Аналитическая теория чисел. L-функция Дирихле

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

§1. Характеры Дирихле и L-функции Дирихле

§2. Функция и(x ,ч), её функциональное уравнение

§3. Аналитическое продолжение L-функции Дирихле на комплексную плоскость

§4. Функциональное уравнение для L-функции Дирихле. Тривиальные нули L-функции Дирихле

§5. Нетривиальные нули L-функции Дирихле

5.1 Теорема Вейерштрасса о разложении в произведение целых функций

5.2 О бесконечности целых нетривиальных нулей L-функции Дирихле 12

§6. Обобщенная гипотеза Римана

Библиографический список



Введение

Теория L-функций Дирихле развилась в одно из важнейших вспомогательных средств аналитической теории чисел. Большую роль в приложениях играет исследование нулей L-функций Дирихле.

В аналитической теории чисел L-функция Дирихле играет такую же роль, как и ж-функция при решении задач теории чисел, а именно задач, связанных с распределением простых чисел в арифметических прогрессиях и в задачах, связанных с оценками арифметических сумм.

Предметом исследования данной курсовой работы является распределение значений L-функций Дирихле, результаты Гурвица о выводе функционального уравнения для L-функции Дирихле и как следствие, показать, что L-функции Дирихле в критической полосе имеют бесконечное число нулей. Эти функции ввел в 1837 г. Густав Дирихле при исследовании вопроса о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях. Основные результаты были получены в 1922 году А. Гурвицем.

В данной курсовой работе изложение материала отражает основные свойства L-функций Дирихле и соответствует результатам, полеченным Гурвицем касающимся L-функций Дирихле.

В заключении данной работы приводится гипотеза о распределении нулей дзета-функции, сформулированная Бернхардом Риманом в 1859 году. Гипотеза Римана входит в список семи «проблем тысячелетия».



§1. Характеры Дирихле и L-функции Дирихле

Прежде всего определим характеры по модулю k, равному степени простого числа, и докажем их основные свойства. Характеры по произвольному модулю к определим затем через характеры по модулю, равному степени простого числа; при этом основные свойства последних сохранятся.

Пусть k=р^а, где р> 2 -- простое число, б?1. Как известно, по модулю k существуют первообразные корни, и пусть g -- наименьший из них. Через ind n будем обозначать индекс числа п, (п, к) = 1, по модулю k при основании g, т. е. число г = г(п) = ind n такое, что

(mod k).

Определение 1.1. Характером по модулю k= р^а, р>2 -- простое, б? 1, называется конечнозначная мультипликативная периодическая функция ч(n), областью определения которой является множество целых чисел п, и такая, что

где т -- целое число.

Из определения характера видно, что функция зависит от параметра т, является периодической по т с периодом ц(k), т. е. существует, вообще говоря, ц(k) характеров по модулю k, которые получаются, если брать т равным 0, 1, ..., ц(k) - 1.

Пусть теперь k = 2^б, б? 3. Как известно, для любого нечетного числа п существует система индексов г₀ = г₀(п) и г₁ = г₁(n) по модулю k, т. е. такие числа г₀ и г₁ , что

Таким образом, числа г₀ и г₁ определяются с точностью до слагаемых, кратных соответственно 2 и 2^б-2.

Определение 1.2. Характером по модулю к = ^2б, б?1, называется функция областью определения которой является множество целых чисел п, определенная одной из следующих формул:

Где m₀ , m₁ целые числа.

Из определения 1.2. видно, что функция зависит от параметров т₀ и m₁является периодической по m₀ и m₁, с периодами соответственно 2 и 2^б-2 т. е. существует, вообще говоря, ц(k), =< ц(k^б) характеров по модулю k = 2^б, которые получаются, если брать m₀ , равным 0, 1, а m₁ равным 0, 1, ..., 2^б-2 - 1.

