Краткое описание сущности метода касательных (метода секущих Ньютона)

Пусть на отрезке [a; b] отделен корень с уравнения f (x) = 0 и f - функция непрерывна на отрезке [a; b], а на интервале] a; b [существуют отличные от нуля производные f' и f».

Так как f «(x) № 0, то запишем уравнение f (x) = 0 в виде:

x = x - (f (x) / f «(x)) (1.1)

Решая его методом итераций можем записать:

x_n+1 = x _n - (f (x _n) / f «(x _n)) (1.2)

Если на отрезке [a; b] f «(x) * f «(x) > 0, то нул - евое приближение выбираем x0=a. Рассмотрим геометрический смысл метода. Рассмотрим график функции y=f(x). Пусть для определенности f `(x) > 0 и f «(x) > 0 (рис. 1). Проведем касательную к графику функции в точке B (b, f (b)). Ее уравнение будет иметь вид:

y = f (b) + f «(b) * (x - b)

Полагая в уравнении y = 0 и учитывая что f «(x) ? 0, решаем его относительно x. Получим:

x = b - (f (b) /f `(b))

Нашли абсциссу x₁ точки c₁ пересечения касательной с осью ox:

x₁ = b - (f (b) - f' (b))

Рис. 1.

Проведем касательную к графику функции в точке b₁ (x₁; f (x₁)). Найдем абсциссу x₂ точки с₂ пересечения касательной с осью Ox:

x₂ = x₁ - (f (x₁) / (f «(x₁))

Вообще:

x_k+1 = x _k - (f (x _k) / f «(x _k)) (1.3)

Таким образом, формула (1.3) дает последовательные приближения (x_k) корня, получаемые из уравнения касательной, проведенной к графику функции в точке b _k (x _k; f (x _k0) метод уточнения корня c [a; b] уравнения f (x) = 0 с помощью формулы (1.3) называется методом касательной или методом Ньютона.

Геометрический смысл метода касательных состоит в замене дуги y = f (x) касательной, одной к одной из крайних точек. Начальное приближение x ₀ = a или x₀ = b брать таким, чтобы вся последовательность приближения х _k принадлежала интервалу] a; b [. В случае существования производных f', f», сохраняющих свои знаки в интервале, за х₀ берется тот конец отрезка [a; b], для которого выполняется условие f «(х₀) * f (х₀) > 0. Для оценки приближения используется общая формула:

|c-x _k-1 | Ј | f (x _k+1)/m|, где m = _min f «(x) на отрезке [a; b].

На практике проще пользоваться другим правилом:

Если на отрезке [a; b] выполняется условие 0 < m < | f (x)| и --e-----заданная точность решения, то неравенство | x _k+1-x _k| Ј----e-- влечет выполнение неравенства |c-x _k-1|--Ј----e--.

В этом случае процесс последовательного приближения продолжают до тех пор, пока не выполнится неравенство:

|c-x _k-1| Ј----e--.

Решение нелинейного уравнения аналитически

Определим корни уравнения х³ + 0,1х² + 0,4х - 1,2 = 0 аналитически. Находим:

f (x) = х³ + 0,1х² + 0,4х - 1,2

f `(x) = 3х² + 0,1х + 0,4

f (-1) = -2,5 < 0 f (0) = -1,2 < 0 f (+1) = 0,3 > 0

Следовательно, уравнение имеет действительный корень, лежащий в промежутке [0; +1].

Приведем уравнение к виду x = j (x), так, чтобы | j `(x) | <1 при 0 Ј--x--Ј--+1.

Так как max | f «(x) | = f «(+1) = 3 + 0,1 + 0,4 = 3,5 то можно взять R = 2.

Тогда j (x) = x - (f (x) / R) = x - 0,5 х³ - 0,05 х² - 0,2 х + 0,6 = - 0,5 х³ - 0,05 х² + 0,8 х + 0,6.

Пусть х₀ = 0, тогда х _n+1 = j (х _n).

Вычисления расположим в таблице.

