Дробный факторный эксперимент

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Московский государственный университет печати

имени Ивана Федорова»

Курсовая работа

по дисциплине: «Основы научных исследований, организация и планирование эксперимента»

Тема: Дробный факторный эксперимент

Подготовил:

студент группы ДТмом-1-1

Кушниренко Н.

Руководитель: Бобров В.И.

Москва-2012

Оглавление

Введение

1. Дробный факторный эксперимент

2. Пример использования ДФЭ

Список литературы

Введение

планирование эксперимент дробный

Решение большинства проблем, связанных с совершенствованием и разработкой новых полиграфических процессов и оборудования, требует проведение сложных и дорогостоящих исследований. Большинство объектов исследования представляют собой многофакторные системы, трудно поддающиеся аналитическому описанию. Поэтому оптимальному планирования и проведению экспериментальных исследований следует уделять большое внимание.

Долгое время порядок и методика проведения эксперимента целиком определялась личным опытом и интуицией исследователя. Для описания сложных многофакторных систем, как правило, использовалась одно- факторная методика, при которой исследовалось поведение объекта в зависимости от каждого фактора в отдельности, в то время как остальные фиксировались на определенных уровнях. Такой путь приводил к получению большого количества избыточной информации об объекте исследования, ккоторую очень трудно было перевести к компактной форме в виде единого уравнения. Информация представлялась в виде многочисленных графиков и таблиц и требовала длительного анализа и обработки.

Только в 20-е годы нашего столетия английским математиком статистиком Рональдом Фишером была впервые показана целесообразность одновременного варьирования всеми факторами в противовес широко распространенному однофакторному эксперименту.

Например, для проведения четырехфакторного эксперимента по однофакторной методике необходимо сделать 44 = 256 опытов, проводя опыты в четырех точках при фиксированных значениях трех факторов. В результате получается большое количество графических зависимостей или уравнений, в которых очень трудно ориентироваться.

Используя методику планируемого эксперимента, можно ограничиться 8, 16, 31 опытами, получить компактное уравнение, описывающее процесс, исследовать его на оптимальность и при желании построить сколько угодно графиков и диаграмм.

Методы планирования многофакторных экспериментов позволяют использовать математический аппарат не только на стадии обработки результатов измерений, как делалось раньше, но также при подготовке и проведении опытов. Проведение опытов по специальному плану позволяет значительно снизить трудоемкость определения коэффициентов уравнения исследуемого процесса и выполнить их с заранее запланированной статической точностью.

Применение планирования эксперимента делает поведение исследователя целенаправленным и организованным, существенно способствует повышению производительности его труда и надежности полученных результатов. Важным достоинством методов планирования эксперимента является их универсальность, пригодность в огромном большинстве областей исследований, интересующих современного человека.

В нашей стране планированием эксперимента начали заниматься в 50-х годах и к настоящему времени уже имеются сотня теоритических и прикладных работ в этой области. В некоторых вузах вопросы теория эксперимента в специально изучаемую дисциплину. В связи с этим можно говорить о появлении новой научной дисциплины - математической теории эксперимента.

Математическое планирование эксперимента - это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью, методов математической обработки их результатов и принятия решений.

В приложении теории оптимального планирования эксперимента можно выделить два основных направления:

- изучения механизма процессов и свойств многофакторных систем;

- оптимизация параметров многофакторных технологических процессов и оборудования.

В технической литературе имеется ряд хорошо сформулированных критериев оптимального планирования для различных ситуаций, разработаны стандартные алгоритмы, используя которые, исследователь может легко выбрать наиболее эффективный путь решения конкретной задачи.

Все методы планирования эксперимента объединяют следующее:

- стремление к минимизации общего числа опытов;

- одновременное варьирование всеми параметрами, определяющими исследуемый процесс, по специальным правилам-алгоритмам;

- использование специального математического аппарата, формализующего многие действия экспериментатора;

- наличие четкой стратегии, позволяющей принимать обоснованные решения после каждой серии опытов.

