Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

Введение

Глава I. Дополнительные сведения

1.1 Вспомогательные понятия и утверждения

1.2 Смежные классы по подгруппе и теорема Лагранжа

1.3 Нормальные подгруппы. Классы сопряженных элементов

1.4 Нормализатор множества в группе. Центр группы

1.5 Теоремы о гомоморфизмах

Глава II. Теорема Силова

2.1 Первая теорема Силова

2.2 Вторая и третья теорема Силова

2.3 Описание групп порядка pq

2.4 Примеры силовских подгрупп

Заключение

Список литературы

Введение

В наши дни не без основания говорят об “алгебраизации” математики, то есть о проникновении идей и методов алгебры, как в теоретические, так и в прикладные разделы всей математики.

В соответствии с принципом “важны не математические объекты, а отношения между ними” алгебра определяется как наука об алгебраических операциях, выполняемых над элементами различных множеств. Сами алгебраические операции выросли из элементарной арифметики. В свою очередь на основе алгебраических соображений получаются наиболее естественные доказательства многих факторов из “высшей арифметики” - теории чисел. теорема силов лагранж

Одной из основных типов алгебраических систем является группа. Теория групп изучает в самой общей форме свойства алгебраических операций, наиболее часто встречающихся в математике и её приложениях. Понятие группы явилось исторически одним из первых примеров абстрактных алгебраических систем и послужило во многих отношениях образцом при перестройке других математических дисциплин на рубеже XIX-XX веков, в результате которой понятие математической системы стало основным в математике.

В ряду алгебраических дисциплин составляющих совокупности, то, что иногда называют общей алгеброй, теория групп занимает, бесспорно, первое место как наиболее развита из этих дисциплин. Кроме того, теория групп представляется как область алгебры близко соприкасающийся с рядом других алгебраических теорий.

Старейшей и интенсивно развивающей ветвью теории групп, является теория конечных групп. Теорема Силова является краеугольным камнем в теории конечных групп.

Целью данной дипломной работы является изучение силовских р-подгрупп конечной группы и их свойств.

Цель обусловила постановку и решение следующих задач.

1. Изучить основные понятия теории групп.

2. Рассмотреть теорему Силова и проанализировать различные способы доказательства.

3. Представить данную тему в развернутой форме, которая в последствии может быть использована при чтении спецкурсов по теории групп.

Поставленные задачи определили структуру дипломной работы, которая состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.

В первой главе собраны вспомогательные понятия и теоремы, используемые в работе, что позволило сделать изложение более доступным и замкнутым.

Во второй главе дается определение р-подгруппы, доказываются теоремы Силова, дается описание групп порядка pq и, кроме того, приводиться примеры силовских р-подгрупп.

Глава I. Дополнительные сведения

1.1 Вспомогательные понятия и утверждения

Непустое множество G с заданной на нем бинарной алгебраической операцией * называется группой, если выполнено следующие условия:

замкнутость - для любого a,bG элемент ab G;

ассоциативность - для любых a,b,c G справедливо равенство (ab)c=a (bc) ;

существование нейтрального элемента - для любого aG существует элемент eG такой, что ae = ea=a;

существование обратного элемента - для любого существует элемент a^-1G такой, что aa^-1=a^-1a=e.

Подмножество H группы G называется подгруппой, если относительно операции определенной во всей группы подмножество само является группой.

Предложение 1.1.1. Если подмножество H элементов группы G содержит вместе с двумя элементами a, b их произведение ab и вместе с каждым элементом a его обратный a^-1, то H есть подгруппа G.

Доказательство. Надо лишь показать, что H обладает единицей, но единица G равна aa^-1 при aH и, следовательно, принадлежит H согласно условиям предложения. ¦

Группа <G , > называется циклической, если она состоит из всех целых степеней одного элемента aG, то есть G={aⁿ | n?} и обозначается G=<a> - циклическая группа, порожденная элементом a .

Теорема 1.1.2. Всякая подгруппа циклической группы сама является циклической группой.

Доказательство. Действительно, если подгруппа H группы G=<g> содержит только нулевую степень элемента g, то в H имеется только один элемент - единица e группы G (поскольку g⁰=e). В этом случае, очевидно, H=<e>.