Ввиду того, что индекс числа или система индексов числа периодические с периодом, равным модулю функции, аддитивные, т. е. индекс произведения (соответственно система индексов произведения) равняется сумме индексов сомножителей (соответственно сумме систем индексов сомножителей), получаем следующие свойства характера ч (п):

1. по модулю k-- периодическая с периодом k функция, т. е.

;



2. --мультипликативная функция, т. е.

Очевидно также, что

ч(1) = 1.

L-ряды Дирихле -- функции комплексного переменного, подобные дзета-функции Римана, введены Дирихле при исследовании вопроса о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях. Везде ниже под L-рядом будем понимать L-ряд Дирихле.

Пусть k -- натуральное число и ч -- какой-либо характер по модулю k.

Определение 1.3. L-функцией называется ряд Дирихле вида:

Ввиду того, что|ч(n)|?1, следует аналитичность L(s, ч) в полуплоскости Re s>l. Для L(s, ч) имеет место аналог формулы Эйлера (эйлеровское произведение).

Лемма 1.1. При Re s > 1 справедливо равенство

Доказательство. При X > 1 рассмотрим функцию

Так как Re s > 1, то

следовательно,

(воспользовались мультипликативностью ч(n) и однозначностью разложения натуральных чисел на простые сомножители). Далее,

где у=Re s>l. Переходя в (2) к пределу Х>+?, получим утверждение леммы.

Из (1) находим

т. е. L(s, ч)?0 при Re s>l. Если характер ч по модулю k является главным, то L(s, ч) лишь простым множителем отличается от дзета-функции ж(s).

Лемма 1.2. Пусть ч(n) = ч ₀(n) по модулю k. Тогда при Re s> 1

Доказательство леммы следует из (6) и определения главного характера ч₀(n).

Следствие. L(s, ч) -- аналитическая функция во всей s-плоскости, за исключением точки s = 1, где она имеет простой полюс с вычетом, равным

Если характер ч(n) является производным, a ч₁(n) -- примитивный характер по модулю k₁, k_t\k, отвечающий ч(n), то L(s, ч)лишь простым множителем отличается от L(s, ч₁).

Лемма 1.3. Пусть ч₁-- примитивный характер по модулю k₁ и ч -- индуцированный ч₁ производный характер по модулю k, k_t ? k. Тогда при Re s > 1

Доказательство леммы следует из (1) и свойств ч₁ и ч.

Функцию L(s, ч) можно продолжить в полуплоскость Re s > 1

Лемма 1.4. Пусть ч?ч₀, тогда при Re s>0 справедливо равенство

Где

Доказательство. Пусть N ?1, Re s>l. Применяя преобразование Абеля, будем иметь

Где

Переходя к пределу N > +?, получим (8) при Re s>l. Но |S(x)|?ц(k); поэтому интеграл в (3) сходится в полуплоскости Re s > 0 и определяет там аналитическую функцию, что и требовалось доказать.



§2. Функция и(x ,ч), её функциональное уравнение

Функциональное уравнение будет получено для L(s, ч)с примитивным характером ч; тем самым и в силу леммы 3 L(s, ч) будет продолжена на всю s-плоскость при любом ч. Вид функционального уравнения зависит от того, четным или нечетным является характер ч, т. е. ч(-1)=+1 или ч(-1)=-1

Прежде чем вывести функциональное уравнение для L(s, ч) и продолжить L(s, ч) на всю s-плоскость, докажем вспомогательное утверждение, аналогичное функциональному уравнению для и(х) (см. лемму 3, IV).

Лемма 2.1. Пусть ч -- примитивный характер по модулю k. Для четного характера ч определим функцию и (x, ч) равенством

а для нечетного характера х определим функцию и₁(x, ч) равенством

Тогда для введенных функций и (x, ч) и и₁(x, ч) справедливы следующие соотношения (функциональные уравнения):



где ф(ч) -- сумма Гаусса.

Доказательство. Воспользуемся доказанным в лемме 3, IV равенством

где x > 0, б -- вещественное.

