Теорема

Угол между прямой и плоскостью наименьший из всех углов, образованных данной прямой с прямыми, лежащими в плоскости.

Пример

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между диагональю DB₁ и плоскостью ABC

Решение

На рис. 32 в кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ угол между прямой DB₁ и плоскостью ABC - это угол между ее проекцией DB на плоскость ABC и этой прямой, т.е. это угол B₁DB. Обозначим длину ребра куба через a. Тогда диагональ BD куба равна a. Из прямоугольного треугольника ABC найдем тангенс угла B₁DB, tg< B₁DB = a:a =;< B₁DB = arctg.

Ответ: arctg

3. Определения

а) Двугранным углом (бaв) называется фигура, образованная двумя полуплоскостями (бв), с общей границей(a), не принадлежащими одной плоскости (рис. 33).

Плоскости (б и в), образующие двугранный угол, называются гранями.

Общая граница двух полуплоскостей(a) называется ребром двугранного угла.

б) Линейным углом (BAC) двугранного угла (бaв) называется угол, образованный лучами (AB и AC) с общим началом (A) на ребре (a) двугранного угла, проведенными перпендикулярно ребру (AB+a, AC+a) в каждой грани (AB в грани б, AC в грани в),

в) Углом между пересекающимися плоскостями называется величина наименьшего из двугранных углов, образованных этими плоскостями.

Пример

В правильном тетраэдре ABCD определите угол между гранями ABC и ABD.

Решение

На рис.35 в тетраэдре ABCD построен линейный угол двугранного угла с ребром AB. В грани ABC DMAB в грани ABD CM AB. Тогда величина угла между гранями ABC и ABD равна величине линейного угла DMC.

Этот угол найдем из треугольника DMC по теореме косинусов.

Обозначим ребро тетраэдра ABCD через a. Тогда CM= DM=a, a² = 3/4 a²+ 3/4 a² - 2•3/4 a²cos<DMC, откуда cos<DMC= <DMC=arccos 1/3

Ответ: угол между гранями ABC и ABD равен arccos 1/3

Наиболее часто встречающиеся ошибки

Проверь, не делаешь ли ты так

В правильном тетраэдре ABCD (рис. 29) определите угол между боковым ребром AD и плоскостью основания ABC.

Угол DAC - это неправильное решение.

Правильно будет: чтобы найти угол между прямой и плоскостью, надо построить проекцию прямой на эту плоскость. На рис. 36 - эта проекция есть отрезок AO (DOABC). Тогда угол между прямой AD и плоскостью ABC - это угол DAO. Из прямоугольного треугольника ABC получим cos< DAO= AO:AD. Обозначим ребро тетраэдра a, тогда AO =a, cos< DAO= , < DAO= arccos. Ответ: угол между боковым ребром AD и плоскостью основания ABC равен arccos.

Контрольный тест

1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между прямыми AB₁ и BC₁

2. Из точки O, находящейся на расстоянии 3см от плоскости б, проведены к этой плоскости две наклонные, OA и OB под углом 60є к ней. Угол между проекциями этих наклонных на плоскость б равен 120є. Найдите длину отрезка AB.

3. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между плоскостями AD₁C и ABC.

Тема 5 Многогранные углы

Проверочный тест

1. Существует ли многогранный угол, имеющий плоские углы 80є, 130є, 70є, 100є?

2. Существует ли трехгранный угол с плоскими углами 30є, 70є, 100є?

3. В трехгранном угле SABC два плоских угла ASB и ASC равны по 60є, а третий BSC угол равен 90є. AS= 4см. Найдите расстояние от точки A до плоскости BSC.

Ответы

1. Не существует. 2. Не существует. 3. см.

Улучшите свои знания

1. Определения

Фигура, образованная всеми лучами (SA, SB, SC), имеющими общее начало (точка S) и пересекающими некоторый многоугольник (ABC), называется многогранным углом SABC (рис.35.)

Общее начало всех лучей (точка S) называется вершиной многогранного угла.

Лучи SA, SB, SC называются ребрами многогранного угла.

Углы ASB, BSC, CSD называются плоскими углами многогранного угла или его гранями.

Каждые две грани, имеющие общее ребро (например, грани BSC и CSD имеют общее ребро SC), определяют двугранный угол многогранного угла.

Если многоугольник ABCD является выпуклым, то и многогранный угол SABC является выпуклым.

Теорема (Свойство плоских углов многогранного угла) Сумма величин всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360є.

Пример

Существует ли многогранный угол, имеющий плоские углы 80є, 130є, 70є, 100є?

Решение

Так как сумма 80є+130є+70є+100є =380є>360є, то по свойству плоских углов многогранного угла такого многогранного угла не существует.

2. Определения

Многогранный угол, имеющий три плоских угла, называется трехгранным

Теорема (Свойство плоских углов трехгранного угла)

Величина каждого плоского угла трехгранного угла меньше суммы величин двух других плоских углов.

Пример

Существует ли трехгранный угол, имеющий плоские углы 30є, 70є, 100є?

Решение

Так как сумма 30є+70є=100є, то по свойству плоских углов трехгранного угла такого трехгранного угла не существует

3. Свойство трехгранного угла

Если два плоских угла трехгранного угла равны, то их общее ребро проектируется на биссектрису третьего плоского угла.

Пример

В трехгранном угле SABC два плоских угла ASB и ASC равны по 60є, а третий BSC угол равен 90є. AS= 4см. Найдите расстояние от точки A до плоскости BSC.

Решение

На рис.36 AK BSC. Нужно найти расстояние AK. В плоскости BSC проведем KL BS и KPCS.

По теореме о трех перпендикулярах получим AL BS и APCS.

