Характером (от греческого хара???p-признак, особенность) ? конечной абелевой группы G называется не равная тождественно нулю комплекснозначная функция, определенная на этой группе и обладающая тем свойством, что если, АG и BG

? (АВ)= ? (А) ?(В).

Обозначим через Е единичные элементы в группе G и через А^-1 обратный элемент для АG

Характеры группы G обладают следующими свойствами:

1. Если Е-единица группы, то для каждого характера ?

? (Е)=1 (1.1)

Доказательство. Пусть для каждого элемента АG справедливо неравенство

₁(А)=(АЕ)= (А) ? (Е)

Из этого равенства получим, что (Е)0. Теперь из равенства

(Е)= (ЕЕ)= (Е) (Е)=1

следует равенство (1.1)

2. (А) 0 для каждого АG

Действительно, если бы ? (А) =0 для некоторого АG, то

 (А) ? (А^-1)= (АА^-1)= ? (Е)=0,

а это противоречит свойству 1.

3. Если группа G имеет порядок h, то А^h=Е для каждого элемента АG Следовательно,

1= ? (Е)= ? (А^h)= ? (А)^h,

то есть ? (А) есть некоторый корень степени h из единицы.

Характер ?_1, обладающий свойством ?₁(А)=1 для каждого элемента АG, называется главным характером группы G. Остальные характеры называются неглавными.

Лемма 1. Пусть Н подгруппа конечной абелевой группы G, причем G/H - циклическая порядка n, тогда для каждого характера ?_H - подгруппы Н существует ровно n характеров.

Доказательство. Рассмотрим группу G=g^kH, причем gⁿH=H, gⁿH и gⁿ=h₁=1.

Для каждого элемента XG существует и притом единственное к=к_х и h_х=h такое, что если 0 к_х <n, то X= g^kх h_х=g^kh. Возьмем еще один элемент группы G, Y= g^m h_y, где 0 m<n. Перемножим эти два элемента

ХY= g^к+m hh_y.

Определим характер ? (X).

? (X)= ? (g^к h)= ? (g^к) ? (n)= ? ^к (g) ? _H (h).

В данном выражении неизвестным является ? (g).

? ⁿ (g)= ? (gⁿ)= ? (h₁)= ? _H(h₁) - данное число.

Пусть G - конечная мультипликативная абелева группа порядка h. Рассмотрим сумму:

S = ,

где А пробегает все элементы G, и сумму

Т =

где пробегает все элементы группы характеров G.

Рассмотрим чему равна каждая из сумм.

а) Если В-фиксированный элемент группы G и А пробегает все элементы G, то АВ также пробегает все элементы группы G. Следовательно,

S· (В) = (В) = = = S.

Получили S (В) = S, откуда следует, что ( (В) - 1)·S = 0. Следовательно, возможны два варианта:

1) S = 0, то (В) - негативный характер

2) S?0, то (В) = 1 для каждого элемента В€G и в этом случае (В)= ₁(В) есть главный характер и сумма S равна порядку h группы G. Таким образом,

1.3 Характеры Дирихле

Пусть m - положительное целое число. Определим числовые характеры по модулю m. Мы знаем, что (m) приведенных классов вычетов по модулю m образуют мультипликативную абелеву группу порядка h=(m). Мы можем, следовательно, рассмотреть характер этой группы. Но определение характера для приведенных классов вычета по модулю m можно перенести на множество целых чисел следующим образом. Положим

(а)= (А), если аА,

где А - приведенный класс вычетов по модулю m. Тогда очевидно, (а)= (b) (mod m), и (ab)= (а) (b), если (а, m)=(b, m)=1. Поскольку (А)0 для каждого приведенного класса вычетов А, то (а)0, если (a, m)=1.

Это определение применимо только к целым числам а, которые взаимно просты с m.

Мы можем рассмотреть его на все целые числа, положив

(а)=0, если (a, m)>1.

