Основные функции логики
Логические константа и переменная. Последовательность выполнения логических операций в логических формулах. Логическая информация и основы логики. Общие, частные и единичные высказывания. Старшинство логических операций. Импликация и эквивалентность.
Рубрика | Математика |
Вид | курсовая работа |
Язык | русский |
Дата добавления | 27.04.2013 |
Размер файла | 1,0 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Основы логики
Логические величины
Высказывание (суждение) - это повествовательное предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается. По поводу любого высказывания можно сказать истинно оно или ложно.
Логические величины: понятия, выражаемые словами: ИСТИНА (true), ЛОЖЬ (false).
Логическая константа: ИСТИНА (true), ЛОЖЬ (false).
Логическая переменная: символически обозначенная логическая величина. Следовательно, если известно, что А, В, Х, У и пр. - логические величины, то это значит, что они могут принимать значения только ИСТИНА или ЛОЖЬ.
Логическое выражение: простое или сложное высказывание. Сложные высказывания строятся из простых с помощью логических операций (связок).
Логические операции
Конъюнкция (логическое умножение). В русском языке выражается союзом И.
В математической логике используются знаки & Конъюнкция - двухместная операция, записывается в виде А^В (А, В - операнды). Значение такого выражение будет ЛОЖЬ, если хотя бы значение одного из операндов ложно.
Дизъюнкция (логическое сложение). В русском языке выражается союзом ИЛИ.
В математической логике используются знаки Дизъюнкция - двухместная операция, записывается в виде АВ. Значение такого выражение будет ИСТИНА, если хотя бы значение одного из операндов истинно.
Отрицание. В русском языке выражается союзом НЕ (в некоторых высказываниях применяется оборот - неверно, что…).
В математической логике используются знаки Отрицание - одноместная (унарная) операция, записывается в виде А или .
Логическая формула (логическое выражение) - формула, содержащая лишь логические величины и знаки логических операций. Результатом вычисления логической формулы является ИСТИНА или ЛОЖЬ. В логических формулах часто ИСТИНА представляется как 1, ЛОЖЬ как 0.
Правила выполнения логических операций отражены в таблице истинности.
Таблица истинности
А |
В |
не А |
А и В (*) |
А или В (+) |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
Последовательность выполнения логических операций в логических формулах определяется старшинством операций. Самая старшая операция - отрицание (она выполняется раньше других), затем идет - конъюнкция (и), а затем дизъюнкция (или).
Логические схемы
Удобным способом представления логических выражений являются логические схемы. Вот как изображаются на таких схемах три основные логические операции.
В этой таблице использованы следующие обозначения:
1 - истина, 0 - ложь, и, или, не - логические операции.
Пример1: Нарисуйте схему для логического выражения 1 или 0 и 1. Затем вычислите значение логического выражения.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Решение: Схема - Вычисление:
Пример2: Дана логическая схема. Постройте логическое выражение. Затем вычислите значение логического выражения.
Решение: Дана схема -
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Составим формулу - (1 или 0) и 1. Вычислим значение по схеме 1 или 0 = 1,
затем 1 и 1 = 1. Значит (1 или 0) и 1 = 1.
Логическая информация и основы логики
Высказывания
Высказывание (суждение) -- предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается. По поводу любого высказывания можно сказать истинно оно или ложно.
это повествовательное
Высказывания бывают общими, частными или единичными. Общее высказывание начинается (или можно начать) со слов: все, всякий, каждый, ни один. Частное высказывание начинается (или можно начать) со слов: некоторые, большинство и т. п. Во всех других случаях высказывание является единичным.
Пример 1. Определить значения истинности для следующих высказываний
«Лед -- твердое состояние воды ». Ответ: истинное высказывание
«Треугольник -- это геометрическая фигура». Ответ: истинное высказывание
«Париж -- столица Китая» Ответ: ложное высказывание
Пример 2. Определить тип высказывания (общее, частное, единичное)
«Все рыбы умеют плавать». Ответ: общее высказывание
«Некоторые медведи - бурые». Ответ: частное высказывание.
«Буква А -- гласная». Ответ: единичное высказывание.
Логика. Импликация и эквивалентность
Известно, что любая логическая формула может быть выражена через три ранее рассмотренные логические операции:
· Отрицание (НЕ, !, ),
· Дизъюнкция (логическое сложение, или, V, ||)
· Коньюнкция (логическое умножение, И, &, )
Однако на практике часто используют еще две логические связки.