График функции y = х³ + 0,1х² + 0,4х - 1,2

Алгоритм и блок схема метода касательных

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

{Конец основного тела программы}

Результаты выполнения программы

От A= 0.0000000000E+00 до B= 1.0000000000E+00

Погрешность с= 1.0000000000E-08

От A= 0.0000000000E+00 до B= 1.0000000000E+00

Погрешность с= 1.0000000000E-08

xn= 8.5000000000E-01 xn+1= 9.3681250000E-01 f (xn+1)= 8.4649960270E-02

xn= 9.3681250000E-01 xn+1= 8.9448751986E-01 f (xn+1)=-4.6507647892E-02

xn= 8.9448751986E-01 xn+1= 9.1774134381E-01 f (xn+1)= 2.4288343840E-02

xn= 9.1774134381E-01 xn+1= 9.0559717189E-01 f (xn+1)=-1.3064617920E-02

xn= 9.0559717189E-01 xn+1= 9.1212948085E-01 f (xn+1)= 6.9234699658E-03

xn= 9.1212948085E-01 xn+1= 9.0866774587E-01 f (xn+1)=-3.6990702320E-03

xn= 9.0866774587E-01 xn+1= 9.1051728099E-01 f (xn+1)= 1.9678960780E-03

xn= 9.1051728099E-01 xn+1= 9.0953333295E-01 f (xn+1)=-1.0493249720E-03

xn= 9.0953333295E-01 xn+1= 9.1005799543E-01 f (xn+1)= 5.5884091853E-04

xn= 9.1005799543E-01 xn+1= 9.0977857497E-01 f (xn+1)=-2.9781681224E-04

xn= 9.0977857497E-01 xn+1= 9.0992748338E-01 f (xn+1)= 1.5865717614E-04

xn= 9.0992748338E-01 xn+1= 9.0984815480E-01 f (xn+1)=-8.4537703515E-05

xn= 9.0984815480E-01 xn+1= 9.0989042365E-01 f (xn+1)= 4.5040009354E-05

xn= 9.0989042365E-01 xn+1= 9.0986790364E-01 f (xn+1)=-2.3997676180E-05

xn= 9.0986790364E-01 xn+1= 9.0987990248E-01 f (xn+1)= 1.2785800209E-05

xn= 9.0987990248E-01 xn+1= 9.0987350958E-01 f (xn+1)=-6.8122881203E-06

xn= 9.0987350958E-01 xn+1= 9.0987691573E-01 f (xn+1)= 3.6295678001E-06

xn= 9.0987691573E-01 xn+1= 9.0987510095E-01 f (xn+1)=-1.9338276616E-06

xn= 9.0987510095E-01 xn+1= 9.0987606786E-01 f (xn+1)= 1.0303429008E-06

xn= 9.0987606786E-01 xn+1= 9.0987555269E-01 f (xn+1)=-5.4896190704E-07

xn= 9.0987555269E-01 xn+1= 9.0987582717E-01 f (xn+1)= 2.9248803912E-07

xn= 9.0987582717E-01 xn+1= 9.0987568093E-01 f (xn+1)=-1.5583464119E-07

xn= 9.0987568093E-01 xn+1= 9.0987575885E-01 f (xn+1)= 8.3031409304E-08

xn= 9.0987575885E-01 xn+1= 9.0987571733E-01 f (xn+1)=-4.4236003305E-08

xn= 9.0987571733E-01 xn+1= 9.0987573945E-01 f (xn+1)= 2.3572283681E-08

xn= 9.0987573945E-01 xn+1= 9.0987572766E-01 f (xn+1)=-1.2558302842E-08

xn= 9.0987572766E-01 xn+1= 9.0987573394E-01 f (xn+1)= 6.6920620156E-09

Конечные значения

xn+1= 9.0987573394E-01 f (xn+1)= 6.6920620156E-09

1.2 Метод хорд

Пусть дано уравнение , где - непрерывная функция, имеющая в интервале (a, b) производные первого и второго порядков. Корень считается отделенным и находится на отрезке [a, b].

Идея метода хорд состоит в том, что на достаточно малом промежутке [a, b] дугу кривой можно заменить хордой и в качестве приближенного значения корня принять точку пересечения с осью абсцисс. Рассмотрим случай (рис. 1), когда первая и вторая производные имеют одинаковые знаки, т.е. .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Уравнение хорды - это уравнение прямой, проходящей через две точки (a, f(a)) и (b, f(b)).