Следовательно, характер по модулю m есть арифметическая функция , обладающая следующими свойствами:

(а)= (b), если с=b (mod m)

(ab)= (a) (b) для всех целых a и b

(а)=0, если (a, m)>1

(а)0, если (a, m)=1

Имеется точно (m) - количество характеров по модулю m, где (m) - количество положительных целых чисел, не превосходящих m и взаимно простых с m. Они образуют мультипликативную абелеву группу приведенных классов вычета по mod m. Единичным элементом этой группы будет главный характер _1, то есть такой характер, что ₁(а)=1, если (а, m)=1. Далее имеем следующее соотношение ортогональности:

=

=

Пусть m - положительное целое число. Определим числовые характеры по модулю m. Комплекснозначная функция, определенная для всех целых чисел n, называется числовым характером или характером Дирихле по модулю m, она удовлетворяет следующим условиям:

а) (n) = 0 тогда и только тогда, когда (n, m) ? 1

б) (n) периодична с периодом m

в) для любых чисел а и b

(аb) = (а) (b)

Функция

₁(n) =

является числовым характером и называется главным характером. Остальные числовые характеры по модулю m называются неглавными.

Имеет место следующее утверждение о числовых характерах.

Теорема 1 Существует равно ?(m) числовых характеров по модулю m. Если = (n) - числовой характер по модулю m, то:

1) для n, взаимно простых с модулем m, значения (n) есть корень из 1 степени ?(m).

2) для всех n выполняется неравенство / (n)/ ?1

3) Имеет место равенство

4) Для каждого целого числа n

=

Доказательство. Пусть (n) - некоторый числовой характер по модулю m. Из пункта б) определения следует, что (n) задает некоторую функцию '() = (n) на мультипликативной группе классов вычетов по модулю m, взаимно простых с m, а именно

'() = (n)

Здесь обозначает класс вычетов по модулю m, содержащий n. Так как (1) ? 0, то '() не равняется тождественно нулю, а из пункта в) определения числового характера следует, что '() = '() = ' (ab) = (a) (b) = '()'().

Таким образом, '() есть характер модультипликативной группы G_m.

Обратно, по каждому характеру '() группы G_m можно построить числовой характер (n) по модулю m, положив

Установленное соответствие является взаимнооднозначным. И все утверждения теоремы 1 следуют из доказанного выше для групповых характеров применительно к группе G_m, если учесть, что порядок группы G_m равен ?(m), где ?(m) - функция Эйлера.

В дальнейшем требуется еще одно утверждение с числовых характерах. Обозначим для каждого , ? 1

Где суммирование ведется по всем натуральным числам n, не превосходящим .

Лемма 2. Пусть (n) - неглавный характер. Тогда для каждого , ? 1 справедливо неравенство

/S(x)/<m

Доказательство. Функция (n) периодична с периодом m и по теореме з

0, так как ? ₁

Поэтому, представив [] - целую часть числа - в виде []=m1+z, 0zm, будет иметь

S() =S([])=q

В виду равенства /(n)/1 отсюда получили S()zm

2. L-функция Дирихле

Пусть х(п) - произвольный характер по модулю m. Рассмотрим ряд

, (2.1)

члены которого являются функциями комплексного переменного S. В области сходимости он определяет функцию, которая называется L-функцией Дирихле, соответствующей характеру (n), и обозначается L (s, ).

Лемма 3

1. Если ₁, то ряд (1) сходится в области ReS > 0 и определяемая им функция L (s, ) является аналитической в этой области.

2. Ряд, определяющий L (S, ₁), сходится в области ReS >1. Функция L (S, ₁) является аналитической в области ReS > 1.

Доказательство.

Пусть (n) - произвольный характер по модулю m, а б - некоторое положительное число. Так как /(n)/ 1, то в области ReS > 1 + б справедливо неравенство

Следовательно, ряд (1) равномерно сходится в области ReS > 1 + б. Определяемая им функция L (S, ) по теореме Вейерштрасса о сумме равномерно сходящегося ряда аналитических функций является аналитической в этой области. Ввиду произвольности 6 это доказывает второе утверждение Леммы.

Для неглавных характеров (n) потребуется более сложное исследование ряда (1).

Лемма 4 (преобразование Абеля).

Пусть a_n, n=1,2,…, - последовательность комплексных чисел, >1,

А()=

а q(t) - комплекснозначная функция, непрерывно дифференцируемая на множестве 1t

Тогда

(2.2)

Если же

то

(2.3)

при условии, что ряд в левой части равенства сходится.