Импликация служит для задания так называемых условных высказываний. В русском языке этой логической операции соответствуют фразы если ..., то ... или когда ..., тогда ...
Импликация - двухместная операция: часть формулы до импликации называют основанием условного высказывания, а часть, расположенную за ней - следствием. В логических формулах импликация обозначается знаком =>.
Операция A => B определяет логическую функцию, тождественно совпадающую с функцией не A или B.
Пример1
Дано сложное высказывание: "Если выглянет солнце, то станет тепло". Требуется записать его в виде логической формулы.
Обозначим через А простое высказывание "выглянет солнце", а через В - "станет тепло". Тогда логической формулой этого сложного высказывания будет импликация: A => B.
Эквивалентность. Ее аналог в разговорной речи - фразы, подобные словосочетанию тогда и только тогда, когда ... или если и только если ... Для ее обозначения используется символ<-> или просто =. Мы будем использовать для обозначения эквивалентности обе эти формы.
Логическая формула A <-> B эквивалентна формуле (A => B) и (B => A).
Пример2
Дано сложное высказывание: "В зачетную книжку выставляется оценка за экзамен тогда и только тогда, когда он сдан". Нужно преобразовать высказывание к логической формуле. Обозначим
А - "В зачетную книжку выставляется оценка за экзамен",
В - "Экзамен сдан".
Тогда логическая формула сложного высказывания запишется в виде
A <-> B.
Приведем таблицу истинности, задающую операции импликации и эквивалентности
А |
В |
A => B |
A <-> B |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
Старшинство логических операций
· отрицание (Самая старшая операция -она выполняется раньше других)
· конъюнкция (и),
· дизъюнкция (или).
Кроме того, на порядок операций влияют скобки.
Например: (А и В) или (не А и В) или (не А и не В)
Логика. Формулы преобразований логических выражений
При работе с логическими выражениями часто используют следующие законы.
Законы коммутативности |
А и В = B и A |
|
A или B = B или A |
||
Законы ассоциативности |
A и (B и C) = (A и B) и C |
|
A или (B или C) = (A или B) или C |
||
Законы дистрибутивности |
A и (B или C) = (A и B) или (A и C) |
|
A или (B и C) = (A или B) и (A или C) |
||
Свойства операций И, ИЛИ |
A и 1 = A; A и 1 = 1 |
|
A или 0 = A; A или 1 = 1 |
||
Свойства отрицания |
A и неA = 0; A или неA = 1 |
Табличный способ определения истинности сложного выражения имеет ограниченное применение, так как при увеличении числа логических переменных приходится перебирать слишком много вариантов. В таких случаях используют способ приведения формул к нормальной форме.
Формула имеет нормальную форму, если в ней отсутствуют знаки эквивалентности, импликации и двойного отрицания, а все знаки отрицания относятся только к переменным, а не к выражениям. Следующие формулы преобразований дополняют сформулированные выше законы булевой алгебры и позволяют приводить формулы к нормальной форме.
Формула с импликацией и эквивалентностью |
Формулы только с и, или, не |
||
1 |
не( не A) |
A |
|
2 |
не (A и B) |
неA или неB |
|
3 |
не(A или B) |
неA и неB |
|
4 |
не(A => B). |
A и неB |
|
5 |
A => B |
неA или B |
|
6 |
A <-> B |
(A и B) или (неA и неB) |
|
7 |
A <-> B |
( неA или B) и (A или неB) |
Пример
Упростим логическую формулу не( (A или B) => не( B или C)).
не( (A или B) => не( B или C)) = (избавляемся от => по формуле 5)
не( не(A или B) или не( B или C)) = (формула3)
не( не(A или B)) и не( не( B или C)) = (формула2)
(A или B) и (B или C) = { дистрибутивность операции ИЛИ - вынесли В за скобки}
B или A и C.
Задачи
№ 1 Какие из предложений являются высказываниями? Определите их истинность.
