Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона в квадратной области

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

В данной работе рассмотрен метода установления для решения задачи Дирихле. В параграфе 1 исследуется аппроксимация данной задачи простейшей разностной схемой, а также устойчивость этой разностной схемы. В параграфе 2 рассмотрена идея метода установления и 2 реализующих его алгоритма для вычисления разностной задачи Дирихле.

В параграфе 3 производится анализ этих алгоритмов, использующих в первом случае явную схему установления, во втором - схему переменных направлений.

1. Простейшая разностная схема для задачи Дирихле

1.1 Построение

Задача Дирихле для уравнения Пуассона в квадратной области с границей Г имеет следующий вид:

, (1)

где функции , заданы.

Представим задачу (1) в следующей операторной форме:

Для этого положим , .

Наложим на квадратную область квадратную сетку с шагом , М-целое.

Совокупность точек сетки, попавших внутрь квадрата или на его границу, обозначим через . Точки , лежащие строго внутри квадрата , будем считать внутренними точками сеточного квадрата ; совокупность внутренних точек обозначим . Точки , лежащие на границе Г квадрата , будем считать граничными точками сеточной области ; совокупность граничных точек обозначим .

Для построения простейшей разностной схемы воспользуемся следующими формулами численного дифференцирования:

;

;

Осуществим замену вторых частных производных в задаче (1) формулами численного дифференцирования, не беря во внимание погрешность .

Получим следующую разностную схему, записываемую в операторной форме , где -приблизительное решение задачи (1):

(2)

1.2 Аппроксимация

Правая часть разностной схемы (2) имеет вид

.

Воспользуемся формулами численного дифференцирования для установления равенства:

+

Поэтому для решения задачи (1) имеем

, где -точное решение на сетке.

Таким образом, невязка , возникающая при подстановке в левую часть разностной схемы (2), имеет вид

В пространстве , состоящем из элементов вида

,

введем норму +.

Тогда .

Таким образом, разностная краевая задача (2) аппроксимирует задачу Дирихле (1) со вторым порядком точности относительно h ().

схема дирихле фурье установление

1.3 Устойчивость

Чтобы показать устойчивость разностной схемы (2), воспользуемся следующем ее определением:

Разностная краевая задача устойчива, если существует такое, что при и любом она однозначно разрешима,

причем (с-не зависит от и ).

Определим норму в пространстве функций, заданных на сетке , положив .

Лемма 1. Пусть функция определена на сетке и во внутренних точках удовлетворяет условию

Тогда наибольшее на сетке значение достигается хотя бы в одной точке границы .

Доказательство. Допустим противное. Выберем среди точек сетки , в которых достигает своего наибольшего значения, какую-нибудь одну точку , имеющую самую большую абсциссу. По нашему предположению - внутренняя точка, причем строго больше, чем . В точке будет

,

поскольку первая скобка в числителе отрицательна, а остальные неположительны. Противоречие с условием.

Лемма 2. Пусть функция определена на сетке и во внутренних точках удовлетворяет условию

Тогда наименьшее на сетке значение достигается хотя бы в одной точке границы .

Лемма 2 доказывается аналогично лемме 1.

Теорема (принцип максимума). Каждое решение разностного уравнения



достигает своего наибольшего и наименьшего значения в некоторых точках границы .

Доказательство получается объединением утверждений лемм 1 и 2.

Из принципа максимума следует, что задача

имеет только нулевое решение , поскольку наибольшее и наименьшее значения этого решения принимаются в точках границы , где =0. Следовательно, определитель системы линейных уравнений (2) отличен от нуля и разностная краевая задача (2) однозначно разрешима при произвольной правой части .

Переходим к доказательству оценки

Так как погрешность формул численного дифференцирования для многочленов степени равна 0, то для произвольного многочлена второй степени выполнено равенство

.

Используя функции и правой части системы (2) и фиксировав , построим вспомогательную функцию

,

которую будем рассматривать только в точках сетки . Это отражено значком h в обозначении . В точках

Поэтому разность решения задачи (2) и функции удовлетворяет в точках равенствам

В силу леммы 1 разность принимает свое наибольшее значение на границе . Но на границе эта разность не положительна:

,

так как в квадрате всюду и обе квадратные скобки в правой части неположительны. Поскольку наибольшее значение неположительно, то всюду на

или .

