппа <x> тоже будет иметь порядок p. Лемма 2.1.1. доказана. ¦

Теорема 2.1.3 ( первая теорема Силова). Пусть G - конечная группа порядка n, p - простое число. Тогда

a) (Существование) Для каждой степени p^б (б?1) делящий n, в G существует подгруппа порядка p^б.

b) (Вложение) Если p^б делит порядок G, то каждая подгруппа порядка

p^б-¹из G вложена в некоторую подгруппу порядка p^б из G.

Доказательство. а) Доказательство проведем индукцией по n.

1. При n=1 теорема очевидна (очевидна также теорема n=2, n=3).

2. Предположим, что теорема верна для всех групп порядков меньше n.

Далее рассмотрим два случая:

(i) Если Z центр группы G и порядок Z делиться на p. Тогда по лемме 2.1.1. так как Z - абелева группа и его порядок, делиться на p, то в Z существует подгруппа порядка p. То есть существует zZ такое, что , но любая подгруппа центра является нормальной подгруппой, следовательно . Рассмотрим фактор группу .

По теореме 1.2.1 (Лагранжа) или

и, следовательно, порядок делиться на поэтому по индукционному предположению в существует подгруппа порядка , тогда полный прообраз подгруппы , подгруппа P в группе G, по теореме 1.2.1. (Лагранжа) будем иметь порядок : следовательно, P - искомая подгруппа. (i) - доказано.

(ii) Порядок k центра Z не делиться на p, то есть НОД(k, p)=1, тогда разобьем G на классы сопряженных элементов. Класс одноэлементен если состоит из элементов центра. Пусть , тогда , где - не одноэлементные классы сопряженных элементов обозначим . Следовательно, так как по условию и НОД(k, p)=1, то хотя бы одно из чисел также должно быть взаимно просто с p.

По теореме 1.4.1. получаем, что если ,то мощность класса сопряженных с g элементов:

,

учитывая что - взаимно просто с p по теореме Лагранжа получаем, что делиться на р^б по индукционному предложению так как порядок N_G(g) меньше порядка G, то в N_G(g) содержится подгруппа порядка p^б. Вместе с (ii) доказано и а).

b) Пусть и порядок . Обозначим Д - класс подгрупп сопряженных с P элементами из группы G. Рассмотрим два случая.

(i) Порядок Д и P взаимно просты, то есть НОД(Д,P)=1 по теореме 1.4.1. Д= в силу теоремы Лагранжа, получаем: и, следовательно, Дотсюда следует, так как порядок G делится на , и НОД(Д,)=1, то поэтому по пункту а): существует подгруппа группы , . Откуда получаем, что полный прообраз подгруппы подгруппа H имеет

p^б-1?p=p^б и .

(ii)

(iii) Порядок Д делиться на p.

Пусть Д={P}Д₁…Д_m, Д - это разбиение на подклассы подгрупп сопряженных с P. Если порядок Д=m+1, то

Д=,

Д=

(Обозначим Д₁ - подклассы подгрупп сопряженных с P₁, Д₂ - подклассы подгрупп сопряженных с P₂ и т. д.). Тогда если Q_iД_i, то

Д= - по теореме 1.4.1. так как по теореме Лагранжа

, то Д_i =p^б, где 0?б?б-1.

Откуда Д= и по условию порядок Д делиться на p. Следовательно, должно существовать i - такое, что б_i=0 и Д_i=1, значит, в подклассе Д_i лежит только одна подгруппа. Пусть Д_i={Q}, тогда для любого pP: p-¹Pp=Q то есть P нормализует Q и . Далее применяя предложение 1.5.5 получаем, что PQ подгруппа группы G, причем . Применяя теорему 1.5.6. (об изоморфизме) имеем . Отсюда по теореме Лагранжа следует . Учитывая, что Q сопряжено с P получаем: , где в >0 (так как если в=0, то и, следовательно , что неверно).

Сейчас применим к подгруппе PQ внутренний, автоморфизм группы G, который пересекает подгруппу Q в Q^g=P. Получаем, что образ подгруппы PQ при этом автоморфизме будет являться подгруппа.

,

причем P будет являться нормальной подгруппой группы P'P. Рассмотрим фактор группу P^'P/P, , >0. Следовательно, P^'P/P существует, по пункту а) подгруппа порядка p. Тогда полный прообраз подгруппы подгруппа H и будет являться искомой подгруппой порядка . Пункт b) теоремы доказан полностью. ¦

2.2 Вторая и третья теорема Силова

Максимальная по вложению p-подгруппа конечной группы G называется силовской p-подгруппой группы G. Из доказанной теоремы вытекает в частности, что силовские p-подгруппы конечной группы, это в точности подгруппы порядка p^t где p^t - максимальная степень p делящий порядок группы.

Теорема 2.2.1. (вторая теорема Силова)

(Сопряженность) Все силовские p - подгруппы группы G сопряжены.