Если же в подгруппе H содержится какая-нибудь ненулевая степень элемента g, то в ней содержится и некоторая положительная степень g, так как вместе со всяким элементом g^k в подгруппу H входит и обратный ему элемент g-^k. Пусть n - наименьшая из положительных степеней элемента g, содержащихся в H, и h=gⁿ. Покажем, что H=<h>, то есть, что H исчерпывается различными степенями элемента h:

…, h^-2, h^-1, h⁰=e, h¹, h², ….

Допустим противное, получим, что в H содержится элемент g^s и s не делиться на n. Но тогда s можно представить в виде nq+r, где 0<r<n, откуда g^s=(gⁿ)^qg^r=h^qg^r. Значит, и элемент h-^q(h^qg^r)=g^r содержится в H, а это противоречит тому, что n - наименьшая из положительных степеней элемента g, содержащихся в H. ¦

Из этого рассуждения следует, в частности, что любая подгруппа аддитивной группы ? целых чисел является либо единичной подгруппой H={0}, состоящей из единственного элемента 0, либо подгруппой H_n, состоящей из чисел, кратных некоторому целому числу n?1:

…,-2n, -n, 0, n, 2n, ….

Напомним, что две группы G и G' с операциями и называется изоморфными, и обозначаются G G', если существует отображение f: G G' такое, что:

f(ab)=f(a) f(b) для любых a, bG - отображение f сохраняет выполнимость операций в G и G', то есть отображение f -гомоморфно.

f - взаимнооднозначно.

Теорема 1.1.3. 1) Любая бесконечно циклическая группа изоморфна аддитивной группе целых чисел ?.

2) Любая конечно циклическая группа порядка n изоморфна аддитивной группе классов вычетов по модулю n.

Доказательство. 1) Определим отображение ц: G >?, где ц(aⁿ)= n, тогда:

Так как все целочисленные степени элемента a различны, то отображение ц(aⁿ)=n является биективным или взаимнооднозначным.

b) Сохраняются операции во множествах: ц(aⁿa^k) = n+k = ц(aⁿ)+ц(a^k).

Таким образом, 1) доказано.

2) G={e, a¹,…,aⁿ-¹} - циклическая группа. Определим отображение ц таким образом: G >?_n, где ц(a^k)= для любого a^k из группы G, где k принимает значения от 0 до n-1.

Тогда двум равным элементам из группы G соответствуют два равных элемента из ?_n: из того, что a^m = a^k a^m-k = e m-k : n, по определению, m=k (mod n)

b) Сохраняется выполнимость операций в группах: (a^ka^m)=(a^k+m)= === ц(a^m)+ц(a^k). ¦

Теорема 1.1.4. Пересечение любого множества подгрупп есть подгруппа.

Доказательство. Пусть A и B - подгруппы группы <G,*>. Докажем, что H=AB - подгруппа.

1) Замкнутость H относительно умножения.

a,bH

2)

3) aH=A ¦

Если M - произвольная часть группы G, то пересечение (M) всех подгрупп, содержащих M, называющиеся подгруппой, порожденной множеством M, а само M - порождающим множеством подгруппы (M). Иногда говорят, что элементы множества M являются порождающими элементами подгруппы (M). Группа, обладающая конечным порождающим множеством, называется конечно порожденной. ¦

Теорема 1.1.5. Если M - подмножество группы G, то

(M) = .

Доказательство.

Обозначим правую часть через H, так как подгруппа (M) содержит все a_i из M, то (M) H. С другой стороны, HHH, H^-1H, поэтому H - подгруппа, содержащая M. Отсюда H (M) и окончательно H=(M). ¦

Если каждое соотношение в группе G относительно порождающего множества M является следствием из некоторого множества соотношений Ф, то Ф - называют определяющим множеством соотношений группы G относительно порождающего множества M. Группы, имеющие конечное число определяющих соотношений, называются, конечноопределенными. Именно такие группы часто возникают в приложениях теории групп к геометрии и топологии. Иногда определяющие соотношения таковы, что элементам группы удается дать некоторую каноническую запись, и умножение элементов в канонической записи не представляет труда. Рассмотрим примеры этого рода.

