Решение треугольников

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 2»

Решение треугольников

Работу выполнил:

Иванов Алексей

Ученик 9в класса

МОУ СОШ № 2

Руководитель: Кабакова С.В.

Алапаевск

2006 г.

План

Введение.

Треугольники:

1.Определение;

2. Сумма углов треугольника;

3. Площадь треугольника;

4. Виды треугольников;

5. Свойства равнобедренного треугольника;

6. Свойства прямоугольного треугольника;

7. Равные треугольники. Признаки равенства;

8. Признаки равенства прямоугольных треугольников;

9. Теорема Пифагора;

10. Медианы, биссектрисы, высоты треугольника;

11. Подобные треугольники. Признаки подобия;

12. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике;

13. Средняя линия треугольника;

14. Описанный и вписанный треугольник;

15. Соотношение между сторонами и углами:

а) треугольника

б) прямоугольного треугольника

Практическая часть.

Заключение.

Список литературы.

Введение

Простейший из многоугольников - треугольник - играет в геометрии особую роль. Без преувеличения можно сказать, что вся(или почти вся) геометрия со времен Начал Евклида покоится на “трёх китах” - трёх признаках равенства треугольников. За несколько тысячелетий геометры столь подробно изучили треугольник, что иногда говорят о “геометрии треугольника” как о самостоятельном разделе элементарной геометрии. Учитывая всю значимость треугольников для геометрии, я решил взять для написания реферата именно эту тему, при этом я поставил для себя следующие задачи:

1) Обобщить и углубить свои знания по данной теме;

2) Отработать навыки решения задач на треугольники;

3) Разобрать решения более сложных и интересных задач.

В дальнейшем после окончания школы я хотел бы поступить в какой-нибудь технический вуз, и, думаю, что навыки приобретённые мною при написании реферата помогут мне в учёбе, при сдаче экзаменов и при поступлении в ВУЗ.

При написании реферата я использовал учебное пособие - “Геометрия” 7-9 класс Л.С.Атанасян, материалы на электронном носителе, а также сборники задач - “Задачи повышенной трудности по геометрии 7-11класс” И.В.Парнасский, подготовительные курсы “Математика” Г.А.Гальперин, а также материал для подготовки учащихся к Единому государственному экзамену под редакцией Иванова О.А.

Надеюсь, что моя работа по изучению темы “Треугольники” не ограничится написанием реферата, я собираюсь продолжить работу и в старших классах, для более тщательной подготовки к сдаче выпускных экзаменов и поступлению в ВУЗ.

Треугольник - геометрическая фигура, состоящая из трёх отрезков, попарно соединяющих три точки не лежащие на одной прямой.

Отрезки - стороны треугольника, точки - вершины.

В

Обозначение - ?АВС

Треугольник имеет:

1) Три стороны - АВ, ВС, АС.

2) Три вершины - А, В, С.

3) Три угла - Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А, Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В, Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С.

А С

Периметром треугольника называется сумма длин трёх его сторон.

Сумма углов треугольника.

Сумма углов треугольника ровна 180°.

Дано:

?АВС

Доказать: Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А+Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В+Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С = 180°

Доказательство:

1) Проведём через вершину В прямую б, параллельную стороне АС.

2) Т.к. б | | АС => Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1 = Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

4 (как накрест лежащие углы)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

3 = Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

5 (как накрест лежащие углы).

3) Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

4+Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

2+Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

5 = 180° (как углы развёрнутого угла)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1 = Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

4 =>Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1+Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

2+Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

3 = 180° =>

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

3 = Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

5

=>Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А+Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В+Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С = 180°

Что и требовалось доказать.

Пример 1

Найдите угол С треугольника ?АВС, если А=65⁰, В=57⁰

Решение:

1) По теореме о сумме углов треугольника Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А+Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В+Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С=180°

А=65⁰ =>Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С=180°-(65⁰+57⁰)=58⁰

В=57⁰

Ответ: Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С=58⁰

Площадь треугольников.