Имеем

что доказывает равенство (6).

Чтобы доказать равенство (7), продифференцируем почленно (8) и заменим x на х/к, б на m/k (указанные ряды можно почленно дифференцировать, так как получающиеся после этого ряды равномерно сходятся). Получим

Отсюда, как и выше, выводим

Лемма доказана.



§3. Аналитическое продолжение L-функции Дирихле на комплексную плоскость

Получим аналитическое продолжение функции L(s, ч) в область Re s >0.

Лемма 3.1.Пусть ч(n) - неглавный характер по модулю m,

Тогда при Re s > 1 справедливо равенство

Доказательство. Пусть N?1, Re s >1 . Применяя частное суммирование, будем иметь

Где c(x)=S(x)-1. Так как |c(x)|?x , то, переходя к пределу N, получим

Что и требовалось доказать.



§4. Функциональное уравнение для L-функции Дирихле. Тривиальные нули L-функции Дирихле

Теорема 4.1. (функциональное уравнение). Пусть ч-- примитивный характер по модулю k,

Тогда справедливо равенство

Доказательство, по--существу, повторяет вывод функционального уравнения для дзета-функции (теорема 1, IV).

Предположим, что ч(-1)=+1. Имеем

Умножая последнее равенство на ч (п) и суммируя по п, при Re s > 1 получим

Ввиду того, что ч -- четный характер, имеем

Разбивая последний интеграл на два, производя в одном из них замену переменной интегрирования (х > 1/х) и пользуясь (6), найдем

Правая часть этого равенства является аналитической функцией при любом s и, следовательно, дает аналитическое продолжение L(s, ч) на всю s-плоскость. Так как Г(s/2)?0, то L(s, ч) -- регулярная всюду функция. Далее, при замене s на 1 -- s и ч на , правая часть (10) умножается на , так как ч(-- 1)=1 и, следовательно, ф(ч) ф()= ф(ч) = k. Отсюда получаем утверждение теоремы при д = 0.

Предположим, что ч(--1) = --1. Имеем

Следовательно, при Re s > 1

Последнее равенство дает регулярное продолжение L(s, ч) на всю s-плоскость; правая часть его при замене s на 1 -- s и ч на, умножается на i ввиду того, что

ф(ч) ф()= --k.

Отсюда получаем утверждение теоремы при д = 1. Теорема доказана.

Следствие. L(s, ч) -- целая функция; если ч (--1) = +1, то единственными нулями L(s, ч) при Re s ? 0 являются полюсы Г , т. е. точки s = 0, --2, --4, ...;

если ч (--1) = --1, то единственными нулями L(s, ч) при Re s ? 0 являются полюсы Г т. е. точки s = --1, --3, --5, .. .

дирихле тривиальный вейерштрасс риман



§5. Нетривиальные нули L-функции Дирихле

Тривиальные нули L-функции Дирихле

о(s, ч) -- целая функция; если ч (--1) = +1, то единственными нулями L(s, ч) при Re s?0 являются полюсы ,т. е. точки s =0, --2. --4, ...; если ч (--1) = --1, то единственными нулями L(s, ч) при Re s?0 являются полюсы т.е. точки s = --1,-3, -5, .. .

5.1 Теорема Вейерштрасса о разложении в произведение целых функций

Теорема 5.1. Пусть a₁, ..., а_п, ... -- бесконечная последовательность комплексных чисел, причем

0< |a₁| ? |a₁| ?...?|а_n|<...

И lim = 0.

Тогда существует целая функция G(s), которая имеет своими нулями только числа а_п (если среди а_п есть равные, то нуль G(s) будет иметь соответствующую кратность).

Следствие 5.1. Пусть последовательность чисел a₁, ..., а_п, ... удовлетворяет условиям теоремы 5.1., и, кроме того, существует целое число р > 0 такое, что сходится ряд



Тогда функция G₁(s),

удовлетворяет теореме5. 1.