Общий вид уравнения прямой, проходящей через две точки:

Подставляя в эту формулу значения, получим уравнение хорды AB:

.

Пусть x₁ - точка пересечения хорды с осью x, так как y = 0, то

x₁ может считаться приближенным значением корня.

Аналогично для хорды, проходящей через точки и , вычисляется следующее приближение корня:

В общем случае формулу метода хорд имеет вид:

(1.4)

Если первая и вторая производные имеют разные знаки, т.е. , то все приближения к корню выполняются со стороны правой границы отрезка (рис. 3) и вычисляются по формуле:

(1.5)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Выбор формулы в каждом конкретном случае зависит от вида функции и осуществляется по правилу: неподвижной является такая граница отрезка изоляции корня, для которой знак функции совпадает со знаком второй производной. Формула (1.4) используется в том случае, когда . Если справедливо неравенство , то целесообразно применять формулу (1.5).

Итерационный процесс метода хорд продолжается до тех пор, пока не будет получен приближенный корень с заданной степенью точности. При оценке погрешности приближения можно пользоваться соотношением

Если обозначить через m наименьшее значение |f'(x)| на промежутке [a, b], которое можно определить заранее, то получим формулу для оценки точности вычисления корня:

или

где - заданная погрешность вычислений.

Алгоритм и блок схема метода хорд

Пользуясь рекуррентной формулой (1.5) и формулой для оценки точности вычисления, составим процедуру уточнения корня методом хорд:

Procedure chord (a, b, eps, min: real; var x: real);

Здесь x:=x1 - ((b-x1)*fx(x1))/(fx(b) - fx(x1)) - рекуррентная формула,

abs (fx(x))/min < eps - формула для оценки точности вычислений.

При вычислении производной функции

Function proizv (x0, eps: real): real;

будем иметь в виду, что один из способов найти производную - это взять достаточно малые значения справа и слева на равном расстоянии от - точке, в которой мы хотим найти производную.

Таким образом, вычисляется производная в середине промежутка.

По значениям f' можно таким же способом найти производную от f', т.е. f''. Можно выразить f'' непосредственно через f(x):

Для производной третьего порядка можно использовать следующую формулу:

Здесь dx:=1 - первоначальная величина промежутка,

dx:=dx/2 - для уточнений делим промежуток на 2,

dy:=fx (x0+dx/2 - fx (x0-dx/2) - вычисление первой производной в точке x0,

dy2:=fx (5*x0/4+dx) - 2*fx (5*x0/4)+fx (5*x0/4-dx) - вычисление второй производной, для определения точности вычисления, используется вторая производная в точке

abs (dy2/(2*dx))<eps - формула для оценки погрешности

дифференцирования,

proizv:=dy/dx - значение первой производной.

Для оценки точности вычисления корня необходимо вычислять наименьшее значение производной f'(x) на промежутке [a, b], поэтому надо найти производную в точке x0.

Так как мы вычислили значение производной, то составим процедуру определения модуля ее наименьшего значения на промежутке [a, b]:

Procedure minimum (a, b, eps:real; var min:real);

Для этого достаточно сравнить модуль значения производной на концах промежутка и выбрать среди этих двух значений меньшее. Это можно сделать, так как по условию, функция на промежутке строго монотонна вместе со своими производными первого и второго порядков. Следует брать значение очень близкое к a, но справа от нее, аналогично для точки b - брать близкое значение слева от b, так как если в точке a или b производная будет равна нулю, тогда деление на нуль станет невозможным и в программе будет получена ошибка.

Здесь min:=abs (proizv(a, eps)) - модуль значения производной функции в начале отрезка,

d:=abs (proizv(b, eps)) - модуль значения производной функции в конце отрезка,

If min>d Then - сравнение значений модуля производной.

Функция для указания точности вычисления:

Function utoch (eps:real):integer;

Применяется в выводе корня x для уточнения его порядка относительно погрешности.

Здесь k:=k+1 - оператор, подсчитывающий степень погрешности и порядка корня x.