Пример 1. Группа задана двумя образующими a и b, связанными соотношениями a²=1 (то есть a=a^-1), b³=1 и aba=b². Очевидным следствием из этих соотношений является ab²a=b. Последние два соотношения можно записать в форме ba=ab² и b²a=ab. Эти соотношения позволяют переносить образующий a через b или b² справа налево, заменяя b на b² и b² на b. Это позволяет записать любой элемент группы в форме a^kb^m при k=0,1 и m=0,1,2. Рассматривая элементы этого вида формально, с правилами умножения, вытекающими из правила переноса a справа налево и условий a²=1 и b³=1, нетрудно проверить, что символы a^kb^m действительно образуют группу. Она конечна, её порядок равен 6. Легко видеть, что она изоморфна симметрической группе S₃ подстановок из трех элементов. Изоморфизм дается соответствием a (1,2), b (1,2,3).

Пример 2. Группа задана двумя образующими c, a и соотношениями a²=1 и aca=c^-1. Здесь образующий c свободен, то есть порождает бесконечно циклическую группу. Очевидным следствием из этих соотношений является ac^ma=c-^m при любом целом m. Из соотношения ac^ma=c^-m следует правило переноса образующего a справа налево, именно, c^ma=ac^-m. Это правило позволяет записать любой элемент группы в виде a^kc^m при k=0,1 и любом целом m. Легко проследить, что символы a^kc^m при умножении с правилами, обусловленными соотношениями a²=1 и c^ma=ac^-m, действительно образуют группу.

1.2 Смежные классы по подгруппе и теорема Лагранжа

п.1. Пусть в группе G дана подгруппа H. Если a есть произвольный элемент из G, то произведение aH называется левым смежным классом группы G по подгруппе H, определенным элементом a. Аналогично дается определение правого смежного класса.

Представление группы G в виде объединения левых (правых) смежных классов по подгруппе H называется левосторонним (правосторонним) разложением группы G по подгруппе H.

G=.

Любые два левых (правых) смежных класса по одной и той же подгруппе либо не пересекаются, либо совпадают.

Предположим, что докажем, тогда что .

Имеем, следовательно, существует , такой что . Тогда, так как существует такой что, следовательно .

Пусть y произвольный элемент группы H. Тогда элементы xy и x-¹ yH. Поэтому элемент cy=(ax)y=a(xy)аH, а элемент ay=(cx-¹)y= =c(x-¹y) cH, так как каждый элемент из cH содержится в aH и наоборот, то aH=cH. Аналогично так же bH=cH и, следовательно, aH=bH.

Аналогично доказывается условие совпадения правых смежных классов: . ¦

Любые два левых (правых) смежных класса по одной и той же подгруппе содержат одинаковое количество элементов.

В самом деле, докажем, что произвольный смежный класс aH содержит столько же элементов, сколько их в подгруппе H. Имеем:

,

.

Рассмотрим отображение ц: gH>H по правилу ц(gh_i)=h_i для любого h_iH. Заметим что

2) ц - отображение, то есть .

Действительно, .

2) отображение ц взаимно однозначно, что доказывает проведение предыдущих рассуждений в обратном порядке.

2) ц - отображение на H. В самом деле, прообразом произвольного элемента hH является элемент ghgH: ц(gh)=h. Итак, ц - взаимно однозначное отображение gH на H, отсюда следует, что gH и H содержат одинаковое количество элементов. ¦

Если группа G состоит из конечного числа элементов, то она называется конечной группой, а число элементов в ней порядком группы.

Теорема 1.2.1. (Лагранжа) Порядок подгруппы конечной группы является делителем порядка группы.

Доказательство. Пусть H - подгруппа конечной группы G и - множество всех различных левых смежных классов группы G по подгруппе H. Тогда,

G=. (1)

Причем любые два смежных класса, входящие в это объединение, не пересекаются, как было отмечено выше. Поэтому если n - число элементов множества G и m - число элементов множества H, то есть число элементов в каждом левом смежном классе, то в силу (1), получаем или , где индекс - количество смежных классов в разложение (1). Теорема доказана. ¦

Следствие 1. Порядок элемента конечной группы, является делителем порядка группы.