Доказательство. Пусть P - силовская подгруппа, если , где НОД(p,m)=1, то . Пусть, Д как и раньше класс подгрупп, сопряженных с P элементами из G. Покажем, что если Q симметрическая p - подгруппа, то QД. Из теоремы 1.4.1. имеем

Д=.

По теореме Лагранжа, получаем

ДДД, НОД(Д,p), откуда Д и, следовательно, разобьем Д на подклассы подгрупп сопряженных между собой элементами из Q: Д=Д₁?₂…?_k

Если подгруппа SД_i, то Д, .

Следовательно, Д.

Отсюда так как НОД(Д, то существует i такое что и Д_i={S}. Таким образом, S^q=S и, значит, . Тогда по предложению 1.5.5. подгруппа группы G, . Применяя теорему 1.5.6 (об изоморфизме) получаем: . Откуда получаем . Следовательно, по теореме Лагранжа порядок G делиться , но t - максимальная степень числа p, поэтому б=0 и . Отсюда следует и значит Q=S (так как ). И так Д, что и требовалось доказать.

Теорема 2.2.2. (третья теорема Силова)

(Количество) Количество силовских p-подгрупп группы G сравнимо с 1 по модулю p и делит порядок G.

Доказательство. Пусть P - силовская p-подгруппа, Д - класс всех подгрупп сопряженных с p элементами из G.

По теореме 2.2.1. (вторая теорема Силова) Д совпадает с множеством всех силовских p-подгрупп так как

Д, по теореме Лагранжа

Д, то есть порядок G делиться на порядок Д.

Разобьем Д на подклассы подгрупп сопряженных между собой элементами из P: Д={P}Д₁…Д_s, если подгруппа RД, то |Д|=и, следовательно, |Д_i|=, . Если Д_i={R} и . В силу предложения 1.5.5. получаем что RP=PR подгруппы группы G и .

Далее по теореме 1.5.6. (об изоморфизме) получаем , следовательно, так как t - максимальная степень числа p, то n=0, отсюда следует . Противоречие с тем что , поэтому и, следовательно, имеем:

|Д|=, таким образом, порядок |Д |=1 (mod p). Теорема доказана. ¦

Теорема 2.2.3. Справедливо следующее утверждение:

i) Силовская р-подгруппа Р группы G нормальна в G тогда и только тогда, когда она единственна.

ii) Конечная группа G порядка является прямым произведением своих силовских -подгрупп в точности тогда, когда все эти подгруппы нормальны в G.

Доказательство: (i) Все силовские подгруппы, отвечающие данному простому делителю р порядка , по второй теореме Силова сопряжены. Условие единственности Р означает, что для любого элемента то есть .

(ii) Докажем вначале

Необходимость. Пусть , где - силовские подгруппы группы G. Тогда в силу теоремы 1.4.5 нормальна в G как любой прямой множитель.

Достаточность. Пусть теперь нормальна в G и , то есть каждая силовская подгруппа единственна в G. Заметим, во первых, что если , , и, следовательно, x=e. Стало быть, отсюда для любых , учитывая, что .

. С другой стороны, так как , то

, отсюда следует, то есть элементы и перестановочны.

Пусть единичный элемент записан в виде , где - элемент порядка . Обозначив и воспользовавшись перестановочностью , получим

 (1)

Учитывая, что - это порядок элемента . Из последнего равенства (1) получаем , так как и взаимно просто, то . Это верно при любом j, и, значит равенство возможно лишь при .

С другой стороны каждый элемент порядка , записывается в виде,

, , . (2)

Достаточно положить , где показатели определяются условиями

, .

Предположим теперь, что х допускает другую запись в виде произведения - элементов , то есть справедливо равенство .

Домножим обе части равенства справа на , получим

В силу перестановочности и будем иметь



как было показано выше, влечет равенства , то есть

Таким образом, каждый элемент группы G записывается и притом единственным образом в виде (2), то есть смотри 4 п. 2 ¦

2.3 Описание групп порядка pq

Теорема Силова часто дает весьма существенную информацию о данной конечной группе, а группы не очень большие позволяет описать полностью.

Пусть , p и q простые числа.

1. Рассмотрим первый случай, когда p=q, то есть порядок . Тогда по теореме 1.4.4. G - абелева.

2. Пусть p и q по-прежнему простые числа, но p<q.

Тогда в группе G по первой теореме Силова существует силовские подгруппы порядка p и q, которые по следствию 2. теоремы Лагранжа будут являться циклическими.

Пусть - силовские p- и q- подгруппы соответственно. По третьей теореме Силова число силовских q- подгрупп в G равно

и делит pq. Откуда следует, что и подгруппа - единственна. В силу теоремы 2.2.3. (i): . Аналогично число силовских p-подгрупп равно и делит pq. Здесь возможно два случая: и .

