1. Планирование эксперимента

Под планированием эксперимента понимается процедура выбора числа опытов и условий их проведения, необходимых для решения поставленной задачи с требуемой точностью.

1.1 Факторы и параметр оптимизации

При проведении эксперимента исследуемый объект представляют в виде «черного ящика», на вход которого поступают воздействующие параметры, а на выходе получают значения параметров, характеризующих состояние объекта.

u₁ u₂ u_i

x₁ y₁

x₂ y₂

x _k y_n

z₁ z₂ z_m

На исследуемый объект воздействуют четыре группы параметров:

X = (x₁,x₂,…x_k) - контролируемые и управляемые параметры, допускающие целенаправленное изменение в ходе исследования.

Их называют независимыми параметрами.

U = (u₁,u₂,…u_i) - контролируемые параметры, не допускающие целенаправленного изменения в ходе исследования. К ним можно отнести условия окружающей среды.

Z = (z₁,z₂,…z_m) - неконтролируемые и неуправляемые параметры. Они характеризуют возмущения, которые нельзя измерить количественно (например, старение деталей).

Y = (y₁,y₂,…y_n) - выходные параметры.

Задача каждого исследователя заключается в том, чтобы при фиксированных параметрах u_j = const и z _l= const выбрать такие значения

x_i = var (i=1…k) при которых выходной параметр Y достигает оптимальной величины, т. е. необходимо оптимизировать функцию

Y = f_opt(x_i = var, u_j = const, z_l = const).

Независимые переменные x_i принято называть факторами.

К факторам предъявляют следующие требования:

1. Независимость, т.е. возможность установить фактор на любом уровне вне зависимости от уровней других факторов. Если это условие невыполнимо, то планировать эксперимент невозможно.

2. Совместимость, т.е. все комбинации факторов осуществимы и безопасны.

3. Управляемость, т.е. выбрав нужное значение фактора, экспериментатор может его поддерживать постоянным в течение всего опыта.

4. Точность замера. Степень точности определяется диапазоном изменения факторов.

5. Однозначность, т.е. непосредственное воздействие факторов на объект.

Выходами черного ящика являются параметры оптимизации

Y = (y₁,y₂,…y_n).

Параметром (или критерием) оптимизации называется количественная характеристика цели экспериментального исследования.

К параметру оптимизации предъявляются следующие требования:

1. Быть количественным и задаваться одним числом, допускать измерение при любой возможной комбинации выбранных уровней факторов.

Всесторонне характеризовать объект исследования.

Иметь простой физический смысл.

Существовать на всех стадиях проведения эксперимента.

Иметь нормальное распределение по законам математической статистики.

1.2 Выбор модели

Под математической моделью понимают уравнение, связывающее параметр оптимизации с факторами, т.е.

y = f (x₁,x₂,…x_k).

Область определения функции отклика называют областью поиска.

Чтобы выбрать модель, надо понять, что мы хотим от неё, какие требования к ней предъявляем. Главное требование - способность предсказывать направление дальнейших опытов, причем предсказывать с требуемой точностью. Предполагаем, что поверхность отклика, т.е. функция

y = f (x_i) - непрерывная, гладкая и имеет единственный оптимум. Такие функции в математике называются аналитическими. Аналитическую функцию в окрестности любой точки можно представить в виде степенного ряда. Таким образом, всегда, когда возможно, будем искать модель в виде полиномов

Отсюда следует, что чем больше степень полинома, тем больше нужно опытов. Значит нужно найти такой полином, который содержит как можно меньше коэффициентов, но удовлетворяет требованиям, предъявляемым к модели. Модель должна хорошо предсказывать направление наискорейшего улучшения параметра оптимизации. Такое направление называется направлением по градиенту. Этим требованиям удовлетворяет полином первой степени. С одной стороны, он содержит информацию о направлении градиента, с другой - в нем минимально возможное число коэффициентов при данном числе факторов.

Процесс нахождения модели состоит из следующих этапов:

планирование эксперимента (построение плана эксперимента);

собственно эксперимент;

проверка воспроизводимости (однородности выборочных дисперсии);

получение математической модели объекта с проверкой статистической значимости выборочных коэффициентов регрессии;

проверка адекватности математического описания.

Полный факторный эксперимент

Построение планов ПФЭ

Планированию эксперимента предшествует этап сбора и анализа априорной информации. При этом оцениваются границы области определения факторов. Для каждого фактора следует выбрать два уровня (нижний и верхний), на которых он будет варьироваться в эксперименте. Интервал варьирования не может быть меньше той ошибки, с которой экспериментатор фиксирует уровень фактора, иначе верхний и нижний уровни окажутся неразличимыми. С другой стороны, интервал варьирования не может быть настолько большим, чтобы верхний и нижний уровни не оказались за пределами области определения.

