3. Вычислить определенный интеграл:

- это неправильный ответ

Правильно будет:

,

следует заметить, что четвертая степень вычисляется только от числителя дроби.



Контрольный тест

1. Найдите первообразную функции y= sinx, график которой проходит через точку .

2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y= cosx , y= 0,5.

3. Вычислите определенный интеграл:

а) ; б) ; в) .

Тема 7. Корень n-ой степени из числа

Проверочный тест:

1. Верно ли, что а)б) в)?

2. Решите уравнение: а) x⁴ =0,0016; б) x⁶ = 64; в) x⁵ =32.

3. Упростите выражение: а) б) в) г) ;

д)

4. Решите уравнение .

5. Упростите выражение:

Ответы:

1.а) верно; б) неверно; в) верно. 2. а) 0,2; -0,2; б) 2;-2; в) 2.

3 а) 5; б) 3; в) 0,25; г) 8; д) 2. 4. 2; -2; 5.

Улучшите свои знания

1. Арифметическим корнем n- ой степени из числа a называется неотрицательное число, n- ая степень которого равна a.

Обозначается .

Например, - это равенство верно, так как 2⁴ =16, 2>0, но , так как - 2<0.

2. Корнем n- ой степени из числа a называется число, n- ая степень которого равна a

Например, корень четвертой степени из числа 16 - это число 2, а также и число -2, так как 2⁴ =16 и (-2)⁴ =16. Корень пятой степени из числа 32 только один, он равен 2, так как 2⁵=32.

а) Решить уравнение x⁴ =15.

По определению корня четвертой степени число x - корень четвертой степени из числа 15.

Таких корней два - арифметический и ему противоположный Ответ:

б) Решить уравнение x⁶ =0, 000001.

По определению корня шестой степени число x - корень шестой степени из числа 0, 000001.

Таких корней два - арифметический и ему противоположный или 0,1 и -0,1.

Ответ: 0,1 и -0,1.

в) Решить уравнение x⁵ =243.

По определению корня пятой степени число x - корень пятой степени из числа 243, т. е. 3.

Ответ: 3.

3. Свойства корней n-ой степени

Для любого натурального n, целого k и любых неотрицательных чисел a и b выполняются равенства:

а) , к>0, например, .

б) например,

в) например, .

г) k>0, например, ) =

д), например, .

4. Основные тождества

а) Для любого действительного числа a и для n - четного верно равенство:

б) Для любого действительного числа a и для n - нечетного верно равенство: .

Например,

в) Для любого неотрицательного числа a и n -натурального верно равенство:

Например, разложить на множители x-4, где x>0.

Представим x в виде , тогда получим x-4=-4 =

Примеры

1. Решите уравнение: .

Решение: по основному тождеству 4а), значит, данное уравнение заменим на равносильное ¦x¦=5, откуда x=5 или x =-5.

Ответ: 5, -5.

2. Упростите выражение .

Решение:

3. Упростите выражение

Решение:

1. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на сопряженное выражение, получим:

4. Упростите выражение:

=

5. Сравните числа: и .

Решение:



, значит > .

Наиболее часто встречающиеся ошибки

Проверь, не делаешь ли ты так

1. , правильно будет: .

2. при a <0, правильно будет: .

3. при a<0 и b<0, правильно будет:

4. , правильно будет .

Контрольный тест

1. Решите уравнение: а) б) в)x⁴ =7; г) x⁵ =5.

2. Упростите выражение:.

3. Сравните значения выражений: и .

Тема 8. Степень с рациональным показателем

Проверочный тест:

1. Представьте степень с рациональным показателем в виде корня:

а) ; б) 5; в) ; г) ;

2. Вычислите: ;

3. Найдите значение выражения а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

4. Разложите на множители:

а) - б) a-b; ( a, b - положительные числа); в) ,( a, b - положительные числа).

5. Сократите дробь .

Ответы:

1. а) ; б) ; в) ;г );

2. а) 0,95.

3.а) 6; б) ;в) ; г) 10; д) 24,5

4.а); б) в); 5. .

Улучшите свои знания

1. Степенью положительного числа a с рациональным показателем , m - целое, n - натуральное называется корень n- ой степени из числа a n, т.е.

Например, =; 6

2. Вычислить значение степени с рациональным показателем можно, если степень с рациональным показателем заменить корнем

Например

; .

3. Свойства степени с рациональным показателем и положительными основаниями:

а) при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, т.е. .

б) при делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя, т.е. .

Например, .

в) при возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются, т.е.

Например,

г) при возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый сомножитель, а результаты перемножаются, т.е. .

Например, .

д) при возведении в степень частного в эту степень возводится, делимое и делитель а результаты делятся, т.е. .

Например, .

4. Разложение на множители

При разложении на множители выражений с рациональными показателями используются те же методы, что и для многочленов:

а) Вынесение общего множителя за скобки ( за скобки выносится множитель с наименьшим показателем)

Например, разложите на множители: .

.

б) Применение формул сокращенного умножения

Например, разложите на множители a-b

a-b =

в) Применение способа группировки

Например, разложите на множители:

г) Упрощение выражений с рациональными показателями.

При упрощении выражений, содержащих рациональные показатели выполняются общие правила и алгоритмы для упрощения дробно - рациональных выражений.

Например, сократите дробь:

Наиболее часто встречающиеся ошибки:

Проверь, не делаешь ли ты так

1., правильно будет: .

2., правильно будет:

3. , правильно будет:

4. , правильно будет .

Контрольный тест

1. Найдите значение выражения: .

2. Вычислите: .

3. Выполните указанные действия: .

Тема 9. Показательная функция

Проверочный тест:

1. Найдите с точностью до десятых значение функции y= при x=

2.Сравните с нулем числа: а) 0,0;б); в) 7,4^0,11 ; г)125,34^-34.