Аналогично, для функции в точках

а в точках , сумма неотрицательна:

В силу леммы 2 всюду на

или .

Таким образом, всюду на

Отсюда вытекает неравенство, завершающее доказательство устойчивости:

+, где .

После того, как разностная краевая задача, аппроксимирующая дифференциальную, построена, нужно указать не слишком трудоемкий способ ее решения. Ведь при малом h задача (2) есть система скалярных уравнений очень высокого порядка. Одним из таких способов является использование метода установления.

2. Описания метода установления

Для вычисления решений многих стационарных задач математической физики, описывающих равновесные состояния, рассматривают последние как результат установления развивающегося во времени процесса, расчет которого часто оказывается проще, чем прямой расчет равновесного состояния.

Проиллюстрируем применение метода установления примером алгоритма для вычисления решения разностной задачи Дирихле

+=, m, n=1, 2,…, M-1 (1)

аппроксимирующей дифференциальную задачу Дирихле

, (2)

Способы точного решения задачи (1), выдерживающие обобщения на случай переменных коэффициентов и областей с криволинейной границей, например метод исключения Гаусса, при сколько-нибудь больших М становятся неудобными и не применяются.

Общая идея исследуемого метода заключается в следующем. Решение задачи (2) можно понимать как не зависящую от времени температуру в точке пластинки, находящейся в тепловом равновесии. Функции и означают в таком случае соответственно распределение источников тепла и температуру на границе.

Рассмотрим вспомогательную нестационарную задачу о распространении тепла

,

(3)

где и те же, что и в задаче (2), а произвольно.

Поскольку источники тепла и температура на границе не зависят от времени, то естественно ожидать, что и решение с течением времени будет меняться все медленнее, распределение температур в пределе при превращается в равновесное распределение температур , описываемое задачей (2). Поэтому вместо стационарной задачи (2) можно решать нестационарную задачу (3) до того времени t, пока ее решение перестанет меняться в пределах интересующей нас точности. В этом и состоит идея решения стационарных задач методом установления.

В соответствии с этим вместо задачи (2) будем решать задачу (3), а вместо разностной схемы (1) для задачи (2) рассмотрим и сопоставим две разностные схемы для задачи (3).

А именно, рассмотрим простейшую явную разностную схему

+, m, n=1, 2,…, M-1

(4)

Перепишем ее в следующем виде:

++

(5)

И исследуем схему переменных направлений:

+

+ (6)

Перепишем ее в следующем виде:

(7)

Будем считать, что задано так, чтобы на границе выполнялось равенство .

Вычисление по уже известному для схемы (4) осуществляется по явным формулам (5).

Рассмотрим схему (7). Первое равенство в схеме (7) дает нам при каждом фиксированном n M-1 уравнений для определения М+1 неизвестных.

Но добавив 2 уравнения, вытекающих из третьего равенства (7) при m=0 и m=M, получим систему из M+1 уравнений для определения М+1 неизвестных :

Матрица этой системы трехдиагональная. Решение для каждого фиксированного будем находить методом прогонки, на первом шаге используя начальное условие схемы (7).

Аналогично, второе равенство в схеме (7) дает нам при каждом фиксированном m M-1 уравнений для определения М+1 неизвестных.

Добавляя 2 граничных условия при n=0 и n=M, получим систему из M+1 уравнений для определения М+1 неизвестных :

Матрица этой системы трехдиагональная. Решение для каждого фиксированного найдем также методом прогонки.

Количество арифметических действий при этом пропорционально числу неизвестных. Для каждой из двух cоставленных нами для дальнейшего изучения разностных схем (4) и (6) рассмотрим разность

(8)

между сеточной функцией и точным решением задачи (1), существование и единственность которого доказано в первом параграфе. Выясним условия, при которых погрешность решения

нестационарной задачи стремится к нулю с ростом р, а также характер этого стремления к нулю; выберем оптимальным образом шаг и сопоставим объем вычислительной работы, необходимый для уменьшения нормы первоначальной погрешности

=

в заданное число раз.

3. Анализ алгоритмов, реализующих метод установления

В случае решения разностной задачи Дирихле (1) параграфа 2, удается провести теоретический анализ различных алгоритмов установления с помощью конечных рядов Фурье.