Доказательство. Пусть G - конечная группа, а его элемент порядка m. Тогда циклическая группа, порожденная элементом порядка m, имеет тоже порядок m, то есть . Отсюда по теореме 1.2.1. m является делителем порядка всей группы G. ¦

Следствие 2. Пусть G - группа простого порядка, тогда G - циклическая группа (изоморфна ? _p).

Доказательство. Действительно, группа G совпадает с циклическойподгруппой порожденной любым её отличным от е, элементом.

п.2. Покажем, что теорему Лагранжа нельзя обратить, то есть не для любого делителя m порядка группы существует подгруппа порядка m. Например, знакопеременная группа A₄ - подстановок четной степени не содержит подгруппы порядка 6. Хотя число 6 делит её порядок равный 12. Докажем это, предварительно сформулируем утверждение.

Произвольная группа порядка 6 либо изоморфна ?₆, либо изоморфна группе S₃.

Доказательство. Пусть G - отличная от единичной группа,

, тогда по следствию теоремы Лагранжа, все элементы искомой группы могут иметь порядки 1, 2, 3, 6. Рассмотрим три случая.

1) Если элемент порядка 6, тогда данная группа циклическая, изоморфна ?₆.

2) Все неединичные элементы имеют порядок 2. Тогда группа G - абелева.

Пусть для любого элемента aG выполняется условие a²=e. В этом случае, если b также элемент группы G, то верно равенство:

(ab)²=e, откуда, (ab)(ab)=e и a(ba)b=e Умножим полученное равенство слева на a, справа на b, получим ba=ab. Отсюда вытекает, что группа G- абелева.

Пусть a,b элементы группы G. Несложно видеть, что множество элементов является подгруппой группы G (достаточно проверить замкнутость и условие существование обратного элемента.) Порядок этой подгруппы равен 4. Этого быть не может по теореме Лагранжа (4 не является делителем 6). Следовательно, этот случай не имеет место.

3) Все неединичные элементы G имеют порядок 2 или 3 и есть обязательно элемент порядка 3.

Пусть a³=e, тогда a²=b, bG и обозначим за с - четвертый элемент группы G, отличный от трех предыдущих.

Рассмотрим произведение ec, ac, a²c. Покажем, что ac=d, a²c=f -новые элементы группы G.

· Если ac=e, то c=a²=b, противоречие с условием

· Если ac=a, то c=e, противоречие.

· Если ac=a²=b, то a²a-¹=a-¹ac, или a=c, противоречие.

· Если ac=c, то a=e, противоречие.

Итак, ac=dG.

· Если a²c=e, то c=a противоречие.

· Если a²c=a, то c=b противоречие.

· Если a²c=a², то c=e противоречие.

· Если a²c=c, то a²=e противоречие с условием a³=e.

· Если a²c=ac, то a=e противоречие.

Таким образом, группа G состоит из 6 элементов: G=.

Докажем, что c²=e. Действительно, очевидно, что c²? c, ac, a²c.

Если было бы c²=a (или c²=a²), то выполняется следующие c³=c²c=ac=d?e, противоречие с условием, что все элементы группы G имеют либо второй или третий порядок (следовательно, c³=c²c=a²c=f?e). Таким образом, ни c², ни c³ не равно e, что противоречит условию. Значит c²=e.

Покажем также, что d²=f²=e, то есть c произвольный элемент не входящий в подгруппу , то d²?a, a²(f²?a, a²). Не сложно видеть, что d²=(ac)²?c (иначе d=ac=b), d²=(ac)²?ac, d²=(ac)²?a²c=f (иначе f=a²c=b). Таким образом, d²=(ac)²=e и более того, a³=c²=(ac)(ac)=e.

Известно, что симметрическую группу подстановок S₃,можно задать двумя образующими и тремя определяющими соотношениями. Следующим образом S₃= где в качестве x можно взять подстановку , а в качестве y: .

Следовательно, мы можем утверждать, что . Таким образом, если G группа и , то G изоморфна либо ?₆, либо S₃.

Далее выпишем все элементы группы A₄ и построим таблицу умножения элементов.

Все 4!=24 перестановки из четырёх символов 1, 2, 3, 4 расположим в таком порядке, чтобы каждая последующая перестановка получалась от предыдущей с помощью одной транспозиции (перемены мест двух символов).