3. Сравните числа: а) (1,2)^-15 и (1,2)^-14; б) (0,131)^2,4 и (0,131)^1,8; в) и .

4. Сравните с единицей числа: а) 0,0;б) ; в) 7,4^0,11 ; г) 125,34^-34.

5. На рисунке изображен график функции . Сравните a c единицей. а); б).

6. Решите уравнение: а)3^3x-2 =3^6-x ; б) 9^x -8•3^x - 9 =0.

7. Решите неравенство: а) 0,2^x >0,04; б) 7^x-3 < 49.

Ответы:

1. 2,7.

2.а) 0,0>0;б)>0; в) 7,4^0,11 >0; г)125,34^-34>0.

3.а) (1,2)^-15 <(1,2)^-14; б) (0,131)^2,4 < (0,131)^1,8; в) <.

4.а) 0,0>1 ;б) >1; в) 7,4^0,11>1; г)125,34^-34<1.

5.а) a<1; б) a>1. 6.а) 2; б) 2; 7а) (- ?;2); б) (- ?;5).

Улучшите свои знания

1. Функция, заданная формулой y =, где a>0, xR называется показательной

Свойства показательной функции

1. D () = (-?; +?), это означает, что для любого положительного a и любого действительного x можно найти .

Например, вычисляется через десятичные приближения числа с любой степенью точности. 1,4142<<1, 4143, .

Найдем с помощью калькулятора 2^1,4142 2, 6651, 2^1,4143 2, 66530,

Значит, =2,665…

2. E(a^x) = (0, +?), это означает, что функция y=a^x для любого положительного a и любого действительного x принимает только положительные значения

Например, 0,0>0;>0; 7,4^0,11 >0; 125,34^-34>0.

3. Если основание показательной функции y= a^x больше 1, то она возрастает на всей области определения

Если основание показательной функции y = a^x больше нуля, но меньше 1, то она убывает на всей области определения.

Например, значение функции y = 1,2^x (a = 1,2>1) при x = -15 меньше, чем ее значение при х= -14, а , значение функции y=0,131^x (0<a<1) при x= 2,4 меньше, чем ее значение при х =1,8 (1,2)^-15 <(1,2)^-14; (0,131)^2,4 < (0,131)^1,8.

4. Если a>1, то a^x >1 при x>0 и 0<a^x <1 при x<0

Если 0<a<1, то a^x <1 при x>0 и 0<a^x <1 при x>0.

Если a=0, то a^x =1, для любого положительного основания a.

Например, 0,0>1(a=0,04<1, x= -2<0); > 1 (a= 2/7 < 1, x=-0,6<0);

7,4^0,11>1(a=7,4>1, x=0,11>0) ; 125,34^-34<1(a=125,34>1 , x=-34<0).

5. На рис. изображен график функции y = a^x для a>1

На рис. изображен график функции y = a^x для a<1

6. Показательные уравнения

а) уравнение вида a^f(x)=a^g(x),где а>0 сводится к решению уравнения f(x)= g(x)

Например, уравнение 3^3x-2 =3^6-x равносильно уравнению 3x-2=6- x (функция y=3^t возрастающая и равным значениям функции соответствуют равные значения аргумента), далее: 4x=6+2, 4x=8, x=2.

б) уравнение Aa^2x+Ba^x+C=0 c помощью подстановки y=a^x сводится к квадратному уравнению Ay²+By+C = 0

Например, решить уравнение:

9^x -8•3^x - 9 =0.

9^x -8•3^x - 9 =0, 3^2x -83^x -9=0, пусть 3^x =y, тогда данное уравнение будет иметь вид: y² -8y - 9=0. Найдем корни этого уравнения, получим: y=9 или

y=-1.Cледовательно, 3^x =9 или 3^x =-1. Уравнение 3^x =9 имеет один корень, равный 2, уравнение 3^x =-1 не имеет решений.

Ответ: 2.

7. Показательные неравенства

а) Если a>1, то неравенство a^f(x)> a^g(x) равносильно неравенству f(x)> g(x), (неравенство a^f(x)< a^g(x) равносильно неравенству f(x)< g(x))

Например, неравенство 3^3x-2 >3^6-x равносильно неравенству 3x-2>6-x, решая это неравенство(4x>8, x>2), получим x.

б) Если 0< a<1, то неравенство a^f(x)> a^g(x) равносильно неравенству f(x< g(x),(неравенство a^f(x)< a^g(x) равносильно неравенству f(x)> g(x))

Например, неравенство 0,3^3x-4 <0,3^{6- 2x} равносильно неравенству 3x-4>6-2x, решая это неравенство(5x>10, x>2), получим x.

Наиболее часто встречающиеся ошибки:

Проверь, не делаешь ли ты так

1. 0,1^x >0,1²(1), x>2(2). Из неравенства (1) не следует неравенство (2). Правильно будет: 0,1^x >0,1² , x<2 .

2. Решить неравенство: 9^x -8•3^x - 9 >0. (?)^2x -8•(?) ^x -9>0, пусть (1/3)^x =y, тогда данное неравенство будет иметь вид: y² -8y - 9>0.

Найдем корни уравнения y² -8y - 9=0, получим: y=9 или y=-1. Cледовательно, (1/3)^x =9 или (1/3)^x = 1. Уравнение (1/3)^x =9 имеет один корень, равный - 2, уравнение (1/3)^x =-1 не имеет решений, учитывая знак неравенства, получим ответ x>-2. Это решение неверно.

Правильное решение: y² -8y - 9>0 решим это неравенство методом интервалов, получим y>9 или y <-1. Возвращаясь к замене, получим (1/3)^x >9 или(1/3)^x <-1.

Решение первого неравенства: x< -2, x(-?;-2) (основание показательной функции 1/3 <1), второе неравенство решений не имеет.

Ответ: (-?;-2).

