Основные функции логики

Логические константа и переменная. Последовательность выполнения логических операций в логических формулах. Логическая информация и основы логики. Общие, частные и единичные высказывания. Старшинство логических операций. Импликация и эквивалентность.

Рубрика Математика
Вид курсовая работа
Язык русский
Дата добавления 27.04.2013
Размер файла 1,0 M

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Основы логики

Логические величины

Высказывание (суждение) - это повествовательное предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается. По поводу любого высказывания можно сказать истинно оно или ложно.

Логические величины: понятия, выражаемые словами: ИСТИНА (true), ЛОЖЬ (false).

Логическая константа: ИСТИНА (true), ЛОЖЬ (false).

Логическая переменная: символически обозначенная логическая величина. Следовательно, если известно, что А, В, Х, У и пр. - логические величины, то это значит, что они могут принимать значения только ИСТИНА или ЛОЖЬ.

Логическое выражение: простое или сложное высказывание. Сложные высказывания строятся из простых с помощью логических операций (связок).

Логические операции

Конъюнкция (логическое умножение). В русском языке выражается союзом И.

В математической логике используются знаки & Конъюнкция - двухместная операция, записывается в виде А^В (А, В - операнды). Значение такого выражение будет ЛОЖЬ, если хотя бы значение одного из операндов ложно.

Дизъюнкция (логическое сложение). В русском языке выражается союзом ИЛИ.

В математической логике используются знаки Дизъюнкция - двухместная операция, записывается в виде АВ. Значение такого выражение будет ИСТИНА, если хотя бы значение одного из операндов истинно.

Отрицание. В русском языке выражается союзом НЕ (в некоторых высказываниях применяется оборот - неверно, что…).

В математической логике используются знаки Отрицание - одноместная (унарная) операция, записывается в виде А или .

Логическая формула (логическое выражение) - формула, содержащая лишь логические величины и знаки логических операций. Результатом вычисления логической формулы является ИСТИНА или ЛОЖЬ. В логических формулах часто ИСТИНА представляется как 1, ЛОЖЬ как 0.

Правила выполнения логических операций отражены в таблице истинности.

Таблица истинности

А

В

не А

А и В (*)

А или В (+)

1

1

0

1

1

1

0

0

0

1

0

1

1

0

1

0

0

1

0

0

Последовательность выполнения логических операций в логических формулах определяется старшинством операций. Самая старшая операция - отрицание (она выполняется раньше других), затем идет - конъюнкция (и), а затем дизъюнкция (или).

Логические схемы

Удобным способом представления логических выражений являются логические схемы. Вот как изображаются на таких схемах три основные логические операции.

В этой таблице использованы следующие обозначения:

1 - истина, 0 - ложь, и, или, не - логические операции.

Пример1: Нарисуйте схему для логического выражения 1 или 0 и 1. Затем вычислите значение логического выражения.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение: Схема - Вычисление:

Пример2: Дана логическая схема. Постройте логическое выражение. Затем вычислите значение логического выражения.

Решение: Дана схема -

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Составим формулу - (1 или 0) и 1. Вычислим значение по схеме 1 или 0 = 1,

затем 1 и 1 = 1. Значит (1 или 0) и 1 = 1.

Логическая информация и основы логики

Высказывания

Высказывание (суждение) -- предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается. По поводу любого высказывания можно сказать истинно оно или ложно.

это повествовательное

Высказывания бывают общими, частными или единичными. Общее высказывание начинается (или можно начать) со слов: все, всякий, каждый, ни один. Частное высказывание начинается (или можно начать) со слов: некоторые, большинство и т. п. Во всех других случаях высказывание является единичным.

Пример 1. Определить значения истинности для следующих высказываний

«Лед -- твердое состояние воды ». Ответ: истинное высказывание

«Треугольник -- это геометрическая фигура». Ответ: истинное высказывание

«Париж -- столица Китая» Ответ: ложное высказывание

Пример 2. Определить тип высказывания (общее, частное, единичное)

«Все рыбы умеют плавать». Ответ: общее высказывание

«Некоторые медведи - бурые». Ответ: частное высказывание.

«Буква А -- гласная». Ответ: единичное высказывание.

Логика. Импликация и эквивалентность

Известно, что любая логическая формула может быть выражена через три ранее рассмотренные логические операции:

· Отрицание (НЕ, !, ),

· Дизъюнкция (логическое сложение, или, V, ||)

· Коньюнкция (логическое умножение, И, &, )

Однако на практике часто используют еще две логические связки.

Импликация служит для задания так называемых условных высказываний. В русском языке этой логической операции соответствуют фразы если ..., то ... или когда ..., тогда ...

Импликация - двухместная операция: часть формулы до импликации называют основанием условного высказывания, а часть, расположенную за ней - следствием. В логических формулах импликация обозначается знаком =>.

Операция A => B определяет логическую функцию, тождественно совпадающую с функцией не A или B.

Пример1

Дано сложное высказывание: "Если выглянет солнце, то станет тепло". Требуется записать его в виде логической формулы.

Обозначим через А простое высказывание "выглянет солнце", а через В - "станет тепло". Тогда логической формулой этого сложного высказывания будет импликация: A => B.

Эквивалентность. Ее аналог в разговорной речи - фразы, подобные словосочетанию тогда и только тогда, когда ... или если и только если ... Для ее обозначения используется символ<-> или просто =. Мы будем использовать для обозначения эквивалентности обе эти формы.

Логическая формула A <-> B эквивалентна формуле (A => B) и (B => A).

Пример2

Дано сложное высказывание: "В зачетную книжку выставляется оценка за экзамен тогда и только тогда, когда он сдан". Нужно преобразовать высказывание к логической формуле. Обозначим

А - "В зачетную книжку выставляется оценка за экзамен",

В - "Экзамен сдан".

Тогда логическая формула сложного высказывания запишется в виде

A <-> B.

Приведем таблицу истинности, задающую операции импликации и эквивалентности

А

В

A => B

A <-> B

0

0

1

1

0

1

1

0

1

0

0

0

1

1

1

1

Старшинство логических операций

· отрицание (Самая старшая операция -она выполняется раньше других)

· конъюнкция (и),

· дизъюнкция (или).

Кроме того, на порядок операций влияют скобки.

Например: (А и В) или (не А и В) или (не А и не В)

Логика. Формулы преобразований логических выражений

При работе с логическими выражениями часто используют следующие законы.

Законы коммутативности

А и В = B и A

A или B = B или A

Законы ассоциативности

A и (B и C) = (A и B) и C

A или (B или C) = (A или B) или C

Законы дистрибутивности

A и (B или C) = (A и B) или (A и C)

A или (B и C) = (A или B) и (A или C)

Свойства операций И, ИЛИ

A и 1 = A; A и 1 = 1

A или 0 = A; A или 1 = 1

Свойства отрицания

A и неA = 0; A или неA = 1

Табличный способ определения истинности сложного выражения имеет ограниченное применение, так как при увеличении числа логических переменных приходится перебирать слишком много вариантов. В таких случаях используют способ приведения формул к нормальной форме.

Формула имеет нормальную форму, если в ней отсутствуют знаки эквивалентности, импликации и двойного отрицания, а все знаки отрицания относятся только к переменным, а не к выражениям. Следующие формулы преобразований дополняют сформулированные выше законы булевой алгебры и позволяют приводить формулы к нормальной форме.

Формула с импликацией и эквивалентностью

Формулы только с и, или, не

1

не( не A)

A

2

не (A и B)

неA или неB

3

не(A или B)

неA и неB

4

не(A => B).

A и неB

5

A => B

неA или B

6

A <-> B

(A и B) или (неA и неB)

7

A <-> B

( неA или B) и (A или неB)

Пример

Упростим логическую формулу не( (A или B) => не( B или C)).

не( (A или B) => не( B или C)) = (избавляемся от => по формуле 5)

не( не(A или B) или не( B или C)) = (формула3)

не( не(A или B)) и не( не( B или C)) = (формула2)

(A или B) и (B или C) = { дистрибутивность операции ИЛИ - вынесли В за скобки}

B или A и C.

Задачи

№ 1 Какие из предложений являются высказываниями? Определите их истинность.

Высказывание

Тип высказывания

Общие, Частные Единич.

Истинность

1.

Число 6 -- четное.

О Ч Е

Истина Ложь

2.

Посмотрите на доску.

О Ч Е

Истина Ложь

3.

Все роботы являются машинами.

О Ч Е

Истина Ложь

4.

У каждой лошади есть хвост.

О Ч Е

Истина Ложь

5.

Внимание!

О Ч Е

Истина Ложь

6.

Кто отсутствует?

О Ч Е

Истина Ложь

7.

Есть кошки, которые дружат с собаками.

О Ч Е

Истина Ложь

8.

Не все то золото, что блестит.

О Ч Е

Истина Ложь

9.

X2 > О

О Ч Е

Истина Ложь

10.

Некоторые люди являются художниками

О Ч Е

Истина Ложь

11.

Выразите 1 час 15 минут в минутах.

О Ч Е

Истина Ложь

12.

Всякий моряк умеет плавать

О Ч Е

Истина Ложь

№ 2 Какие из предложений являются высказываниями? Определите их истинность.

Высказывание

Высказывание?

Истинность

1.

Наполеон был французским императором

Да Нет

Истина Ложь

2.

Чему равно расстояние от Земли до Марса?

Да Нет

Истина Ложь

3.

Внимание! Посмотрите направо.

Да Нет

Истина Ложь

4.

Электрон -- элементарная частица,

Да Нет

Истина Ложь

5.

Не нарушайте правил дорожного движения!

Да Нет

Истина Ложь

6.

Полярная Звезда находится в созвездии Малой Медведицы.

Да Нет

Истина Ложь

№ 3 Какие из приведенных высказываний являются общими? (поставьте крестик)

я Не все книги содержат полезную информацию

я Кошка является домашним животным

я Все солдаты храбрые

я Ни один внимательный человек не совершит оплошность

я Некоторые ученики двоечники

я Все ананасы приятны на вкус

я Мой кот страшный забияка

я Любой неразумный человек ходит на руках-

№ 4 Какие из приведенных высказывании являются частными? (поставьте крестик)

я Некоторые мои друзья собирают марки,

я Все лекарства неприятны на вкус,

я Некоторые лекарства приятны на вкус. 4- А -- первая буква в алфавите.

я Некоторые медведи -- бурые.

я Тигр -- хищное животное.

я У некоторых змей нет ядовитых зубов.

я Многие растения обладают целебными свойствами.

я Все металлы проводят тепло,

№ 5 Определите истинность высказывания.

Высказывание

Истинность

1.

Все ребята умеют плавать.

Истина Ложь

2.

Киев -- столица Украины.

Истина Ложь

3.

Некоторые кошки не любят рыбу.

Истина Ложь

4.

Человек все может.

Истина Ложь

5.

Невозможно создать вечный двигатель.

Истина Ложь

6.

Каждый человек -- художник-

Истина Ложь

№ 6 Из двух простых высказываний постройте сложное высказывание, используя логические связки <И», «ИЛИ»:

Простые высказывания

Сложное высказывание

1.

Все ученики изучают математику.

Все ученики изучают литературу,

Все ученики изучают математику и литературу.

2.

Марина старше Светы. Оля старше Светы.

3.

Одна половина класса изучает английский язык.

Вторая половина класса изучает немецкий язык.

4.

В кабинете есть учебники. В кабинете есть справочники.

5.

Слова в этом предложении начинаются на букву Ч-

Слова в этом предложении начинаются на букву А

6.

Часть туристов любит чай.

Остальные туристы любят молоко.

7.

Синий кубик меньше красного.

Синий кубик меньше зеленого*

Задание1. Расставьте порядок логических операций в формулах

(А или В) и (не А и В)

А или В и не А

Задание2. Пусть А - «эта ночь звездная», а В - «эта ночь холодная». Выразите следующие формулы на обычном языке

Формула

Высказывание

А и В

А и не В

не А и не В

Задание3 Составьте таблицу истинности для формулы - не А и не В

Подсказка: Алгоритм построения таблицы истинности

1) Подсчитать количество переменных в логическом выражении - n

2) Определить число строк в таблице m = 2 n

3) Подсчитать количество логических операций в формуле.

4) Установить последовательность выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов.

5) Определить количество столбцов в таблице: число переменных плюс число операций.

6) Выписать наборы входных переменных с учетом того, что они представляют собой натуральный ряд n-разрядных двоичных чисел от 0 до 2 n - 1.

7) Заполнить таблицу истинности по столбикам, выполняя логические операции в соответствии с установленной последовательностью.

логический константа операция высказывание

Задание4. В табличном процессоре MS Excel создайте макрос, который генерирует таблицу истинности из задания3

Подсказка: Запись макроса запускается из меню Сервис/Макрос/Начать запись.

Откроется панель, в которой можно задать имя макроса (в имени макроса первым символом должна быть буква, не допускается использование пробелов) и определить клавишу запуска макроса (необязательно). Затем нажать ОК.

С этого момента все ваши действия будут записывать в виде команд Visual Basic, пока вы не нажмете на кнопку остановить запись на панели

Для того, чтобы запустить выполнения макроса надо выбрать меню Сервис/Макрос/Макросы. Выбрать в открывшемся окне нужный макрос и нажать на кнопку - Выполнить.

Задание5. Постройте логическое выражение для схемы. _____________

Задание 6

На компьютере решить задачи из задачника по логике (файл задачник_логика.)

Задание 6

Используя связку Если…., то…., измените высказывание

Высказывание

Если …, то….

1

Кончил дело - гуляй смело

2

Знакомая дорога - самая короткая

3

В високосном году 366 дней

Задание 7

Запишите в виде логической формулы высказывания:

Высказывание

Обозначения

формула

1

Если Иванов здоров и богат, то он здоров

А -

В -

2

Если число делится на 4, то оно делится на 2.

А -

В-

3

Число является простым, если оно делится на 1 и на себя

А -

В -

С -

Задание8.

Определите истинность формулы

(А и В) => B

Задание 9. Упростите формулы, постройте логическую схему и определите истинность

1) ( C или B) => B)

2) ( C или B) <-> B.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Логическая переменная в алгебре логики. Логические операции: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность. Основные законы алгебры логики. Правила минимизации логической функции (избавление от операций импликации и эквивалентности).

    курсовая работа [857,2 K], добавлен 16.01.2012

  • Основы формальной логики Аристотеля. Понятия инверсии, конъюнкции и дизъюнкции. Основные законы алгебры логики. Основные законы, позволяющие производить тождественные преобразования логических выражений. Равносильные преобразования логических формул.

    презентация [67,8 K], добавлен 23.12.2012

  • Основные аксиомы и тождества алгебры логики. Аналитическая форма представления булевых функций. Элементарные функции алгебры логики. Функции алгебры логики одного аргумента и формы ее реализации. Свойства, особенности и виды логических операций.

    реферат [63,3 K], добавлен 06.12.2010

  • Основная функционально полная система логических функций. Законы алгебры логики в основной функционально полной системе и их следствия. Переместительный и распределительный законы. Закон инверсии (правило Де Моргана). Системы логических функций.

    реферат [40,5 K], добавлен 17.11.2008

  • Системы цифровой обработки информации. Понятие алгебры Буля. Обозначения логических операций: дизъюнкция, конъюнкция, инверсия, импликация, эквивалентность. Законы и тождества алгебры Буля. Логические основы ЭВМ. Преобразование структурных формул.

    презентация [554,8 K], добавлен 11.10.2014

  • Элементы алгебры, логические операции над высказываниями. Получение логических следствий из данных формул и посылок для данных логических следствий. Необходимые и достаточные условия. Анализ и синтез релейно-контактных схем. Логические следствия и формы.

    дипломная работа [295,2 K], добавлен 11.12.2010

  • Операции логики с понятием "суд". Объединённая классификация суждений, их логические обозначения. Составные части сложного суждения, запись их с помощью символов, пропозициональных союзов. Полный разбор силлогизма. Запись формально-логического закона.

    контрольная работа [131,4 K], добавлен 23.10.2013

  • Нечёткие системы логического вывода. Исследование основных понятий теории нечетких множеств. Операции над нечёткими множествами. Нечёткие соответствия и отношения. Описания особенностей логических операций: конъюнкции, дизъюнкции, отрицания и импликации.

    презентация [191,0 K], добавлен 29.10.2013

  • Изучение понятия о логической величине. Отличия общих, частных, единичных высказываний. Таблица истинности. Принципы использования простых и составных логических выражений. Вложенное ветвление. Определение наибольшего среди трех чисел неполного ветвления.

    презентация [97,3 K], добавлен 09.10.2013

  • Основные понятия алгебры логики. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы. Сущность теоремы Шеннона. Булевы функции двух переменных. Последовательное и параллельное соединение двух выключателей. Свойства элементарных функций алгебры логики.

    контрольная работа [345,3 K], добавлен 29.11.2010

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.