Начнём с перестановки 1, 2, 3, 4. Итак, .

Так как всякая транспозиция меняет четность перестановки, то в полученном ряду все перестановки, взятые через одну, являются четными (они подчеркнуты).

Теперь уже легко составить все искомые четные подстановки достаточно в каждой из них в качестве первой строки записать перестановку (1234), а в качестве второй строки одну из найденных четных перестановок. Итак,

A₄=

.

Строим таблицу умножения.

Таблица 1

e

a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

a8

a9

a10

a11

e

e

a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

a8

a9

a10

a11

a1

a1

a2

e

a4

a5

a3

a7

a8

a6

a10

a11

a9

a2

a2

e

a1

a5

a3

a4

a8

a6

a7

a11

a9

a10

a3

a3

a7

a9

a11

a8

a1

a2

a5

a10

a6

a4

e

a4

a4

a8

a10

a9

a6

a2

е

a3

a11

a7

a5

a1

a5

a5

a6

a11

a10

a7

e

a1

a4

a9

a8

a3

a2

a6

a6

a11

a5

a7

e

a10

a4

a9

a1

a3

a2

a8

a7

a7

a9

a3

a8

a1

a11

a5

a10

a2

a4

e

a6

a8

a8

a10

a4

a6

a2

a9

a3

a11

e

a5

a1

a7

a9

a9

a3

a7

a1

a11

a8

a10

a2

a5

e

a6

a4

a10

a10

a4

a8

a2

a9

a6

a11

e

a3

a1

a7

a5

a11

a11

a5

a6

e

a10

a7

a9

a1

a4

a2

a8

a3

Из таблицы 1 видим, что элементами второго порядка будут:

и, кроме того, эти элементы попарно перестоновочны. Заметим, что в A₄ нет элементов шестого порядка. Действительно, a₁=a₁a₁a₁=e элемент третьего порядка,

a₂=a₂a₂a₂=e элемент третьего порядка,

a₃=a₃a₃a₃=e элемент третьего порядка,

a₄=a₄a₄a₄=e элемент третьего порядка,

a₆=a₆ a₆ a₆=e элемент третьего порядка,

a₇=a₇a₇a₇=e элемент третьего порядка,

a₁₀=a₁₀a₁₀a₁₀=e элемент третьего порядка,

a₁₁=a₁₁a₁₁a₁₁=e элемент третьего порядка.

Из приведенных вычислений следует, что в группе A₄ нет элемента шестого порядка. Следовательно, искомая подгруппа A₄ не изоморфна циклической группе ?₆.

Заметим также, что в группе подстановок S₃ существуют элементы второго порядка, но они не перестановочны. В самом деле, выпишем все элементы симметрической группы.

S₃=.

Построим их таблицу умножения.

Таблица 2

	e	s1	s2	s3	s4	s5
е	e	s1	s2	s3	s4	s5
s10	s1	e	s3	s2	s5	s4
s2	s2	s5	s4	s1	е	s3
s3	s3	s4	s5	e	s1	s2
s4	s4	s3	e	s5	s2	s1
s5	s5	s2	s1	s4	s3	e

Несложно видеть, что элементы s₁, s₃, и s₅ будут элементами второго порядка, но они как видно из таблицы 2 не перестановочны, и, следовательно, никакая подгруппа группы A₄ не изоморфна группе S₃. Утверждение доказано.

1.3 Нормальные подгруппы. Классы сопряженных элементов

Если левостороннее разложение группы G по подгруппе H совпадает с правосторонним, то H называют нормальной подгруппой группы G (нормальный делитель, инвариантная подгруппа) и обозначается . Для любого элемента gG будет выполняться равенство

Hg=gH , (1)

то есть подгруппа H будет перестановочна с каждым элементом группы G.

Пусть H - нормальная подгруппа G. Определим умножение смежных классов формулой:

aH?bH=abH (2)

Ясно, что условие (1) равносильно условию g-¹Hg=H.

Говорят, что элемент, а сопряжен с элементом b посредствам элемента g, если . Часто используют степенные обозначения .

Теорема 1.3.1. Множество всех смежных классов группы G по нормальной подгруппе H относительно умножения (2) является группой, которая называется факторгруппой группы G по H и обозначается G/H.

