Отношения эквивалентности и толерантности и их свойства

Лемма. Разиение множества на ядра относительно базиса совпадает с разбиением множества на обычные ядра.

Доказательство. Буквально повторяя доказательство леммы 2.5.1, мы получим, что ядра, определенные по базису - это классы эквивалентности по . Значит, они совпадают с исходными ядрами.

Теорема. Если пространство толерантности имеет конечный базис , то совокупность всех классов толерантности в конечна.

Доказательство. В силу леммы 2.5.2 число ядер конечно, т.е. конечно пространство ядер . Значит, имеет конечное число классов толераитпости. Но так как равносильно , то каждый класс толерантности в есть объединение ядер, образующих соответствующий класс толерантности в . Таким образом, совокупность всех классов толерантности в конечна.

Обратим внимание, что ни в формулировке теоремы, ни в ее доказательстве не предполагается, что конечно. Оно и фактически может быть бесконечным за счет бесконечности ядер.

2.6 Дальнейшее исследование структуры толерантностей

Рассмотрим множество и его покрытие . Пару мы будем далее называть картой.

Произвольная карта позволяет ввести на множестве отношение толерантности , определенное условием: , если существует такое , что одновременно и . Так определенную толерантность мы назовем толерантностью, порожденную картон . Очевидно, каждое является предклассом порожденной толерантности .

Если - пространство толерантности и - множество всех классов толерантности в этом пространстве, то, в силу леммы 2.3.3 толерантность, порожденная картой , совпадает с исходной толерантностью . Аналогичное утверждение справедливо и для произвольного базиса в пространстве .

Карта называется канонической, если каждый элемент покрытия оказывается классом толерантности, порожденной исходной картон . Легко видеть, что если карта является канонической, то содержит некоторый базис , порожденный толерантности: .

На рис. 1 изображена некоторая карта , а справа система классов порожденной толерантности (впрочем, в данном случае эта система состоит из одного класса). Этот пример показывает, в частности, существование неканонических карт.

Каждая карта естественным образом приводит к всюду определенному соответствию

которое каждому элементу сопоставляет все те , для которых . Наоборот, если дано некоторое всюду определенное соответствие , то оно порождает покрытие множества , состоящее из прообразов элементов из при соответствии . Таким образом, тогда и только тогда, когда существует такое , что есть множество элементов из , которым соответствие сопоставляет . Обозначим для дальнейшего прообраз элемента при соответствии через .

По соответствию можно построить отображение,

которое каждому элементу сопоставляет непустое множество элементов , для которых . С помощью отображении толерантность , порожденная исходной картой , выражается условием , если . Можно ввести еще и отношение , определяемое условием: , если . , очевидно, является эквивалентностью.

Посмотрим на примерах, как канонические признаки выражаются через исходные признаки карты. В примере на рис. 1 Имеем .

В примере на рис. 2а, изображено соответствие: , где , . Нa рис. 2б изображены классы порожденной толерантности. Легко проверить, что , .

На рис 3 исходная карта уже является канонической. Но если взять каноническую карту с полным набором классов толерантности, то получим, что . Посмотрим далее, каким образом и всегда ли канонические признаки могут быть выражены через исходные.

2.6.1 Теорема

Для произвольной карты любой класс порожденной толерантности всегда может быть выражен через элементы покрытия с помощью операций пересечения и объединения.

Доказательство. Рассмотрим некоторый класс толерантности . Пусть . По определению класса, для всякого , , а по определению толераптности существует признак такой, что . Тогда 1) ; 2) . Действительно, 1) следует из того, что для всех признаков , a 2) следует из того, что всякий , принадленжащий , толерантен к . Поскольку - произвольный элемент из , по свойству максимальности класса . Отсюда вытекает, что , что доказывает теорему.

Подчеркнем, что канонические признаки оправляются через исходные без перехода к дополнениям. О связи между исходными и каноническими признаками говорит также.

2.6.2 Теорема

Существует такой базис классов порожденной толерантности, что каждый из классов этого базиса содержит некоторое множество .

Доказательство. По определению толерантности в для всякого любая пара и толерантна. Значит, есть предкласс. Тогда по лемме 2.3.2 получается существует класс . Выберем для каждого один из классов . Очевидно, выбранная совокупность классов удовлетворяет условию 1) из определения 1.4.1. Значит, она содержит некоторый базис .

Следствие. Когда конечно, то существует базис классов толерантности, число классов в котором не превышает количества исходных признаков.

Рассмотрим исходную карту и полученную из нее каноническую карту , где - базис. Как уже было отмечено, отношения толерантности, издаваемые на множестве обьектов обеими картами, совпадают.

Несколько иначе обстоит дело с отношением эквивалентности , задаваемым на с помощью определения, приведенного в начале параграфа. Пусть - отношение эквивалентности, заданное исходным множеством признаков , а - отношение эквивалентности, заданное по . Как показывает пример на рис. 1, отношения и могут и не совпадать. В общем, случае справедлива

2.6.3 Теорема

Если выполнено соотношение: , то выполнено и соотношение , т.е. .

Доказательство. Если , то совокупности исходных признаков и , выполненных для и , совпадают. Из теоремы 2.6.1 вытекает, что для каждого класса толерантности и одновременно содержатся или не содержатся в нем. Таким образом, и имеют одинаковые наборы канонических признаков, т.е. . Теорема доказана.

Следующая теорема, принадлежащая С.М. Якубович, дает условия того, что некоторое множество является классом толерантности, т.е. того, что некоторый признак является каноническим.

2.6.4 Теорема

Пусть имеется карта . Для, того чтобы элемент покрытия являлся классом порожденной толерантности , необходимо и достаточно, чтобы для любого подмножества , из следоаало бы .

Доказательство. Сначала предположим, что множество не является классом толерантности. Так как является предклассом, то единственная причина, по которой может не быть классом, состоит в том, что существует , не входящий в и толерантный ко всем элементам . Значит, для всякого существует множество , содержащее и . Таким образом, множества образуют покрытие множества . Но все содержат элемент , не входящий в . Следовательно, пересечение не содержится в . Итак, мы доказали достаточность условия, указанною в теореме 2.6.4. Докажем теперь необходимость. Пусть существует такое подмножество , что , но . Значит, существует элемент , не входящий в , но входящий во все . Этот элемент толерантен ко всем . Значит, не является максимальным предклассом, т.е. не является классом толерантности. Теорема доказана.

Рассмотрим еще так называемые сопряженные и производные пространства толерантности.

Пусть - произвольное пространство толерантности, и пусть - некоторая совокупность классов толерантности. Множество естественным образом превращается в пространство толерантности при помощи следующего определения: , если .

Определение. Если совпадает с множеством всех классов, то пространство называется сопряженным к и обозначается (таким образом, ).

Рассмотрим несколько примеров.

В пространстве элемент , содержащий все числа, толерантен ко всем элементам и, стало быть, входит во все классы толерантности. Значит, в пространствe - полное отношение.

На рис. 4 изображен циклический граф из 7 вершин. Классами толерантности являются "ребра", а толерантны классы, соответствующие смежным ребрам. Ясно, что для линейного графа из вершин сопряженным является линейный граф из вершин.

На рис. 5 изображен циклический граф. Сопряженным к нему будет циклический граф из того же числа верин (если количество вершин исходного графа было больше трех).

На рис. 6 изображено пространство толерантности , состоящее из двух циклов, зацепленных в одной точке. Сопряженное пространство состоит из таких же циклов с более сложным зацеплением. Но сопряженное к последнему пространство по существу совпадает с исходным пространством .

Определение. Пусть - базис. Тогда пространство называется сопряженным к , относительно данного базиса .

Определение. Второе сопряженное пространство относительно некоторого базиса в и базиса в называется производным от исходного пространства толерантности .

Итак, производное пространство толерантности определяется не однозначно, а с точностью до выбора базисов. Этот произвол исключается, когда и имеют по единственному базису.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Для линейного графа с вершинами производное пространство также есть линейный граф, но с вершинами (см. рис. 4)

2. Для циклического графа с вершинами производное пространство "совпадает" с исходным пространством (см. рис. 5).

3. Та же ситуация для зацепленных циклических графов (см. рис. 6).

4. Для пространства производное пространство состоит из одного элемента.

2.6.5 Теорема

Если - произвольное пространство толерантности, а - произвольный базис в нем, то существует такой базис в сопряженном пространстве и такое инъективное отображение , что при и из следует .

Доказательство. Обозначим через множество классов из базиса , содержащих . Для любых классов и из имеем , т.е. . Итак, множества суть предклассы в . Значит, для всякого существует класс в , для которого . Зафиксируем для каждого некоторый класс и множество этих классов обозначим через . Мы имеем сюръекцию , которое каждому сопоставляет класс . Покажем, что содержит некоторый базис . Действительно, если , то существует , содержащийся в и . Тогда и содержаться в , а значит, и . Теперь для каждого выберем ровно один элемент , для которого . Множество таких элементов обозначим через . Ясно, что и возникающая при этом сюръекция на инъективно. Тогда обратное к нему отображение инъективно отображает на подмножество множества . Поэтому его можно рассматривать как инъективное (но уже в общем случае не сюръективное) отображение. Пусть теперь и, где и и . Тогда существует класс , содержащий и . Значит, . Но из и следует, что , т.е. . Теорема доказана.