Контрольный тест

1. Решить уравнение: а) ; б) (0,5)^x = ; в) 2^x+1 +2^x = 6;

2. Решите неравенство: а) ; б) (0,5)^x <; в) 2^x+1 +2^x > 6;

3. Решите уравнение: а) 5^2x -6•5^x +5=0; б) 0,2^2x +0,2^x -2 = 0

4. Решите неравенство: а) 5^2x -6•5^x +5<0; б) 0,2^2x +0,2^x -2 <0

Тема 10. Свойства логарифмов и логарифмическая функция

Проверочный тест:

1. Вычислите: а)log₂16, б)log₅125, в)log_0,50,25, г)log₃1

2. Вычислите: а)4^Log₄⁷ , б)8^Log₈⁷,в) 0,1^Log_0,1⁷.

3. Вычислите:

а) log₂? +log₂1,5; б) log₂3-log₂1,5; в) log₄4⁵.

4. Найдите область определения функци y= log₂ (x-6).

5. Сравните числа а) log₃5 и log₃7; б) log_0,35 и log_0,37;

6.Сравните с нулем числа а) log₃5; б) log_0,30,4; в) log₇0,1; г) log_0,64;

7. Определите, на каком из рисунков изображен график функции y=log₂ x, а на каком - график функции y = log_0,5 x?

8. Решите уравнение: а) lg(3-x)=-1; б) log₃ x + log₃ (x-2) =1;

в) log₇² x + log₇ x =6;

9. Решите неравенство: а) lg(3-x)< -1; б) log_0,5 x + log_0,5 (3-x) <-1;

в) log₇² x + log₇ x <6;

Ответы:

1. а) 4;б)3;в) 2; г) 0.

2. а) 7; б) 7; в) 7;

3. а) 0; б) 1; в) 5

4. (6;+?)

5. а) log₃5 < log₃7; б) log_0,35 >log_0,37

6. а) log₃5>0; б) log_0,30,4>0; в) log₇0,1<0; г) log_0,64<0.

7. см. рис.

8. а) 2,9; б) 3; в) 343; 1/49.

9.а) (- ?; 2,9); б) (1;2); в)(1/343; 49).

Улучшите свои знания

1. Логарифмом числа b по основанию a, где b>0, a>0, a? 1, называется показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b

Например, log₂16=4, так как 2⁴=16, log₃9=2, так как 3² = 9.

Обозначение: log_ab, читается: логарифм числа b по основантю a.

Если основание a равно 10, то логарифм называется десятичным и обозначается lgb, если основание равно числу e, то логарифм называется натуральным и обозначается lnb.

Например, lg100 =2 , так как 10²=100, lg0,1 = -1, так как 10 ^-1=0,1 lne=1, так как e¹=e.

2. Основное логарифмическое тождество:

, b>0, a>0, a?1.

Например, 4^Log₄⁷ =7; 8^Log₈⁷ =7; 0,1^Log_0,1⁷=7.

3. Свойства логарифмов

а) log_ab + log_ac = log_abc, где b>0, c>0, a>0, a? 1.

Например, log₂? +log₂1,5= log₂ (2/3)•(1,5) = log₂1=0.

б) log_ab - log_ac = log_a (b:c), где b>0, c>0, a>0, a? 1.

Например, log₂3-log₂1,5= log₂ (3:1,5) = log₂2 =1.

в) log_abⁿ =nlog_a b, где b>0, a>0, a? 1.

Например, log₄4⁵ =5 log₄4 =5•1=5.

г) формула перехода от одного основания логарифма к другому

log_ab= , где b>0, a>0, a? 1, с>0, c? 1.

Например, log₂9=.

4. Функция, заданная формулой y = lоg_ax, a>0, a?1 логарифмической

D (lоg_a x) =(0;+ ?)

E (lоg_a x) =(- ?;+ ?)

Например, найдите область определения функции y= log₂ (x-6).

Решение: так, как область определения логарифмической функции есть промежуток (0; +?) , то функция y= log₂ (x-6) определена для всех значений x, для которых выполняется условие: x-6>0, откуда получим x>6, x(6;+?). Oбласть определения функции y= log₂ (x-6) есть промежуток (6;+?).

5. Если основание логарифмической функции y = lоg_ax больше 1, то она возрастает на всей области определения

Если основание логарифмической функции y = lоg_a x больше нуля, но меньше 1, то она убывает на всей области определения

Например, cравните числа а) log₃5 и log₃7; б) log_0,35 и log_0,37;

Решение

а) log₃5 <log₃7, так как основание логарифмической функции y= log₃x

3>1, то логарифмическая функция возрастает на области определения, значит, так как 5<7, то log₃5 <log₃7;

б) log_0,35 и log_0,37; так как основание логарифмической функции y= log _0,3x

3>1, то логарифмическая функция убывает на области определения, значит, так как 5<7, то log₃5 >log₃7.

6. Если a>1, то log_ax>0 при x>1 и log_ax <0 при 0<x<1

Если 0<a<1, то log_ax<0 при x>1 и log_ax >0 при 0<x<1.

Если x=1, то, log_ax=0 для любого положительного основания a

Например, сравните с нулем числа а) log₃5; б) log_0,30,4; в) log₇0,1; г) log_0,64;

Решение

а) log₃5>0, так как основание логарифмической функции y= log₃x 3>1 и x=5 >1.

б) log_0,30,4 >0, так как основание логарифмической функции y= log _0,3x 0,3<1 и x=0,4 <1.

в) log₇0,1<0, так как основание логарифмической функции y= log₇x 7>1 и x=0,1 <1.

г) log_0,64<0, так как основание логарифмической функции y= log _0,6x 0,6<1 и x = 4 >1.

