Решение треугольников

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А₁ Что и требовалось доказать.

Третий признак подобия треугольников.

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Дано:

?АВС

?А₁В₁С₁

Доказать: ?АВС ?А₁В₁С₁

Доказательство:

1) Построим ?АВ₂С так, чтобы Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А₁; Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

2=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С₁

2) Рассмотрим ?АВ₂С и ?А₁В₁С₁

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А₁

=> ?АВ₂С ?А₁В₁С₁ =>

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

2=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С₁

3) Т.к.

=> => АВ = АВ₂;

= => ВС = В₂С

4) Рассмотрим ?АВС и ?АВ₂С

АВ = АВ₂

ВС = В₂С => ?АВС = ?АВ₂С => Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А;

АС - общая сторона Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

2=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С

5) Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А₁

=> Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А₁

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А

6) Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

2=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С

=> Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С₁

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

2=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С₁

7) Рассмотрим ?АВС и ?А₁В₁С₁

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А₁

=> ?АВС ?А₁В₁С₁(по I признаку подобия треугольников)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С₁ Что и требовалось доказать.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

I. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.



Дано:

?АВС - прямоугольный

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С - прямой

СD - высота, проведённая к гипотенузе АВ

Доказать: 1) ?АВС ?ACD

2) ?ABC ?CBD

3) ?ACD ?CBD

Доказательство:

1) Т.к. CD - высота =>Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ADC=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

CDB=90⁰

2) Рассмотрим ?АВС и ?АСD

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

АСВ=90⁰

=>Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

АСВ=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ADC

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ADC=90⁰ => ?АСВ ?ADC(по двум углам)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

A - общий

3) Рассмотрим ?ABC и ?CBD

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

АСВ=90⁰

=>Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

АСВ=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

CDB

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

CDB=90⁰ => ?ABC ?CBD(по двум углам) =>Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

A=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

BCD

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В - общий

4) Рассмотрим ?ACD и ?CBD

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

A=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

BCD

=> ?ACD ?CBD(по двум углам)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ADC=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

CDB

Что и требовалось доказать.

Следствие №1:

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.

Дано:

?АВС - прямоугольный

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С - прямой

СD - высота, проведённая к гипотенузе АВ

Доказать: СD =

Доказательство:

1) СD - высота, проведённая к гипотенузе

АВ => ?ACD ?CBD => =>

=> CD² = AD·DB => СD = Что и требовалось доказать.

Следствие №2:

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключённым между катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла.

Дано:

?АВС - прямоугольный

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С - прямой

СD - высота, проведённая к гипотенузе АВ

Доказать: АС =

Доказательство:

1) СD - высота, проведённая к гипотенузе АВ

=> ?АВС ?ACD =>=>

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С - прямой

=> AC² = AB·AD => AC =

Что и требовалось доказать.

Средняя линия треугольника

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Теорема:

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и ровна половине этой стороны.

Дано:

?АВС

DE - средняя линия ?АВС

Доказать: 1) DE||AC

2) DE=АС Доказательство:

1) DE - средняя линия ?АВС => D - середина АВ

Е - середина ВС

2) D - середина АВ => DB=AB =>

3) Е - середина ВС => EB=BC =>

4) Рассмотрим ?АВС и ?DBE

=>

=> ?АВС ?DBE => Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

2

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

B - общий

5) Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

2(как соответственные углы при прямых DE и АС)

=> DE||AC

АВ - секущая

6) ?АВС ?DBE =>

=>=>==>DE=AC

Что и требовалось доказать.

Описанный и вписанный треугольник.

Если все стороны треугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в треугольник, а треугольник - описанным около этой окружности.

Теорема:

В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну.

Дано:

?АВС (произвольный)

О - точка пересечения биссектрис треугольника

Доказать: 1) окружность вписана в ?АВС

2) вписанная окружность - единственная

Доказательство:

1) Проведём из точки О перпендикуляры ОК, OL и ОМ соответственно к сторонам АВ, ВС и АС

2) Т.к. точка О равноудалена от сторон треугольника ?АВС => OK=OL=OM => окружность с центром в точке О и радиусом ОК проходит через точки K, L и М

3) Т.к. ОК, OL и ОМ - перпендикуляры => КАВ, LСВ и МАС => окружность с центром в точке О и радиусом ОК является вписанной в треугольник ?АВС

4) Пусть в треугольник вписано две окружности => центр каждой равноудалён от сторон треугольника, а значит, совпадает с точкой О пересечения биссектрис, а радиус равен расстоянию от точки О до сторон треугольника => эти окружности совпадают => окружность вписанная в треугольник ?АВС - единственная.

Что и требовалось доказать.

Если все вершины треугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около треугольника, а треугольник - вписанным в эту окружность.

Теорема:

Около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну.

Дано:

?АВС (произвольный)

О - точка пересечения серединных перпендикуляров

Доказать:1) окружность описана около ?АВС

2) описанная окружность - единственная

Доказательство:

1) Т.к. О - точка пересечения серединных перпендикуляров => О равноудалена от вершин треугольника ?АВС => ОА=ОВ=ОС => окружность с центром О и радиусом ОА проходит через все три вершины треугольника, а значит является описанной около треугольника ?АВС.

2) Пусть около треугольника описано две окружности => центр каждой равноудалён от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника => эти окружности совпадают => окружность описанная около треугольника ?АВС - единственная.

Соотношение между сторонами и углами треугольника.

треугольник теорема геометрия угол

I. Внешний угол треугольника.

Внешним углом треугольника называют угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника.

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника не смежных с ним.

Дано:

?АВС

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

4 - внешний

Доказать: Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

4=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1+Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

2

Доказательство:

1) Т.к. Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

4 - внешний => Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

3+Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

4=180⁰

2) Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1+Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

2+Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

3=180⁰

=> (Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1+Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

2)+ Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

3=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

3+Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

4=>Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

4=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1+Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

2

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

3+Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

4=180⁰

Что и требовалось доказать.

II. Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника.

Теорема(прямая):

В треугольнике на против большей стороны лежит больший угол.



Дано:

?АВС

АВ>АС

Доказать: Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С >Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В

Доказательство:

1) Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный стороне АС

2) Т.к. AD лежит на стороне АВ => AD < AB => D лежит между А и В =>Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1 является частью Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С=>Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С>Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

3)Рассмотрим ?ADC

Т.к. AD = AC(из построения) => ?ADC - равнобедренный => Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

2(как углы при основании равнобедренного треугольника)

4) Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

2 - внешний угол ?BDC =>Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

2>Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

B

5) Т.к. Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С>Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

2>Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

B => Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С >Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

2

Что и требовалось доказать.

Теорема(обратная):

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.



Дано:

?АВС

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С >Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В

Доказать: АВ>АС

Доказательство:

1) Предположим, что АВ не больше АС => либо АВ = АС, либо АВ < АС

2) Пусть АВ = АС => ?АВС - равнобедренный => Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С >Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В, что противоречит условию Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С >Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В => АВ ? АС

3) Пусть АВ<АС => Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С <Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В(против большей стороны треугольника лежит больший угол), что противоречит условию Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С >Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В => АВ не меньше АС

4) АВ ? АС

=> АВ>АС

АВ не меньше АС Что и требовалось доказать.

Следствие №1.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.



Дано:

?АВС - прямоугольный

АС - гипотенуза

АС и ВС - катеты

Доказать: АС > AB

Доказательство:

1) Т.к. ?АВС - прямоугольный => Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В - прямой, Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А и Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С - острые

2) Т.к. Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В - прямой

=> Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В >Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С => АС > AB

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С - острый Что и требовалось доказать.

Следствие №2(признак равнобедренного треугольника).

Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

Дано:

?АВС

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С

Доказать: ?АВС - равнобедренный

Доказательство:

1) Предположим АВ?ВС => АВ>ВС, АВ<ВС

2) Пусть АВ>ВС => Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А<Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С(против большей стороны лежит больший угол), что противоречит условию Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С => АВ не больше ВС

3) Пусть АВ<ВС => Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А>Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С(против большей стороны лежит больший угол), что противоречит условию Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С => АВ не меньше ВС

4) Т.к. АВ не больше ВС

=> АВ=ВС => ?АВС - равнобедренный

АВ не меньше ВС Что и требовалось доказать.

III. Неравенство треугольников.

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Дано:

?АВС

Доказать: АВ<АС+СВ

Доказательство:

1) Отложим на продолжении стороны АС отрезок CD, равный BС

2) Рассмотрим ?BCD

Т.к. BC=CD(из построения) => ?BCD - равнобедренный => Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

2

3) Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1 является частью Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

АВD => Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1< Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ABD

4) Т.к. Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1< Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ABD

=> Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ABD >Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

2 => AD >AB

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

2

5) AD = AC + CD

=> AD = АС+СВ

СD = BC

6) Т.к. AD >AB

=> АВ<АС+СВ

AD = AC+CB Что и требовалось доказать.

Следствие.

Для любых трёх точек А, В, С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства: АВ < АС+СВ, АС < AB+BC, BC < BA+AC - неравенства треугольника.

Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника

I. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

 (1)

(2)

(3)

1) Из формул 1 и 2 получаем:

2)

=>

Тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла.

Докажем, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

Дано:

?АВС и ?А₁В₁С₁ - прямоугольные

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С и Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С₁ - прямые

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А₁

Доказать: 1) sin A = sin A₁

2) cos A = cos A₁

3) tg A = tg A₁

Доказательство:

1) Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С и Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С₁ - прямые => Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С₁

=> ?АВС ?А₁В₁С₁ => (1)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А₁

2) Из равенства 1 => => sin A = sin A₁

3) Из равенства 1 => => cos A = cos A₁

4) Из равенства 1 => => tg A = tg A₁

Что и требовалось доказать.

Докажем справедливость равенства sin²A + cos²A = 1

1) Из формул 1 и 2 => sin²A + cos²A =

=> sin²A + cos²A = 1

По теореме Пифагора ВС² + АС² = АВ²

sin²A + cos²A = 1 - основное тригонометрическое тождество

Теорема синусов.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Дано:

?АВС

АВ = с

ВС = а

АС = b

Доказать:

Доказательство:

1) По теореме о площади треугольника:

S_?ABC = (1)

S_?ABC = (2)

S_?ABC = (3)

2) Из 1 и 2 => = => b sinC = c sinB => (4)

3) Из 1 и 3 => = => a sinC = c sinA => = (5)

4) Из 4 и 5 =>

Что и требовалось доказать.

Теорема косинусов.

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.



Дано: ?АВС

АВ = с

ВС = а

АС = b

Доказать:

a² = c²+b²-2bc•cosA

Доказательство:

1) Введём прямоугольную систему координат с началом в точке А, так чтобы точка В лежала на положительной полуоси х, а точка С имела положительную ординату, тогда А(0;0), В(с;0), С(b cosA;b sinA)

2) По формуле нахождения расстояния между двумя точками, заданными координатами, найдём расстояние ВС:

ВС² = а² = (b cosA - c)²+b² sin²A = b² cos²A - 2bc•cosA + c² = b²+c² - 2bc•cosA

Что и требовалось доказать.

Решение треугольников

Решить треугольник, значит найти все шесть его элементов по каким-нибудь трём данным элементам, определяющим треугольник.

Рассмотрим три задачи на решение треугольника. При этом будем пользоваться следующими обозначениями для сторон ?АВС: АВ=с, ВС=а, СА=b.

Задача I(решение треугольника по двум сторонам и углу между ними)

Дано: ?АВС, а, b, c. Найти: с, Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А, Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В.

Решение:

1) По теореме косинусов найдём с:

2) Пользуясь теоремой косинусов, получаем:

Угол А находим по четырёхзначным математическим таблицам Брадиса.

3) Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В=180⁰ -Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А -Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С

Задача II(решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам)

Дано: а, Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В, Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С. Найти: Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А, b, c.

Решение:

1) Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А=180⁰-Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В-Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С

2) С помощью теоремы синусов вычисляем b и с:

,

Задача III(решение треугольника по трем сторонам)

Дано: a, b, c. Найти: Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А, Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В, Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С

Решение:

1) Пользуясь теоремой косинусов, получаем:

Угол А находим по четырёхзначным математическим таблицам Брадиса.

2) Аналогично находим угол B.

3) Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С =180⁰ -Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А -Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В

Пример 13

Решить треугольник ?АВС, если угол А равен 30⁰, угол С равен 75⁰, а сторона АС равна 4,5

Дано:

?АВС

АС=4,5

А=30⁰

С=75⁰

Найти: В, с и а

Решение:

1) По теореме о сумме углов треугольника:

А+В+С=180⁰

А=30⁰ =>В=75⁰

С=75⁰

2) По теореме синусов:

А=30⁰=Sin30⁰=0,5 =>

С=75⁰=Sin75⁰=0,97

3) По теореме синусов:

С=75⁰=Sin75⁰=0,97 =>

В =75⁰=Sin75⁰=0,97

АС=4,5

Ответ: В=75⁰, ,

Пример 14

Решить треугольник ?РКМ, если К=40⁰, РК=2, КМ=5.

Дано:

?РКМ

К=40⁰

РК=2

КМ=5

Найти: РМ, Р, М

Решение:

1) По теореме косинусов:

РМ²=РК²+КМ²-2РК•КМ•CosК

К=40⁰ =>Cos 40⁰=0,76 => РМ=3,7

РК=2

КМ=5

2) По теореме синусов:

РМ=3,7 => SinP==> P=59⁰

КМ=5

К=40⁰=Sin40⁰=0,64

3) К+P+M=180⁰

К=40⁰ =>М=81⁰

P=59⁰

Ответ: РМ=3,7 ; P=59⁰; М=81⁰

Пример 15

Решить треугольник ?АВС, если a=3,9; b=4,1; c=2,8.

Дано:

?АВС

a=3,9

b=4,1с

c=2,8

Найти: А, С, В

Решение: 1) По теореме косинусов

b²=c²+a²-2ac•CosB

a=3,9

b=4,1с => CosB=0,28=> В=74⁰

c=2,8

2) По теореме косинусов:

a=3,9 => SinA=0,91=>А=66⁰

b=4,1с

В=74⁰=> Sin74⁰=0,96

3) А+С+В=180⁰

В=74⁰ =>С=180⁰-140⁰=40⁰

А=66⁰

Ответ: А=66⁰, В=74⁰, С=40⁰

Заключение

Работая над рефератом, я обобщил и углубил свои знания по данной теме. Перед написанием реферата я ставил перед собой задачи и, думаю, что мне удалось их разрешить. Я отработал решение элементарных задач на треугольники, а также более сложных и интересных для меня задач. Я считаю, что эти навыки мне очень пригодятся в старших классах. При написании реферата у меня возникали различные трудности, главная из которых оформление реферата. Печатание текста и особенно задач с чертежами очень кропотливая работа. Поэтому при написании реферата я развил не только свои математические способности, но и компьютерные знания в некоторых областях.

В практической части реферата мною было решено___задач, которые показались мне более сложными и интересными.

В дальнейшем я хотел бы продолжить работу над рефератом, что бы ещё более усовершенствовать навыки решения задач и знания теории.

Список литературы

1) Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. “Геометрия 7-9 класс”(Москва,“Просвящение”1995г)

2) Парнассий И.В.“Решебник задач повышенной треудности по геометрии 7-11класс”

(Москва, “Российское педагогическое агенство” 1998г.)

3) Гальперин Г.А., Шарыгин И.Ф. “Математика”(Москва, “Перспектива”)

Размещено на Allbest.ru