№ |
Высказывание |
Тип высказывания Общие, Частные Единич. |
Истинность |
|
1. |
Число 6 -- четное. |
О Ч Е |
Истина Ложь |
|
2. |
Посмотрите на доску. |
О Ч Е |
Истина Ложь |
|
3. |
Все роботы являются машинами. |
О Ч Е |
Истина Ложь |
|
4. |
У каждой лошади есть хвост. |
О Ч Е |
Истина Ложь |
|
5. |
Внимание! |
О Ч Е |
Истина Ложь |
|
6. |
Кто отсутствует? |
О Ч Е |
Истина Ложь |
|
7. |
Есть кошки, которые дружат с собаками. |
О Ч Е |
Истина Ложь |
|
8. |
Не все то золото, что блестит. |
О Ч Е |
Истина Ложь |
|
9. |
X2 > О |
О Ч Е |
Истина Ложь |
|
10. |
Некоторые люди являются художниками |
О Ч Е |
Истина Ложь |
|
11. |
Выразите 1 час 15 минут в минутах. |
О Ч Е |
Истина Ложь |
|
12. |
Всякий моряк умеет плавать |
О Ч Е |
Истина Ложь |
№ 2 Какие из предложений являются высказываниями? Определите их истинность.
№ |
Высказывание |
Высказывание? |
Истинность |
|
1. |
Наполеон был французским императором |
Да Нет |
Истина Ложь |
|
2. |
Чему равно расстояние от Земли до Марса? |
Да Нет |
Истина Ложь |
|
3. |
Внимание! Посмотрите направо. |
Да Нет |
Истина Ложь |
|
4. |
Электрон -- элементарная частица, |
Да Нет |
Истина Ложь |
|
5. |
Не нарушайте правил дорожного движения! |
Да Нет |
Истина Ложь |
|
6. |
Полярная Звезда находится в созвездии Малой Медведицы. |
Да Нет |
Истина Ложь |
№ 3 Какие из приведенных высказываний являются общими? (поставьте крестик)
я Не все книги содержат полезную информацию
я Кошка является домашним животным
я Все солдаты храбрые
я Ни один внимательный человек не совершит оплошность
я Некоторые ученики двоечники
я Все ананасы приятны на вкус
я Мой кот страшный забияка
я Любой неразумный человек ходит на руках-
№ 4 Какие из приведенных высказывании являются частными? (поставьте крестик)
я Некоторые мои друзья собирают марки,
я Все лекарства неприятны на вкус,
я Некоторые лекарства приятны на вкус. 4- А -- первая буква в алфавите.
я Некоторые медведи -- бурые.
я Тигр -- хищное животное.
я У некоторых змей нет ядовитых зубов.
я Многие растения обладают целебными свойствами.
я Все металлы проводят тепло,
№ 5 Определите истинность высказывания.
№ |
Высказывание |
Истинность |
|
1. |
Все ребята умеют плавать. |
Истина Ложь |
|
2. |
Киев -- столица Украины. |
Истина Ложь |
|
3. |
Некоторые кошки не любят рыбу. |
Истина Ложь |
|
4. |
Человек все может. |
Истина Ложь |
|
5. |
Невозможно создать вечный двигатель. |
Истина Ложь |
|
6. |
Каждый человек -- художник- |
Истина Ложь |
№ 6 Из двух простых высказываний постройте сложное высказывание, используя логические связки <И», «ИЛИ»:
№ |
Простые высказывания |
Сложное высказывание |
|
1. |
Все ученики изучают математику. Все ученики изучают литературу, |
Все ученики изучают математику и литературу. |
|
2. |
Марина старше Светы. Оля старше Светы. |
||
3. |
Одна половина класса изучает английский язык. Вторая половина класса изучает немецкий язык. |
||
4. |
В кабинете есть учебники. В кабинете есть справочники. |
||
5. |
Слова в этом предложении начинаются на букву Ч- Слова в этом предложении начинаются на букву А |
||
6. |
Часть туристов любит чай. Остальные туристы любят молоко. |
||
7. |
Синий кубик меньше красного. Синий кубик меньше зеленого* |
Задание1. Расставьте порядок логических операций в формулах
(А или В) и (не А и В)
А или В и не А
Задание2. Пусть А - «эта ночь звездная», а В - «эта ночь холодная». Выразите следующие формулы на обычном языке
Формула |
Высказывание |
|
А и В |
||
А и не В |
||
не А и не В |
Задание3 Составьте таблицу истинности для формулы - не А и не В
Подсказка: Алгоритм построения таблицы истинности
1) Подсчитать количество переменных в логическом выражении - n
2) Определить число строк в таблице m = 2 n
3) Подсчитать количество логических операций в формуле.
4) Установить последовательность выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов.
5) Определить количество столбцов в таблице: число переменных плюс число операций.
6) Выписать наборы входных переменных с учетом того, что они представляют собой натуральный ряд n-разрядных двоичных чисел от 0 до 2 n - 1.
7) Заполнить таблицу истинности по столбикам, выполняя логические операции в соответствии с установленной последовательностью.
