Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

ГРЕКО-КИТАЙСКАЯ ТЕОРЕМА ОБ ОСТАТКАХ

КУРСОВАЯ РАБОТА БАКАЛАВРА

по направлению подготовки Педагогическое образование

(с двумя профилями подготовки) профили «Математика», «Информатика»

Дисциплина «Теория чисел»

Воронеж - 2021



Содержание

Введение

1. История греко-китайской теоремы об остатках

2. Формулировки и доказательства китайской теоремы об остатках

2.1 Греко-китайская теорема об остатках для двух чисел

2.2 Доказательство с помощью метода математической индукции

2.3 Конструктивный метод доказательства

3. Алгоритмы поиска решения

3.1 Алгоритм Гарнера

3.2 Алгоритм на основе элементарной алгебры

3.3 Алгоритм на основе греко-китайской теоремы об остатках

4. Применение к решению задач

5. Применение китайской теоремы об остатках к открытию сейфа в банке

Заключение

Список литературы



Введение

Одним из важных результатов теории чисел является так называемая китайская теорема об остатках (сокращённо KTO) - очень древняя находка математики, возраст которой не менее 2000 лет. Также её называют греко-китайской теоремой об остатках, великой китайской теоремой об остатках. По существу эта теорема утверждает, что можно восстановить целое число по множеству его остатков от деления на числа из некоторого набора попарно взаимно простых чисел. Даже существует легенда, которая гласит, что китайские военные использовали математическую хитрость, то есть китайскую теорему об остатках, чтобы скрыть численность своих войск. Этот же метод используется во многих областях современных математических исследований и представляет собой огромный интерес для изучения.

Цель работы: изучить греко-китайскую теорему об остатках, её доказательства, а также применение для решения задач теории чисел.

Достижение цели предусматривает решение следующих задач:

· Изучить формулировки КТО

· Рассмотреть доказательства китайской теоремы об остатках.

· Изучить алгоритмы поиска решения.

· Рассмотреть примеры решения задач теории чисел с помощью КТО, а также примеры решения олимпиадных задач.

· Изучить применение КТО в задаче об открытии сейфа в банке.

Актуальность темы исследования. Китайская теорема об остатках достаточно широко применяется в теории чисел, её алгоритм имеет множество применений в шифровании и дешифровании в криптографических системах, например, в криптосистеме Рабина или в шифре Виженера (значительно помогает ускорить процесс расшифрования). Также используется для оптимизации операций в шифре RSA. Знание греко-китайской теоремы об остатках помогает также при решении олимпиад по математике. Поэтому эту теорему можно активно включать в программу факультативов для школьников по математике.



1. История греко-китайской теоремы об остатках

Первое упоминание о греко-китайской теореме встречается в трактате китайского математика Сунь Цзы, предположительно датируемом III веком до н. э. Работа Сунь Цзы не содержала ни доказательства, ни полного алгоритма. Алгоритм решения этой проблемы был описан Арьябхатой (VI век). Затем результат был обобщен в виде полного решения Цинь Цзю-шао в его книге «Математические рассуждения в 9 главах», датируемой 1247 годом.

Задача 26 главы 3. Предположим, что имеется неизвестное количество объектов. Разбив их на тройки, получаем в остатке 2, разбив на пятерки - 3, разбив на семерки - 2. Сколько имеется объектов?

После решения этой конкретной задачи, в книге приводится алгоритм решения данной задачи и общей - при произвольных остатках:

«Умножь число остатков при делении на тройки на 70, добавь к полученному произведение числа остатков при делении на пятерки на 21, и затем добавь произведение числа остатков при делении на семерки на 15. Если результат равен 106 или более -- вычти кратное 105».

Эти рассуждения фактически соответствуют представлению решения системы формулой, но все же решение не полностью объясняет использованный метод. Мы можем заметить, что:

70 имеет остаток 1 при делении на 3 и остаток 0 при делении на 5 и 7;

21 имеет остаток 1 при делении на 5 и остаток 0 при делении на 3 и 7;

15 имеет остаток 1 при делении на 7 и остаток 0 при делении на 3 и 5.

Тогда число соответствует остаткам 2, 3 и 2 в делениях на 3, 5 и 7. Наконец, поскольку 105 имеет остаток 0 в трех типах деления, мы можем удалить его или добавить столько раз, сколько хотим, без изменения значений остатков. Тогда наименьшее значение количества объектов - 23.

Существует легенда, что в Китае для того, чтобы скрыть численность своей армии от противника, могли особым способом определить численность войска и не дать возможности получить эти сведения врагу. Итак, специалисты полагают, что военачальники прибегали к интересной математической хитрости, они делали так: давали несколько последовательных команд: доказательство теорема остаток математический

«В колонну по 7 становись!»

«В колонну по 11 становись!»

«В колонну по 13 становись!»

«В колонну по 17 становись!»

И в каждом случае выясняли, сколько солдат получилось в последнем ряду. После этого - только по найденным остаткам вычислялось общее количество солдат с помощью китайской теоремы об остатках.

В соответствии с утверждением теоремы, по четырем остаткам однозначно восстанавливается число солдат, если оно не превосходит

Итак, военачальники имели достаточно информации, чтобы определить общую численность армии, и при этом могли не называть точную цифру, которую может узнать враг.

Рассмотрим еще один пример задачи, которую могли решать в древности астрономы, следящие за двумя кометами с орбитальными периодами в четыре года и 10 лет. В последний раз кометы достигли своего перигелия -- точки, где комета находится ближе всего к Солнцу, -- в 1991 и 1997 годах соответственно. Как же определить, когда в следующий раз они оба достигнут своих перигелиев в один и тот же год?

В данной задаче может помочь китайская теорема об остатках. Когда делители не являются взаимно простыми, вместо того, чтобы использовать кратные их произведения для определения возможных решений, использовали кратные их наименьшему общему кратному. Поэтому в данном случае вместо умножения 4 и 10 необходимо применить их наименьшее общее кратное: 20.

Теперь ищем загадочный год , который удовлетворяет следующей системе соответствий:

Если мы будем добавлять кратные 20 к наименьшему целому числу, которое удовлетворяет обеим конгруэнциям (оно оказывается равным 7), то мы найдём общий год, в котором обе кометы достигают своих перигелиев: 2007 г.

Этот пример демонстрирует широкую применимость теоремы, что делает её полезной в практических целях. Например, в астрономии для расчёта древних календарей или выборе кирпичей правильного размера для здания (теорема, вероятно, использовалась для строительства Великой китайской стены). Спустя более 1500 лет теорема остается полезным способом решения современных проблем, включая шифрование RSA, современный протокол безопасности.



2. Формулировки и доказательства китайской теоремы об остатках

2.1 Греко-китайская теорема об остатках для двух чисел

Рассмотрим задачу: найти число , если известны его остатки от его деления на заданные числа соответственно. Например: найти число, дающее при делении на 3 остаток 2, при делении на 5 - остаток 3, а при делении на 7 - снова остаток 2 (Сунь Цзы, между II и IV в.) (см. рис. 1).

Рисунок 1.

Приведём несколько формулировок китайской теоремы об остатках. Пусть - множество всевозможных остатков от деления числа на . Следующая теорема известна как китайская (греко-китайская) теорема об остатках (для случая ).

Теорема 2.1.1. Пусть и . Тогда для любых остатков , существует, и притом единственное, число , дающее при делении на и остатки и .

Доказательство:

Рассмотрим отображение множества в множество , заданное правилом:

остаток от деления на .

Из условия следует, что это отображение инъективно (по свойству взаимно простых чисел: пусть если и , то ).

Поскольку

оно является и сюръективным. Следовательно, изображение биективно, что и требовалось доказать.

В общем случае (для произвольного ) нужно потребовать, чтобы числа были попарно взаимно просты (иначе утверждение окажется неверным).

2.2 Доказательство с помощью метода математической индукции

Ещё один вариант формулировки китайской теоремы об остатках.

Теорема 2.2.1. Если натуральные числа попарно взаимно просты, то для любых целых таких, что при всех , найдется число , которое при делении на дает остаток при всех . Более того, любые два таких числа и удовлетворяют уравнению:

где

Доказательство:

Воспользуемся методом математической индукции.

При утверждение теоремы очевидно.

Пусть теорема справедлива при , тогда существует число , дающее остаток при делении на при .

Обозначим .

Выберем произвольное число , взаимно простое со всеми и рассмотрим числа . Покажем, что все являются остатками при делении каких-либо элементов из на .