Заданную функцию запишем так:

Function fx (x:real):real;

Здесь fx:=exp(x) - 10*x - наша заданная функция.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Результаты вычисления методом хорд

После работы программы для различных значений погрешностей, получим результаты корня x:

0,11

0,111

0,1119

0,11183

0,111833

Результат вычислений в программе MathCAD дал следующее значение корня x:

x=0.112

График функции выглядит так:

Поведение функции вблизи точки пересеченья с осью ОХ выглядит так:

2. Сравнения методов решения нелинейных уравнений

При заданных вариантах допустимой ошибки e заданным численным методом вычислить приближенное значение корня функционального уравнения вида f (x) = 0, если известно, что это уравнение имеет единственный корень на отрезке [a, b].

В работе должно быть предусмотрено:

- построение графика функции f (x) на отрезке [a, b],

- проверка корректности введенных значений исходных данных (выполнение условия a < b, выполнение условия e > 0),

- перехват и обработка ошибки времени выполнения, когда строку введенных символов невозможно интерпретировать как число.

Варианты численного метода: 1) метод простых итераций, 2) метод Ньютона, 3) метод проб, 4) метод секущих, 5) метод хорд.

Упрощенный метод Ньютона: , n=0,1,…

Метод ложного положения: , n=0,1,…;

Метод секущих: , n=0,1,…

Метод Стеффенсена: , n=0,1,…

2.1 Метод секущих

Пусть на отрезке [a; b] отделен корень с уравнения f(x) = 0 и f-функция непрерывна на отрезке [a; b], а на интервале] a; b [существуют отличные от нуля производные f' и f».

Так как f «(x) ? 0, то запишем уравнение f(x) = 0 в виде:

x = x - (f(x)/f «(x)) (2.1)

Решая его методом итераций можем записать:

х n+1 = x n - (f (x n)/f «(x n)) (2.2)

Если на отрезке [a; b] f «(x) * f «(x) > 0, то нулевое приближение выбираем x0=a. Рассмотрим геометрический смысл метода. Рассмотрим график функции y=f(x). Пусть для определенности f `(x) > 0 и f «(x) > 0. Проведем касательную к графику функции в точке B (b, f(b)). Ее уравнение будет иметь вид:

y = f(b) + f «(b) * (x - b)

Полагая в уравнении y = 0 и учитывая что f «(x) ? 0, решаем его относительно x. Получим:

x = b - (f (b) /f `(b))

Нашли абсциссу x1 точки c1 пересечения касательной с осью ox:

x1 = b - (f (b) - f' (b))

Проведем касательную к графику функции в точке b1 (x1; f (x1)).Найдем абсциссу x2 точки с2 пересечения касательной с осью Ox:

x2 = x1 - (f (x1)/(f «(x1))

Вообще:

х k+1=x k - (f (x k)/f «(x k)) (2.3)

Таким образом, формула (2.3) дает последовательные приближения (x k) корня, получаемые из уравнения касательной, проведенной к графику функции в точке b k (x k; f (x k0) метод уточнения корня c [a; b] уравнения f(x) = 0 с помощью формулы (2.3) называется методом касательной или методом Ньютона.

Геометрический смысл метода касательных состоит в замене дуги y = f (x) касательной, одной к одной из крайних точек. Начальное приближение x0 = a или x0 = b брать таким, чтобы вся последовательность приближения х k принадлежала интервалу] a; b [. В случае существования производных f', f», сохраняющих свои знаки в интервале, за х0 берется тот конец отрезка [a; b], для которого выполняется условие f «(х0) * f (х0) > 0. Для оценки приближения используется общая формула:

|c-x k-1 | ? | f (x k+1)/m|, где m = minf' (x) на отрезке [a; b].

На практике проще пользоваться другим правилом:

Если на отрезке [a; b] выполняется условие 0 < m < | f (x)| и e-----заданная точность решения, то неравенство | x k+1-x k| ?--e--влечет выполнение неравенства |c-x k-1| ?--e--.

В этом случае процесс последовательного приближения продолжают до тех пор, пока не выполнится неравенство:|c-x k-1| ?--e--.