3.1 Представление решения разностной двумерной задачи теплопроводности в виде конечного ряда Фурье

Рассмотрим сетку причем , М - натуральное. Совокупность вещественных функций , определенных в точках сетки и обращающихся в нуль в точках, лежащих на границе квадрата, с обычными операциями сложения и умножения их на вещественные числа, образует линейное пространство.

Введем в нем скалярное умножение

В рассматриваемом линейном пространстве размерности (М - I)² система функций

образует ортонормальный базис.

То есть .

Докажем это.

Заметим следующее:

.

Учитывая формулу получим:

Если -четное, то числители обоих дробей равны 0.

Если -нечетное:

(1)

Пусть, .

Рассмотрим, как ведет себя следующее выражение:

(2)

Так как , то и одной четности.

Значит с учетом (1) при =0 (3)

При (4)



Из (3) следует, что .

Любая функция обращающаяся в нуль на границе квадрата, разлагается в конечный двумерный ряд Фурье.

,

где .

Найдем следующее выражение, которое будем использовать в дальнейшем:

, при .

(5)

Рассмотрим теперь двумерную задачу теплопроводности

, (6)

Здесь через обозначена боковая поверхность параллелепипеда .

Построим сетку , причем будем считать , где М-натуральное. За примем точки сетки, лежащие внутри и на границе параллелепипеда.

Обозначим

Операторы и совершенно аналогичны, только первый действует по переменному т, в то время как n и p - параметры, а второй-по переменному п, а т и р-для него параметры. Простейшая разностная схема для задачи (6) есть

(7)

Ищем решения разностного уравнения при условии вида

. (8)

Пусть , . Тогда =

Преобразуем и учитывая (5):

====

=

Тогда

= (9)

=

Подставим (8) и (9) в первое уравнение (7):

Или .

Решение (10)

удовлетворяет условиям на боковой границе при любом выборе постоянных . При это решение принимает вид .

Для того чтобы выполнялось заданное начальное условие

в качестве надо взять коэффициенты Фурье функции , т.е.

=

В силу формулы (10) коэффициентом при в разложении в ряд Фурье служит число (). Поэтому

(11)

3.2 Анализ явной схемы установления

Решение задачи (1) § 2, удовлетворяет уравнениям

+

Вычитая эти равенства из уравнений (4) § 2 почленно, получим для погрешности следующую разностную задачу:

+

0 (12)

Заметим, что сеточная функция при каждом р, р=0,1,…, обращается в нуль на границе Г. Ее можно считать элементом линейного пространства функций, определенных на сетке , и обращающихся в нуль в точках Г. Норму в этом пространстве определим, как в пункте 3.1, равенством

В пункте 3.1 мы получили представление для решения задачи (12) в виде конечного ряда Фурье.

где - коэффициенты разложения начальной погрешности в конечный ряд Фурье, а числа задаются формулой

=

Числа являются коэффициентами разложения погрешности в ряд Фурье по ортонормальному базису =2.

Поэтому из (11) следует

Или с учетом того, что, получаем .

Таким образом, для стремления к нулю при нужно, чтобы выполнялось неравенство

<1

Наиболее быстрое убывание погрешности получится при таком выборе , при котором принимает наименьшее возможное значение. Из формулы (11) находим самую левую и самую правую точки :

-минимальна, когда максимальна сумма , то есть при .

Самая левая точка .

-максимальна, когда минимальна сумма , то есть при .

Самая правая точка .

Увеличивая , начиная от = 0, мы вызываем сдвиг обеих этих точек влево. При том значении , при котором эти точки будут симметричны относительно точки =0, дальнейшее увеличение нецелесообразно. Действительно, при таком увеличении правая точка будет продолжать приближаться к нулю, но зато левая, которая станет больше ее по модулю, , будет удаляться от нуля.

При том , при котором , и при больших погрешность вообще не будет стремиться к нулю.

Итак, оптимальное находим из условия . При этом

=

Поэтому для уменьшения нормы первоначальной погрешности в заданное число k раз требуется проделать такое число р шагов итерационного процесса (5) § 2, чтобы

Подсчитаем число арифметических действий, необходимых для уменьшения ошибки в е раз. На каждый переход от к требуется арифметических действий. Поэтому их общее число .