Доказательство. Положим А(0)=0 и В(х) равным левой части равенства (2.2). Тогда при любом натуральном N

так как А(0)=0. Далее

поскольку функция А(х) постоянна на каждом полуинтервале nt<n+1. Следовательно, равенство (2.2) доказано при целых значениях х.

пусть х1 - произвольное число. Положим N=[x]; значит, NxN+1. Тогда А(х)=А(N), B(x)=B(N), а

Следовательно,

Тем самым доказано, что равенство (2.2) верно и для нецелых чисел значений х.

Равенство (2.3) получаем из равенства (2.2) переходом к пределу при х. Лемма доказана.

Воспользовавшись леммой 4, получим следующее равенство

(2.4)

где

функция, введенная Лемме 4.

Для s = +it из области ReS = , где - некоторое положительное число, пользуясь леммой 4, находим

Поэтому интеграл

сходится в области ReS > . Поскольку в этой области выполняется неравенство

то из равенства (2) следует, что ряд (1), определяющий функцию L (S, x), сходится в области ReS > . Эти рассуждения справедливы для любого положительного числа . Значит, ряд (1) сходится в полуплоскости ReS > 0.

Из равенства (2) следует, что в этой полуплоскости для L-функции, соответствующей неглавному характеру (n), справедливо представление

(2.5)

так как

Интеграл, стоящий в правой части равенства (2.5), можно также представить в виде

 (2.6)

Члены ряда (2.6) являются аналитическими функциями в области ReS >, что следует из равенств

При этом использовано, что на полуинтервале nх< n+1 функция S(х) принимает значение S(n). Поскольку

то ряд (2.6) равномерно сходится в области ReS >. Отсюда, как и выше, получаем, что сумма его, т.е.

является аналитической функцией (по теореме Вейерштраса) в области ReS >.

Из представления (2.5) следует теперь, что L (S, x) есть аналитическая функция в полуплоскости ReS >, а ввиду произвольности S - и b полуплоскости ReS > 0.

Следствие. Пусть (n) - произвольный характер. Тогда в области ReS > 1 справедливо равенство

 (2.7)

Это следует из того, что ряд (2.1) по доказанному равномерию сходится в области ReS>1+, где >0. Следовательно, по теореме Вейштрасса о равномерно сходящихся рядах аналитических функций в этой области ряд (2.1) можно почленно дифференцировать

Поэтому в полуплоскости ReS>1+ выполняется равенство (2.7). Так как в этом рассуждении -любое положительное число, то равенство (2.7) будет справедливо в полуплоскости ReS>1.

Для L-функций имеет место представление в виде бесконечного произведения по простым числам, аналогичное тождеству Эйлера. Рассмотрим вспомогательную Лемму.

Лемма 5. Пусть функция f(n) вполне мультипликативна и ряд

(2.8)

абсолютно сходится. Тогда выполняется равенство

(2.9)

Доказательство. Отметим прежде всего, что /f(n)/<1 при любом натуральном n>1. В противном случае при каждом m

/f(n)^m/=/f(n)/^m1,

что противоречит сходимости ряда (2.6). Поэтому при каждом простом р ряд

абсолютно сходится, и его сумма как сумма бесконечно убивающей геометрической прогрессии равна (1-f(р))^-1. Кроме этого, в силу абсолютной сходимости, ряды можно перемножить. Перемножая конечное число таких рядов и используя то, что f(n) есть вполне мультипликативная функция, получим

где n_e = p … ps и в сумме в правой части равенства содержатся такие и только такие слагаемые f(n_e), что все просты делители n_e не превосходят х. Следовательно, в разности

остаются те и только те слагаемые f(m_e), для которых у числа m_e имеется хотя бы один простой делитель р>x. Тогда оценим разность

/S-S(x)/

и из абсолютной сходимости ряда (2.8) следует, что

Это доказывает, что бесконечное произведение (2.7) сходится и выполняется утверждение Леммы.

Лемма 6. Для каждого характера (n) в области ReS > 1 справедливо представление

Доказательство. Эта лемма является следствием Леммы 5, поскольку функция (n) вполне мультипликативна, то есть (АВ)= (А) (В), и выполняется неравенство /(n)/ 1 по теореме 1.