Чтобы упростить запись условий опытов и облегчить обработку экспериментальных данных, используют кодированные значения факторов: 0 -основной уровень, +1 - верхний уровень, -1 - нижний уровень. Кодирование осуществляется по формуле

где - кодированное значение фактора; - натуральное значение фактора; - натуральное значение основного уровня фактора; - интервал варьирования.

Пример. Пусть в эксперименте изменяются два фактора на двух уровнях - температура и - время реакции. Для температуры основным уровнем является , а интервал варьирования - .

Тогда верхним уровнем для температуры будет

,

а нижним -.

В кодированных значениях это запишется так:

.

Если для выбраны = 30 мин и = 5 мин, то .

Уровни и интервалы варьирования оформляются в виде таблицы.

 Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ). Для двух уровней это будет ПФЭ типа 2^к, а для n уровней - ПФЭ типа n^к. Первый этап планирования эксперимента для получения линейной модели основан на варьировании факторов на двух уровнях.

Условия эксперимента представляются в виде таблицы - матрицы планирования, где строки соответствуют различным опытам, а столбцы - значениям факторов.

ПФЭ позволяет количественно оценить все линейные эффекты факторов и их взаимодействия. Взаимодействие возникает в том случае, если эффект одного фактора зависит от уровня, на котором находится другой фактор.

Ниже приводится пример матрицы планирования для ПФЭ типа 2³ с учетом эффектов взаимодействия. План и модель неразрывно связаны.

Уравнение модели

y = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + b₃x₃ + b₁₂x₁x₂ + b₂₃x₂x₃ + b₁₃x₁x₃.

Матрица планирования для ПФЭ типа 2³ имеет вид

где y₁ и y₂ - отклики (параметры оптимизации) в первом и втором опытах; у_СР - среднее значение отклика.

После построения матрицы планирования её преобразуют в рабочую матрицу. Для этого заменяют кодированные значения факторов натуральными величинами. В соответствии с рабочей матрицей проводят эксперимент таким образом, чтобы можно было устранить систематическую ошибку или хотя бы уменьшить её. Для этого последовательность опытов в эксперименте должна быть случайной. Это называется рандомизацией. Рандомизацию экспериментов проводят, как правило, искусственно, применяя таблицы случайных чисел. Например, рандомизированный ряд для первых десяти натуральных чисел имеет вид: 8,6,4,9,1,3,2,5,7,10

Рабочая матрица планирования

Дробный факторный эксперимент

В полном факторном эксперименте разность между числом опытов и коэффициентов уравнения регрессии велика. Количество опытов в ПФЭ типа 2^k при значительно превышает число линейных коэффициентов. Было бы заманчивым сократить число опытов за счет той информации, которая не существенна при построении линейных моделей. При этом нужно стремиться к тому, чтобы матрица планирования не лишилась своих оптимальных свойств.

Обратимся вновь к ПФЭ типа 2³. Пользуясь таким планированием, можно вычислить семь коэффициента: b₀, b₁, b₂, b₃, b₁₂, b₂₃, b₁₃

Если имеются основания считать, что в выбранных интервалах варьирования процесс описывается линейной моделью

y = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + b₃x₃,

то достаточно определить четыре коэффициента: b₀, b_1, b₂, b₃. Тогда вектор - столбец, например х₁х₂, можно использовать для введения в план нового вектора х₃. Итак, мы нашли способ сократить число опытов. Вместо восьми опытов для трёх факторов при ПФЭ типа 2³ оказывается можно поставить только четыре опыта, воспользовавшись дробным планированием или дробной репликой ? - репликой для 2³. При этом матрица планирования не теряет своих оптимальных свойств в рамках линейной модели и имеет следующий вид

Матрица планирования ДФЭ типа 2^3-1

Мы рассмотрели самый простой случай: матрицу из четырёх опытов для трехфакторного планирования. С увеличением числа факторов вопрос о минимизации числа опытов N становится очень актуальной задачей, ведь N растет, как показательная функция в зависимости от числа факторов.

Правило построения дробного плана:

Для того чтобы построить дробный план типа 2^k-r , необходимо вначале сделать план для k-r основных факторов, а затем дополнить его столбцами, которые образуются в результате поэлементного умножения не менее двух и не более k-r определенных столбцов.

Произведение основных факторов называется генерирующим соотношением или генератором.

В случае плана 2^k-r может быть образовано r генерирующих соотношений.

1.3 Статистическая проверка результатов эксперимента

у = b₀ + b₁ х₁ + b₂ х₂ + b₃ х₃.