Доказательство. 1) Ассоциативность умножения классов вытекает из ассоциативности умножение элементов группы. Пусть g₁, g₂, g₃ G, тогда

(g₁Hg₂H)?g₃H = (g₁g₂)H?g₃H = g₁g₂g₃H = g₁(g₂g₃)H= =g₁H (g₂g₃)H = g₁H?(g₂H?g₃H).

2) Единицей в G/H будет смежный класс eH=H, так как HaH=eH?aH=eaH=aH. Аналогично aH?H=aH.

3) (aH)-¹=a-¹H, так как aH?a-¹H=(aa-¹)H=eH=H. ¦

Покажем, что отношение сопряжения на множестве является отношениями эквивалентности. Очевидно, что всякий элемент a сопряжен с самим собой, так как a=e-¹ae.

Кроме того, если элемент G сопряжен с элементом a, то есть b=g-¹ag, то a=gbg-¹. Следовательно, отношение сопряженности симметрично. Наконец, если b=g₁-¹ag₁, c=g₂-¹bg₂, то c=(g₁g₂)-¹a(g₁g₂), то есть отношение сопряженности элементов транзитивно. Отсюда следует, что всякая группа G распадается на непересекающиеся множества сопряженных между собой элементов или, как говорят, на классы сопряженных элементов. ¦

1.4 Нормализатор множества в группе. Центр группы

п.1. В отличие от смежных классов. Классы сопряженных элементов не все равномощны. При вычисление их мощностей решающую роль играет понятие нормализатора.

Пусть M - подмножество, H - подгруппа группы G. Нормализатором множества M в подгруппе H называется множество:

N_H(M)=,

которое, как легко проверить, является подгруппой в H. Если не указано, в какой подгруппе H берется нормализатор, то это означает, что он берется во всей группе G. Очевидно, подгруппа тогда и только тогда нормальна в группе, когда её нормализатор совпадает со всей группой.

Теорема 1.4.1. Если M - подмножество, H - подгруппа группы G, то мощность класса подмножеств, сопряженных с M элементами из H, равна индексу В частности,

.

Доказательство. Отобразим множества M^x, xH, на правые смежные классы группы H по подгруппе N=N_H(M), полагая

(M^x)^ц=Nx для xH.

Отображение ц однозначно, так как из M^x=M^y следует Nx=Ny. Отображение ц переводит разные элементы в разные , так как из Nx=Ny следует M^x=M^y. Наконец, ц - отображение на, так как каждое Nx имеет прообраз M^x. ¦

Пусть M - подмножество, H - подгруппа группы G. Мы назвали нормализатором M в H совокупность тех элементов из H, которые перестановочны с множеством M в целом. Можно рассмотреть также множество тех элементов из H, которые перестановочны с M поэлементно, то есть

C_H(M)=.

Это множество называется централизатором множества M в подгруппе H. Если M состоит из одного элемента, то, конечно, его нормализатор и централизатор в H совпадают. Если не указано, в какой подгруппе H берется централизатор, то это означает, что он берется во всей группе G.

Централизатор всей группы G называется её центром и обозначается Z(G),

Z(G)=.

Очевидно, что группа тогда и только тогда абелева, если она совпадает со своим центром. Ясно, что единица е всегда лежит в центре. Если других центральных элементов группа не содержит, то она называется группа с тривиальным центром. Заметим ещё, что любая подгруппа центра нормальна в группе.

Теорема 1.4.2. Пусть , где p - простое число. Тогда центр Z(G) группы G нетривиальный, то есть содержит неединичные элементы.

Доказательство. Ранее было показано (см. 3), что любая группа G разбивается на не пересекающие классы сопряженных элементов. Среди классов будут одноэлементные образованные элементами центра, причем их число неравно нулю, так как единица е группы G образуют одноэлементный класс.

Пусть число элементов центра равно t. Все элементы, не принадлежащие центру Z(G), порождают классы сопряженных элементов. Обозначим , классы сопряженных элементов содержащие более одного элемента. Число элементов в каждом таком классе есть индекс централизатора любого элемента класса (по теореме 1.4.1. учитывая, что нормализатор и централизатора одного элемента совпадают):

.

Следовательно, по теореме Лагранжа , где .