3. Приложение понятий эквивалентности и толерантности в различных областях знаний и практики человека

3.1 От одинаковости к эквивалентности

Возьмем стандартный комплект шахматных фигур. С точки зрения шахматного игрока все белые пешки в нем одинаковы. Расставляя их на шахматной доске, шахматист будет выбирать их из коробки в произвольном порядке. В начальной позиции все они будут поставлены на вторую горизонталь и шахматист не будет размышлять над вопросом, куда ему лучше поставить выбранную наугад пешку. Точно так же любая из черных ладей при расстановке фигур перед игрой может с равным успехом попасть на королевский или ферзевый фланг. Эти ладьи одинаковы.

Но представим себе другую ситуацию: этот же комплект шахмат отдан ребенку, который играет в солдатики. Для него отдельные пешки могут приобрести индивидуальность, получить имена и метки. Однако в тот момент, когда этот же мальчик начнет использовать шахматы по прямому назначению, пешки одного цвета опять станут одинаковыми.

Возьмем еще одну ситуацию: шахматные фигуры в процессе игры. Предположим, что шахматист стоит перед выбором: отдать ли противнику пешку, проникшую уже на седьмую горизонталь и грозящую вот-вот превратиться в ферзя, или пешку, мирно стоящую в начальной позиции. Ясно, что (при прочих равных условиях) первая пешка гораздо ценней и шахматист уже не считает обе свои пешки одинаковыми. Правда, в этой ситуации объектами являются не сами по себе деревянные фигурки, а "пешки в данной позиции". В позиции этюдного характера каждая пешка играет свою индивидуальную роль, и они, разумеется, не одинаковы для хорошего шахматиста.

Разница здесь того же характера, как между словом русского языка и словом в данном контексте. Например, слова "пешка" и" пешка", хотя и напечатаны разным шрифтом, одинаковы, как слова русского языка. Но в контекстах "Гроссмейстер эффектно пожертвовал пешку" и "Он был только пешкой в чужих руках" это слово имеет разные значения. Иначе говоря, слова одинаковы, а значения различаются.

Аналогично, об одинаковости людей мы можем говорить в различном смысле. С профессиональной точки зрения продавца готового платья люди, имеющие один и тот же пол, рост и размер, неразличимы. Они одинаковы в том смысле, что им нужно демонстрировать одни и те же вещи. Впрочем, хороший продавец различает покупателей по их вкусам, а хороший портной понимает, что кроме роста и размера есть индивидуальные особенности фигуры. Но для работника склада, который выдает форму (скажем, штормовые костюмы для альпинистов), существен только размер. Для профессора анатомии малосущественно, на чьем трупе он будет демонстрировать студентам устройство человеческих органов. Но уже для профессора психиатрии нет одинаковых больных.

С точки зрения инспектора по кадрам люди с тождественными анкетными данными одинаковы. Но для научного руководителя лаборатории нет одинаковых и взаимозаменимых сотрудников.

Когда мы приглашаем к себе гостей, то нам совершенно не все равно, кто придет и кого приведет с собой. С точки зрения индивидуальных человеческих взаимоотношений ни один человек не равен другому. Когда мы говорим о всеобщем равенстве людей, то понимаем под этим в действительности равенство прав перед законом, равноценность личностей, но не равенство индивидуальностей.

Рассмотрим множество животных. Мы разобьем их на следующие шесть групп: 1 - сухопутные млекопитающие, 2 - обитающие в воде, 3 - насекомые, 4 - птицы, 5 - мифические существа, 6 - пресмыкающиеся. Будем считать по определению животных, входящих в одну группу, одинаковыми. Можно вообразить ситуацию, когда одинаковые в этом смысле животные взаимозаменимы. Например, когда учителю биологии надо показать ученикам представителей разных типов.

Если мы внимательно проанализируем, что общего в употреблении слова "одинаковость" во всех приведенных примерах, то мы увидим следующее.

Во-первых, одинаковость всегда понимается как бинарное отношение на некотором множестве объектов. Во-вторых, содержание этого отношения зависит от ситуации, в которой мы рассматриваем эти объекты, или от наблюдателя, который с выбранной им точки зрения судит об одинаковости объектов. В-третьих, слово "одинаковость" попадает в один синонимический ряд со словом "взаимозаменимость".

Действительно, одинаковость белых пешек или других одноименных и одноцветных фигур состоит в том, что любая из них может заменить другую. Каким бы шрифтом мы не печатали слово в словаре, оно остается таким же словом. Кажется очень естественным предположить, что в данной ситуации взаимозаменяемы те и только те объекты, которые одним и тем же набором формальных признаков, существенных в данной ситуации.

Пусть - некоторое множество объектов, в котором некоторые объекты взаимозаменимы. Обозначим через множество всех объектов, взаимозаменимых с объектом . Очевидно, что и объединение всех (при всевозможных ) совпадает со всем множеством : .