Уровни и интервалы варьирования факторов

Объект исследуется с помощью ПФЭ типа 2³. Эксперимент в каждом опыте имеет три параллельных опыта.

План эксперимента и результаты опытов

Сумма дисперсии

Находим расчетное значение критерия Кохрена

Определяем числа степеней свободы: f₁ = m-1= 2, f₂ = N = 8.

Для уровня значимости q = 5% (q =0,05) определяем по таблице

G_КР = 0,516. Так как G_Р < G_КР, то дисперсии однородны.

2. Вычисляем коэффициенты уравнения регрессии, для этого составим расчетную таблицу

Расчет коэффициентов уравнения регрессии

b₀ = (81,02 + 73,6+72,3 + 66,67 + 84,17 + 78,30 + 75,33 + 68,06) : 8 = 74,93;

b₁ = (81,02 - 73,6+72,3 - 66,67 + 84,17 - 78,30 + 75,33 - 68,06) : 8 =3,27;

b₂ = 4,34; b₃ = -1,53.

Проверим значимость полученных коэффициентов с помощью критерия Стьюдента.

Определяем дисперсию воспроизводимости

Находим дисперсию ошибки определения коэффициентов регрессии

Определяем число степеней свободы f₃ = N(m-1) =16.

Уровень значимости выбираем q = 0,05.

В таблице находим t _КР = 2,12.

Подсчитываем доверительный интервал

Все коэффициенты значимы, так как их абсолютная величина больше доверительного интервала.

Таким образом, уравнение регрессии имеет вид

у = 74,93 + 3,27 х₁ + 4,34 х₂ - 1,53 х₃.

3. Проверяем адекватность полученного уравнения.

Находим значение отклика по уравнению регрессии в каждом опыте

у^*₁ = 74,93 + 3,27 + 4 34 - 1,53 = 81,01;

у^*₂ = 74,93 - 3,27 + 4 34 - 1,53 = 74,47;

у^*₃ = 72,33; у^*₄ = 65,79; у^*₅ = 84,07; у^*₆ = 77,53; у^*₇ = 75,39; у^*₈ = 68,85.

Вычисляем дисперсию адекватности по формуле

S²_АД = (3/4)[(81,02 - 81,01)² + (73,60-74,47)² + (72,30 - 72,33)² + (66,67 -

- 65,79)² + (84,17 - 84,07)² + (78,30 - 77,53)² + (75,33 -75,39)² + (68,06 - 68,85)²]= = 2,076;

Находим расчетное значение критерия Фишера

.

Определяем степени свободы: f₄ = N-l = 8-4 = 4; f₃ = N(m-1) = 16; и при уровне значимости q = 5% (q = 0,05) в табл. находим F_КР = 3,01.

Так как F_Р < F_КР, то можно сделать вывод, что полученная модель адекватна исследуемому объекту.

4. Интерпретация модели

у = 74,93 + 3,27 х₁ + 4,34 х₂ - 1,53 х₃.

Наибольшее влияние на уровень вибрации оказывает масса комплекта шатунно-поршневой группы (фактор х₂). Для уменьшения вибрации необходимо уменьшать дисбаланс коленчатого вала и массу комплекта и увеличивать зазор в подшипниках (фактор х₃).

планирование оптимизация имитационный регрессия

3. Оптимизация эксперимента

3.1 Постановка задачи оптимизации эксперимента

Большое число разнообразных задач с проблемой оптимизации. Эта проблема сводится к отысканию таких значений факторов, при которых зависимое переменное - параметр оптимизации - достигает экстремума (минимума или максимума).

Бокс и Уилсон предложили шаговый метод исследования поверхности отклика - метод крутого восхождения.

Согласно концепции Бокса - Уилсона задача оптимизации разбивается на два этапа: крутое восхождение по поверхности отклика с целью достижения области оптимума и описание области оптимума.

Эксперимент, который ставится для решения задач оптимизации, называется экстремальным.

Геометрическим образом функции является поверхность отклика. Допустим, что мы имеем математическую модель, зависящую от двух факторов

.

Изобразим ее в трехмерном пространстве

Если целью эксперимента является определение максимального значения у, то координаты точки а в плоскости векторов (х₁,х₂) определяют это значение.

3.2 Градиентный метод

Градиентные методы поиска оптимальных решений основаны на использовании линейных математических моделей.

Движение по градиенту - это многошаговый процесс, который заключается в том, что к нулевому (основному) уровню при крутом восхождении последовательно алгебраически прибавляют величины, пропорциональные составляющим градиента. При определении минимума функции последовательно вычитают эти величины из нулевого уровня.