3.3 Анализ схемы переменных направлений

Займемся теперь исследованием поведения погрешности для схемы переменных направлений (6) § 2:

+

+

Решение задачи (1) § 2 удовлетворяет уравнениям

+

+

Вычитая эти равенства из уравнений (6) § 2 почленно, получим, 1 что погрешность удовлетворяет разностной краевой задаче:

+

+

0

Имеем следующее решение этой задачи в виде конечного ряда Фурье:

где -коэффициенты разложения начальной погрешности



в конечный ряд Фурье, но числа уже другие:

= (13) Из предыдущего пункта известно неравенство:

Из выражения (13) для видно, что при любом выполнено неравенство <1 и, следовательно, имеет место стремление к нулю.

Представим в следующем виде , где

=, k=1,2,…, M-1.

Поэтому достигается при , где - тот номер, при котором величина максимальна.

Функция монотонна при . Поэтому, если взять , и заметить, что при , изменяющемся от 1 до ,

монотонно увеличивается, то можно утверждать, что

=

лежит между точками и .

,

так как

Увеличение вызывает сдвиг точек и влево. Поэтому значение будет наименьшим при том , при котором .

Заменим на (такая замена возможна, если считать аргумент достаточно близким к 0).

Тогда - оптимальный шаг, при котором происходит наиболее быстрое убывание погрешности.

=

Если разложить эту функцию в ряд Тейлора по степеням , то получим:

Поэтому для уменьшения нормы погрешности в заданное число k раз по сравнению с первоначальным значением нормы погрешности число шагов р должно быть найдено из условия

Каждый переход от к требует арифметических операций. Следовательно, общее число арифметических операций для уменьшения ошибки в заданное число k раз будет

Мы видим, что при больших М второй из рассмотренных нами процессов установления, использующий схему переменных направлений, приводит к уменьшению ошибки в заданное число раз ценой меньших затрат арифметических действий, чем метод установления, основанный на использовании простейшей явной разностной схемы (4): при достаточно больших значениях М (при мелкой сетке) схема переменных направлений оказывается выгоднее.

3.4 Выбор точности

Сделаем замечание о точности, которой следует добиваться, решая задачу (1) § 2 методом установления или другим итерационным методом, дающим последовательные приближения . Разностная задача (1) § 2 аппроксимирует задачу (2) § 2 с порядком . Поэтому точное решение задачи (1) § 2 отличается от точного решения задачи (2) § 2 на величину порядка . В связи с этим нет смысла вычислять решение u задачи (1) § 2 с большей точностью. Если считать, что нулевое приближение задано с погрешностью порядка 1, то число k должно быть выбрано порядка М.

Добиваться уменьшения первоначальной погрешности более чем в раз было бы нецелесообразной затратой вычислительной работы.

При вычислениях на конкретной фиксированной сетке практически итерируют до тех пор, пока последовательные приближения перестанут меняться в пределах удовлетворяющей нас точности.

Заключение

В данной работе были рассмотрен метод установления, а также представлены 2 программы на языке программирования С++, реализующие два алгоритма установления.

В результате было доказано, что простейшая разностная схема задачи Дирихле устойчива и аппроксимирует исходную задачу (1) со вторым порядком точности относительно h ().

Также были найдены оптимальные оценки шага , при которых происходит наиболее быстрое убывание погрешности.

При анализе схем установления было получено: алгоритм, использующий схему переменных направлений, эффективнее, чем алгоритм, использующий явную схему установления. А именно: объем вычислений для уменьшения нулевой погрешности в заданное число раз в первом случае приблизительно в сМ раз меньше, чем во втором. (-шаг сетки, с<<M-константа).

Список использованных источников

1. Тихонов А.Н., Самарский А.А., Уравнения математической физики. М.: «Наука», 1972. 736 с.

2. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. М.: «Наука», 1973. 400 с.

3. Березин И.С. и Жидков Н.П. Методы вычислений. т. 1. М.: «Наука», 1965. 633c.

4. Подбельский В.В. и Фомин С.С. Программирование на языке Си. М.: «Финансы и статистика», 2000. 599 с.

Размещено на Allbest.ru