Предположим, что . Это значит, что существует некоторый элемент такой, что он одновременно принадлежит и . Значит, взаимозаменим с и взаимозаменим с . Следовательно, взаимозаменим с , а значит и с любым элементом из . Таким образом, . Симметричным рассуждением можно показать, что . Таким образом, встречающиеся в объединении множества либо целиком совпадают, либо не пересекаются. Проведенное выше рассуждение наводит на мысль, как можно строго определить отношение одинаковости, или взаимозаменимости. В связи с этим обратим внимание на способ употребления слов в математике. До сих пор мы имели дело со словами "одинаковость", "взаимозаменимость". Эти слова никак не определялись, а использовались так, как мы привыкли их употреблять в обыденной речи. Но с точки зрения математических понятий слово "эквивалентность" является экспликацией (точным определением) понятия одинаковости.

3.2 От сходства к толерантности

Например, две новые "Волги" одного выпуска и цвета с точки зрения покупателя вполне одинаковы и, стало быть, взаимозаменимы. Но две "Волги" разного выпуска (или новая и старая "Волги" одного выпуска) только похожи. При отсуствии необходимого выбора одна может заменить другую, если покупатель готов согласиться с подобной заменой.

Двое близнецов бывают настолько одинаковыми, что без всякого риска могут сдавать экзамены друг за друга. Если два студента только похожи, то такая жульническая проделка, хотя и осуществима, но рискована.

Если для объектов указано только сходство, то невозможно их разбить на четкие классы так, что внутри класса объекты похожи, а между объектами разных классов сходства нет. В случае сходства возникает размытая ситуация без четких границ.

Каждый элемент множества несет определенную информацию о похожих на него элементах. Но не всю информацию), как в случае одинаковых элементов. Здесь уже нет дилеммы: "Все или ничего" или "Полная информация - отсутствие информации", Здесь возможны разные степени информации, которую одни элемент содержит относительно другого.

Превосходная степень от сходства - неразличимость, а вовсе не одинаковость, как может показаться на первый взгляд. Одинаковость - свойство качественно иное. Дело в том, чю неразличимые объекты (так же, как и сходные) не разбиваются, вообще говоря, на классы так, чтобы в каждом классе элементы не различались, а элементы разных классов заведомо различались.

В самом деле. Возьмем множество точек на плоскости. Пусть величина лежит ниже порога разрешимости глаза, т.е. - такое расстояние, при котором точки, находящиеся на этом расстоянии, неразличимы зрительно (при выбранном удалении плоскости от наблюдателя). Возьмем теперь точек, лежащих на одной прямой и отстоящих (каждая oт соседних) на расстоянии . Каждая пара соседних точек неразличима, но если достаточно велико, то первая и последняя точки будут отстоять друг от друга на метр и заведомо будут различимы. Разумеется, одинаковость есть частный случаи неразличимости и сходства.

Традиционный подход к изучению сходства или неразличимости состоит в том, чтобы сначала определить меру сходства, а затем исследовать взаимное расположение сходных объектов. Английский математик Зиман, изучая модели зрительного аппарата, предложил аксиоматическое определение сходства. Тем самым свойства сходства стало возможным изучать независимо от того, как конкретно оно задано в тон или иной ситуации: расстоянием между объектами, совпадением каких-то признаков или субъективным мнением наблюдателя.

Так же, как переход от расплывчатого понятия "одинаковость" к точно определенному тину отношении сопровождался введением пового термина "эквивалентность", математическое отношение, соответствующее нашему интуитивному представлению о сходстве или неразличимости, получило у Зимана название "толерантность". Иначе говоря, толерантность является экспликацией понятия сходства или неразличимости.

Заключение

В данной курсовой работе были рассмотрены и изучены понятия отношений эквивалентности и толерантности. В главе первой изложена информация об отношении эквивалентности: основные определения и связь между ними, свойства эквивалентности, операции над эквивалентностями, отношения эквивалентности на числовой прямой. В следующей главе содержится основной материал об отношении толерантности: основные определения и примеры толерантностей, их свойства, установлены операции над толерантностями, раскрыты понятия пространства и класса толерантности. Также установлена связь отношений эквивалентности и толерантности. В последней главе объяснены математические термины "эквивалентность" и "толерантность" с помощью таких привычных для всех слов как "одинаковость" и "сходство". С помощью этих же слов мы установили, в каких областях знаний и практики человека нашли свое применение термины "эквивалентность" и "толерантность".

Литература

1. Шрейдер Ю.А. Равенство, сходство и порядок. - М.:Наука, 1971

2. Бурбаки Н. Теория множеств. - М.:Мир, 1965

3. Общая алгебра. Т. 1./ О.В. Мельников, В.Н. Ремесленников, В.А. Роляньков и др. Под общ. ред. Л.А. Сибриянова. - М.:Наука, 1999 - 592 с.