Упрощенный метод Ньютона: , n=0,1,…

Метод секущих: , n=0,1,…

2.2 Алгоритм и блок схема метода секущих

Метод секущих, так же, как и метод проб, использует не одно, а два начальных приближения, которые мы обозначим соответственно x_n1 и x_n2. Перед выполнением первой итерации воспользуемся правилом (6) для определения значений этих приближений.

При выполнении каждой очередной итерации для вычисления следующего приближения по методу хорд проведем прямую линию (секущую) MN через точки с координатами (x_n1, f(x_n1)) и (x_n2, f (x_n2)), а абсциссу точки пересечения секущей MN с осью х возьмем в качестве значения следующего приближения x_s к корню (рис. 5).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 5. Графическая иллюстрация метода секущих

Принятое правило нахождения следующего приближения приводит к расчетной формуле:

Из трех приближений к корню оставим два последних (отбрасываем самое старое x_n1). В методе секущих это делается по следующему правилу:

x_n1 = x_n2; x_n2 = x_s.

Выполнение итераций можно прекратить при выполнении условия

|x_n2 - x_n1|< e,

а полученное значение приближения x_s взять в качестве искомого значения корня x_w.

Расчетные формулы должны быть применены в алгоритме вычисления корня по методу секущих.

Обратим внимание на то, что формула имеет много общего с формулой Ньютона. Знаменатель в формуле есть не что иное, как среднее значение производной f`(x) на отрезке [x_n1, x_n2].

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

2.3 Пример 1 для сравнения методов решения НЛУ

Для заданного нелинейного уравнения вида f(x)=0 графическим или аналитическим способом найти интервалы локализации корней, 5^x - 3x - 5=0

1) 5^x-3x-5=0; y=5^x y=3x-5 5^x=3x+5

x -2 -1 0 1 2 x -2 2

y 0,04 0,2 1 5 25 y -1 11

a) графический метод

Первое решение находится в интервале (-2; - 1). Второе в интервале (1; 2)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

б) метод секущих

1) (-2; - 1)

f(x)=5^x-3x-5

f(-2)=5^-2+6-5=1/25+1=26/25=1.04>0

f(-1)=5^-1+3-5=1/5-2=-1.8<0

x₁=a - (b-a) f(a)/f(b) - f(a)=-2 - (-1+2)*1.04/-1.8-1.04=-1/6338<0

f (-1.6338)=5^-1.6338+3*1.6338-5=-0.0265<0

применим метод к промежутку (-2; - 1.6338)

x₂=-2 - (-1.6429+2)*1.04/(-0.0002-1.04)=-1.64297

f (-1.64297)=5^-1.6338+3*1.64297-5=-0.00003

искомый корень: -1.6429

2) (-2; - 1)

f(1)=5¹-3-5=-3<0

f(2)=5²-3*2-5=25-11=14>0

x₁=a - (b-a) f(a)/f(b) - f(a)=1 - (2-1)*(-3)/-14+3=1+3/17=1.1765

f (1.1765)=5^1.1765+3*1.1765-5=-1.8869<0

(1.1765; 2)

x₂=a - (b-a) f(a)/f(b) - f(a)=1.1765 - (2-1.1765)*(-1.8869)/-14+-1.8869=1.2743

f (1. 2743)=-1.04795<0

(1.2743; 2)

x₃=a - (b-a) f(a)/f(b) - f(a)=1.2743 - (2-1.2743)*(-1.04795)/-14+-1.04795=1.3248

f (1. 3248)=-0.5411<0

(1.3248; 2)

x₄=a - (b-a) f(a)/f(b) - f(a)=1.3248 - (2-1.3248)*(-0.5411)/-14+=-0.5411=1.3499

f (1. 3499)=-0.2688<0

(1.3499; 2)

x₅=a - (b-a) f(a)/f(b) - f(a)=1.3499 - (2-1.3499)*(-0.2688)/-14+-0.2688=1.3621

f (1. 3621)=-0.1313<0

(1.3621; 2)

x₆=a - (b-a) f(a)/f(b) - f(a)=1.3621 - (2-1.3621)*(-0.1313)/-14+-0.1313=1.3680

f (1. 3680)=-0.0635<0

(1.3680; 2)