I. Площадь треугольника ровна половине произведения его основания на высоту.

II.

Дано:

?АВС

ВК - высота

АС - основание

Доказать: S_?АВС =АС · ВК

Доказательство:

1) Достроим ?АВС до параллелограмма АВСD, так чтобы ВD||АС и СВ||АВ.

2) Т.к. АВСD - параллелограмм => АВ = CD

ВD = АС.

3) S_АВСD = АС · ВК

=> S_?АВС + S_?BDC = АС · ВК.

S_АВСD = S_?АВС + S_?BDC

4) Рассмотрим ?АВС и ?ВDС.

ВС - общая сторона

АВ = CD => ?АВС = ?ВDС (по трём сторонам) => S_?АВС = S_?BDC

ВD = АС

5) Т.к. S_?АВС + S_?BDC = АС · ВК

S_?АВС = S_?BDC => 2S_?АВС = АС · ВК => S_?АВС = АС · ВК

Что и требовалось доказать.

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Дано:

?АВС

ВС = а

АС = b

S - площадь треугольника

Доказать: S_?ABC = Доказательство:

1) Введём прямоугольную систему координат с началом в точке С, так чтобы точка В лежала на положительной полуоси Сх, а точка А имела положительную ординату, тогда точка С(0;0), В(а;0) т.к. ВС = а, А(b cosC; b sinC)

2) S_?ABC = СВ • АК

ВС = а => S_?ABC =

АК = b sinC

Что и требовалось доказать.

Теорема об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу.

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Дано:

?АВС

?А₁В₁С₁

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А₁

Доказать:

Доказательство:

1) Наложим ?АВС на ? А₁В₁С₁ так, чтобы вершина А₁ совместилась с вершиной А, а стороны А₁В₁ и А₁С₁ наложились соответственно на лучи АВ и АС

2) Рассмотрим ?АВС и ?АВ₁С

СН - общая высота =>

3) Рассмотрим ?АВ₁С и ?АВ₁С₁

В₁Н₁ - общая высота =>

4) . =>

Что и требовалось доказать.

Пример 2

Пусть а - основание, н - высота, S - площадь треугольника. Найдите:

1) S, если а=7см, н=11см

2) н, если S=37,8см², а=14см

Решение

1) S=•а•н

а=7см => S=•7см•11см=38,5см²

н=11см

2) н=

S=37,8см² => н= =5,4см

а=14см

Ответ: 1) S=38,5см²

2) н=5,4см

Пример 3

Найдите площадь треугольника ?АВС, если ВС=3см,

АВ=18cм,Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В=45⁰

Дано:

?АВС ВС=3см

АВ=18см

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В=45⁰

Найти: S_?АВС Решение:

1) S_?АВС=АВ•ВС•SinВ

ВС=3см

АВ=18см => S_?АВС=•18см•3см•==27см²

Sin45⁰=

Ответ: S_?АВС=27см²

Пример 4

Площадь треугольника ?АВС равна 60см². Найдите сторону АВ, если АС=15см,

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А=30⁰

Дано:

?АВС

S_?АВС=60см²

АС=15см

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А=30⁰

Найти: АВ

Решение: 1) S_?АВС=АВ•АС•SinА => АВ=

2) АВ=

S_?АВС=60см² => АВ=

АС=15см

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А=30⁰

Ответ: АВ=16см

Виды треугольников

По углам По сторонам

Остроугольный Прямоугольный Равнобедренный Равносторонний

Тупоугольный

- остроугольный - все углы острые;

- тупоугольный - один угол тупой, два других острые;

 - прямоугольный - один из углов прямой, два других острые;

- равнобедренный - две стороны равны;

- равносторонний - все стороны равны.

Свойства равнобедренного треугольника.

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называют боковыми сторонами, а третью - основанием равнобедренного треугольника.