Из прямоугольного треугольника ASL с углом ASL, равным 60є находим: SL = 2cм. По свойству трехгранного угла с двумя равными плоскими углами точка A проектируется на биссектрису плоского угла BSC, т.е. SK - биссектриса угла BSC. Тогда из прямоугольного равнобедренного треугольника SBC найдем SC. SC = 2см. В прямоугольном треугольнике ASK по теореме Пифагора находим: AK =(см).

Ответ: см.

Наиболее часто встречающиеся ошибки

Проверь, не делаешь ли ты так

В трехгранном угле SABC два плоских угла ASB и ASC равны по 60є, а третий BSC угол равен 120є AS= 4см. Найдите расстояние от точки A до плоскости BSC.

Любой числовой ответ в этой задаче является не верным, так как такого трехгранного угла существует.

Действительно, по свойству трехгранного угла ASB + ASC > BSC, а по условию задачи 60є+ 60є = 120є, значит, трехгранного угла с такими условиями не существует.

Правильный ответ: расстояние найти нельзя.

Контрольный тест

1. Существует ли многогранный угол, имеющий плоские углы 85є, 136є, 60є, 110є?

2. Существует ли трехгранный угол с плоскими углами 40є, 75є, 104є?

3. В трехгранном угле два плоских угла равны по 60є, а третий угол равен 90є. Найдите двугранный угол, образованный равными плоскими углами.

Тема 6. Многогранники. Призма

Проверочный тест

1. Является ли призма правильной, если все ее ребра равны?

2. Высота правильной треугольной призмы равна 6см. Сторона основания равна 4см. Найдите площадь полной поверхности этой призмы.

3. Основание призмы правильный треугольник со стороной 4cм. Высота призмы равна 6см. Найдите объем призмы.

Ответы

1. Не является; 2. 8+72см² .3.24см³.

Улучшите свои знания

1. Определения

а) Многогранником называется ограниченное тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников

Многоугольники, из которых состоит поверхность многогранника, называются гранями многогранника.

Общие стороны двух граней называются ребрами многогранника.

Вершины граней называются вершинами многогранника.

б) Призмой (ABCD A₁B₁C₁D₁) называется многогранник, две грани которого ABCD и A₁B₁C₁D₁ n-угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные грани (АA₁BB₁) - параллелограммы (рис.37).

Многоугольники (ABCD и A₁B₁C₁D₁), лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями призмы.

Грани - параллелограммы называются боковыми гранями Отрезок перпендикуляра (HH₁) к основанию призмы, заключенный между основаниями, называется высотой призмы.

Призма (ABCD A₁B₁C₁D₁) называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям (рис. 38).

Если боковые грани не перпендикулярны основаниям, то призма называется наклонной (рис 37).

Призма называется правильной, если она прямая, а основания призмы - правильные многоугольники.

Пример

Является ли призма правильной, если все ее ребра равны?

Ответ

Правильная призма - это прямая призма, основания которой - правильные многоугольники, поэтому если все ребра призмы равны, то призма не является правильной. Например, призма, у которой основания ромбы, а боковые ребра равны сторонам этих ромбов не является правильной.

2. Определение

Площадью поверхности многогранника называется сумма площадей всех граней многогранника.

Площадь боковой поверхности призмы - это сумма площадей боковых граней призмы

Теорема

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания и высоты призмы, S_{бок.пов} = P_осн.H.

Площадь полной поверхности призмы равна сумме площадей основания призмы и ее боковой поверхности, S_{полн.пов.} = S_осн.+ P_осн.H.

Пример

Высота правильной треугольной призмы равна 6см.

Сторона основания равна 4см. Найдите площадь полной поверхности этой призмы.

Решение

Так как площадь полной поверхности призмы равна сумме площадей основания призмы и ее боковой поверхности, то вычислим площадь оснований и площадь боковой поверхности призмы.

Так как основания призмы правильный треугольник, то

S_осн. =4²/4=4(см²).

Так как призма прямая, то

S_{бок.пов.}= P_осн.H = 12•6 см².

S_{полн.пов.}= 4+72 см².

Ответ: 4+72 см².

3. Теорема

Объем призмы равен произведению площади ее основания и высоты, V_.=S_осн H.

Пример

Основание призмы правильный треугольник со стороной 4cм. Высота призмы равна 6см. Найдите объем призмы.

Решение

Так как объем призмы равен произведению площади ее основания и высоты, то вычислим площадь основания призмы

S_осн. =4²/4= 4см². Тогда V_пр.= S_осн.H, V_пр.= 4•6 = 24(см³).

Ответ: 24см³

Наиболее часто встречающиеся ошибки

Проверь, не делаешь ли ты так

Является ли призма правильной, если:

а) основания призмы правильный многоугольник; б) боковые ребра призмы перпендикулярны основанию; в) все ребра призмы равны? Выберите правильный ответ.

Ответ

Среди приведенных вариантов правильного ответа нет.

а) основания призмы могут быть правильными, а боковые ребра не перпендикулярны основаниям; б) боковые ребра призмы могут быть перпендикулярными основаниям, а основания - неправильные многоугольники; в) наклонная призма, у которой основания правильные треугольники, а боковые ребра равны сторонам оснований не является правильной.

Контрольный тест

1. Основанием треугольной призмы является равнобедренный прямоугольный треугольник. С гипотенузой 4см. Две грани призмы - равные квадраты. Найдите полную поверхность призмы.

2. Площади двух боковых граней наклонной треугольной призмы равны 40см² и 30см². Угол между этими гранями прямой. Найдите площадь боковой поверхности этой призмы.

3. Основание наклонной треугольной призмы - правильный треугольник со стороной 6см. Одна из вершин верхнего основания проектируется в точку пересечения медиан нижнего. Боковое ребро призмы равно 4см.

Найдите объем пирамиды.

Тема 7 Параллелепипед

Проверочный тест

1. Может ли основание наклонного параллелепипеда быть прямоугольником?

2. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если три его ребра имеют длины 5, 7 и 9 см.

3. Найдите диагонали прямого параллелепипеда, если стороны его основания равны 2 и 5 см, угол между ними 60є, а высота параллелепипеда равна 6см.

4. В наклонном параллелепипеде одна из вершин верхнего основания проектируется в центр нижнего, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45є. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если в основании параллелепипеда - квадрат со стороной 6см.

Ответы

1. да; 2. см; 3. 4.108 см³.

Улучшите свои знания

1. Определения

а) Параллелепипедом называется призма, основание которой - параллелограмм (рис. 39).

В параллелепипеде шесть граней и все они параллелограммы.

б) Прямым параллелепипедом называется параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны плоскости основания (рис.40).

в) Прямоугольным параллелепипедом называется прямой параллелепипед, основанием которого служит прямоугольник.

Три неравных ребра прямоугольного параллелепипеда (a,b,c) называются его измерениями (рис.41).

Пример

Может ли основание наклонного параллелепипеда быть прямоугольником?

Ответ

Основание наклонного параллелепипеда может быть прямоугольником.

Для построения такого параллелепипеда построим прямоугольник и из каждой его вершины проведем к плоскости прямоугольника равные и параллельные отрезки наклонных. Концы построенных отрезков соединим. Получим второе основание параллелепипеда.

2. Теорема

Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений: d² = a²+ b²+c²,

Пример

Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если три его ребра имеют длины 5, 7 и 9 см.

Решение

По теореме 2 d² = a²+ b²+c², d² = 5²+ 7²+9² =155, d = см.

Ответ: см.

3. Теорема

Диагонали параллелепипеда точкой пересечения делятся пополам (рис. 42).

В прямом параллелепипеде четыре попарно равных диагонали.

Пример

Найдите диагонали прямого параллелепипеда, если стороны его основания равны 2 и 5 см, угол между ними 60є, а высота параллелепипеда равна 6 см.

Решение

В параллелепипеде ABCD A₁B₁C₁D₁ стороны основания AB и BC равны 2 и 5см соответственно, угол ABC равен 60є (рис.43). Найдем длины диагоналей параллелограмма ABCD.

Из треугольника ABC по теореме косинусов найдем длину диагонали AC.

AC² =AB² + BC² -2AB•BCcos< ABC, AC² =2² + 5² -2•2•5cos60є = 19.

Из треугольника ABD по теореме косинусов найдем длину диагонали BD.

BD² =AD² + BA² -2AB•ADcos< DAB, BD² =2² + 5² -2•2•5cos120є = 39.

Так как параллелепипед прямой, то его боковое ребро равно высоте. Тогда из прямоугольных треугольников CC₁A и BB₁D найдем длины диагоналей AC₁ и DB₁.

AC₁² = AC² + CC ₁² = 19+36 =55, AC₁= см.

DB₁² = DB² + AA ₁² = 39+36 =75, AC₁=5см.

Ответ: .

4. Теоремы

а) Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений: V = abc.

б) Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда S_п.п. с измерениями a, b, c равна 2 (ab+bc+ac)

в) Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда равна произведению периметра его основания и высоты, S_б.п.= P_осн.Н.

Объем наклонного параллелепипеда и площадь его поверхности находится так же как объем и площадь поверхности наклонной призмы.

Пример

В наклонном параллелепипеде одна из вершин верхнего основания проектируется в центр нижнего, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45є. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если в основании параллелепипеда - квадрат со стороной 6 см.

Решение

В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона основания AB равна 6см, высота - A₁O, угол A₁AO равен 45є (рис.44).

Площадь основания параллелепипеда равна площади квадрата со стороной a, т.е. 36 см².

В треугольнике A₁AO угол A₁OA равен 90є, угол A₁AO равен 45є, значит угол OA₁A равен 45є. Тогда треугольник A ₁AO прямоугольный равнобедренный и его катет AO равен высоте A₁O. Катет AO равен половине диагонали AC квадрата ABCD и равен 3см.

Тогда объем параллелепипеда ABCD A₁B₁C₁D₁ равен произведению площади его основания и высоты, т.е. 108см³.

Ответ:108см³.

Наиболее часто встречающиеся ошибки

Проверь, не делаешь ли ты так

Параллелепипед будет прямоугольным, если

а) в основании параллелепипеда - прямоугольник;

б) все грани параллелепипеда прямоугольники;

в) три различные грани параллелепипеда прямоугольники;

г) три грани параллелепипеда прямоугольники;

Выберите верные ответы.

а) Если в основании параллелепипеда - прямоугольник, то боковые ребра могут быть не перпендикулярны основаниям, значит параллелепипед не прямой, а значит и не прямоугольный.

б) если все грани параллелепипеда прямоугольники, то такой параллелепипед прямоугольный, так как боковые ребра параллелепипеда перпендикулярны основанию.

в) если три различные грани параллелепипеда прямоугольники, то и остальные три грани - прямоугольники, т.е. параллелепипед прямоугольный.

г) если три грани параллелепипеда прямоугольники, то две из них могут быть противоположными гранями и найдется грань, не являющаяся прямоугольником.

Верные ответы б) и в).

Контрольный тест

1. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ проведены сечения A₁BC и CB₁D₁. В каком отношении эти плоскости делят диагональ AC₁.

2. Верно ли, что если все диагонали параллелепипеда равны, то такой параллелепипед прямоугольный?

3. Могут ли две боковые грани наклонного параллелепипеда быть перпендикулярными плоскости основания?

Тема 8. Пирамида

Проверочный тест

1. Основание пирамиды ромб с острым углом 60є и стороной 6 см. Найдите высоту пирамиды, если она проектируется в точку пересечения диагоналей ромба, а большее боковое ребро пирамиды равно 9 см.

2. Может ли правильный многоугольник быть основанием неправильной пирамиды?

3. Найдите объем правильной треугольной пирамиды со стороной основания 12 см и боковым ребром 8см.

4. Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 2 и 8 см. Высота пирамиды 4 см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды.

Ответы

1. 3cм; 2. может. 3. 48см³; 4. 100см².

1. Определения

Пирамидой (SABCD…) называется многограник, у которого одна грань (ABCD) - какой-нибудь многоугольник, а остальные грани (SAB, SBC, SCD) - треугольники с общей вершиной (S) (рис. 45)

Боковыми гранями пирамиды называются треугольники с общей вершиной (?SAB, ?SBC, ?SCD)

Вершина пирамиды (S) - общая вершина боковых граней.

Основание пирамиды - многоугольник (ABCD)

Боковыми ребрами пирамиды называются ребра, идущие из вершины (SA, SB, SC)

Высота пирамиды - перпендикуляр, проведенный из вершины к основанию (SO)

Тетраэдр - треугольная пирамида (рис. 46)

Пример

Основание пирамиды ромб с острым углом 60є и стороной 6 см. Найдите высоту пирамиды, если она проектируется в точку пересечения диагоналей ромба, а большее боковое ребро пирамиды равно 9 см.

Решение

На рис 47. SABCD - пирамида, ABCD - ее основание, AB = 6cм, <DAB=60є, SO - высота, SA- большее боковое ребро пирамиды, SA =9см.

Так как основание ABCD ромб с острым углом 60є, то треугольник ABD - правильный, AC - большая диагональ ромба, поэтому SA- большее боковое ребро пирамиды. Из треугольника ABD найдем его высоту AO.

AO = 0,5a как высота правильного треугольника со стороной a.Так как сторона треугольника ABD равна 6см, то:

AO = 0,5•6=3cм.

Из прямоугольного треугольника ASO найдем высоту SO. SO²=AS²-AO²= 81-27=54; SO = 3cм.

Ответ: 3cм.

2. Определения

Правильной пирамидой называется пирамида, в основании которой правильный многоугольник, а высота проектируется в центр основания.

Апофемой называется высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная к стороне основания (рис.48).

Теорема

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению полупериметра ее основания и апофемы S_{бок.пир.}= рh.

Свойства

Боковые ребра правильной пирамиды равны.

Боковые грани правильной пирамиды - равные равнобедренные треугольники.

Пример

Может ли правильный многоугольник быть основанием неправильной пирамиды?

Решение

Так как правильной пирамидой называется пирамида, в основании которой правильный многоугольник, а высота проектируется в центр основания, то рассмотрим пирамиду, в основании которой какой- либо правильный многоугольник (например, квадрат) а высота проектируется не в его центр, например, в вершину( рис.49). Такая пирамида - неправильная.

Ответ: существует

3. Теоремы

а) Объем пирамиды равен произведению одной третьей площади основания и высоты:V=1/3S_осн.H.

б) S_{бок.пов}= S₁+S₂+…+S_n, где S₁,S₂, …,S_n - площади боковых граней пирамиды. S_{пол.пов.} =S_{бок.пов}+S_осн.

Пример

Найдите объем правильной треугольной пирамиды со стороной основания 12см и боковым ребром 8см.

Решение

В правильной пирамиде SABC сторона основания AB=12cм, боковое ребро SA= 8cм (рис.50). Найдем высоту пирамиды.

В прямоугольном треугольнике SAO известна гипотенуза SA, катет AO найдем из правильного треугольника ABC. AO= a=4cм. Тогда по теореме Пифагора SO² = SA²-AO² = 64-48=16, SO = 4cм. По формуле определения объема пирамиды будем иметь:

V=1/3S_осн.H.

S_осн.= ( площадь правильного треугольника).

S_осн.= V=1/3S_осн.H= 1/3•36•4=48см³

Ответ: 48см³

4. Определения

Усеченной пирамидой называется часть пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию (рис. 51).

Основания усеченной пирамиды - грани, лежащие в параллельных плоскостях (ABC…и A₁B₁B₁…).

Правильная усеченная пирамида - часть правильной пирамиды.

Свойства

Основания усеченной пирамиды подобные треугольники.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров ее оснований и апофемы:

S_{бок.пов.}=(p₁+p₂)h.

Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле

V_ус.пир.= 1/3H( S₁+S₂+),

где S₁и S₂ площади оснований пирамиды,

H - ее высота.

Пример

Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 2 и 8 см. Высота пирамиды 4см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение

Пирамида ABCDA₁B₁C₁D₁ - правильная усеченная (рис.52). AB = 8cм, A₁B₁ 2см, OO₁=4cм. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды вычисляется по формуле:

S_{бок.пов.}=(p₁+p₂)h

Вычислим длину апофемы MN

В прямоугольном треугольнике MNP катет MP =OO₁=4cм, а катет NP =NO₁-PO₁=4cм -1cм=3см. Тогда по теореме Пифагора

MN² = MP²+ PN²,

MN² = 4²+ 3²=25,

MN =5cм

S_{бок.пов .}= (p₁+p₂)h =( 16+4)•5 =100cм².

Ответ: 100cм²

Наиболее часто встречающиеся ошибки

Проверь, не делаешь ли ты так

1. Основанием пирамиды является квадрат. Сколько ее граней могут быть прямоугольными треугольниками?

а) только одна; б) только две; в) одна, две, три или четыре.

Ответы а) и б) неправильные. На рисунке 53 изображены все случаи для ответов в пункте в).

Контрольный тест

1. Две взаимно перпендикулярные грани треугольной пирамиды - правильные треугольники со стороной 8см. Найдите высоту пирамиды.

2. В правильной шестиугольной пирамиде высота равна стороне основания и равна 10 см. Найдите площади диагональных сечений пирамиды.

3. В треугольной пирамиде все двугранные углы при основании равны между собой и равны 60є. Найдите площадь ее боковой проверхности, если в основании пирамиды - прямоугольный треугольник с катетами 6 и 9см.

4. Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 2 и 8 см. Апофема пирамиды 5 см. Вычислите объем этой пирамиды.

Тема 9 Цилиндр

Проверочный тест

1. Площадь осевого сечения цилиндра равна 30см². Площадь основания цилиндра 25рсм^2. Вычислить площадь сечения, параллельного оси и отстоящего от нее на 3см.

2. Диагональ развертки боковой поверхности равна 6см и образует с основанием развертки угол 30є. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

3. Осевое сечение цилиндра - квадрат со стороной 5 см. Вычислите объем цилиндра

Ответы

1. 18см². 2. 18рсм².3. 31,25р cм³

Улучшите свои знания

1. Определения

Цилиндром называется фигура, полученная при вращении прямоугольника вокруг прямой, содержащей его сторону (рис. 54). Прямая СD - ось цилиндра.

Образующей цилиндра называется сторона AB прямоугольника ABCD, при вращении прямоугольника она образует боковую поверхность цилиндра.

Основания цилиндра - это круги, которые образуются от вращения сторон DA и BC прямоугольника ABCD

Полная поверхность цилиндра состоит из двух его оснований и боковой поверхности.

Высота цилиндра - отрезок перпендикуляра к основаниям цилиндра, заключенный между этими основаниями.

Осевое сечение цилиндра - прямоугольник (MNPQ), полученный при пересечении плоскости, проходящей через ось цилиндра перпендикулярно его основаниям.

Сечение, проходящее через две образующие цилиндра (рис. 56), есть Прямоугольник (KFEL). Оно параллельно оси цилиндра.

Сечение, параллельное основаниям цилиндра (рис. 57), есть круг.

Пример

Площадь осевого сечения цилиндра равна 30см². Площадь основания цилиндра 25рсм^2. Вычислить площадь сечения, параллельного оси и отстоящего от нее на 4 см.

Решение

На рис. 58 площадь сечения ABCД равна 30см². OE=3см. Нужно найти площадь сечения MNPQ. По условию площадь основания равна 25рсм², т.е.

25р =р AO², AO²=25, AO=5см, AD=10cм, тогда AB = S_ABCD:AD =3(cм)

Из прямоугольного треугольника OME определим ME. По теореме Пифагора

ME = (см), MQ = 6см.

Тогда площадь прямоугольника MNPQ равна произведению MN и MQ, т.е.S = 6•3=18(cм²).

Ответ: 18 cм²

2. Развертка боковой поверхности цилиндра

есть прямоугольник (рис. 59), длина одной из сторон которого равна высоте цилиндра, а длина другой стороны - длине окружности основания цилиндра.

Площадь боковой поверхности (S_бок.) цилиндра равна 2рRH, где R - радиус основания цилиндра, H- его высота, S_бок.=2рRH.

Площадь полной поверхности цилиндра S_п.п. равна сумме площадей оснований и площади боковой поверхности. S_п.п.= 2рR² +2рRH.

Пример

Диагональ развертки боковой поверхности равна 6см и образует с основанием развертки угол 30є. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Решение

На рис.60 диагональ AC образует со стороной AD угол 60є. S_бок.=2рRH, 2рR - длина окружности основания равна длине AD. Найдем высоту CD из треугольника ACD, CD - катет, лежащий против угла 30є, он равен половине гипотенузе и равен 3 см. Из прямоугольного треугольника ADC найдем CD,

CD = AСcos30є=3см

Тогда

S_бок.=2рRH=2р3?3см²=18рсм²

Ответ: 18рсм²

3. Объем цилиндра (V)

вычисляется по формуле V= , где R - радиус основания цилиндра, H- его высота.

Пример

Осевое сечение цилиндра - квадрат со стороной 5 см. Вычислите объем цилиндра.

Решение

На рис 58. ABCD - осевое сечение цилиндра AB - высота цилиндра, AD - его диаметр.



Объем цилиндра вычисляется по формуле

V= . H=AB=5cм,

R = AD:2= 2,5cм,

V= =р5?6,25= 31,25р (cм³ )

Ответ: 31,25р cм³

Наиболее часто встречающиеся ошибки

Проверь, не делаешь ли ты так

Основание цилиндрической бочки радиусом 0,6м и высотой 1,6 м находится на полу помещения высотой 1,9 м.

Можно ли выкатить бочку из этого помещения?

Ответ «можно» не правильный. Верный ответ: при переворачевании бочки на боковую поверхность диагональ осевого сечения окажется в какой-то момент перпендикулярной плоскости помещения, поэтому высота помещения должна быть не меньше диагонали. Вычислим диагональ (рис.61).

d= >1, 9. Значит, бочку выкатить нельзя.

Контрольный тест

1. Сечением цилиндра, параллельным его оси является прямоугольник со сторонами 12 и 8 см. Найдите радиус основания цилиндра, если сечение удалено от оси цилиндра на расстояние 3см.

2. Площадь осевого сечения цилиндра равна 18 cм². Найдите площадь его боковой поверхности.

3. Развертка цилиндра - прямоугольник с диагональю 16см и углом между диагоналями 60є. Найдите объем цилиндра.



Тема 10. Конус

Проверочный тест

1. Площадь осевого сечения конуса равна 30см². Площадь основания конуса 25рсм². Вычислите площадь сечения, которое проходит через две образующие конуса и пересекает основание конуса по хорде длина которой 6см.

2. Радиус развертки боковой поверхности конуса равен 6см, а угол развертки 120є. Найдите площадь полной поверхности конуса.

3. Осевое сечение конуса - правильный треугольник со стороной 6 см. Вычислите объем конуса.

4. Высота усеченного конуса равна 10cм, радиусы оснований относятся как 1:3, угол между образующей и основанием равен 45є. Найдите площадь поверхности усеченного конуса.

Ответы

1. 6см². 2.60р см².3. 24рсм². 4. р200?2 см².

Улучшите свои знания

1. Определения

Конусом называется фигура, полученная при вращении прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей его катет (рис.62).

Прямая СA - ось конуса.

Вершина конуса - это вершина A треугольника ABC.

Образующей конуса называется сторона AB прямоугольного треугольника

ABC, при вращении прямоугольного треугольника она образует боковую поверхность конуса.

Основания конуса - это круг, который образуется от вращения стороны BC прямоугольного треугольника ABC.

Полная поверхность конуса состоит из его основания и боковой поверхности.

Высота конуса - отрезок перпендикуляра из вершины конуса к плоскости основания.

Осевое сечение конуса - треугольник (MNP), полученный при пересечении плоскости, проходящей через ось конуса перпендикулярно его основанию (рис.63).

Сечение, проходящее через две образующие конуса (рис64.), есть равнобедренный треугольник (MNS).

Сечение, параллельное основанию конуса (рис.65), есть круг.

Пример

Площадь осевого сечения конуса равна 25рсм² . Площадь основания конуса 25рсм². Вычислите площадь сечения, которое проходит через две образующие конуса и пересекает основание конуса по хорде длина которой 6см.

Решение

На рис.64 треугольник SAB - осевое сечение конуса, SMN - сечение, проходящее через две образующие, длина хорды MN равна 6 см. Треугольник SMN - равнобедренный, его основание равно 6см.

Чтобы найти площадь треугольника SMN, найдем его высоту SP. Зная площадь основания конуса, найдем его радиус. рR²=25р, R=5cм. Зная радиус основания конуса и площадь его осевого сечения, найдем его высоту. 30см²=0,5SO•AB, AB=10cм, SO=6cм. Из треугольника MPO по теореме Пифагора найдем отрезок OP.

OP==4cм

Из треугольника MPO по теореме Пифагора найдем отрезок SP.

SP = (cм).



Вычислим площадь треугольника SMN.

S_SMN=0,5•2•6 =•6(см²)

Ответ: 6см².

2. Развертка боковой поверхности конуса есть круговой сектор (рис. 65), радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора - длине окружности основания конуса:

L=ОA, =2рR, .

Площадь боковой поверхности (S_бок.) конуса равна рRL, где R - радиус основания конуса , L - его образующая, S_бок.=рRL.

Площадь полной поверхности конуса S_п.п. равна сумме площадей основания и боковой поверхности

S_п.п.= рR² + рRL=рR(R + L).

Примеры

1. Радиус основания конуса равен 6см, радиус развертки его боковой поверхности равен 10см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Решение.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле, S_бок.=рRL.

Так как радиус развертки боковой поверхности конуса равен образующей конуса, то L=10cм, тогда вычислим площадь боковой поверхности конуса:



S_бок.= рRL= р6•10=60р (см²).

Ответ: 60р см².

2. Радиус развертки боковой поверхности конуса равен 6см, а угол развертки 120є. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Решение

Так как площадь боковой поверхности конуса равна площади развертки его боковой поверхности, то найдем площадь развертки. Так как развертка конуса - это круговой сектор, а площадь сектора радиуса R и центральным углом nє вычисляется по формуле

S_сек.= =24р(см²). Значит,

S_бок.= 24рсм².

Ответ: 24рсм².

3. Объем конуса (V)

вычисляется по формуле V= , где R - радиус основания конуса, H- его высота.

Пример

Осевое сечение конуса - правильный треугольник со стороной 6 см. Вычислите объем конуса.

Решение

На рис.63 треугольник SAB - осевое сечение конуса. Радиус основания конуса равен половине стороны AB, R=3см. Высота конуса равна высоте правильного треугольника SAB. Высота правильного треугольника вычисляется по формуле: h=, где a - сторона правильного треугольника. Тогда SO = см. Вычислим теперь объем конуса:

V= = (см³).

Ответ: 9см³.

4. Усеченным конусом называется часть конуса, заключенная между основанием и плоскостью, параллельной основанию.

AA₁- образующая, OO₁- высота, круги с центрами O и O₁, радиусами R и r- основания.

Боковая поверхность усеченного конуса вычисляется по формуле:

S_бок.= рL(R+r),

где L- образующая усеченного конуса, Rи r - радиусы оснований конуса.

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:

V = ,

где R и r - радиусы оснований конуса, H - высота конуса.

Пример

Высота усеченного конуса равна 10cм, радиусы оснований относятся как 1:3, угол между образующей и основанием равен 45є. Найдите площадь поверхности усеченного конуса.

Решение

Высота OO₁ усеченного конуса равна отрезку BK. Угол между плоскостью нижнего основания конуса и образующий - это угол между образующей и ее проекцией на плоскость основания, т. е. <BAK = 45є.Тогда треугольник BAK прямоугольный и равнобедренный, значит AK= BK = 10cм, а AB= 10v2cм. BK= AO₁-BO = 3-1 = 2 (части), тогда B0=5см, AO₁=15см.

По формуле площади поверхности усеченного конуса вычислим его боговую поверхность:

S= р10?2 (15+5) = р200?2 (cм²).

Ответ: р200?2 см².

Наиболее часто встречающиеся ошибки

Проверь, не делаешь ли ты так

Угол в развертке боковой поверхности поверхности конуса равен 90є. Найдите радиус основания конуса, если образующая конуса равна 12см.

Ответ 6 см - неправильный. Правильное решение: так как , то =4, отсюда находим: R= 3см - правильный ответ.

Контрольный тест

1. Сечение конуса, параллельное его основанию отстоит от основания конуса на расстояние 6см и имеет радиус равный 4 см. Найдите высоту конуса, если радиус основания равен 5см.

2. Объем конуса равен 288рсм³. Вычислите площадь осевого сечения конуса, если длина окружности основания основания равна 12рсм.

3.Найдите углы осевого сечения конуса, если радиус развертки боковой поверхности конуса равен 8см, а радиус основания конуса равен 4см.

Тема 11. Шар

Проверочный тест

1. Радиус сечения шара плоскостью равен 6cм. Найдите его расстояние от центра, если радиус шара равен 10см.

2. Плоскость, касательная к к сфере образует с сечением шара, проходящем через точку касания угол 60є. Найдите длину окружности сечения, если радиус шара равен 6 см.

3. Площадь поверхности шара равна 16р см². Найдите объем шара.

Ответы

1. 8см.2. 6v3р cм. 3. 32/3р см³.

Улучшите свои знания

1. Определения

Сферой называется множество всех точек пространства, находящихся на положительном расстоянии R от данной точки.

Центр сферы - данная точка O, отрезок OM - радиус сферы.

Шаром называется множество всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не больше положительного R от данной точки или

шар - это часть пространства, ограниченная сферой.

Шар можно получить при вращении полукруга вокруг оси, которая содержит диаметр полукруга.

Теорема

Сечением шара плоскостью является: круг, если расстояние от центра шара до плоскости меньше радиуса сферы.

1. точка, если это расстояние равно радиусу сферы.

Пример

Радиус сечения шара плоскостью равен 6 cм. Найдите его расстояние от центра, если радиус шара равен 10 см.

Решение

На рис.69 точка P - центр сечения, MP - его радиус, OP - расстояние от центра шара до плоскости сечения. Это расстояние найдем из прямоугольного треугольника OPM по теореме Пифагора.

OP =.

Ответ: 8 см



2. Определения

Касательной плоскостью к шару называется плоскость, имеющая со сферой единственную общую точку (рис.70).

Теорема

Касательная плоскость перпендикулярна радиусу в конце его, лежащем на сфере.

Пример

1. Плоскость, касательная к к сфере образует с сечением шара, проходящем через точку касания угол 60є. Найдите длину окружности сечения, если радиус шара равен 6 см.

Решение

На рис.71 плоскость б касается шара в точке M. OM - радиус шара.

Сечение шара с центром P образует с плоскостью угол 60є. Это угол MOP (угол между плоскостями равен углу между перпендикулярами к этим плоскостям).

Из прямоугольного треугольника OPM найдем отрезок PM - радиус сечения.

PM = OM sin60є. PM = 6•v3/2=3•v3(cм). Длину окружности сечения найдем по формуле:

C= 2рR=2?3??3= 6?3р (cм).

Ответ: 6v3р cм.

2. Три точки A, B и C лежат на поверхности шара радиуса 20 cм. Найдите расстояние от центра шара до плоскости треугольника ABC, если расстояния между точками равны 16, 34 и 30 см.

Решение

На рис.72 точки A, B, C лежат на поверхности шара. Если расстояние от центра шара до этой плоскости меньше радиуса шара, то сечение шара плоскостью есть круг в который вписан треугольник ABC. Так как треугольник ABC прямоугольный, то центр описанной около него окружности - середина гипотенузы точка M, а радиус этой окружности равен 17см. Значит, радиус сечения равен 17см. Соединим центры шара и сечения. Отрезок OM - это расстояние от центра шара до плоскости сечения. Найдем его из прямоугольного треугольника OMA.

OM= см.

Ответ:см.

2. Теоремы

а) Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле:

S= 4рR², где R - радиус сферы.

б) Объем шара вычисляется по формуле V=4/3рR³, где R - радиус сферы.

Пример

Площадь поверхности шара равна 16р см². Найдите объем шара.

Решение

Из формулы площади поверхности сферы найдем радиус сферы:

4рR²=16 р, R²=4, R= 2cм.

Объем шара вычислим по формуле

V=4/3рR³, V=4/3р2³= 32/3р см³.

Ответ: 32/3р см³.

Наиболее часто встречающиеся ошибки

Проверь, не делаешь ли ты так

Сравните сумму объемов двух шаров радиуса 2 см с объемом шара радиуса 4 см.

Ответ: «объемы равны» неверный.

Правильное решение: объем большего шара равен 4/3р4³=256/3рcм³.

Сумма объемов двух меньших шаров равна 2•4/3 •2³р =64/3рcм³.

256/3р >64/3р, значит сумма объемов двух шаров радиуса 2 см меньше объема шара радиуса 4см.

Контрольный тест

1. Сфера касается граней двугранного угла, величина которого равна 60є. Найдите радиус сферы, если расстояние от ее центра до граней двугранного угла равно 26см.

2. Два параллельных сечения шара плоскостью имееют радиусы 3 и 4 см. Найдите расстояния между сечениями, если радиус шара равен 5 см.

3. Найдите отношение объемов двух шаров, если радиус одного из них в три раза больше радиуса второго.

Ответы

Тема 1

1. Бесконечно много.

2. Принадлежит

3. Со всеми, кроме ABCD и A₁B₁C₁D₁.

4. см. рис. 10a.

Тема 2

1. а), в), г)- не может, б) - может.

2. 1, 5a; 3. а), в).

Тема 3

1.а) верно; б) неверно; в) верно. 2. а) нет; б) да; в) да.3. .



Тема 4

1. 60є. 2. 3 см 3. arctgv2.

Тема 5

1. не существует 2. существует 3. Аrccos 1/4.

Тема 6

1. 40см² 2. 120 см² 3. 18v3см³

Тема 7

1.1:1:1. 2. Верно. 3. могут

Тема 8

1. 4v3см. 2. 16v15см. 3. 54см². 4. 112см²

Тема 9

1. 5см или 3v5см 2. 18р cм². 3. 384р см³ или 256?3 р см³ .

Тема 10

1. 30 см. 2. 26 см. 3. 60є, 60є,60є.

Тема 11

1. 52 см. 2. 1 или 7 см. 3. 27:1.

Дополнительные сведения

Темы 1-3

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму

1. sinxcosy=0,5(sin(x+y)+ sin(x-y))

2. coxcosy=0,5(cos (x+y)+ cos(x-y))

3. sinxsiny=0,5(cos (x-y)+ cos(x+y))/

Тригонометрические функции тройного аргумента

1. sin3x =3sinx- 4sin³x

2. cos3x =4cos³x- 3cosx

3. tg3x =,

Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла

sin x = , x . cosx = , x .

tgx = , x , x

Выражение аsinx +bcosx

аsinx +bcosx =sin(x+ц), где ц = arcsin.

Обратные тригонометрические функции

sin(arcsina) =a, a

arcsin(sinx) = x, x.

cos(arccosa) = a, a

arccos(cos x) = x, x.

tg(arctga) = a,

arctga(tgx) = x , x.

ctg(arcctga) = a, a,

arcctg(ctgx) = x, x.

arcsina + arccosa = р/2, a

arcctga + arcctga = р/2, .

Темы 4-7

Производная

1.(e^x)м = e^x.

2.(a^x)м = a^xlna.

3.(lnx)м = 1/x.

4.(log_a x) = 1/xlna.

5. (arcsinx)м = .

6. (arccosx)м =-.

7.(arctgx)м =

Интеграл

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Темы 8-10

1. log_a^rx=log _a x, x>0, a>0, a.

2. log_a^rx^r=log _a x, x>0, a>0, a.

3. c^log_a^b = b^log_a^c, a>0, a, b>0, c>0, b, c.

4. (log_ab >0)((a-1)(b-1)>0), a>0, a, b>0.

5. (log_ab <0)((a-1)(b-1)<0), a>0, a, b>0.

6. (a^x >1))((a-1)x >0), a>0, a.

7. (a^x <1))((a-1)x <0), a>0, a.

Темы 11-14

Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей

1. Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая пересекает эту плоскость.

2. Если одна из двух параллельных плоскостей пересекает плоскость, то и вторая плоскость пересекает эту плоскость.

3. Если прямая, пересекает одну из параллельных плоскостей, то она пересекает и другую.

4. Две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны.

5. Если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей, то линия их пересечения перпендикулярна этой плоскости.

Темы 15-20

Теорема косинусов для трехгранного угла

Если б,в,г -это плоские углы трехгранного угла, а <A, <B,< C - его двугранные углы, лежащие против этих плоских углов соответственно, то cos г = cosбcos в+ sinбsinвcos<C.

Теорема синусов для трехгранного угла

.

Формулы для вычисления площадей поверхностей и объемов многоранников

1. Площадь проекции многоугольника, расположенного в плоскости б, на плоскость в равна Scosц, где S - площадь многоугольника, а ц угол между плоскостями б и в.

2. Если все двугранные углы при основании пирамиды равны, то площадь ее боковой поверхности равна площади основания, деленной на косинус двугранного угла при основании: S_{бок.пов}= S_осн.: cos б .

3. Объем многогранника, описанного около шара радиуса r равен произведению одной третьей площади полной поверхности многогранника и радиуса шара, т.е. V= 1/3 S_{пол.пов} r.

4. Объем тетраэдра V = 1/6abdsinц, где a, b, - противоположные ребра тетраэдра, d- расстояние между ними, ц - угол между ними.

5. Объемы тетраэдров, имеющих общий трехгранный угол, относятся как произведения трех ребер тетраэдров, выходящих из вершины этого трехгранного угла.

Объемы и поверхности частей шара

1. Объем шарового сегмента вычисляется по формуле:



V=1/3рh²( 3R-h),

где h- высота сегмента, R - радиус шара.

2. Объем шарового сектора вычисляется по формуле:

V=2/3рR²h,

где h- высота сегментной поверхности, R - радиус шара.

3. Площадь сегментной поверхности вычисляется по формуле:

S=2рRh,

где h- высота сегментной поверхности, R - радиус шара.

Итоговый тест

1. Значение выражения sin( arcsin(-0,5) + arccos(-0, 5) - arctg1) равно:

а)-1; б) 0; в)1; г)-2.

Выберите правильный ответ.

2. Значение выражения arcsin(sin10) равно:

а) 10; б) не существует; в) 10-3р; г)другой ответ.

3. Корни уравнения log _sinx(x²-x-5)=0

а)-2 и 3; б) -2; в) 2 и -3. г) 3.

Выберите правильный ответ.

4. Число корней уравнения sinрx+cosрx =1, принадлежащих промежутку [-2; 2] равно:

а) 3; б) 2; в) 1; г) 4.

Выберите правильный ответ.

4.Наибольшее и наименьшее значение выражения равны

а) 6 и 4; б) 2и 1; в) 1 и 0; г) 4 и 3.

5.Корни уравнения

а) 1 и 3; б) 4; в)3; г)-3.

6.Число целых решений неравенства log_0,3 log_0,8 равно

а) 2; б) 3; в) 0; г) 1.

7.Значение выражения log_{4 -2}( равно

а) 2; б) 1,5 3; в) 0,5; г) 1.

8.Решение неравенства fґ(x)>0, где f(x)= -x³+5x²-3x есть промежуток:

а) [1/3; 3]; б) [-1/3; -3]; в) (1/3; 3); г) (-1/3; -3).

9. В треугольной пирамиде все двугранные углы при основании равны 30є, а основание - прямоугольный треугольник с катетами 2 и 3 см. Площадь полной поверхности пирамиды в см² равна:

а) 24; б) 3+2v3; в) 6v3; г) 12.

10. В треугольной пирамиде все плоские углы при вершине прямые, боковые ребра равны 4, 3 и 3 см. Тогда радиус вписанного в пирамиду шара равен:

a) ;б) ;в) 8/11 ;г) 4/11.

Ответы

1.в); 2. в); 3. г); 4. б); 5. в);6. а); 7. в); 8. в); 9. б); 10. а)

Размещено на Allbest.ru