Тогда , из этого равенства следует, что t делиться на p и так как , то таким образом централизатор Z(G) группы G нетривиален. ¦

Далее докажем одно несложное утверждение которое понадобиться в дальнейшем.

Предложение 1.4.3. Фактор группа некоммутативной группы G по её центру Z(G) не может быть циклической.

Доказательство (от противного). Действительно, если G/Z(G) циклическая, то в смежном классе по Z являющимися образующим элементом этой циклической группы. Выберем некоторый элемент а. Подгруппа, порождающая этим элементом вместе с элементами из Z(G) совпадает со всей группой G. Из перестановочности между собой названных элементов следует коммутативность самой группы G -противоречие с условием. ¦

Из доказанной выше теоремы 1.4.2 и предложения 1.4.3 вытекает следующее утверждение.

Теорема 1.4.4. Любая группа G порядка p², где p - простое число, коммутативна.

Доказательство (от противного). Пусть G - не коммутативная группа, так как G является p-группой (конечная группа P является p-группой, если ), то её центр не единичен, то есть . Рассмотрим G/Z(G). Порядок G/Z(G) равен p по теореме Лагранжа, следовательно, G/Z(G) - циклическая (см. следствие 2 теоремы Лагранжа) - противоречие с предложением 1.4.3. Таким образом G - коммутативна. ¦

п.2. Рассмотрим конструкцию, позволяющую по заданным группам строить новые группы. Одна из самых простых, но важных конструкций состоит в следующем.

Пусть A, B - группы, легко проверить, что множество всех упорядоченных пар (a, b) где , с бинарной операцией является группой. Она называется прямым произведением (внешним) групп A и B. При аддитивной записи групп, естественно говорить о прямой сумме .

Теорема 1.4.5. Пусть G - группа с нормальными подгруппами A и B. Если и AB=G, то .

Доказательство. Из равенства AB=G следует, что любой элемент записывается в виде g=ab, где . Пусть ещё G=a₁b₁, . Тогда , и . Следовательно, и мы пришли к выводу, что запись однозначна.

Далее, так как то коммутатор ; так как , то , то есть, получаем и, стало быть .

Определим теперь отображение ц из . Полагая для любого . Проверим закон сохранения операции. Согласно выше сказанному:

Это отображение является сюрьективным, ибо G=AB. Более того, отображение ц является взаимно однозначным так как если ab=a₁b₁ при , то, как это мы показали, выше a₁=a, b₁=b и, следовательно, таким образом ц - удовлетворяет всем свойствам изоморфного отображения групп. ¦

Группу G, удовлетворяющую условиям теоремы 1.4.5 принято называть (внутренним) прямым произведением своих подгрупп A, B. Отличие от внешнего прямого произведения состоит в том, что G содержит в качестве прямых множителей сами группы A, B, а не просто их изоморфные копии , .

Последние определение прямого произведения (внутреннего). Можно заменить следующим ему эквивалентным. Группа G есть прямое произведение своих подгрупп , если

1) Элементы из любых двух подгрупп H_i и H_j, , перестановочны между собой.

2) Всякий элемент g и G однозначно записываются в виде произведения

где ,

1.5 Теоремы о гомоморфизмах

Пусть G - группа и P - другая группа. Пусть каждому элементу aG сопоставлен некоторый элемент из S, то есть, дано отображение G и S. Отображение ц называется гомоморфным или гомоморфизмом G в S, если произведение элементов из G соответствует произведение их образов, то есть

ц(a₁a₂)=ц(a₁)ц(a₂), где ц(a) - образ aG при отображение ц.

Предложение 1.5.1. Гомоморфным образом ц(G) группы G является группой. Образом единицы группы G является единица образа, и взаимно обратным элементом G соответствуют взаимно обратные образы.

Доказательство. ц(ab)=ц(a)ц(b) означает, что произведение двух элементов из ц(G)ц(G). Ассоциативность следует из ассоциативности в G и S. Равенство ц(a)=ц(1a)=ц(1)ц(a) показывает, что ц(1) есть левая единица для ц(G). А ц(а-¹)ц(а)=ц(а-¹а)=ц(1) показывает, что ц(а-¹) есть левый обратный элемент для ц(а) в ц(G). Это достаточно для заключения, что ц(G) есть группа (так как ц(а)=ц(а 1)=ц(а)ц(1) и ц(а)ц(а-¹)=ц(аа-¹)=ц(1)). ¦

Гомоморфизм G в S, при котором различным элементам из G сопоставляется различные элементы в S.