Допустим это не так. То есть существует некоторое , которое не принадлежит множеству всех остатков при делении элементов на . Поскольку количество этих элементов равно , а возможных остатков при делении элементов из на может быть не более чем , то среди них найдутся два разных числа, имеющих равные остатки. Пусть это числа и при . Тогда их разность должна делиться на , что невозможно, так как и взаимно просто с , так как числа попарно взаимно просты (по условию). Приходим к противоречию.

Таким образом, среди рассматриваемых чисел найдётся число , которое при делении на даёт остаток . В то же время при делении на число даёт остатки соответственно, так как

Докажем теперь, что В самом деле , то есть . Таким образом, число делится без остатка на все , а также их произведение. Теорема доказана.

В трактате другого китайского математика Джу Шао Квина дается формула для вычисления числа , удовлетворяющего теореме:

где

Заметим, что поскольку число взаимно просто с , то обратное число в формуле для всегда существует для . Кроме того, имеют место равенства

то есть компоненты взаимно ортогональны по модулю .

2.3 Конструктивный метод доказательства

Приведём конструктивное доказательство китайской теоремы об остатках, пригодное для практического отыскания числа . Задача состояла в том, чтобы найти число , если известны его остатки от его деления на заданные числа соответственно. Если данные числа попарно взаимно просты, то при дополнительном ограничении

эта задача имеет единственное решение для любого набора остатков (это и есть утверждение китайской теоремы об остатках).

Положим и для каждого рассмотрим сравнение

Поскольку



каждое такое сравнение будет иметь единственное решение, которое мы обозначим . Теперь в качестве искомого числа мы можем взять наименьший неотрицательный вычет числа

по модулю . В самом деле, для любого имеем

что и требовалось доказать.

Замечание. Числа вида (2) при , пробегающих полные системы вычетов по модулям образуют полную систему вычетов по модулю .

Замечание. Короткое «культурное» доказательство китайской теоремы об остатках и свойства мультипликативности функции Эйлера таково: отображение

является изоморфизмом колец и который индуцирует изоморфизм их мультипликативных групп и .



3. Алгоритмы поиска решения

3.1 Алгоритм Гарнера

Существует специальный алгоритм для нахождения , названный как алгоритм Гарнера, согласно которому можно вычислить как -ый член последовательности . Последовательности строятся по следующим формулам:

Достоинство данного алгоритма заключается в том, что вычисление каждой последующей пары использует только одно предыдущее значение , что позволяет последовательно уточнять значение корня .

Рассмотрим пример. Найти наименьшее положительное , удовлетворяющее системе уравнений:

Решение. В примере Будем последовательно вычислять и



Ответ:

3.2 Алгоритм на основе элементарной алгебры

Как пример рассмотрим следующую систему:

Для решения системы выпишем отдельно решения первого, второго и третьего уравнений (достаточно выписать решения не превосходящие ):

Очевидно, что множество решений системы будет пересечение представленных выше множеств. По утверждению теоремы решение существует и единственно с точностью до операции взятия по модулю . В нашем случае или .

Для того, чтобы продемонстрировать другой путь, переформулируем задачу. Найдём тройку чисел таких, что:

Подставив из первого уравнения во второе, получим , тогда , или , или , или . Подставив затем из первого уравнения в третье с учетом выражения для получим:

Тогда

3.3 Алгоритм на основе греко-китайской теоремы об остатках

Китайская теорема об остатках гарантирует существование и единственность решения для нахождения по модулю , то есть

для всех .

КТО даёт следующий ответ:

где

Таким образом, на основе конструктивного метода доказательства, приходим к следующему порядку действий при поиске решений по формуле данной в КТО:

1) Вычисляем

2) Для всех находим

3) Находим .

4) Вычисляем искомое значение по формуле

В качестве примера решим систему сравнений:



Решение:

Найдем

Затем вычисляем ,

Пользуясь формулой, получаем решение:



4. Применение к решению задач

Приведем несколько примеров решения олимпиадных задач и примеров решения сравнений с помощью КТО. Начнем с задачи, сформулированной на современном языке, которая могла бы рассматриваться древними астрономами (астрономический пример).

Пример 1. Три спутника пересекут меридиан города Лидса сегодня ночью: первый - в 1 ночи, второй - в 4 утра, а третий - в 8 утра. У каждого спутника свой период обращения. Первому на полный оборот вокруг Земли требуется 13 часов, второму - 15, а третьему - 19 часов. Сколько часов пройдет (от полуночи) до того момента, когда спутники одновременно пересекут меридиан Лидса?

Решение:

Посмотрим, как эта задача переводится на язык сравнений.

Пусть - количество часов, которые пройдут с 12 часов ночи до момента одновременного прохождения спутниками над меридианом Лидса. Первый спутник пересекает этот меридиан каждые 13 часов, начиная с часу ночи. Это можно записать как для некоторого целого . Другими словами, . Соответствующие уравнения для остальных спутников имеют вид: и Таким образом, три спутника одновременно пересекут меридиан Лидса через часов, если удовлетворяет эти трем уравнениям. Следовательно, для ответа на поставленный вопрос достаточно решить систему сравнений:

Заметим, что мы не можем складывать или вычитать уравнения системы, поскольку модули сравнений в них разные. Будем решать эту задачу, переходя от сравнений к уравнениям в целых числах. Так, сравнение соответствует диофантову уравнению: . Заменяя во втором сравнении системы на , получаем:

, то есть

Но 13 обратимо по модулю 15, обратный к нему элемент - это 7. Умножая последнее сравнение на 7, переходя в нем к вычетам по модулю 15, имеем:

Значит, может быть записан в виде: для какого-то целого . Следовательно,

Заметим, что все числа вида являются целыми решениями первых двух сравнений системы (4). Наконец, подставим в третье сравнение вместо х выражение :

Ввиду обратимости остатка 5 по модулю 19, на него можно сократить и увидеть, что Переписывая это сравнение как диофантово уравнение, мы получим для некоторого целого .

Итак, .

Какой отсюда можно сделать вывод относительно спутников? Напомним, что - количество часов, которые пройдут от полуночи до момента одновременного прохождения спутников над меридианом Лидса. Поэтому нам нужно было найти наименьшее натуральное значение переменной , удовлетворяющее системе (4). Мы это сделали. Поскольку решение системы: , то ответ: 274. Итак, спутники одновременно пройдут над меридианом Лидса через 274 часа после 0 часов сегодняшней ночи, что соответствует 11 дням и 10 часам. Но общее решение системы дает больше информации. Прибавляя к 274 любое кратное 3705, мы получаем другое решение системы. Иначе говоря, спутники одновременно пересекают означенный меридиан каждые 3705 часов после первого такого момента, что соответствует 154 дням и 9 часам.

Ответ: 154 дня и 9 часов.

Пример 2. Решите систему уравнений:

Решение:

Преобразуем исходную систему. Разобьём каждое из сравнений на сравнения по примерным модулям. Получим:

Решаем каждое из этих сравнений. Получаем

Применяем великую китайскую теорему об остатках.

Необходимо решить следующую систему сравнений:

Решаем и получаем . Записываем решение исходной системы:

.

Ответ:.

Пример 3. Используя теорему Эйлера и великую китайскую теорему об остатках, найдите остаток при делении на .

Решение:

Пусть , тогда

Использую теорему Эйлера, находим, что

Используя КТО, находим

Ответ:

Пример 4. Решите систему сравнений:

Решение:

В нашем примере Определим число

2) Вычислим



3) Вычислим , , и из следующих сравнений:

4)

Ответ:

Пример 5.

Совершив очередной рейд в море, дюжина пиратов с корабля СИГИНТИЯ собралась в своей любимой таверне, чтобы обсудить вопрос того, как им следует поделить награбленное золото. После продолжительных дебатов капитан Бесчестный ударил по столу и объявил: «Аррргх, мы поделим золото поровну между всеми нами, аррргх!». Капитан начал раздавать золотые монеты в том же порядке, что и крупье раздает карты - одну за другой на каждого пирата. Однако, когда раздача почти закончилась, капитан понял, что у него остается 3 лишних золотых монеты.

После непродолжительной тишины, один из пиратов сказал «Я заслуживаю дополнительной монеты, потому что в то время, когда вы все спали, я один тащил всю провизию на корабль!». Другой пират сказал: «Ну, я тоже заслужил дополнительную монету, потому что я один готовил нам всю еду.» В конечном счете в таверне развязалась потасовка между пиратами - каждый хотел получить эти 3 золотых. Владелец таверны, устав от творящегося беспорядка, выпнул одного из пиратов за дверь из-за сломанного стола, а остальные пираты забрали у дебошира всю его долю золотых монет. Владелец таверны прокричал: «Соблюдайте порядок, или я вас всех отсюда вышибу!»

Пираты снова уселись там же, где и сидели раньше - всего их осталось 12 пиратов, включая капитана, который продолжил раздавать монеты: «одну тебе, одну тебе…» Теперь, когда монеты почти закончились, он понял, что у него аж целых пять лишних золотых монет. Боясь, что снова начнется драка, из-за которой их могут выгнать из таверны, капитан схватил самого ярого дебошира за шиворот и вытащил того за дверь. Оставшись всего с 11-ю пиратами, он снова начал раздавать монеты. Когда сундук с золотом начал пустеть, он с облегчением обнаружил, что свободных монет больше не осталось. Спорить никто не стал, и все пираты отправились спать, довольные.

Сколько всего золотых монет было в сундуке, если число меньше 1000?

Решение:

Чтобы решить задачку, нужно решать ее с конца. С 11-ю пиратами все монеты распределялись поровну, значит ответ будет в следующем списке чисел:

11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110, 121, 132, 143…

Что произойдет, если мы возьмем эти числа и разделим их на 12 пиратов? Сколько золотых останется? Очевидно, нам нужно, чтобы после деления 5 монет уходило в остаток. Следовательно, список сокращается до:

77, 209, 341, 473…

Все эти числа делятся на 11 без остатка и дают 5 в остатке, если их поделить на 12. Теперь мы берем эти числа и делим их на 13, пока не найдем число, которое дает в остатке 3-ку. Таким образом, ответ - 341 золотая монета.

Ответ: 341

Пример 6.

Решите систему сравнений:

Решение:

1) Числа 5, 17 и 12 являются взаимно простыми, тогда согласно теореме решение существует.

Запишем систему в виде:

Определим число

2) Вычислим

3) Решим вспомогательные сравнения:

Здесь мы учли, что , так как 200 делится на 5.

Перебирая в сравнении ), находим Действительно, делится на .

Аналогично находим решения:

4) Получаем решение:

Ответ:

Пример 7. Решить систему линейных уравнений:

Поскольку модули попарно взаимно простые, поэтому применима китайская теорема об остатках:



Аналогично, если переписать последнюю систему с положительными остатками:

Ответ:

Пример 8.

Решите систему сравнений:

Решение:

1) Числа 8, 11 и 15 являются взаимно простыми, тогда согласно теореме решение существует.

Запишем систему в виде:

Определим число

2) Вычислим



3) Решим вспомогательные сравнения:

Они, очевидно, эквивалентны следующим сравнениям:

Получим следующие решения:

4) Получаем решение:

Ответ:



5. Применение китайской теоремы об остатках к открытию сейфа в банке

Бенджамен Франклин однажды сказал: «Трое могут хранить тайну, если двое из них мертвы». На китайской теореме об остатках основана безопасная система допуска к секретным сведениям. Представим следующую ситуацию:

Пусть - попарно взаимно простые числа, такие, что
. Пусть - произвольное целое число с условием и - остатки от деления на .

Предположим, далее, что в некотором банке работают кассиров. Кассир с номером знает пару чисел . Для открытия сейфа необходимо знать ключевое число . Докажем, что любые кассиров смогут открыть сейф, но никакие кассиров не смогут это сделать. Действительно, пусть собрались кассиры с номерами , тогда им известен набор чисел . По КТО можно найти такое число , что . Так как , то (ввиду единственности решения этой системы сравнений по модулю ) и ключевое число найдено, т.е. сейф можно открыть. Если собрались кассиров, то они знают пары чисел. По КТО они могут найти такое целое число , что и , то есть . Таким образом, не является искомым ключом к открытию сейфа.

В качестве конкретного примера можно рассмотреть числа: и, например, . Каждый из пяти кассиров знает одну из пар чисел

Из предыдущего следует, что любые три кассира смогут найти ключ (равный ) и открыть сейф, но никакие два не смогут этого сделать.



Заключение

В данной курсовой работе были приведены различные вариации формулировки греко-китайской теоремы об остатках, её доказательства, в том числе конструктивное доказательство. Также была рассмотрена история данной теоремы. Кроме того, были изучены алгоритмы поиска решения, такие как алгоритм Гарнера и алгоритм, созданный на основе элементарной алгебры, приведены примеры решения задач теории чисел на основе КТО. А также было рассмотрено применение китайской теоремы об остатках к решению олимпиадных задач и к решению задачи об открытии сейфа. Таким образом, можно сделать вывод, что поставленные задачи курсовой работы решены, и цель работы достигнута.

В ходе исследовательской работы я открыла для себя много новой информации и пришла к выводу, что китайская теорема об остатках - это не просто инструмент. Она лежит в основе операции в фундаментальной ветви теории чисел, называемой модульной арифметикой, которая представляет собой способ выполнения математических вычислений в системах с меньшими числами. Также она широко применяется в криптографии и других дисциплинах.

Взаимно однозначное соответствие между некоторым числом и набором его остатков, определяемым набором взаимно простых чисел, существование которого утверждается в теореме, на практике помогает работать не с длинными числами, а с наборами их коротких по длине остатков. Кроме того вычисления по каждому из модулей можно выполнять параллельно. Если в качестве базиса взять, к примеру, первые 500 простых чисел, длина каждого из которых не превосходит 12 бит, то этого хватит для представления десятичных чисел длины 1519 знаков. (Откуда взялось число 1519 понять очень просто: сумма десятичных логарифмов первых 500 простых чисел есть 1519.746…).

Например, в алгоритме RSA вычисления производятся по модулю очень большого числа , представимого в виде произведения двух больших простых чисел. КТО позволяет перейти к вычислениям по модулю этих простых делителей, которые по величине уже порядка , а значит имеют в два раза меньшую битовую длину. Применение вычислений согласно КТО делает алгоритм RSA восприимчивым к атакам по времени

Кроме того, на данной теореме основаны схема Асмута -- Блума и схема Миньотта - пороговые схемы разделения секрета в группе участников (секрет могут узнать только из участников, объединив свои ключи).

КТО лежит в основе принципа Хассе поиска целочисленных корней уравнения. Также из теоремы следует мультипликативность функции Эйлера. Теорема имеет множество применений в шифровании и дешифровании в криптографических системах, например, в криптосистеме Рабина или в шифре Виженера. Поэтому КТО является очень удобным и очень широко используемым методом как в теории чисел, так и в криптографии.



Список литературы

1) Василенко, О. Н. Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии / О. Н. Василенко. - Москва : МЦНМО, 2003. - 328 с.

2) Габидулин, Э. М. Защита информации : учебное пособие / Э. М. Габидулин, А. С. Кшевецкий, А. И. Колыбельников. - Москва : МФТИ, 2011. - 225 с.

3) Глейзер, Г. И. История математики в школе / Г. И. Глейзер. - Москва : Просвещение, 1982. - 240 с.

4) Гольденберг, А. И. Задача остатков / А. И. Гольденберг // В.О.Ф.Э.М.. - 1887. - № 35. - С. 247-253.

5) Жмурова, И. Ю. Теория чисел : учебное пособие для вузов / И. Ю. Жмурова, А. В. Игнатова. - Москва : Издательство Юрайт, 2021. - 52 с.

6) Ишмухаметов, Ш. Т. Методы факторизации натуральных чисел : учебное пособие / Ш. Т. Ишмухаметов. - Казань : Казанский университет, 2011. - 190 с.

7) Ленг, С. Алгебра / С. Ленг. - Москва : Мир, 1968. - 220 с.

8) Минеев, М. П. Об одном применении китайской теоремы об остатках к шифру Виженера / М. П. Минеев, В. Н. Чубариков // Доклады академии наук. - 2010. - Т. 430, №1. - С. 21- 22. - Библиогр.: 9 назв.

9) Нестеренко, А. Ю. Теоретико-числовые методы в криптографии : учебное пособие / А. Ю. Нестеренко. - Москва : Московский государственный институт электроники и математики, 2012. - 190 с.

10) Осипов, Н. Н. Теория чисел / Н. Н. Осипов. - Красноярск : Сибирский институт космических и информационных технологий, 2008. - 117 с.

11) Смарт, Н. Криптография / Н. Смарт. - Москва : Техносфера, 2005. - 528 с.

12) Сонг, Я. Криптоанализ RSA / Я. Сонг. - Москва : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2011. - 312 с.

13) Фергюсон, Н. Практическая криптография / Н. Фергюсон, Б. Шнайер. - Москва : Вильямс, 2004. - 432 с.

14) Финько, О. А. Модулярная арифметика параллельных логических вычислений: монография / О. А. Финько. - Москва : ИПУ РАН, 2003. - 214 с.

15) Фомичев, В. М. Криптографические методы защиты информации: учебник для вузов / В. М. Фомичев, Д. А. Мельников. - Москва : Издательство Юрайт, 2021. - 209 с.

Размещено на Allbest.ru