Последовательность выполнения логических операций в логических формулах определяется старшинством операций. Самая старшая операция - отрицание (она выполняется раньше других), затем идет - конъюнкция (и), а затем дизъюнкция (или).

Логические схемы

Высказывание (суждение) -- предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается. По поводу любого высказывания можно сказать истинно оно или ложно.

это повествовательное

Высказывания бывают общими, частными или единичными. Общее высказывание начинается (или можно начать) со слов: все, всякий, каждый, ни один. Частное высказывание начинается (или можно начать) со слов: некоторые, большинство и т. п. Во всех других случаях высказывание является единичным.

Пример 1. Определить значения истинности для следующих высказываний

«Лед -- твердое состояние воды ». Ответ: истинное высказывание

«Треугольник -- это геометрическая фигура». Ответ: истинное высказывание

«Париж -- столица Китая» Ответ: ложное высказывание

Пример 2. Определить тип высказывания (общее, частное, единичное)

«Все рыбы умеют плавать». Ответ: общее высказывание

«Некоторые медведи - бурые». Ответ: частное высказывание.

«Буква А -- гласная». Ответ: единичное высказывание.

Логика. Импликация и эквивалентность

Известно, что любая логическая формула может быть выражена через три ранее рассмотренные логические операции:

· Отрицание (НЕ, !, ),

· Дизъюнкция (логическое сложение, или, V, ||)

· Коньюнкция (логическое умножение, И, &, )

Однако на практике часто используют еще две логические связки.

Импликация служит для задания так называемых условных высказываний. В русском языке этой логической операции соответствуют фразы если ..., то ... или когда ..., тогда ...

Импликация - двухместная операция: часть формулы до импликации называют основанием условного высказывания, а часть, расположенную за ней - следствием. В логических формулах импликация обозначается знаком =>.

Операция A => B определяет логическую функцию, тождественно совпадающую с функцией не A или B.

Пример1

Дано сложное высказывание: "Если выглянет солнце, то станет тепло". Требуется записать его в виде логической формулы.

Обозначим через А простое высказывание "выглянет солнце", а через В - "станет тепло". Тогда логической формулой этого сложного высказывания будет импликация: A => B.

Эквивалентность. Ее аналог в разговорной речи - фразы, подобные словосочетанию тогда и только тогда, когда ... или если и только если ... Для ее обозначения используется символ<-> или просто =. Мы будем использовать для обозначения эквивалентности обе эти формы.

Логическая формула A <-> B эквивалентна формуле (A => B) и (B => A).

Пример2

Дано сложное высказывание: "В зачетную книжку выставляется оценка за экзамен тогда и только тогда, когда он сдан". Нужно преобразовать высказывание к логической формуле. Обозначим

А - "В зачетную книжку выставляется оценка за экзамен",

В - "Экзамен сдан".

Тогда логическая формула сложного высказывания запишется в виде

A <-> B.

Приведем таблицу истинности, задающую операции импликации и эквивалентности

Старшинство логических операций

· отрицание (Самая старшая операция -она выполняется раньше других)

· конъюнкция (и),

· дизъюнкция (или).

Кроме того, на порядок операций влияют скобки.

Например: (А и В) или (не А и В) или (не А и не В)

Логика. Формулы преобразований логических выражений

При работе с логическими выражениями часто используют следующие законы.

Табличный способ определения истинности сложного выражения имеет ограниченное применение, так как при увеличении числа логических переменных приходится перебирать слишком много вариантов. В таких случаях используют способ приведения формул к нормальной форме.

Формула имеет нормальную форму, если в ней отсутствуют знаки эквивалентности, импликации и двойного отрицания, а все знаки отрицания относятся только к переменным, а не к выражениям. Следующие формулы преобразований дополняют сформулированные выше законы булевой алгебры и позволяют приводить формулы к нормальной форме.

Пример

Упростим логическую формулу не( (A или B) => не( B или C)).

не( (A или B) => не( B или C)) = (избавляемся от => по формуле 5)

не( не(A или B) или не( B или C)) = (формула3)

не( не(A или B)) и не( не( B или C)) = (формула2)

(A или B) и (B или C) = { дистрибутивность операции ИЛИ - вынесли В за скобки}

B или A и C.

Задачи

№ 1 Какие из предложений являются высказываниями? Определите их истинность.