С использованием четкой стратегии, позволяющей принимать обоснованные решения после каждой серии опытов.

1. Дробный факторный эксперимент

При количестве факторов K>4 эффективность использования ПФЭ резко уменьшается, так как количество опытов в плане значительно превышает число определяемых коэффициентов уравнения регрессии. Например, при К=5, для реализации ПФЭ необходимо поставить 32 опыта, а количество определяемых коэффициентов не превышает, как правило, 16, включая эффекты парного взаимодействия факторов «bJk»

На практике часто встречаются ситуации, когда некоторые эффекты взаимодействия факторов не являются существенными, т.е. мало отличаются друг от друга, что особенно относится к коэффициентам тройного взаимодействия и выше. Если влияние некоторого взаимодействия факторов признается ничтожно малым, возникает вопрос, имеет ли смысл находить его, и не лучше ли использовать соответствующий вектор-столбец матрицы планирования для оценки влияния дополнительного фактора?

Рассматриваемый метод заключается в том, что для нахождения коэффициентов математической модели изучаемого процесса используются не планы ПФЭ, а некоторые их части Ѕ, ј и т.д. эти системы опытов называются дробными репликами. В таблице 5.1 представлен план ПФЭ и его дробные реплики.

Рассмотрим метод ДФЭ на примере. Пусть необходимо найти математическое описание объекта исследования с тремя факторами в виде:

=b0+b1X1+b2X2+b3X3

Если использовать ПФЭ, то необходимо провести 8 опытов по плану, представленному в таблице 5.1. Однако эту же задачу можно решить и с помощью меньшего количества опытов. Например возьмем Ѕ дробную реплику ПФЭ при К=3 из таблицы 5.1, но третий вектор-столбец приравняем произвольно X1, X2. Такое преобразование возможно.

План ПФЭ и его дробные реплики

Если предположить, что эффект парного взаимодействия факторов «b12» ничтожно мал и стремится к нулю. В этом случае матрица планирования эксперимента имеет вид, представленный в таблице 5.2., а такой план будет считаться планов дробного факторного эксперимента (ДФЭ). Равенство X3 = X1X2 называется генерирующем соотношением. Планы ДФЭ обозначаются символом 2к-р, где р - число факторов., приравненных к произведениям.

Матрица планирования эксперимента

С этой точки зрения рассматриваем план типа 23-1. Если провести опыты и получить значения параметра оптимизации «Y1», то, применяя MNK и используя основные свойства матрицы планирования ДЗЭ, можно показать, что формулы для расчета коэффициентов регрессии примут вид /4.10…4.12/, как и в ПФЭ. В рассмотренном примере

b0=1/4(y1+y2+y3+y4);

b1=1/4(y1-y2+y3-y4);

b2=1/4(y1+y2-y3-y4).

Однако следует отметить, что так как вектор-столбцы Х3 и Х1Х2 полностью совпадают, то нельзя определить раздельно значение коэффициентов «b3» и «b12», а может быть найдена только их сумма

Ib3+b12=I/4(y1-y2-y3+y4).

Этот недостаток рассматриваемых планов является своеобразной «платой» за уменьшение общего числа опытов с 8 до 4.

Анализ полученных результатов при ДЭФ выполняется точно так же, как и при использовании планов ПФЭ. Единственное различие в том, что прежде чем приступить к расчету коэффициентов, необходимо определить как смешиваются их оценки и какие из них войдут в уравнение регрессии. Рассмотрим процедуру исследования с применением ДФЭ на конкретном примере.

2. Пример использования ДФЭ

При рассмотрении вопроса получения качественной отливки линотипного выбора установлено, что основными факторами, влияющими на пористость отливаемых строчек, является: температура сплава в котле, температура мундштука котла, давления поршня на сплав и размер полости отливной формы, которую можно характеризовать кеглем и форматом набора.