АВ = ВС => ?АВС - равнобедренный

АВ, ВС - боковые стороны

АС - основание

I. В равнобедренном треугольнике углы при основании ровны.

Дано:

?АВС - равнобедренный

АВ, ВС - боковые стороны

АС - основание

Доказать: Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С

Доказательство:

1) Т.к. ?АВС - равнобедренный => АВ = ВС

2) Проведём ВD - биссектрису ?АВС

3) Т.к. ВD - биссектрису ?АВС =>

4) Рассмотрим ?АВD и ?DВС

1=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

2

АВ = ВС => ?АВD = ?DВС => Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С

ВD - общая

Что и требовалось доказать.

 II. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основаниюявляется, является медианой и высотой.

Дано:

?АВС - равнобедренный

АС - основание

ВD - биссектриса

Доказать: 1) BD - медиана (AD = DC)

2) BD - высота (BDАС)

Доказательство:

1) Т.к. ?АВС - равнобедренный => АВ = АС

2) Т.к. BD - биссектриса => Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

2

3) Рассмотрим ?АВD и ?DВС

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

2

АВ = ВС => ?АВD = ?DВС => Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

3=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

4;

ВD - общая AD = DC

4) Т.к. AD = DC => D - середина АС => BD - медиана

5) Т.к. Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

3=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

4

=> Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

3=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

4=90⁰ => BDАС => BD - высота

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

3+Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

4=180⁰ (смежн.) Что и требовалось доказать.

Следствия

1) Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой.

2) Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.

Пример 5

В равнобедренном треугольнике ?АВС с основанием АС проведена биссектриса ВD.

Доказать, что ВD - медиана и высота ?АВС.

Дано:

?АВС - равнобедренный

АС - основание

ВD - биссектриса

Доказать: 1) ВD - медиана

2) ВD - высота

Доказательство:

1) Т.к. ?АВС - равнобедренный => АВ=ВС

2) Т.к. ВD - биссектриса => Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

2

3) Рассмотрим ?АВD и ?DВС

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

2

АВ=ВС =>?АВD=?DВС =>Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

3=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

4; AD=DC

ВD - общая

4) Т.к. AD=DC => D - середина AC => BD - медиана

5) Т.к. Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

3=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

4

=>Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

3=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

4=90⁰ => ВDAC=>BD - высота

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

3+Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

4=180⁰(как смежные)

Что и требовалось доказать.

Пример 6

В равнобедренном треугольнике ?DEK c основанием DK отрезок ЕF - биссектриса, DK =16см, DEF=43⁰. Найдите KF, DEК, EFD.

Дано:

?DEK - равнобедренный

EF - биссектриса

DK=16см

DEF=43⁰

Найти: KF, DEК, EFD

Решение:

1) Т.к. ?DEK - равнобедренный => DE=EK

2) EF - биссектриса => DEF=FEK

DEF+FEK=DEК =>DEК=86⁰

DEF=43⁰

3) Рассмотрим ? DEF и ? FEK

DE=EK

DEF=FEK => ?DEF=?FEK

EF - общая

4) ?DEF=?FEK => DF=FK

DF+FK=DK => FK=8см

DK=16см

5) ?DEK - равнобедренный

=> EF -высота => EFDK=>EFD=90⁰

EF - биссектриса

Ответ: DEК=86⁰, FK=8см, EFD=90⁰

Свойства прямоугольного треугольника

Треугольник, у которого один из углов прямой, называют прямоугольным треугольником.

?АВС - прямоугольный

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С = 90⁰

АС, СВ - катеты

АВ - гипотенуза

Свойства:

I. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90⁰

Дано:

?АВС - прямоугольный

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В = 90⁰

Доказать: Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А+Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С = 90⁰

Доказательство:

1) Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А+Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В+Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С = 180⁰(По теореме о сумме углов ?)

=> Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А+Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С = 180⁰ - 90⁰ = 90⁰

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В = 90⁰

Что и требовалось доказать.

II. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30⁰, равен половине гипотенузы.

Дано:

?АВС - прямоугольный

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В = 90⁰

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВАС = 30⁰

Доказать: ВС = АС

Доказательство:

1) Приложим к ?АВС равный ему ?АВD

2) Т.к. ?АВС = ?АВD (из построения) => АD = АС; Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С = Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

D;

DВ = ВС; Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

DAB = Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВАС

3) Т.к. Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

DAB = Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВАС

=> Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

DAB = 30⁰

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВАС = 30⁰

4) Т.к. ?АВС - прямоугольный

=> Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С = 90⁰ - 30⁰ = 60⁰

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВАС = 30⁰

5)Т.к. Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С = Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

D

=> Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

D = 60⁰

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С = 60⁰

6) Т.к. DВ = ВС

=> DВ = ВС = DC

DВ + ВС = DC

7) Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

DAC = Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

DAB + Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

BAC

=> Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

DAC = 60⁰

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

DAB = Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВАС = 30⁰

8) Т.к. Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С = 60⁰

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

D = 60⁰ => Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С =Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

D =Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

DAC => ?DAC -

равносторонний =>AD=AC=DC

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

DAC = 60⁰

9) Т.к. AC=DC

ВС = DC => ВС = АС

Что и требовалось доказать.

III. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30⁰.

Дано:

?АВС - прямоугольный

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В = 90⁰

ВС = АС

Доказать: Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВАС = 30⁰

Доказательство:

1) Приложим к ?АВС равный ему ?АВD

2) Т.к. ?АВС = ?АВD (из построения) => АD = АС; Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С = Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

D;

DВ = ВС; Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

DAB = Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВАС

3) ВС = АС

ВD = АD =>AD = DC = AC =>?DAC - равносторонний =>Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

D=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

C=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

A=60⁰

АD = АС

4) Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВАС = Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А

=> Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВАС = 30⁰

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А = 60⁰

Что и требовалось доказать.

Пример 7

Один из углов прямоугольного треугольника равен 60⁰, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4см. Найдите гипотенузу треугольника.

Дано:

?АВС - прямоугольный

АС+ВС=26,4см

С=60⁰

Найти: АС

Решение:

1) ?АВС - прямоугольный =>A+C=90⁰

=> A=30⁰

С=60⁰

2) ?АВС - прямоугольный

=> ВС=

A=30⁰

3) АС+ВС=26,4см

=> АС+=26,4см=>=26,4см =>АС=17,6см

ВС=

Ответ: АС=17,6см

Равные треугольники.

Два треугольника ровны, если элементы одного треугольника (стороны и углы) соответственно ровны элементам другого.

?АВС = ?А₁В₁С₁

АВ = А₁В₁

ВС = В₁С₁

АС = А₁С₁

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А₁

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В₁

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С₁

Первый признак равенства треугольников.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано:

?АВС, ?А₁В₁С₁

В=А₁В₁

АС=А₁С₁

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А₁

Доказать: ?АВС=?А₁В₁С₁

Доказательство:

1) Наложим ?АВС на ?А₁В₁С₁

2) Т.к. Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А₁ (по условию) => вершина А совместится с вершиной А₁, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А₁В₁ и А₁С₁

3) Т.к. АВ=А₁В₁ (по условию) => вершина В совместится с вершиной В₁

4) Т.к. АС=А₁С₁ (по условию) => вершина С совместится с вершиной С₁

5) Т.к. вершина В совместилась с вершиной В₁, а вершина С с вершиной С₁ => сторона ВС совместилась со стороной В₁С₁

6) Т.к. все элементы ?АВС совместились со всеми элементами ?А₁В₁С₁ => ?АВС=?А₁В₁С₁

Что и требовалось доказать.

Пример 8

На рисунке ВD=АС, ОВ=ОС. Докажите, что треугольник ?АОВ равен треугольнику ?СОD

Дано:

ВD=АС

ОВ=ОС

Доказать: ?АОВ=?СОD

Доказательство:

1) ВD=АС

ВD=ВО+ОD => ВО+ОD= ОС+ОА

АС=ОС+ОА => OD=OA

ОВ=ОС

2) Рассмотрим ?АОВ и ?СОD

OD=OA

ОВ=ОС =>?АОВ=?СОD(по I признаку равенства треугольников)

(как вертикальные)

Что и требовалось доказать.

Второй признак равенства треугольников

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано:

?АВС, ?А₁В₁С₁

АВ=А₁В₁

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А₁

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В₁

Доказать: ?АВС=?А₁В₁С₁

Доказательство:

1) Наложим ?АВС на ?А₁В₁С₁, так чтобы вершина А совместилась с вершиной А₁, а сторона АВ с равной ей стороной А₁В₁, а вершины С и С₁ -казались по одну сторону от прямой А₁В₁.

2) Т.к. Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А₁ (по условию) => сторона АС наложится на луч А₁С₁.

3) Т.к. Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В₁ (по условию) => сторона ВС наложится на луч В₁С₁.

4) Вершина С - общая точка сторон АС и ВС - окажется лежащей на лучах А₁С₁ и В₁С₁ => вершина С совместится с вершиной С₁ - общей точкой этих лучей.

5) Таким образом, совместятся стороны АС и А₁С₁, ВС и В₁С₁ => ?АВС полностью совместился с ?А₁В₁С₁ => ?АВС=?А₁В₁С₁, что и требовалось доказать.

Пример 9

На рисунке О - середина АВ, угол 1 равен углу 2. Доказать, что ?СВО равен ?AOD.

Дано:

О - середина АВ

Доказать: ?СВО=?AOD

Доказательство:

1) О - середина АВ => АО=ОВ

2) Рассмотрим ?СВО и ?AOD

АО=ОВ

=>?СВО=?AOD(по II признаку равенства треугольников)

(как вертикальные)

Что и требовалось доказать.

Третий признак равенства треугольников.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано:

?АВС, ?А₁В₁С₁

АВ=А₁В₁

ВС=В₁С₁

АС=А₁С₁

Доказать: ?АВС=?А₁В₁С₁

Доказательство:

1) Приложим ?АВС к ? А₁В₁С₁ так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А₁, вершина В - с В₁, а вершина С и С₁ оказались по разные стороны от прямой А₁В₁.

2) Т.к. АС=А₁С₁ (по условию) => А₁С₁С - равнобедренный => Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

2 (как углы при основании равнобедренного треугольника).

3) Т.к. ВС=В₁С₁ (по условию) => В₁С₁С - равнобедренный => Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

3=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

4 (как углы при основании равнобедренного треугольника).

4) Т.к. Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

2

=> Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А₁СВ₁=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А₁С₁В₁.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

3=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

4

6) Т.к. ВС=В₁С₁

АС=А₁С₁ => ?АВС=?А₁В₁С₁(по I признаку равенства треугольников).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А₁СВ₁=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А₁С₁В₁ Что и требовалось доказать.

Пример 10

В равнобедренной трапеции АВСD проведены диагонали АС и ВD. Докажите, что ?АВС равен ?ВСD

Дано:

АВСD - равнобедренная тропеция

АС и ВD - диагонали трапеции

Доказать: ?АВС=?ВСD

Доказательство:

1) Т.к. АВСD - равнобедренная тропеция => AB=CD; AC=BD

2) Рассмотрим ?АВС и ?ВСD

AB=CD

AC=BD => ?АВС=?ВСD(по III признаку равенства треугольников)

ВС - общая

Что и требовалось доказать.

Признаки равенства прямоугольных треугольников.

I. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны. (по I признаку равенства треугольников, т.к. угол между катетами прямой, а любые два прямых угла равны).

II. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны. (по II признаку равенства треугольников, т.к. один из прилежащих к катету углов - прямой, а любые два прямых угла равны).

III. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

Дано:

АВ = А₁В₁

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В₁

Доказать: ?АВС = ?А₁В₁С₁

Доказательство:

1) Т.к. Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А+Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В=90⁰ => Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А=90⁰ -Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А₁+Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В₁=90⁰ => Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А₁=90⁰ -Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В₁ =>Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А₁

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В₁

2) Т.к. Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А₁

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В₁ => ?АВС = ?А₁В₁С₁ (по II признаку равенства треугольников).

АВ = А₁В₁

Что и требовалось доказать.

IV. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.



Дано:

ВС = В₁С₁

ВА = В₁А₁

Доказать: ?АВС = ?А₁В₁С₁

Доказательство:

1) Т.к. Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С₁(прямые) => ?АВС можно наложить на ?А₁В₁С₁ так, что вершина С совместится с вершиной С₁, а стороны СА и СВ наложатся соответственно на лучи С₁А₁ и С₁В₁.

2) Т.к. ВС = В₁С₁ => вершина В совместится с вершиной В₁, тогда и вершина А совместится с вершиной А₁:

- предположим, что точка А совместится с некоторой другой точкой А₂ луча С₁А₁ => ?А₁В₁А₂ - равнобедренный => углы при основании А₁А₂ должны быть равны, но по чертежу видно, что Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А₂ - острый, а Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А₁ - тупой (как смежный с острым Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В₁А₁С₁), что ложно.

3) Т.к. точка А совместилась с точкой А₁

точка В совместилась с точкой В₁ => ?АВС полностью совместится с точка С совместилась с точкой С₁ ?А₁В₁С₁ => ?АВС = ?А₁В₁С₁

Что и требовалось доказать.

Теорема Пифагора.

Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с теоремой Пифагора. Пожалуй, даже те, кто в своей жизни навсегда распрощался с математикой, сохраняют воспоминания о «пифагоровых штанах» -- квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах. Причина такой популярности теоремы Пифагора триедина: это простота -- красота -- значимость. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.), свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций.

На рисунке воспроизведен чертеж из трактата «Чжоу-би...»(древний Китай). Здесь теорема Пифагора рассмотрена для египетского треугольник «креслом невесты», состоит из двух квадратов со сторонами а и b, т.е. с²=а²+Ь². с катетами 3, 4 и гипотенузой 5 единиц измерения. Квадрат на гипотенузе содержит 25 клеток, а вписанный в него квадрат на большем катете--16. Ясно, что оставшаяся часть содержит 9 клеток. Это и будет квадрат на меньшем катете.

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано:

Треугольник, где a,b - катеты, с - гипотенуза

Дано:

Треугольник, где a,b - катеты, с - гипотенуза

Доказать: с²=а²+b² Доказательство:

1) Достроим треугольник до квадрата со стороной а+b.

2) Т.к. сторона квадрата равна а+b

=> S=(a+b)²

S_? = а²

4) С другой стороны, этот квадрат составлен из четырёх равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых ровна S=a•b, и квадрата со стороной с =>

=> S = 4•a•b+c²=2ab+c²

4) S=2ab+c²

=> (a+b)² = 2ab+c² => a²+2ab+b²=2ab +c² => с²=а²+b²

S=(a+b)²

Что и требовалось доказать.

Теорема(обратная теореме Пифагора):

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Дано:

?АВС

АВ²=АС²+ВС²

Доказать:Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С - прямой

Доказательство:

1) Рассмотрим прямоугольный ?А₁В₁С₁ с прямым Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С, у которого А₁С₁=АС, В₁С₁=ВС.

2) По теореме Пифагора А₁В₁²=А₁С₁²+В₁С₁² => А₁В₁²=АС²+ВС², но АВ²=АС²+ВС²(по условию) => А₁В₁²=АВ² => А₁В₁=АВ

3) Рассмотрим ?АВС и ?А₁В₁С₁

А₁С₁=АС

В₁С₁=ВС => ?АВС = ?А₁В₁С₁ => Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С =Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С₁

А₁В₁=АВ => ?АВС - прямоугольный, где

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С₁ - прямой Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С - прямой

Что и требовалось доказать.