а) Силовская - единственна, тогда она нормальна в G. Применяя туже теорему 2.2.3., но уже пункт (ii), получаем, что . По теореме 1.1.3. , следовательно, таким образом, в этом случае . ¦

в) 1+kp=q, то есть имеется q силовских p-подгрупп. Из условия 1+kp=q следует или . В силу второй теоремы силова подгруппы и сопряжены. Пусть

(1)

Если r=1, то или ba=ab. Из последнего равенства следует, что и значит, как и выше . Пусть и r>1 тогда выясним, какое может быть r удовлетворяющее равенству (1). Из равенства (1) индукцией по x получаем , откуда

, (2)

для всех целых x, y.

При x=p, y=1 из равенства (2) будем иметь вид так как , то получаем или . Известно, что если элемент х группы G имеет порядок n, то тогда и только тогда когда . Следовательно, , то есть или .

Кроме того, из равенства (2) можно получить более общую формулу умножения. Домножим равенство (2) слева на а^х: далее полученное равенство домножаем слева a^z: из полученного равенства умножаем, справа на элемент b^t получаем

 (3)

Обратно покажем, что если , и r не сравнимо с 1 по (mod q) то формула (3) определяет неабелеву группу порядка pq.

Таким образом с помощью теоремы Силова мы описали все возможные типы групп порядка pq, при условии, что p<q их оказалось два - абелев и неабелев, причем второй существует только при условии .

2.4 Примеры силовских подгрупп

Пример 1. Если порядок n аддитивной группы кольца вычетов ?_n имеет каноническое разложение , то, как в 3 ?_n разлагается в прямое произведение своих силовских p-подгрупп, которые являются циклическими подгруппами , то есть

.

Пример 2. Рассмотрим обще линейную группу над конечными полями GF(q) из q элементов. Напомним, что общей линейной группой GL_n(q) называется группа всех обратимых матриц порядка n над полем GF(q). Унитриугольную подгруппу UT_n(q) группы GL_n(q) составляют все матрицы с нижним нулевым углом и единицами на главной диагонали.

Пусть - простое число, m, n - целые числа и . Покажем, что UT_n(q) - силовская р-подгруппа группы GL_n(q). Для этого подсчитаем порядки этих групп.

Выясним, какие последовательности из n элементов поля GF(q) могут быть первой строкой невырожденной матрицы. Очевидно, любые кроме нулевой, то есть всего таких последовательностей qⁿ-1 штук. Если первая строка выбрана, то в качестве второй строки можно

взять любую не пропорциональную первой. Таких строк qⁿ-q. Если две первые строки уже выбраны, то в качестве третьей можно взять любую строку, не зависящую линейно от первых двух, это даст qⁿ-q² возможностей и так далее. Значит

,

так как условные элементы матрицы из UT_n(q) пробегают независимо друг от друга все поле, а всего условных мест С²_n, то . Преобразуем выражение

.

Вынесем из второй скобки равенства - q, из третьей - q² и из n - q^n-1, получим

.

Учитывая, что окончательно получаем,

.

В свою очередь так как, , но .

Теперь из сравнения порядков групп GL_n(q) и UT_n(q) видем, что UT_n(q) силовская p-подгруппа в GL_n(q).

Заключение

В процессе выполнения данной дипломной работы были выполнены все поставленные задачи, тем самым цель работы достигнута.

В первой главе были собраны вспомогательные понятия и теоремы, используемые в дипломной работе.

Во второй главе доказываются теоремы Силова и дается описание групп порядка pq.

Материалы данной дипломной работы могут быть использованы при чтении спецкурсов посвященных как теории групп вообще, так и отдельным её разделам.

Список литературы

1. Варпаховский Ф.Л. и др. Алгебра. Группы, кольца, поля. Векторные и евклидовы пространства. Линейные отображения. - Учебное пособие. - М.: Просвещение, 1978 .

2. Каргополов М.И, Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. - М.: Наука,

1982.

3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. - Учебник для вузов. - М.: Физико-математичекая литература, 2001.

4. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры. - Учебник для вузов. - М.: Физико-математичекая литература,

2001.

5. Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. - Учебник для вузов. - М.: ФИЗМАЛИТ, 2001.

6. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - Учеб. пособие для педагогических институтов. - М.: Высш. школа, 1979.

7. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1965.

8. Курош А.Г. Теория групп. - М.: Гостехиздат, 1953.

9. Ларин С.В. Лекции по теории групп. - Красноярск, 1994.

10. Ленг С. Алгебра. - М.: Мир, 1968.

11. Ляпин Е.С. и др. Упражнения по теории групп. - М.: Наука, 1967.

12. Нечаев В.А Задачник-практикум по алгебре. - М.: Просвещение, 1983.

13. Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. - Учебное пособие для вузов. - М.:

Наука, 1984.

14. Холл М. Теория групп. - М.: ИЛ, 1962.

Размещено на Allbest.ru