7. График функции y= log_ax a>1 изображен на рисунке:

График функции y= log_ax 0<a<1 изображен на рисунке:

8. Уравнение log_a f(x)= log_a g(x) равносильно уравнению f(x) = g(x), при дополнительных условиях g(x)>0, f(x)>0

Например, решите уравнение а) lg(3-x)=-1; б) log₃ x + log₃ (x-2) =1;

Решение

а) lg(3-x)=-1, представим -1в виде -1=lg0,1, тогда lg(3-x)= lg0,1, откуда 3-x=0,1,т.е. x=2,9. Проверим, 3 - 2,9 = 0,1>0.

Ответ: 2,9.

б) log₃ x + log₃ (x-2) =1

По свойству логарифмов 3 а) будем иметь log₃ x (x-2) =1, далее x (x-2)=3, (log₃ 3=1), x² -2x-3 =0, корни этого уравнения x=3 , x=-1.

Проверим x=3>0, x-2=3-2>0, значит 3 - корень данного уравнения.

Проверит x=-1<0, значит -1 - не корень данного уравнения.

Ответ: 3.

в) При решении логарифмических уравнений часто используется метод введения новой переменной

Например, решите уравнение: log₇² x - log₇ x =6

Решение

Обозначим log₇ x=y, получим y² + y=6, откуда y² -y - 6 =0, корни этого уравнения y= 3, y=-2.

Вернувшись к введенным обозначениям, получим: log₇ x=3, log₇ x=-2.

Решая последние два уравнения, получим: x=343,x= 1/49.

Ответ: 343; 1/49.

9. Неравенство log_a f(x)> log_a g(x) равносильно неравенству f(x)> g(x), при a>1 и дополнительных условиях g(x)>0, f(x)>0.

Неравенство log_a f(x)> log_a g(x) равносильно неравенству f(x)< g(x), при 0<a<1 и дополнительных условиях g(x)>0, f(x)>0

Например, решите неравенство:

а) lg(3-x)< -1;

Решение

Неравенство lg(3-x)< -1; равносильно системе:, решая каждое неравенство системы, получим: илиили x

Ответ:

б) log_0,5 x + log_0,5 (3-x) <-1;

Неравенство log_0,5 x + log_0,5 (3-x) <-1 равносильно системе: , или , или .

Первое неравенство решим методом интервалов, получим 1<x<2, тогда система будет иметь вид

Решение этой системы промежуток (1;2).

Ответ: (1;2).

в) log₇² x + log₇ x <6;

Решение

Обозначим log₇ x через t, log₇ x =t, тогда неравенство примет вид t² + t<6; откуда -3<t<2. Учитывая то, что log₇ x =t, получим неравенство -3<log₇ x<2, 1/343<x <49. Решением данного неравенства служит промежуток (1/343;49).

Наиболее часто встречающиеся ошибки:

!Проверь, не делаешь ли ты так!

1. Из неравенства log_0,5x<log_0,57 не следует неравенство x<7!

Правильно будет x>7, так как логарифмическая функция с основанием 0,5 убывающая.

2. lg3+lg2?lg5. Правильно будет: lg3+lg2=lg(3•2)=lg6.

3. lg6 -lg2?lg4. Правильно будет: lg6-lg2=lg(6:2)=lg3.

4. lg x² ?2lg x. Правильно будет: lg x² =2lg|x|.

Контрольный тест

1. Вычислите: а) log_2,56,25, б) log₂₇3, в) log₁₃1, г)l g 100.

2. Вычислите: а) 5^Log₅^0,5, б) 6^Log₆⁴⁸, в) 1,01^Log_1,01^0,01.

3. Вычислите:

а) log₃5 +log₃0,2; б) log₃10-log₃3?; в) log_0,10,1⁸.

4. Найдите область определения функции y = log_0,1 (-x+3).

5. Сравните числа а) log₅2 и log₅3; б) log_0,59 и log_0,57;

6. Сравните с нулем числа а) log₂7; б) log_0,20,15; в) log₆0,2; г) log_0,78;

7. Определите, на каком из рисунков изображен график функции y=log₃ x, а на каком - график функции y=log _?x?

a) б)

8. Решите уравнение: а) log_0,1 (3-x) =-3; б) log₅ x + log₅ (x-4) =1; в) log₆² x - log₆ x =2;

9. Решите неравенство: а) log_0,1 (3-x) < -3; б) log₅ x + log₅ (x-4) >1; в) log₆² x - log₆ x <2;

Ответы к контрольным тестам

Тема 1

1. а) х ? р/2 +рk , k - целое число; х?-1/2 ; х ? р/12 +р/3 k, k - целое число;

б) [-2; 2]; [2/3; 4/3]; [-0; +?).

2. а) 2р/11; б) 1/2; в)5р.

3. четная функция - tg x²; нечетная функция - xcosx; не является ни четной функцией, ни нечетной - sin(x+1).

4. а) “плюс”; б) “плюс”

5. а) sin 10р /9; sin р/12; sin 2,1 р; б) cos1,4 р; cos2,3 р; cos р/5; в) tgр/7; tg2,9 р; tg4р.

6. б)

Тема 2

1.; 2.; 3. tgб; 4..

Тема 3

1. р/4. 2. а) (-1)^kр/6 - р/4 + рk; kZ. б) arctg2 + рk, kZ. в)

3. а) - р/2+ 2рk, kZ. б) -; (-1) ^k аrcsin0,2+

в)

Тема 4

1.а) -+12x²; б) в) - 1; г) 7x⁶+8x³-3x²; 2. 160;

3. x<7;

Тема 5

1. На промежутках (- ; 0) и (; ) функция убывает, на промежутке

(0; ) функция возрастает; x= - точка максимума.

2.

3. Наибольшее значение функции равно -0, наименьше значение функции равно -2.

4. в точке x=1: y=2x-2; в точке х=-1: y=-2x+2.

Тема 6

1.y=-cosx+2,5; 2.; 3.а) 38; б) 2v3 - 2/3; в) 1.

Тема 7

1. а) 7; б) 6,8; -6,8; в) ; -; г) ; 2.0; 3. первое больше;

Тема 8

1. -2; 2. 8; 3. x+x^0,5+x^-0,5+1;

Тема 9

1. а) x=-; б) x =6; в) x=1;

2. а) x <-; б) x >6; в) x>1;

3. а) 0; 1; б) 0;

4. а) (0;1); б) x>0.

Тема 10

1. а) 2; б) ; в) 0; г) 2;

2. а) 0,5; б) 48; в) 0,01;

3. а) 0; б) 2; в) 8;

4. (-?;3);

5. а) log₅2 < log₅3; б) log_0,59 < log_0,57;

6.а) log₂7>0; б) log_0,20,15>0;

в) log₆0,2<0; г) log_0,78<0;

7. а) y=log _?x; б) у=log₃ x;

8. а) -997; б)5; в) 36;

9. а) (-?;-997); б) (5; +?); в) (36; +?);



Стереометрия

Тема 1. Аксиомы стереометрии и следствия из них

1.Проверочный тест

1. Сколько различных плоскостей можно провести через три точки,

не принадлежащие одной прямой ?

2. Две вершины треугольника принадлежат плоскости. Принадлежит ли этой плоскости третья вершина, если известно, что данной плоскости принадлежит центр вписанной в треугольник окружности ?

3. Боковая сторона AD трапеции ABCD лежит в плоскости б, прямая BC пересекает плоскость в точке K. Верно ли, что точка K принадлежит прямой AD?

4. Точка A не принадлежит прямой a. Сколько различных плоскостей можно провести через прямую a и точку A?

5. Прямые MN и KL пересекаются в точке O. Принадлежат ли одной плоскости прямые MK и LN?

6. Построить сечение куба ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью M, N, P( рис.5a)

Ответы

1. Одну. 2. Принадлежит. 3. Верно, см. рис.1.4. Одну.5. Принадлежат. 6.см, рис.6.

Улучшите свои знания

1. Аксиома - это утверждение, которое принимается без доказательства

Обозначение: точки обозначаются большими буквами латинского алфавита (A, B, C…); плоскости - малыми буквами греческого алфавита(б,в,г,…); прямые - малыми буквами латинского алфавита (a, b, c…) или двумя большими буквами латинского алфавита (AB, DC, MN…).

Аксиома 1

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и при том только одна.

2. Аксиома 2

Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все точки этой прямой лежат в этой плоскости.

Пример

Две вершины треугольника принадлежат плоскости. Принадлежит ли этой плоскости третья вершина, если известно, что данной плоскости принадлежит центр вписанной в треугольник окружности ?

Решение

Пусть точки A и B - вершины треугольника ABC, O- центр вписанной окружности (точка пересечения его биссектрис) в треугольник ABC (рис.1). По аксиоме 1 через три точки, A, B, O, не принадлежащие одной прямой (точка O не принадлежит прямой AB ) проходит плоскость и при том только одна. Обозначим эту плоскость б.

Так как точки A и O прямойAO принадлежат плоскости б, то по аксиоме 2 все точки прямой AO принадлежат этой плоскости, значит точка K пересечения прямых AO и BC принадлежит плоскости б.

Так как точки B и K прямой BK принадлежат плоскости б, то по аксиоме 2 все точки прямой BK принадлежат этой плоскости, значит, точка C пересечения прямых AC и BK принадлежит плоскости б. Значит, третья вершина треугольника принадлежит плоскости б.

3. Aксиома 3

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, содержащую все общие точки этих плоскостей.

Пример: Боковая сторона AD трапеции ABCD лежит в плоскости б, прямая BC пересекает плоскость в точке K. Верно ли, что точка K принадлежит прямой AD?

Решение

Плоскости б и ABC имеют две общие точки A и D (рис.2), значит их пересечение есть прямая AD. Точка K принадлежит прямой BC, а значит и плоскости ABC. Значит, точка K- общая точка плоскостей б и ABC. По аксиоме 3, эта точка принадлежит общей прямой этих плоскостей, т.е. точка K принадлежит прямой AD.

4. Следствие из аксиом 1

Через прямую и точку, не принадлежащую этой прямой, проходит плоскость, и при том только одна (рис. 3).

5. Следствие из аксиом 2

Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и при том только одна.

Пример

Прямые MN и KL пересекаются в точке O. Принадлежат ли одной плоскости прямые MK и LN?

Решение

Так как прямые MN и KL пересекаются (рис.4), то по следствию из аксиом 2 они лежат в некоторой плоскости б. Тогда по аксиоме 2 прямые MK и LN принадлежат плоскости б.

6. Сечение многогранника плоскостью - это многоугольник, сторонами которого являются отрезки пересечения граней многогранника с данной плоскостью

Алгоритм построения сечения многогранника плоскостью

Чтобы построить сечение многогранника (например, куба ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью M, N, P(рис.5б)) плоскостью, надо:

1. Найти две точки плоскости, лежащие в одной грани (плоскости грани) (В нашем примере точки M и N).

2. Соединить эти две точки и найти точки пересечения полученной прямой с остальными прямыми этой грани (в нашем примере прямая MN пересекает прямую CC ₁ в точке X и прямую BC в точке Y).

3. Если получился многоугольник, то построение закончено, если нет, то нужно вернуться к пункту 1. (В нашем случае многоугольника не получилось, поэтому вернемся к п.1, найдем еще две точки, лежащие в одной грани - это точки P и Y в грани ABCD; п.2, соединим эти две точки и продолжим полученную прямую до пересечения с остальными прямыми этой грани, т.е. с прямыми DC и AB. Получим точки Z и E. п.3 Многоугольника не получилось, вернемся к п.1, найдем еще две точки, лежащие в одной грани - это точки Z и X в грани CC₁D₁D; п.2, соединим эти две точки и продолжим до пересечения с остальными прямыми этой грани, т.е. с прямой DD₁ и C₁D₁ Получим точки F и К. п.3. Многоугольника не получилось, вернемся к п.1, найдем еще две точки, лежащие в одной грани: точки K и M в грани A₁C₁D₁D₁; точки F и P в грани AA₁D₁D; точки E и N в грани AA₁B₁B; п.2. Cоединим пары этих точек в гранях, получим замкнутый многоугольник KMNEPF - это искомое сечение куба.

Наиболее часто встречающиеся ошибки

Проверь, не делаешь ли ты так

1. Найдите точку пересечения прямой MN и плоскости ABC см. рис. 6. точка F- это ответ неверный, правильный ответ: точка K

2. Посторойте сечение тетраэдра ABCD плоскостью MNK.

На рис.7 сечение построено неверно. Правильное решение приведено на рис. 8.

Контрольный тест

1. Сколько различных плоскостей можно провести через две различные точки?

2. Две вершины треугольника принадлежат плоскости. Принадлежит ли этой плоскости третья вершина, если известно, что данной плоскости принадлежит точка пересечения медиан этого треугольника?

3. Точки M и N принадлежат грани ABCD куба ABCDA₁B₁C₁D₁ ( рис.9). C какими гранями куба пересекается прямая MN?

4. Построить сечение куба ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью M, N, P( рис.10).



Тема 2 Параллельность прямых и плоскостей в пространстве

Проверочный тест

1. В тетраэдре ABCD точки M,N,P,Q - середины ребер AD,DB, BC,AC, cоответственно. Найдите периметр четырехугольника MNPQ, если DC=4см, AB=6см.

2. В тетраэдре ABCD ребра (рис.12) AC и BD а) параллельны; б) пересекаются; в) скрещиваются. Выберите правильный ответ.

3. Прямая a параллельна плоскости б, тогда а) прямая a паралельна любой прямой этой плоскости; б) прямая a паралельна какой-либо прямой этой плоскости; в) пересекает какую-либо прямую этой плоскости. Выберите правильный ответ

4. Две плоскости параллельны, если а) прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна прямой, лежащей в другой плоскости; б) две прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны двум прямымй другой плоскости; в) две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны двум прямым другой плоскости. Выберите правильный ответ.

5.Точки K, M и N - середины ребер АS, SС и BS пирамиды SABCD соответственно. Найдите длину отрезка ME, если E - точка пересечения плоскости MNK с ребром SD, а длина ребра CD=7cм.

Ответы

1.10см. 2. в).3.б).4. в). 5. 3,5см.

Улучшите свои знания

1. Определение

Две прямые в называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Признак параллельности прямых в пространстве

Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Пример

В тетраэдре ABCD точки M,N,P,Q - середины ребер AD,DB, CB, AC cоответственно. Найдите периметр четырехугольника MNPQ, если DC=4см, AB=6см.

Решение

На рис. 11 точки M,N,P,Q - середины ребер AD,DB, CB, AC тетраэдра ABCD. Покажем, что четырехугольник ABCD - параллелограмм.

Так как точки M и N середины ребер AD и DB, то отрезок MN - средняя линия треугольника ABD. По свойству средней линии треугольника: MN=0,5AB, MNРРAB.

Так как точки Q и P середины ребер AC и CB, то отрезок Q P- средняя линия треугольника ABC. По свойству средней линии треугольника: Q P =0,5AB, Q PРРAB.

Так как MNРРAB и Q PРРAB, то по признаку параллельности прямых в пространстве MNРРQ P.

Аналогично показывается, что QMРРNP и MQ=NP=0,5DC. Следовательно, четырехугольник ABCD - параллелограмм, а длины его сторон равны: MQ=NP=0,5DC=2см, Q P =MN=0,5AB=3см. Тогда периметр параллелограмма ABCD равен 10см.

Ответ: 10см

2. Определение. Две прямые в называются скрещивающимися, если они не пересекаются и не параллельны ( не существует плоскости, которой принадлежат обе прямые)

Признак скрещивающихся прямых

Если одна прямая лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то такие прямые скрещивающиеся.

Пример

В тетраэдре ABCD ребра ( рис.12) AC и BD скрещивающиеся, так как ребро AC лежит в плоскости ABC, а ребро BD пересекает эту плоскость в точке B, не принадлежащей прямой AC, то по признаку скрещивающихся прямых эти прямые скрещивающиеся.

3. Определение

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая, не принадлежащая плоскости параллельна какой - либо прямой, лежащей в плоскости, то такие прямая и плоскость параллельны.

Пример

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ прямая A₁B₁ параллельна плоскости ABC, так как она параллельна прямой AB, лежащей в плоскости ABC.

4. Определение

Две плоскости называются параллельными , если они не имеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Пример

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскость A₁B₁C₁ параллельна плоскости ABC, так как две пересекающиеся прямые, например, A₁B₁ и C₁D₁, лежащие в плоскости A₁B₁C₁, параллельны двум прямым AB и BC, лежащим в плоскости ABC.

5. Теоремы о параллельных плоскостях

а) Если две пересекающиеся плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

б) Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, параллельны.

Пример

Точки K, M и N - середины ребер АS, SС и BS пирамиды SABCD (рис.13)соответственно. Найдите длину отрезка ME, если E - точка пересечения плоскости MNK с ребром SD, а длина ребра CD=7cм.

Решение

Плоскость MNK параллельна плоскости ABC по признаку параллельности плоскостей (NKРР AB по свойству средней линии треугольника ASB, MNРР BC по свойству средней линии треугольника CSB).

Две параллельные плоскости MNK и ABC пересечены третьей DSC, тогда по теореме о параллельных плоскостях (теорема а)) их линии пересечения DC и ME параллельны. Так как точка M - середина BS, то отрезок ME - средняя линия треугольника DSC, тогда по свойству средней линии треугольника ME=3,5 см.