Анализ априорной информации позволил установить диапазон изменения указанных факторов, на основании чего была построена таблица 5.3 интервалов и уровней варьирования факторов.

Интервала и уровни варьирования факторов

Кроме этого, при анализе априорной информации предполагают, что эффекты взаимодействия факторов Х1Х2Х3 и Х2Х3 незначительные, а следовательно, применяя методику ДФЭ, можно использовать данные вектор-столбцы матрицы планирования для факторов Х4 и Х5, выбрав генерирующие соотношения

Х4=Х1Х2Х3; Х5=Х2Х3

На основании таблицы 5.3 и генерирующих соотношений была построена матрица планирования и рабочая матрица эксперимента.

Таблица 5.4

Матрица планирования и результаты эксперимента

При проведении эксперимента опыты дублировались по три раза в каждой экспериментальной точке плана и по их результатам определялось среднее значение параметра оптимизации «yi».

Прежде чем приступить к анализу результатов эксперимента, определяют общий вид искомого уравнения регрессии.

Существует правило, позволяющее определить, какие коэффициенты

регрессии определяются совместно при планировании со смешиванием. Оно заключается в следующем:

Х2 = +I.

Умножив обе части генерирующих соотношений соответственно на Х4 и Х5

I = Х1Х2Х3Х4; I = Х2Х3Х5

Полученные равенства называются определяющими контрастами.

Перемножим определяющие константы и получим новые. В рассмотренном примере.

I = Х1Х4Х5

Составим алгебраическую сумму из единицы и правых частей всех полученных определяющих контрастов

S = I + Х1Х2Х3Х4 + Х2Х3Х5 + Х1Х4Х5

Умножив каждый фактор на выражение и заметив его соответствующим коэффициентом уравнения регрессии, определим, с какими оценками коэффициентов он связан.

b0 >в0 + в1234 + в235 + в145 ; b3 >в3 + в124 + в25 + в1345 ;

b1 >в1 + в234 + в1235 + в45 ; b4 >в4 + в123 + в2345 + в15 ;

b2 >в2 + в134 + в35 + в1245 ; b5 >в5 + в12345 + в23 + в14

В общем случае план ПФЭ типа 25 позволяет определить модель в виде:

y=b0+b1x1+b2x2+b3x3+b4x4+b5x5+b12x1x2+b13x1x3+b14x1x4+b15x1x5+b23x2x3+b24x2x4+b25x2x5+b34x3x4+b35x3x5+b45x4x5+b123x1x2x3+b124x1x2x4+b125x1x2x5+b134x1x3x4+b135x1x3x5+b145x1x4x5+b234x2x3x4+b235x2x3x5+b245x2x4x5+b345x3x4x5+b1234x1x2x3x4+b1235x1x2x3x5+b1245x1x2x4x5+b1345x1x3x4x5+ b2345x2x3x4x5+b12345x1x2x3x4x5

При использовании методики ДФЭ коэффициенты регрессии определяются совместно и не могут в явном виде присутствовать в данном уравнении. Поэтому, пользуясь соотношениями 5.8 вычеркивают из уравнения 5.9 принимает вид:

y=b0+b1x1+b2x2+b3x3+b4x4+b5x5+b12x1x2+b13x1x3+ b23x2x3+ b24x2x4+b34x3x4+ b125x1x2x5+b135x1x3x5+b245x2x4x5+b345x3x4x5

Кроме линейных коэффициентов регрессии, в уравнении 5.10 ещё входят коэффициенты парного и тройного взаимодействия факторов, которые также состоят из смешанных оценок. Поэтому, продолжая приведенную выше процедуру, получим

b12 >в12 + в34 + в135 + в245

Вычеркнув из уравнения 5.11 коэффициенты регрессии, оценки которых входят в коэффициент b13

b13 >в13 + в24 + в125 + в345

Освободившись от коэффициентов, оценки которых входят в соотношение (5.12), получим общий вид уравнения регрессии для рассматриваемого случая:

у=b0+b1x1+b2x2+b3x3+b4x4+b5x5+b12x1x2+b13x1x2

После того, как определен общий вид искомого уравнения регрессии можно приступить к обработке экспериментальных данных, представленных в таблице 5.4.

Определим по формуле 4.13 дисперсии опытов и по отношению 4.14 проверим однородность ошибок.

S2ош1=1/2[(86-87)2+(88-87)2+(87-87)2=1,00;

…………………………………………….

…………………………………………….

…………………………………………….

S2ош8=1/2[(73-72)2+(71-72)2+(72-72)2=1,00;

Gp=4/13,25=0,302 GT=0,516.

Так как Gp=0,302<GT=0,516, то с 95% доверительной вероятностью можно считать дисперсии ошибок опытов одновременными.

Расчет коэффициентов уравнения регрессии

b0=1/8(87+80+90+92+84+78+85+72)=83,5;

b1=1/8(87-80+90-92+84-78+85-72)=3,0;

b2= -1,25; b3=3,75; b4=2,0; b5= -2,5;

b12=1/8(87-80-90+92+84-78-85+72)=0,25;

b13= -1,75.

Для проверки значимости полученных коэффициентов по формуле 4.19 определялась дисперсия воспроизводимости, а затем по формуле 4.16…4.18 рассчитывалась величина доверительного интервала.

S2(y)=1/8(1+4+0,25+1+4+1+1+1)=1,656;

S2(b)=1,656/8=0,207; S2(y)= ±0,455;

Дb= ±2,12*0,455= ±0,97; [t]=2.13.

Проверка значимости коэффициентов показала, что все коэффициенты регрессии, кроме b12=0,25, больше «Дb». Следовательно, искомое уравнение регрессии имеет вид:

у=83,5 +3Х1+3Х1+1,25Х2+3,75Х3+2Х4-2,5Х5-1,75Х1Х3.

Для проверки адекватности уравнения регрессии экспериментальным данным, определим расчетное значение параметра оптимизации в каждой экспериментальной точке плана.

y=83,5+3-1,25+3,75+2-2,5-1,75=86,75;

…………………………………………

…………………………………………

y=83,5-3+1,25-3,75-2-2,5-1,75=71,75.

По формуле 4.21 определим значение дисперсии адекватности.

S2(ад)=(8*0,0625)/(8-7)=0,5.

Из соотношения 4.20 рассчитаем значение критерия Фишера:

Fp=0,5/1,656=0,302.

Выводы

Так как обычное значение критерия Фишера FT=4,49>F=302, то с 95% доверительной вероятностью можно подтвердить адекватность полученного уравнения регрессии экспериментальным данным.

Искомое уравнение регрессии имеет вид:

у=83,5 +3Х1+3Х1+1,25Х2+3,75Х3+2Х4-2,5Х5-1,75Х1Х3.

сложных многофакторных систем, как правило, использовалась одно- факторная методика, при которой исследовалось поведение объекта в зависимости от каждого фактора в отдельности, в то время как остальные фиксировалась на определенных уровнях. Такой путь приводил к получению большого количества избыточной информации об объекте исследования, которую очень трудно было привести к компактной форме в виде единого уравнения. Информация представлялась в виде многочисленных графиков и таблиц и требовала длительного анализа и обработки.

Только в 20-е годы нашего столетия английским математиком-статистиком Рональдом Фишером

Литература

1. Адлер Ю.П., Маркова К.В, Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. М. Наука, 1976.

2. Тихомиров В.Б. Планирование и анализ эксперимента. М. Легкая индустрия,1974.

3. Хартман К. и пр. Планирование эксперимента в исследовании технологических процессов. М. Мир, 1977.

4. Налимов В.В., Чернова Н.А. Статические методы планирования эксперимента. М. Наука, 1965.

5. Белен А.В. Повышение эффективности процесса обращения изображений при изготовлении фотоформ: Дне, …квиц, техн.наук. М.: МПИ, 1978.

Размещено на Allbest.ru