Пример. Методом наискорейшего спуска найти оптимальное решение при расчете уровня вибрации двигателя ЗИЛ - 130 в зависимости от трех технологических факторов: х₁ - дисбаланс коленчатого вала в сборе; х₂ - масса комплекта шатунно-поршневой группы; х₃ - зазор в коренных подшипниках.

По результатам проведенного полного факторного эксперимента типа 2³ - получена линейная модель для параметра оптимизации (уровня вибрации) в зависимости от трех доминирующих факторов

у = 74,93 + 3,27 х₁ + 4,34 х₂ - 1,5 х₃

Используем полученное уравнение для оптимизации.

Градиентный метод

На основании проведенных расчетов и выполненных исследований можно утверждать, что оптимальная величина уровня вибрации отремонтированного двигателя для данной частоты составляет 67 дБ, при этом дисбаланс коленчатого вала в сборе с маховиком не должен превышать 40гсм, масса комплекта шатунно-поршневой группы не должна быть более 2370 г и зазор в подшипниках - не более 0,15 мм.

4. Раскодирование уравнений регрессии в расчетные формулы

Раскодирование уравнений регрессии в расчетные формулы осуществляется подстановкой в уравнение регрессии вместо кодированного значения х_i натурального значения фактора .

Преобразование можно выполнить следующим по формуле

где - натуральное значение фактора; - натуральное значение основного уровня фактора; - интервал варьирования фактора.

Пример. Преобразовать уравнение регрессии, полученное для прогноза уровня вибрации в расчетную формулу.

Полученное уравнение регрессии имеет вид

у = 74,93 + 3,27 х₁ +4,34 х₂ -1,53 х₃.

Используя данные примера и формулу (4.1), найдем

дисбаланс коленчатого вала

масса комплекта шатунно-поршневой группы

зазор в подшипниках

Подставляя в уравнение регрессии, получим расчетную формулу прогноза уровня вибрации двигателя ЗИЛ -130

Полученные расчетные данные хорошо согласуются с экспериментальными. Так, расчетное значение уровня вибрации при

х₁ = 80гсм, х₂ = 2410г, х₃ = 0,134мм составляет 75,38Дб. Экспериментальное значение для этих данных, полученное в десятом опыте при определении оптимальных параметров двигателя составляет 75,8 Дб.

5. Исследование области, близкой к экстремуму

5.1 Композиционные планы Бокса-Уилсона

Если цель исследования заключалась в нахождении области экстремума и крутое восхождение оказалось эффективным, то на этом изучение процесса оканчивается.

Иногда возникает необходимость детального изучения области, близкой к экстремуму. Такую область называют почти стационарной областью. Это - область с существенной нелинейностью функции отклика, для адекватного описания которой необходимо использовать нелинейные полиномы. В настоящее время наиболее широко для описания области, близкой к экстремуму, применяют полиномы второго порядка. Это связано с тем, что, во-первых, имеются хорошо разработанные планы второго порядка, во- вторых, с тем, что поверхности второго порядка легко поддаются систематизации и исследованию на экстремум

.

Число опытов N в плане должно быть не меньше числа определяемых коэффициентов в уравнении регрессии.

Для описания поверхности отклика полиномами второго порядка независимые факторы в планах должны принимать не менее трех разных значений. Трехуровневый план, в котором реализованы все возможные комбинации из k факторов на трех уровнях, представляет собой полный факторный эксперимент 3^k. Матрица планирования ПФЭ типа 3^k показана в таблице.

Полный факторный эксперимент типа 3^k

5.2 Имитационный эксперимент

Не каждый объект может быть изучен с помощью натурных экспериментов. В этих случаях возможна имитация поведения системы на ЭВМ. При имитации характерным является введение в память ЭВМ математической модели системы и проведение «эксперимента» непосредственно на ПК. На практике имитационное моделирование может представлять интерес при исследовании сложных технических систем. В этом случае целесообразно применять методы планирования эксперимента для сокращения перебора вариантов, выделения значимых факторов, поиска оптимальных условий и определения допустимых комбинаций уровней варьируемых переменных. Имитационный подход позволяет сэкономить время и выработать рациональные решения.

Методика проведения имитационного эксперимента рассматривается на примере определения оптимальных параметров шины, подвески и скорости автомобиля для улучшения его плавности хода.

В таблице приведена характеристика колебаний, ощущаемых человеком, в зависимости от виброскорости.

Таблица 1. Характеристика колебаний

В результате проведения имитационного эксперимента, параметры шины, подвески автомобиля и его скорость должны быть такими, чтобы виброскорость кузова автомобиля не превышала 0,1 м/с.

5.3 Дифференциальные уравнения вынужденных колебаний автомобиля