Следствие 1. В области ReS > 1 для главного характера ₁(n) по модулю m справедливо равенство

(2.10)

и поэтому функция L (S, ₁) может быть аналитически продолжена в область ReS > 0, где она имеет единственный полюс (первого порядка) в точке S=1.

Действительно, по определению главного характера ₁(n) имеет место равенство

Поэтому

Пользуясь теперь тождеством Эйлера для дзета-функции Римана получаем равенство (2.10). Остальные утверждения легко следуют из этого равенства, поскольку дзета-функция является аналитической в области ReS > 0 с единственным полюсом первого порядка в точке S = 1.

Следствие 2. Для каждого характера функция L (S, x) не обращается в нуль в области ReS > 1.

Доказательство.

Если = ReS > 1. то

Пользуясь неравенством для дзета-функции Римана, находим

Получаем:

L (S,) ? > 0

Теперь докажем утверждения, что L - функция, соответствующая неглавному характеру , точке S =1 отлична от нуля.

Теорема 2. Если - неглавный характер, то L (1, )?0

Для доказательства рассмотрим 2 случая

1. Пусть характер - комплексное число, не является действительным. Тогда характер ²(n) не является главным. В этом случае доказательство теоремы будет основываться на тех же идеях, что и доказательство отсутствия нулей дзета - функции на прямой ReS=1.

Лемма7. Пусть 0<ч<1, а х - действительное число, тогда выполняется неравенство /(1 - ч)³ (1 - че^ix)⁴ (1 - че^2ix)/^-1 ? 1

Доказательство.

Для всех z из круга /z/<1 имеет место расположение

- ln (1 - z) = (2.11)

Так как ln(t) = Re lnt, то обозначая М (ч ?), левую часть неравенства (2.11), получим

lnM (ч ?) = 3ln (1 - ч) - 4 ln (1 - чеⁱ⁴) - ln (1 - че²ⁱ⁴) = - 3ln (1-ч) - 4Reln/1 - чеⁱ⁴/ - Reln/1 - че²ⁱ⁴/=rc (3+4e)^inl /1-reⁱ⁴/= (3+4cosnl+2cos2nl)= (2+4cos+1+cos2)=1 (1+cos)²0

ln=M (r, l)=0

Следовательно, M (r, l)=1 доказана.

Из леммы 7 следует, сто при любом действительном S>1 выполняется равенство:

|L³(8, ₁) L⁴(S, ) 4 (S, ⁴) 1 = П (1- )³(1- )⁴(1- )|^-1 (2.12)

Получая в лемме ч = р^-s, т.е.

0< ч = ₁(р)<1

0< р^-s <1

(р) р^-s = чеⁱ⁴, в силу того что (р) - комплексное

(р) р^-s = че²ⁱ⁴

Получаем, что каждый сомножитель в правой части равенства (f) не меньше 1 и, следовательно, при любом S>1 выполняется равенство:

|L³(S₁) · L⁴(S) L (S²)| ? 1 (2.13)

Допустим, что для некоторого характера (²?₁) выполняется равенство

L (1, ) = 0 (2.14)

Оценим сверху левую часть неравенства. Из оценки дзета-функции Римана

?(S) ? , следует, что при S € R, S>1 выполняется неравенство

а) 0 < 4 (S, ₁) =

получили 0<L (S, ₁)?

б) Функция L (S, ) разложим в ряд Тейлора

L (S, ) = C_p + C₁ (S - 1) + C₂(S - 1)² +… + C_n(S - 1)ⁿ +…

Предположим, что у нее есть нуль L (1, ) = 1; тогда С₀ = 0

Перепишем разложение L - функции в ряд

L(S) = C_к (S - 1)^к + С_к+1(S - 1)^к+1 = (S - 1)¹ (C_к + С_к+1(S -1) +….), где к?1, С_к ? 0, т. к. S>1

| L (S, )| = |S - 1|^k| C_k + C_k+1(S - 1) +….| ? 2 C_k|S - 1)^k, при |S - | < r

Функция L (S, ²) в точке S = 1 не имеет полюса, следовательно не имеет особенности. Это в силу того, что комплексное и ²?₁

Получаем неравенство:

L (S, ²) ? C,

При условии | S - 1|< ?