x₇=a - (b-a) f(a)/f(b) - f(a)=1.3680 - (2-1.3680)*(-0.0635)/-14+-0.0635=1.3709

f (1. 3709)=-0.0299<0

(1.3709; 2)

x₈=a - (b-a) f(a)/f(b) - f(a)=1.3709 - (2-1.3709)*(-0.0299)/-14+-0.0299=1.3722

f (1. 3722)=-0.0148<0

(1.3722; 2)

x₉=a - (b-a) f(a)/f(b) - f(a)=1.3722 - (2-1.3722)*(-0.0148)/-14+-0.0148=1. 3729

f (1. 3729)=-0.0067<0

(1.3729; 2)

x₁₀=a - (b-a) f(a)/f(b) - f(a)=1.3729 - (2-1.3729)*(-0.0067)/-14+-0.0067=1.3732

f (1. 3732)=-0.0032<0

(1.3732; 2)

x₁₁=a - (b-a) f(a)/f(b) - f(a)=1.3732 - (2-1.3732)*(-0.0032)/-14+-0.0032=1.3733

f (1. 3733) =-0.00199<0

(1.3733; 2)

x₁₂=a - (b-a) f(a)/f(b) - f(a)=1.3733 - (2-1.3733)*(-0.00199)/-14+-0.00199=1.3734

f (1. 3734)=-0.0008<0

(1.3734; 2)

x₁₃=a - (b-a) f(a)/f(b) - f(a)=1.3734 - (2-1.3734)*(-0.0008)/-14+-0.0008=1.37344

f (1. 37344)= -0.0004<0

(1.37344; 2)

x₁₄=a - (b-a) f(a)/f(b) - f(a)=1.37344 - (2-1.37344)*(-0.0004)/-14+-0.0004=1.3735

f (1. 3735)=-0.0003<0

(1.3735; 2)

x₁₅=a - (b-a) f(a)/f(b) - f(a)=1.3735 - (2-1.3735)*(-0.0003)/-14+-0.0003=1.37347

f (1. 37347)=-0.000001<0

(1.37347; 2)

искомый корень: 1.3734

2.4 Пример 2 для сравнения методов решения НЛУ

При а =0.1

Интервал изменения параметра x

Строим график функции

При интервале изменения коэффициента x

График имеет вид

При а=0 функция f(x)=0 имеет значения корня x=0.77

Находим более точное значение корня

- вычислительный блок

- процедура нахождения корня

- более точное значение корня

Проверка:

При а =1

Интервал изменения параметра x

Строим график функции при интервале изменения коэффициента x

График имеет вид при а=1 функция f(x)=0 имеет приближенное значения корня x=0,21

Находим более точное значение корня

- вычислительный блок

 - процедура нахождения корня

- более

точное значение корня

Проверка:

При а =2

Интервал изменения параметра x

Строим график функции при интервале изменения коэффициента x

График имеет вид при а=2 функция f(x)=0 имеет приближенное значения корня x=-0,25

Находим более точное значение корня

- вычислительный блок

- процедура нахождения корня

- более точное значение корня

Проверка:

Нахождение более точного значения корня при помощи root

- приближенное значение корня

Находим min и max функции

- шаг изменения аргумента

- на интервале от -10 до 10

- на интервале от -10 до 10

Разложение функции d(x)=exp(x) в степенной ряд

- интервал изменения аргумента

2.5 Пример 3 для сравнения методов решения НЛУ

Для решения были предложены следующие уравнения:

x³ - 4x - 2 = 0 и 4x = cosx

При решении каждого уравнения вводится соответствующая функция ((x) = x³ - 4x - 2 и (x) = 4x - cosx), а решениями уравнения являются нули соответствующей функции.

Следует отметить, что обе функции непрерывны и дважды дифференцируемы на всей области определения (-; ).

Необходимо найти приближенные решения уравнений с заданной точностью (0,001). С целью упростить работу (в частности, избавить человека от однотипных арифметических и логических операций) и обеспечить максимальную точность вычислениям, при решении данных уравнений была использована ЭВМ и программы на языке Turbo Pascal 7.0, созданные специально для решения данных задач.

Способ хорд

Теоретическая часть

Данный способ можно свести к следующему алгоритму: