Предел последовательности. Теорема Штольца и ее применение

.

Тогда давление воды на k-ый слой приближенно будет равно:

.

Давление на всю стенку аквариума будет приближенно равно:

.

За истинную величину давления принимается предел этого выражения при :

,

то есть давление воды на вертикальную стенку равно произведению площади стенки на половину ее высоты. Подставив данные, получим p=22,50 кг..

Ответ: 22,50 кг..

2.4 Практическое применение теоремы Штольца

Рассмотрим несколько примеров с применением теоремы Штольца.

Пример 29. Доказать, что последовательность сходится и имеет предел , то последовательность средних арифметических значений элементов последовательности сходится к тому же самому пределу .

Решение. В самом деле, если положить , а = n, то = . Так как = существует, то по теореме Штольца

= = .

Ответ: сходится и имеет предел .

Пример 30. Доказать, что последовательность сходится и имеет предел , то последовательность средних арифметических значений элементов последовательности сходится к тому же самому пределу .

Решение. Рассмотрим последовательность , где

=

и k - целое положительное число. Обозначим, через , а через .

Тогда последовательность приобретает вид . Исследуем сходимость последовательности . Имеем

= =

Поделив числитель и знаменатель последнего выражения на , получим

= ,

где в знаменателе в квадратных скобках опущено выражение, предел которого при равен . Из последней формулы находим

=.

Ответ: =.

Пример 31. Доказать, что последовательность сходится и имеет предел , то последовательность средних арифметических значений элементов последовательности сходится к тому же самому пределу .

Решение. Рассмотрим последовательность , >1. Полагая = и n = и исследуя последовательность , находим

 = = = + ?.

Поэтому, в силу замечания к теореме Штольца, имеем

= + ?.

Ответ: = + ?.

Пример 32. Вычислить предел последовательности , где kN.

Решение.

=.

Используя теорему Штольца, имеем:

тогда будем иметь

=.

Но

так что

Подставив полученные данные, имеем:

=.

Ответ: .

Заключение

В курсовой работе даны общие сведения о последовательности, определения, виды, основные определения предела числовой последовательности, основные понятия предела последовательности, отражены основные свойства пределов последовательности, практическое применение этих свойств, и показано, что предел последовательности, а так же основные понятия, связанные с ним имеют достаточно широкое практическое приложение в экономике, физике и геометрии. Например, процесс радиоактивного распада отражает устанавливающуюся последовательность. Приведено доказательство теоремы Штольца для предела числовой последовательности, показаны практические приложения данной теоремы. Рассмотрены ряд примеров на доказательство сходимости последовательности с применением теоремы с подробным комментарием и указанием для каждого этапа решения. Кроме того, в работе представлено доказательство теоремы Штольца для произвольных функций, приведены примеры, что является обобщением практического приложения данной теоремы. Таким образом, данная курсовая работа может быть использована теоретическим и практическим материалом учителями математики в школе и студентами первого курса математического факультета при самостоятельном изучении темы: «Предел последовательности».

Из выше сказанного можно сделать вывод, что цель курсовой работы реализована, поставленные задачи выполнены.

Исследование данной работы способствовало приобретению таких навыков как:

a) умению работать с основными понятиями темы,

b) умению систематизировать материал,

c) умению анализировать,

d) умению сравнивать и обобщать,

e) умению кодировать и декодировать изученный материал.

Литература

1. Бачурин В. А., Бачурин Ф. В. Сборник задач по математике. - М., 2003.

2. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. - М., 1985.

3. Бермант И. Г. Краткий курс математического анализа. - М., «Наука», 1985.

4. Бохан К. А., Егорова И. А., Лащенко К. В. Курс математического анализа. - М., 1966.

5. Виленкин Н. Я., Куницкая Е.С. Математический анализ. Введение в анализ. - М., «Просвещение», 1973.

6. Виленкин Н. Я., Задачник по курсу математического анализа. - М., «Просвещение», 1971, ч. 1.

7. Воднев В. Т., Наумович А. Ф. Основные математические формулы. - Минск, 1988.

8. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. - М., 2001.

9. Гуревич Г. А. Бесповторные последовательности. - Квант, 1975, №9.

10. Глейзер Г. Н. История математики в школе 7-9 класс. - М., 1982

11. Глейзер Г. Н. История математики в школе 10-11 класс. - М., 1982

12. Гребенча М. К., Новоселов С. И. Курс математического анализа. - М., 1960, т. 1.

13. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. - М., 1977.

14. Доброхотова М. А., Сафонов А. Н. Функция, ее предел и производная. - М., «Просвещение», 1969.

15. Ильин В. А., Поздняк Э. Г. Основы математического анализа. - М., «Наука», 1965.

16. Матвеев Н. М. Курс математики. - М., 1977, ч. 1.

17. Мордкович А. Г., Солодовников А. С. Математический анализ. - М., 1990.

18. Мордкович А. Г., Мухин А. Е. Сборник задач по введению в анализ и дифференциальному исчислению функции одной переменной. - М., 1985.

19. Натансон И. П. Краткий курс высшей математики. - Лань, 2003.

20. Никольский С. М. Элементы математического анализа. - М., «Наука», 1989.

21. Понаморев К. К. Специальный курс высшей математики. - М., «Высшая школа», 1974.

22. Пухначев Ю. В., Попов Ю. П. Математика без формул. - М., 1995.

23. Савин А. П. Энциклопедический словарь юного для среднего и старшего школьного возраста. - М., «Педагогика», 1989.

24. Спивак А. П., Цепи и антицепи. // Квант.- 2003. - №5, с. 16-17.

25. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - М., «Наука», 1966.

26. Франк Б., Щульц В., Титц В. Математика справочник для школьников и студентов. - М., 2000.

27. Цыпкин А. Г. Справочник по математике. - М., 1984.

28. Шварцбурд С. И. Избранные вопросы математики. Факультативный курс. 10. - М., 1980.

29. Яковлев Г. Н. Алгебра и начала анализа. - М., «Наука», 1985.

Размещено на Allbest.ru