Учитывая все неравенства и оценки

| L³ (S, ) L⁴(S, ) L (S, ²)| = ()³ · 2⁴ |C_k|⁴ (S - 1)^4k· C?1

Следовательно, это неравенство становится противоречивым, если перейти к пределу при S>1+0. Полученное противоречие показывает, что равенство (2.14) не выполняется.

2. Рассмотрим - вещественный характер, т.е. принимающий только вещественные значения, несовпадающий с главным характером

Лемма 8. Пусть - вещественный характер.

Рассмотрим функцию

F(S) = ?(S) L (S, x) (2.15)

Докажем, что если Re S>1, то

(2.16)

представляется рядом Дирихле, которого справедливы следующие утверждения:

1) Все коэффициенты а_n ? 0

2) при n=k², k € / N(N)/ а_n?1

3) В области ReS<1 можно почленно дифференцировать, то есть

F ^(k) (S)= (-1)^k(ln n)^k k=1,2…; (2.17)

4) Ряд (1) в точке S=1/2 расходится.

Доказательство. В области ReS > 1 ряды, определяющие функции S(S) и L (S,), абсолютно сходятся, поэтому их можно перемножить:

где

(2.19)

Пусть - расположение числа n в произведение простых сомножителей. Тогда все натуральные делители l числа n имеют вид

поэтому из равенства (14) находим, что

где a_{ni =} 1+ (p_i)+ … +^Li (p_i), i=1,…, m (2.21)

так как - вещественный характер, то он может принимать только три значения: 0, 1, -1. Из равенства (2.21) следует, что

 (2.22)

Во всех случаях числа a_ni0, а значит, и a_n=a_n1 … a_nm0

Если же число п является полным квадратом, то

N=k²=p_/² … p_m ^2,

и из равенств (2.20) и (2.22) следует, что а_n 1

При любом > 0 в области ReS> 1 + выполняется неравенство

Ряд (2.18) сходится в области ReS > 1. Поэтому по признаку Вейерштрасса ряд (2.16) сходится равномерно в области ReS > 1 + , а по теореме Вейерштрасса его можно в этой области почленно дифференцировать любое число раз. Следовательно, в области ReS > 1 + выполняется равенство (2. 17), а в силу произвольности оно выполняется и в области ReS > 1.

Однако ряд (39) расходится, так как по второму утверждению леммы

Ряд (2.16) при S = имеет неотрицательные члены. Поэтому, если бы он сходился, то также сходился бы ряд

(2.23)

Следовательно, ряд (2.23) расходится. Лемма доказана.

Переходим непоредственно к доказательству второго случая теоремы. Допустим, что L (1,) = 0. Тогда полюс дзета-функции будет компенсироваться в произведении S(S) L (S, ) нулем функции L (S, ).

Поэтому функция (2.15) F(S) будет аналитической в области ReS > 0 так как в точке S=1 у F() - устраненная особая точка. Следовательно, ее можно разложить в ряд Тейлора в точке S = 2:

(2. 24)

радиус сходимости которого не меньше 2 R2/

Из равенств (2.17), в частности S=2, находим

(2.25)

В радиусе сходимости будет брать не все S, а только вещественные ReS= S=(0,2). Пользуясь разложениями (18) и (19), находим

Члены двойного ряда неотрицательны, поэтому он сходится абсолютно, и в нем можно поменять порядок суммирования. Тогда

Следовательно, ряд (2.16) сходится во всех точках, < (, 0, 2), и в точке , а это противоречит четвертому утверждению леммы. Поэтому L (S,)0/

Этим завершается доказательство теоремы

По следствию 2 леммы 2 функция является аналитической в области ReS > 1. Для дальнейшего доказательства теоремы Дирихле нам будет необходимо представление этой функции в виде ряда, аналогичного ряда (2.16).

Лемма. Для каждого характера (n) в области ReS > 1 справедливо равенство

(2.26)

Доказательство.

Так как S=+it имеет место неравенство

получаем, что ряд стоящий в правой части равенства (2.26), абсолютно сходится в области >1. Умножим этот ряд на ряд определяющий L (S, ). Получили

Предпоследнее равенство имеет место ввиду равенства ), а последнее - по следствию из леммы 3, равенство 2.7.

3. Доказательство теоремы Дирихле