Наиболее часто встречающиеся ошибки

Проверь, не делаешь ли ты так

1. В тетраэдре MNPQ ребра (рис.14) MN и PQ параллельны - это утверждение неверно. Правильно будет: в тетраэдре MNPQ ребра MN и PQ скрещивающиеся.

2. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис.15) прямые ВA₁ и B₁ P параллельны. Это утверждение неверно. Правильно будет: в кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис.15) прямые ВA₁ и B₁ P скрещивающиеся.

3. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ ( рис.15) прямые В₁D и BF пересекаются. Это утверждение неверно.

Правильно будет: в кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ ( рис.15) прямые В₁D и BF скрещивающиеся.

Контрольный тест

1. Может ли прямая быть параллельна:

а) только одному ребру куба; б) только четырем его ребрам; в) пяти его ребрам; г) только одной из диагоналей граней куба?

Выберите правильные ответы.

2. Каждое ребро тетраэдра ABCD равно a. Найдите периметр сечения, проходящего через середины трех ребер тетраэдра, имеющих общую точку.

3. Плоскости б и в параллельны. Прямая a лежит в плоскости б, прямая b лежит в плоскости в. Тогда прямые a и b: а) могут быть параллельны, б) могут пересекаться; в) могут скрещиваться.

Выберите правильный ответ.

Тема 3. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве

1. Проверочный тест

1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ прямая AB перпендикулярна плоскости грани: а) BC B₁C₁; б) DAA₁D₁; в)DD₁C₁C.

Выберите правильные ответы.

2. Из точки A к плоскости б проведены перпендикуляр AB и наклонные AC и AD равной длины, проекции которых образуют между собой прямой угол. Найдите длины наклонных AC и AD, если расстояние CD=2cм, AB=4см.

3. Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно 4см. Найдите расстояние от точки B₁ до прямой AC.

4. Отрезок AB не пересекает плоскость б. Расстояние от концов отрезка AB до плоскости б равны соответственно 6 и 10 см. Найдите расстояние от середины отрезка AB до плоскости б.

5. Если две плоскости перпендикулярны, то а) любая прямая одной плоскости перпендикулярна любой прямой другой плоскости; б) прямая в одной плоскости, перпендикулярная линии пересечения плоскостей, перпендикулярна второй плоскости;

в) любая прямая одной плоскости перпендикулярна какой - либо прямой другой плоскости. Выберите правильные утверждения.

Ответы

1.а); б); 2. 3; 3. 2; 4. 8см; 5. б); в).

Улучшите свои знания

1. Определение

Прямая называется перпендикулярной плоскости, если прямая перпендикулярна каждой прямой, лежащей в плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Пример

Покажем, что в кубе ABCDA₁B₁C₁D₁(рис.16) прямая AB перпендикулярна плоскости грани BC B₁C₁.

Прямая AB перпендикулярна BC, так как грань ABCD - квадрат,

прямая AB перпендикулярна B₁B, так как грань BB₁C₁C - квадрат, значит, прямая AB перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости грани BC B₁C₁. Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая AB перпендикулярна плоскости грани BC B₁C₁.

2. Определение

Перпендикуляром, проведенным из точки (A) к плоскости (б) называется отрезок прямой (a) , перпендикулярной плоскости и проходящей через эту точку, до точки (B) пересечения прямой с плоскостью (рис.17).

Если AB - перпендикуляр к плоскости б (рис.18), а точка С - произвольная точка этой плоскости, то отрезок AC называется наклонной к этой плоскости. Отрезок BC - проекция наклонной на плоскость

Теорема

Если из одной точки, взятой вне плоскости, проведены к этой плоскости перпендикуляр и наклонные, то:

а) перпендикуляр короче наклонных;

б) равные наклонные имеют равные проекции;

в) из двух наклонных та больше, проекция которой больше.

Пример

Из точки A к плоскости б проведены перпендикуляр AB и наклонные AC и AD равной длины, проекции которых образуют между собой прямой угол. Найдите длины наклонных AC и AD, если расстояние CD=2cм, AB=4см.

Решение

На рисунке 19 треугольник CBD равнобедренный, так как отрезки CB и BD - проекции равных наклонных AC и AD. По условию треугольник CBD прямоугольный. Тогда CB =CDsin45є=cм.

Из прямоугольного треугольника ABC найдем гипотенузу по катетам AB и BC. AC = (cм).

3. Теорема о трех перпендикулярах

Если прямая (a), лежащая в плоскости (б), перпендикулярна проекции (NK) некоторой наклонной (MN) к плоскости (б), то она перпендикулярна и самой наклонной( рис.20).

Обратная теорема

Если прямая (a), лежащая в плоскости (б), перпендикулярна наклонной(MN) к плоскости (б), то она перпендикулярна и проекции (NK) наклонной на эту плоскость.

Пример

Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно 4см. Найдите расстояние от точки B₁ до прямой AC.

Решение

На рисунке 21 диагонали грани ABCD куба ABCDA₁B₁C₁D₁ пересекаются в точке O. Так как грань ABCD- квадрат, то его диагонали перпендикулярны, т.е. ACOB. Отрезок OB - проекция наклонной B₁O на плоскость ABC.Тогда

по теореме о трех перпендикулярах AC B₁O. Значит, расстояние от точки B₁ до прямой AC - это длина отрезка B₁O.

Длину этого отрезка найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника B₁BO.

B₁O = . BB₁= 4см, BO = 2cм,

B₁O = =(см)



Ответ 2см

4. Теоремы о связи между параллельностью и перпендикулярностью

а) Две прямые (a и b), перпендикулярные одной плоскости (б), параллельны (рис. 22)

б) Если одна (a) из двух (a и b) параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и вторая (b) прямая перпендикулярна этой же плоскости.

Пример

Отрезок AB не пересекает плоскость б . Расстояние от концов отрезка AB до плоскости б равны соответственно 6 и 10 см. Найдите расстояние от середины отрезка AB до плоскости б .

Решение

На рисунке 23 отрезки AC и BD перпендикулярны плоскости б. AC=6см, BD= 10см. Так как прямые AC и BD перпендикулярны плоскости б.,то AC РРBD. Проведем через AC и BD плоскость в, которая пересекает плоскость б по прямой CD.Тогда четырехугольник ACDB - трапеция. Проведем среднюю линию трапеции MN, по свойству средней линии она параллельна основаниям трапеции, а по теореме б) отрезок MN перпендикулярен плоскости б, значит, MN-искомый отрезок. Его длина равна полусумме длин отрезков AC и BD, как длина средней линии трапеции MN = 8см.

Ответ: 8см

5. Перпендикулярность плоскостей

Определение

Две плоскости называются взаимно перпендикулярными, если угол между ними равен 90є

Признак перпендикулярности плоскостей

Если плоскость(б) проходит через перпендикуляр(a) к другой плоскости (в), то такие две плоскости будут перпендикулярны (рис. 24).

Обратная теорема

Если две плоскости перпендикулярны и в одной из них, проведена прямая, перпендикулярная к их линии пересечения, то эта прямая перпендикулярна второй плоскости.

Пример 1

Докажите, что в кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскость грани ABCD перпендикулярна плоскости грани A₁ABB₁.

Доказательство

Заметим, что плоскость грани ABCD(рис.16) проходит через прямую BC, перпендикулярную плоскости грани A₁ABB₁(BC B₁B и BC AB, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости BC B₁BA).

Тогда по признаку перпендикулярности двух плоскостей плоскость грани ABCD перпендикулярна плоскости грани A₁ABB₁, что и требовалось доказать.

Пример 2

Если две плоскости перпендикулярны, то

а) любая прямая одной плоскости перпендикулярна любой прямой другой плоскости; б) прямая в одной плоскости, перпендикулярная линии пересечения плоскостей, перпендикулярна второй плоскости;

в) любая прямая одной плоскости перпендикулярна какой-либо прямой другой плоскости. Выберите правильные утверждения.

а) это утверждение неверно, например, что в кубе ABCDA₁B₁C₁D₁(рис16) плоскость грани ABCD перпендикулярна плоскости грани A₁ABB₁, но прямая BD грани ABCD не перпендикулярна прямой A₁B грани A₁ABB₁.

б) это утверждение верно по обратной теореме.

в) это утверждение верно, так как прямая в одной плоскости, перпендикулярная линии пересечения плоскостей, перпендикулярна второй плоскости, а значит, любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Наиболее часто встречающиеся ошибки

Проверь, не делаешь ли ты так

1. Сторона AB правильного треугольника ABC лежит в плоскости б (рис. 25) Тогда высота CD этого треугольника перпендикулярна плоскости б.

Это утверждение неверно, так как для того, чтобы прямая была перпендикулярна плоскости, необходимо и достаточно, чтобы она была перпендикулярна двум пресекающимся прямым этой плоскости. Прямая CD перпендикулярна только одной прямой (AB) плоскости б, значит, она не перпендикулярна плоскости б.

2. Сторона AB правильного треугольника ABC лежит в плоскости б, а плоскость ABC и плоскость б перпендикулярны (рис.26). Тогда сторона AC этого треугольника перпендикулярна плоскости б.

Это утверждение неверно, так как для того, чтобы прямая, лежащая в одной из перпендикулярных плоскостей, была перпендикулярна другой плоскости, необходимо и достаточно, чтобы она была перпендикулярна к линии их пересечения. Прямая AC, лежащая в плоскости ABC, не перпендикулярна к прямой AB.

Контрольный тест

1. Верно ли утверждение, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна лежащим в этой плоскости: а) двум сторонам треугольника; б) двум сторонам трапеции; в) двум диаметрам круга?

2. Могут ли быть перпендикулярными к одной плоскости две стороны: а) треугольника; б) трапеции; в) диагонали шестиугольника?

3. Из першины прямого угла прямоугольного треугольника с катетами a и b проведен перпендикуляр к плоскости треугольника. Длина перпендикуляра равна h. Найдите расстояние от его конца, не лежащего в плоскости треугольника до гипотенузы.

4. Докажите, что в кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскость грани ABCD перпендикулярна плоскости ACC₁A₁.



Тема 4. Углы между прямыми и плоскостями

Проверочный тест

1. В правильном тетраэдре ABCD определите угол между прямой AD и прямой, содержащей медиану CM треугольника ACB

2. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между диагональю DB₁ и плоскостью ABC

3. В правильном тетраэдре ABCD определите угол между гранями ABC и ABD.

Ответы

1. arccos2. arctg; 3. arccos1/3.

Улучшите свои знания

1.Определения

а) Угол между пересекающимися прямыми (a) и (b) равен величине вертикальных не тупых углов (б), образованных этими прямыми (рис. 27).

б) Угол между скрещивающимися прямыми (m и n) равен углу между параллельными им пересекающимися прямыми (m₁ и n₁) (рис. 28).

Пример

В правильном тетраэдре ABCD определите угол между прямой AD и прямой, содержащей медиану CM треугольника ACB.

Решение

На рис. 29 медиана CM треугольника ACB и ребро AD лежат на скрещивающихся прямых. В плоскости ADB проведем через точку M прямую, параллельную AD до пересечения с ребром DB в точке K. Тогда угол между прямой AD и прямой, содержащей медиану CM треугольника ACB равен углу CMK.

Точка K - cередина отрезка DB. Тогда KM= 0,5a, где a- ребро тераэдра. CK=CM=a. В равнобедренном треугольнике CKM (рис.30) СH - высота, тогда cos< CMK = MH:CM= < CMK = arccos

2. Определение

Углом (ц) между прямой (AB) и плоскостью(б), не перпендикулярной данной плоскости, называется угол между прямой и ее проекцией( BC) на данную плоскость.