Всякое изоморфное отображение группы G на себя называется автоморфизмом. Если в группе G выбран некоторый элемент а, то отображение, переводящее всякий элемент х этой группы в элемент

а-¹ха, то есть трансформирование всей группы элементов а, будет автоморфизмом группы G. Действительно, из а-¹ха=а-¹ya следует x=y, то есть отображение взаимно однозначно. Равенство х=а-¹(аха-¹)а

показывает, что при этом отображении всякий элемент группы будет образом некоторого элемента. Из соотношения a-¹xa? a-¹ya=a-¹(xy)a

следует изоморфизм рассматриваемого отображения. Такой автоморфизм группы G называется её внутренним автоморфизмом.

Пусть ц - гомоморфное отображение группы G на группу S. Множество всех элементов из G, имеющих один и тот же образ хS, называется полным прообразом элемента х и обозначается ц-¹(х). Полный прообраз единицы группы S называется ядром гомоморфизма.

Предложение 1.5.2. Ядро гомоморфизма ц группы G на группу S является нормальной подгруппой группы G.

Доказательство. Введем обозначение H для ядра. Если aH, то

a-¹H, ибо

ц(a-¹)=(ц(a))-¹=1. Если aH и bH, то abH, ибо ц(ab)=ц(a)ц(b)=1?1=1. Наконец, если aH и cG, то c-¹acH, ибо

ц(c-¹ac)=ц(c)-¹ц(a)ц(c)=ц(c)-¹1ц(c)=1. ¦

Предложение 1.5.3. В условиях предложения 1.5.2. полные прообразы элементов из S является классами смежности по ядру гомоморфизма.

Доказательство. Если a и b принадлежат одному классу смежности по H, то b=za при zH, тогда ц(b)=ц(z)?ц(a)=1?ц(a)=ц(a). Обратно, если ц(a)=ц(b), то ц(ab^-1)=1, так что ab^-1H, aHb и bHb. ¦

Теорема 1.5.4. (первая теорема о гомоморфизме) Гомоморфный образ группы изоморфен её факторгруппе по ядру гомоморфизма.

Доказательство. Между образами при гомоморфизме и элементами факторгруппы имеется взаимно однозначное соответствие, в силу предложения 1.5.3. Оно сохраняется при умножении, ибо

ц((Ha)?(Hb))=ц(Ha)?ц(Hb).

Остается доказать любая ли нормальная подгруппа может быть принята за ядро гомоморфизма. Ответ положительный, так как отображение группы G на факторгруппу G/H по нормальной подгруппе H, заключающиеся в том, что каждому элементу группы G сопоставляется содержащий его класс смежности, есть гомоморфизм, и его ядро совпадает с H (это следует из определения умножение классов смежности как элементов факторгруппы). ¦

Предложение 1.5.5. H и K подгруппы группы G и , тогда является подгруппой группы , и .

Доказательство. Пусть причем тогда рассмотрим (hk)-¹= k^-1h^-1 (по одному из основных свойств группы):

, причем , так как поэтому, таким образом, для каждого элемента существует обратный .

Пусть , причем , тогда

где и поэтому , то есть условие замкнутости выполняется, таким образом, в силу предложения 1.1.1. можем считать, что HK является подгруппой группы G.

Кроме того, так как для любого , то Hk=kH, следовательно, HK=KH. Далее для любого элемента имеем . Откуда . ¦

Теорема 1.5.6 (об изоморфизме). Пусть G - группа и H и K две его подгруппы. Причём тогда и .

Доказательство. Покажем что подгруппа нормальна в K . Тогда для : , так как и , и по условию , следовательно, для любого k из K и значит . Кроме, того, по предыдущему предложению имеем HK=KH подгруппа группы G и .

Существует сюръективный гомоморфизм , сопоставленный каждому смежный класс группы по подгруппе H. Несложно видеть является ядром гомоморфизма, таким образом, по теореме 1.5.4. получаем: