Плоские кривые

Тема: Гипербола

Учащиеся хорошо знакомы с гиперболой как с графиком функции и с такими понятиями, как её ветви и асимптоты. Гипербола не только является центрально-симметричной линией (как график нечётной функции), но и имеет две оси симметрии - это биссектрисы пар вертикальных координатных углов (рис. 19).

Рассмотрим уравнение x² - y² = l и покажем, что линия, задаваемая им - это тоже гипербола. Перепишем уравнение в виде (x - y) (x + y) = l. Введём новые переменные: тогда в системе (u, v) исходное уравнение примет вид uv = l, и это будет гипербола, расположение ветвей которой полностью определяется знаком числа l.

Для изображения гиперболы выясним, как расположены оси системы координат (u, v) в координатной плоскости (х, у), считая, что u - абсцисса и v - ордината в новой системе координат. Ось абсцисс - это множество точек, для которых v = 0, т.е. в исходной системе координат, или в исходной системе координат, или . Это биссектриса чётных координат углов. Аналогично, . Это биссектриса нечётных координатных углов. Для выяснения направлений на осях рассмотрим на оси Ou точку А (рис. 20), которая в системе координат (х, у) имеет координаты (1, -1). Тогда для этой точки u = 1 - (- 1) = 2 > 0, т.е. она лежит на положительной полуоси Оu. Аналогично, рассматривая на оси Ov точку В (1; - 1), получим, что для неё , и, значит, она расположена на положительной полуоси Ov.

Это позволяет сделать вывод о том, что преобразование переводит систему координат (х, у) в систему (u, v), оси которой повёрнуты пол отношению к исходной на угол .

Рис. 19

Рис. 20

Рис. 21

Уравнение при этом преобразуется в уравнение uv = l, которое равносильно уравнению ибо равенство означало бы , и, значит, В зависимости от знака числа l мы можем изобразить ветви гиперболы в соответствующих координатных четвертях системы , тем самым будет получено изображение гиперболы, задаваемой уравнением в системе координат .

При этом, подставляя в исходное уравнение или в зависимости от знака l, мы получим точки пересечения гиперболы с той или иной координатной осью. Эти точки называются вершинами гиперболы (рис. 21).

Если к гиперболе провести касательные в её вершинах (Теорема. Касательная к гиперболе в произвольной её точке является биссектрисой внутреннего угла М₀ треугольника F₁M₀F₂, имеющего своими вершинами фокусы гиперболы и данную точку М₀, см. рис. 27), то они пересекут асимптоты гиперболы в точках, которые будут вершинами квадрата (это следует из соображений симметрии). Удобно этот квадрат назвать осевым квадратом гиперболы (рис. 23). Центр этого квадрата совпадает с центром симметрии гиперболы, её диагонали - это её асимптоты, а сторона равна .

Рис. 22, 23

Если произвести сжатие к оси Ох с коэффициентом k > 0, k 1, то гипербола преобразуется в линию, также называемую гиперболой, но о такой гиперболе говорят, что она неравнобокая. Исходную же гиперболу называют равнобокой. Прн сжатии осевой квадрат преобразуется в осевой прямоугольник, а диагонали квадрата - в диагонали прямоугольника (они будут асимптотами для получающейся неравнобокой гиперболы). Уравнение неравнобокой гиперболы имеет вид: , где k² 1.

Рис. 24

Таким образом, уравнение (k 0, l 0) всегда задаёт гиперболу. Она равнобокая, если k = 1 и неравнобокая, если k = -1. Её вершины лежат на оси Ох, если l > 0, и на оси Оу, если l < 0. Для её изображения нужно сначала построить осевой прямоугольник, его диагонали и вершины гиперболы (рис. 24).

Преобразуем уравнение . Разделим обе его части на l:

(1)

Если l > 0, то уравнение примет вид (1), а если

l < 0 - (2).

Сделаем замену , , тогда получим уравнение гиперболы в общем виде

(3) (4).

Уравнения (3) и (4) называются каноническими уравнениями, а гиперболы, заданные этими уравнениями, называются сопряжёнными, а и b - стороны осевого прямоугольника. Если a = b - осевого квадрата.

Для закрепления решим несколько задач. [17]

1) Построить графики.

а)

I способ.

Это уравнение равносильно уравнению . Поскольку l < 0, то вершины гиперболы расположены на оси Оу. Гипербола неравнобокая, т. к. . Строим осевой прямоугольник со сторонами и , где , . Чертим график гиперболы.

II. способ

Приведём уравнение к каноническому виду

, , следовательно, Строим осевой прямоугольник, а затем изображаем гиперболу.

Параллельный перенос гиперболы преобразует уравнение к виду:

(5) (или (6)).

Рассмотрим способ построения гиперболы по уравнению данного вида.

б) . Преобразуем его к виду (5) и далее: Это уравнение гиперболы, где Осевой прямоугольник со сторонами смещён на две единицы вверх и вправо. Строим его и изображаем гиперболу.

II способ.

Приводим уравнение к каноническому виду:

, следовательно,

Центр осевого прямоугольника - точка (2; 2).

Строим его и изображаем гиперболу.

2) Найти длины полуосей и координаты фокусов следующих гипербол:

а)

.

Привели к каноническому виду, а следовательно а = 2, b = 3.

F₁ и F₂ имеют координаты: F₁(- с; 0), F₂(с; 0).

Таким образом, F₁(; 0), F₁(; 0).

Ответ: а = 2, b = 3, F₁(; 0), F₁(; 0).

б)

Используя каноническое уравнение, получим:

.

Мы знаем, что F₁(- с; 0), F₂(с; 0),

Итак, , F₁(; 0), F₁(; 0).

в)

,

F₁(- с; 0), F₂(с; 0):

Ответ: F₁(; 0), F₁(; 0).

3) Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между вершинами равно 8, а расстояние между фокусами равно 10;

Итак, нам дано, что Находим, что .

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид Т. к. , то уравнение можно записать следующим образом:

4) Взяв на плоскости прямоугольную декартову систему координат, построить области, определяемые следующими системами неравенств:

а)

построим множество точек, определяемых 1-м и 2-м неравенствами. Найдём пересечение этих множеств.

I. Построим гиперболу . После преобразования получаем каноническое уравнение с полуосями а = 2 и b = 1. Точки гиперболы не принадлежат искомой области, т. к. неравенство строгое. Это неравенство определяет внутренние точки гиперболы. Строим осевой прямоугольник, гиперболу и изображаем искомую область.

II. Строим множество точек. Заданных вторым неравенством. Для этого изображаем прямую и штрихуем определяемую область.

Построение.

б)

Построим множество точек, определяемых 1-м, 2-м. 3-м неравенствами. Найдём пересечение этих множеств.

I. построим гиперболу . Её точки принадлежат искомой области, т. к. неравенство не строгое. Т. о. Неравенство определяет внешние точки гиперболы. Преобразуем уравнение. это уравнение гиперболы, где , точки которой не принадлежат искомой области (неравенство строгое), строим осевой прямоугольник со сторонами и изображаем гиперболу.

II. Строим множество точек, заданных вторым неравенством. Для этого изображаем прямую и штрихуем определяемую область.

III. Рассуждаем аналогично. строим прямую и штрихуем определяемую область.

Построение.

7. Эксперимент