Теорема 5.2. Каждая целая функция G(s) может быть представлена в виде

где H(s) -- целая функция, а числа 0, a₁ ,a₂, ..., а…,--- нули G(s), расположенные в порядке возрастания их модулей. Если, кроме того, последовательность а_n , п = 1,2,..., удовлетворяет условиям следствия 5.1., то

Доказательство. Нули G(s) не могут иметь предельной точки, т. е. их можно расположить в порядке возрастания модулей. По теореме 5.1. построим целую функцию G₁ (s), имеющую своими нулями нули G(s). Полагая

при s?a_n,

видим, что ц(s) -- целая функция, нигде не равная нулю, т. е. и логарифм ц(s) -- целая функция. Но тогда ц(s) = e^H(s), где H(s) -- целая функция. Так же доказывается второе утверждение теоремы. Теорема доказана.

Теорема 5.3. Пусть G(s)-- целая функция конечного порядка б и G(0)?0, s_n -- последовательность всех нулей G(s), причем 0 < |s₁| ? |s₂| ? ... ?|s_n|? ... Тогда последовательность s_n имеет конечный показатель сходимости в?б,

Где p?0-- наименьшее целое число, для которого

g(s)-- многочлен степени g ?б и б = max (g, в) Если, кроме того, для любого с > 0 найдется бесконечная последовательность r₁, r₂, ..., r_n, ..., r_n +?, такая, что

max |G(s)|>, |s| = r_n , n = 1, 2, …,

то б=в и ряд расходится.

5.2 О бесконечности целых нетривиальных нулей L-функции Дирихле

Из следствия к теореме 4.1 видно, что функция L(s, ч), ч -- примитивный характер, имеет в полуплоскости Re s < 0 лишь действительные нули; эти нули являются полюсами или называются тривиальными; тривиальным также называется нуль s = 0. Кроме тривиальных функция L(s, ч) имеет подобно дзета-функции бесконечно много нетривиальных нулей, лежащих в полосе (критическая полоса) 0 ? Re s ? 1.

Теорема 5.1. Пусть ч -- примитивный характер. Тогда функция о(s, ч) является целой функцией первого порядка, имеющей бесконечно много нулей с_n таких, что 0?Re с_n ? 1, с_n ?0, причем ряд расходится, а ряд

сходится при любом е > 0. Нули о(s, ч) являются нетривиальными нулями L(s, ч).

Доказательство. При Re ?1/2

Последняя оценка |о(s, ч)| в силу функционального уравнения (9) из §4 и равенства

справедлива также при Re s<l/2; кроме того о(0, ч)? 0. Поскольку In Г(s) ~ s ln s при s -> +?, по теореме 5.3 получаем первое утверждение теоремы. Так как L(s, ч)?0 при Re s>l, то из



следует, что о(s, ч) ?0 при Re s < 0, т. о. нули о(s, ч) являются нетривиальными нулями L(s, ч),лежащими в полосе 0?Re s?l. Теорема доказана.



§6. Обобщенная гипотеза Римана

Функция ж(s) определена для всех комплексных s?1 , и имеет нули для отрицательных целых s = --2, --4, --6 .... Из функционального уравнения

,

и явного выражения

при Re s >1 следует, что все остальные нули, т.е. нетривиальные, расположены в полосе 0?Re s ? 1 симметрично относительно критической линии . Гипотеза Римана утверждает, что:

Все нетривиальные нули дзета-функции имеют действительную часть, равную .

Обобщённая гипотеза Римана состоит из того же самого утверждения для обобщений дзета-функций, то есть L-функций Дирихле



Библиографический список

1. А.Л. Карацуба, Основы аналитической теории чисел // 2-е над.-- М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. -240 с.

2. С.М. Воронин, А.А. Карацуба, Дзета-функция Римана // М.: Физматлит. 1994. -376с.

Размещено на Allbest.ru