Пример 11

В прямоугольнике АВСD найдите АD, если АВ=5, АС=13.

Дано:

ABCD - прямоугольник

АВ=5

АС=13

Найти: АD

Решение:

1) Т.к. АВСD - прямоугольник => АВ=СD

=> CD=5

АВ=5

2) По теореме Пифагора:

АС²=АD²+DC²

АС=13 =>DC=

CD=5

Ответ: DC=12

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника.

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

AF, EC, BD - медианы

AE = EB, BF = FC, AD = DC

О - точка пересечения медиан треугольника

Медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Биссектрисой треугольника называют отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

AD - биссектриса треугольника

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВАD = Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

DAC

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

AF, EC, BD - высоты

BDAC, AFBC, CEAB

Высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Подобные треугольники.

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно ровны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

?АВС ?А₁В₁С₁

АВ и А₁В₁; ВС и В₁С₁; АС и А₁С₁ - сходственные стороны

Отношение площадей подобных треугольников.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Число, равное отношению сходственных сторон называется коэффициентом подобия (к).

Дано:

?АВС ?А₁В₁С₁

к - коэффициент подобия

Доказать:

Доказательство:

1) Т.к. ?АВС ?А₁В₁С₁ => Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А₁

2) Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А₁ => (по теореме об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу)

3) Т.к.

=>

Пример 12

Площади двух подобных треугольников равны 75м² и 300м². Одна из сторон второго треугольника равна 9м. Найдите сходственную ей сторону первого треугольника.

Дано:

?АВС?А₁В₁С₁

S_?АВС=75 м²

S_?А1В1С1=300 м²

AB=9м

Найти: А₁В₁ Решение:

1) Т.к. ?АВС ?А₁В₁С₁=>

S_?АВС=75 м² =>

S_?А1В1С1=300 м²

2)

=>

AB=9м

Ответ:

Первый признак подобия треугольников.

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Дано:

?АВС

?А₁В₁С₁

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А₁

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В₁

Доказать: ?АВС ?А₁В₁С₁

Доказательство:

1) Рассмотрим ?АВС

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А+Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В+Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С = 180⁰ => Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С = 180⁰ - (Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А+Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В)

2) Рассмотрим ?А₁В₁С₁

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А₁+Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В₁+Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С₁ = 180⁰ => Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С₁ = 180⁰ - (Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А₁+Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В₁)

3) Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С = 180⁰ - (Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А+Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С₁ = 180⁰ - (Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А₁+Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В₁)

=> Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С₁

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А₁

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В₁

4) Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А₁ => (1)

5) Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В₁ => (2)

6) Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С₁ => (3)

7) Из равенств 1 и 2 => =>

8) Из равенств 2 и 3 => = =>

9) Из равенств 1 и 3 => = =>

10)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А₁ => ?АВС ?А₁В₁С₁

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В₁ Что и требовалось доказать.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С₁

Второй признак подобия треугольников.

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, заключённые между этими сторонами ровны, то такие треугольники подобны.

Дано:

?АВС

?А₁В₁С₁

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А₁

Доказать: ?АВС ?А₁В₁С₁

Доказательство:

1) Построим ?АВ₂С так, чтобы Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А₁; Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

2=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С₁

2) Т.к. Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А₁

=> ?АВ₂С ?А₁В₁С₁ =>

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

2=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С₁

3)

=> => АВ = АВ₂

4) Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А₁

=> Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А₁

5) Рассмотрим ?АВС и ?АВ₂С

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А

АВ = АВ₂ => Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

2=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С

АС - общая сторона

6) Т.к. Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

2=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С

=> Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С₁

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

2=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С₁

7)Т.к. Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С=Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

С₁

=> ?АВС ?А₁В₁С₁(по I признаку подобия треугольников)