логический константа операция высказывание
Задание4. В табличном процессоре MS Excel создайте макрос, который генерирует таблицу истинности из задания3
Подсказка: Запись макроса запускается из меню Сервис/Макрос/Начать запись.
Откроется панель, в которой можно задать имя макроса (в имени макроса первым символом должна быть буква, не допускается использование пробелов) и определить клавишу запуска макроса (необязательно). Затем нажать ОК.
С этого момента все ваши действия будут записывать в виде команд Visual Basic, пока вы не нажмете на кнопку остановить запись на панели
Для того, чтобы запустить выполнения макроса надо выбрать меню Сервис/Макрос/Макросы. Выбрать в открывшемся окне нужный макрос и нажать на кнопку - Выполнить.
Задание5. Постройте логическое выражение для схемы. _____________
Задание 6
На компьютере решить задачи из задачника по логике (файл задачник_логика.)
Задание 6
Используя связку Если…., то…., измените высказывание
Высказывание |
Если …, то…. |
||
1 |
Кончил дело - гуляй смело |
||
2 |
Знакомая дорога - самая короткая |
||
3 |
В високосном году 366 дней |
Задание 7
Запишите в виде логической формулы высказывания:
Высказывание |
Обозначения |
формула |
||
1 |
Если Иванов здоров и богат, то он здоров |
А -В - |
||
2 |
Если число делится на 4, то оно делится на 2. |
А -В- |
||
3 |
Число является простым, если оно делится на 1 и на себя |
А -В -С - |
Задание8.
Определите истинность формулы
(А и В) => B
Задание 9. Упростите формулы, постройте логическую схему и определите истинность
1) ( C или B) => B)
2) ( C или B) <-> B.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Логическая переменная в алгебре логики. Логические операции: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность. Основные законы алгебры логики. Правила минимизации логической функции (избавление от операций импликации и эквивалентности).
курсовая работа [857,2 K], добавлен 16.01.2012Основы формальной логики Аристотеля. Понятия инверсии, конъюнкции и дизъюнкции. Основные законы алгебры логики. Основные законы, позволяющие производить тождественные преобразования логических выражений. Равносильные преобразования логических формул.
презентация [67,8 K], добавлен 23.12.2012Основные аксиомы и тождества алгебры логики. Аналитическая форма представления булевых функций. Элементарные функции алгебры логики. Функции алгебры логики одного аргумента и формы ее реализации. Свойства, особенности и виды логических операций.
реферат [63,3 K], добавлен 06.12.2010Основная функционально полная система логических функций. Законы алгебры логики в основной функционально полной системе и их следствия. Переместительный и распределительный законы. Закон инверсии (правило Де Моргана). Системы логических функций.
реферат [40,5 K], добавлен 17.11.2008Системы цифровой обработки информации. Понятие алгебры Буля. Обозначения логических операций: дизъюнкция, конъюнкция, инверсия, импликация, эквивалентность. Законы и тождества алгебры Буля. Логические основы ЭВМ. Преобразование структурных формул.
презентация [554,8 K], добавлен 11.10.2014Элементы алгебры, логические операции над высказываниями. Получение логических следствий из данных формул и посылок для данных логических следствий. Необходимые и достаточные условия. Анализ и синтез релейно-контактных схем. Логические следствия и формы.
дипломная работа [295,2 K], добавлен 11.12.2010Операции логики с понятием "суд". Объединённая классификация суждений, их логические обозначения. Составные части сложного суждения, запись их с помощью символов, пропозициональных союзов. Полный разбор силлогизма. Запись формально-логического закона.
контрольная работа [131,4 K], добавлен 23.10.2013Нечёткие системы логического вывода. Исследование основных понятий теории нечетких множеств. Операции над нечёткими множествами. Нечёткие соответствия и отношения. Описания особенностей логических операций: конъюнкции, дизъюнкции, отрицания и импликации.
презентация [191,0 K], добавлен 29.10.2013Изучение понятия о логической величине. Отличия общих, частных, единичных высказываний. Таблица истинности. Принципы использования простых и составных логических выражений. Вложенное ветвление. Определение наибольшего среди трех чисел неполного ветвления.
презентация [97,3 K], добавлен 09.10.2013Основные понятия алгебры логики. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы. Сущность теоремы Шеннона. Булевы функции двух переменных. Последовательное и параллельное соединение двух выключателей. Свойства элементарных функций алгебры логики.
контрольная работа [345,3 K], добавлен 29.11.2010