1)

2)

Более сложные примеры:

№1 Упростить выражение.

Решение:

№2 Упростить выражение.

Решение:

==

Ответ: 3.

Некоторые приёмы упрощения иррациональных выражений.

1) Способ подстановки.

Данный метод значительно облегчает технику преобразований.

Рассмотрим примеры:

Пример №1

Упростить выражение.

Решение.

Положив и , получим и . Данное выражение принимает вид

Далее имеем

Делая обратную замену - имеем

Ответ: .

2) Для упрощения ряда алгебраических выражений бывает полезно упростить не сами выражения, а их квадраты.

Пример №1.

Упростить

Решение:

Пусть А=

Область определения данного выражения

Ясно, что A>0 при x>2 A<0 при 1?x<2

Далее имеем

Откуда А=1 при х >2 и А=-1 при 1? х<2

Ответ: 1 если х >2.,-1 если 1? х <2

Тема 4. Решение рациональных уравнений и неравенств. (9 час.) Линейное уравнение. Квадратное уравнение. Неполные квадратные уравнения. Разложение квадратного трехчлена на множители. Дробно-рациональное уравнение. Решение рациональных неравенств.

Методы обучения: лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Форма контроля: проверка задач для самостоятельного решения, тестовая работа.

Рациональные уравнения

Определение. Основные приемы решения рациональных уравнений. Понятие равносильности преобразований уравнений.

Большое количество ошибок при решении задач данного раздела связано с неравносильными преобразованиями, следствием чего является приобретение или потеря решений.

Наиболее простыми рациональными уравнениями являются линейные и квадратные уравнения. Их решение можно записать в общем виде. Поэтому естественны попытки приводить более сложные уравнения к более простым.

Пример 1. Решить уравнение x⁴+x²-6 =0.

Пример 2. Решить уравнение (x²+x-1)(x²+x+1) = 0.

Пример 3. Решить уравнение x(x+1)(x+2)(x+3) = - ѕ.

Возвратные уравнения.

Определение. Методы решения. Применение теоремы Безу.

Уравнение вида

a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀ = 0

называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, то есть если

a_n-k = a_n при k = 0, 1,…, n.

Рассмотрим возвратное уравнение четвертой степени вида

ax⁴+bx³+cx²+bx+a = 0,

где a, b, c - некоторые числа, причем а ? 0. Его удобно решать с помощью следующего алгоритма:

- разделить левую и правую части уравнения на х². При этом не происходит потери решения, так как х = 0 не является корнем исходного уравнения при а ? 0;

- группировкой привести полученное уравнение к виду

a(x²+1/x²)+b(x+1/x)+c = 0;

- ввести новую переменную t = x+1/x, тогда выполнено

t² = x²+2+1/x², то есть x²+1/x² = t²-2;

в новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным:

at²+bt+c-2a = 0;

- решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной.

Для возвратных уравнений более высоких степеней вены следующие утверждения.

Возвратное уравнение четной степени сводится к уравнению вдвое меньшей степени подстановкой x+1/x = t.

Возвратное уравнение нечетной степени обязательно имеет корень х = -1 и после деления многочлена, стоящего в левой части этого уравнения, на двучлен х+1, приводится к возвратному уравнению четной степени.

Теорема о делении многочлена с остатком. Для любых двух многочленов P(x) и Q(x) существуют единственные многочлены F(x) и R(x) такие, что выполняются следующие условия

1) P(x) = Q(x)*F(x)+R(x);

2) степень многочлена R(x) меньше степени многочлена делителя.

Следствия из теоремы о делимости многочленов.

Следствие 1 (Теорема Безу). Если многочлен Р(х) разделить на двучлен (х-а), то остатком от деления будет число, равное значению многочлена Р(х) при х = а, т. е. Р(а):

P(x) = (x-a)Q(x)+P(a).

Следствие 2. Если число а является корнем многочлена Р(х), то многочлен Р(х) делится на двучлен (х-а) нацело.

Следствие 3. Если многочлен Р(х) с целыми коэффициенты имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена.

Пример 1. Решить уравнение x⁴-5x³+6x²-x+1 = 0.

Пример 2. Решить уравнение x³-x²-9x-6 = 0.

Рациональные неравенства.

Определение. Повторение общих правил решения линейных и квадратичных неравенств к решению более сложных неравенств. Графический метод решения, метод интервалов. Использование применения равносильности неравенств. Детальное рассмотрение частных ошибок при решении неравенств.

Для решения рациональных неравенств степеней, больших второй, и дробно-рациональных неравенств лучше использовать метод интервалов. Идея метода интервалов для решения неравенств вида Р(х) > 0, где Р(х) - заданный многочлен, заключается в следующем. На числовой оси выделяются интервалы, на которых функция, стоящая в левой части неравенства, имеет постоянный знак и отмечаются точки, в которых рассматриваемое выражение равно нулю. На каждом из получившихся интервалов ставят знак левой части на данном интервале и записывают ответ.

Пример 1. Решить неравенство -x²-2x+3 > 0.

Пример 2. Решить неравенство (2x+1)⁴(2-x)(x-1)⁴(x-3)⁷(3x-2) < 0.

Пример 3. Решить неравенство (x²-11x²+39x-45)/(x+2) ? 0.

Пример 4. Решить неравенство 1/x < 2.

Уравнения с модулем.

Повторение свойств модуля и решение уравнений, содержащих неизвестную под знаком абсолютной величины. Выявление типичных ошибок при решении уравнений с модулем.

Уравнения вида |f(x)| = g(x) можно решать двумя способами. Первый, стандартный, основан на раскрытии модуля, исходя из его определения, и заключается в переходе к совокупности двух систем

Второй способ состоит в переходе от исходного уравнения к равносильной системе

Первый способ рациональнее применять в случае сложного выражения для функции g(x) и не очень сложного - для функции f(x); второй способ, наоборот, удобнее использовать, если выражение для функции g(x) не сложно.

Пример 1. Решить уравнение |x+2| = 6-2x.

Пример 2. Решить уравнение |x²-2x-1| = 2x+2.

Пример 3. Решить уравнение |3x+4|+2|x-3| = 16.

Рациональные неравенства с модулем

Повторение свойств модуля и решение неравенств, содержащую неизвестную под знаком абсолютной величины.

Решение неравенств с модулем строится аналогично решению соответствующих уравнений. Лишь на этапе освобождения от модуля решается, естественно, не уравнение, а неравенство.

Пример 1. Решить неравенство |x-4|+|x+1| < 7.

Пример 2. Решить неравенство |x²-2x| ? x-1.

Пример 3. Решить неравенство 2|x²-1| > x+1.

Заключительное занятие

Обобщение полученных знаний. Итоговое тестирование с целью проверки прочности полученных знаний и умений.

Вариант 1 (вариант 2).

1. Решите уравнение 3x²-7x+4 = 0 (3x²-7x+6 = 0);

2. Решите неравенство 8x²+11x+4 > 0 (5x²+6x+2 > 0);

3. При каких значениях параметра а уравнение (a+4)x²+6x-1 = 0 ((a+2)x²-3x+1 = 0) имеет единственное решение?

4. При каких значениях параметра а уравнение a(a+3)x²+(2a+6)x-3a-9 = 0 имеет более одного корня? (При каких значениях параметра а сумма квадратов корней уравнения 3x²+30x+a = 0 равна 40?)

5. При каких значениях параметра а уравнения х²-х+3а = 0 и ах²-х+3 = 0 (х²-3а^3/2х+а² = 0 и х²/а²-3vах+а² = 0) имеют хотя бы один общий корень?

6. Пусть х₁ и х₂ - корни уравнения 3х²-ах+2а-1 = 0. Вычислите х₁³+х₂³. (При каких значениях параметра k уравнение x²+6x+k = 0 не имеет положительных корней?)

7. Решите уравнения: а) 1/х = (3-2х)/(х²+х-4); б) (х²-3х+2)/(3-х) = 2-2х (а) 1-25/х² = 24/х; б) (х²-7х+6)/(3х-18) = 0).

8. Решите уравнение |3х-1| = х+2 (х²+|х-1| = 1).

Тема 5. Решение иррациональных уравнений и неравенств. (10 час.) Иррациональные уравнения. Метод равносильности. Иррациональные неравенства. Алгоритм решения неравенств методом интервалов.

Методы обучения: лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Формы контроля: проверка задач для самостоятельного решения; тестовая работа.

Определение. Иррациональным называется уравнение, содержащее неизвестное под знаком радикала.

Например, ; .

В элементарной математике иррациональные уравнения рассматриваются в множестве действительных чисел.

Сначала, разберём наиболее часто применяемые методы решения иррациональных алгебраических уравнений, так называемые стандартные методы.

К ним отнесём два метода:

1) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень;

2) метод введения новых переменных.

1.Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень состоит в следующем:

а) преобразуют заданное иррациональное уравнение к виду ;

б) возводят обе части полученного уравнения в n-ю степень:;

в) учитывая, что получают уравнение f(x)=q(x);

г) решают уравнение и делают проверку,так как возведение обеих частей уравнения

в одну и ту же чётную степень может привести к появлению посторонних корней.

В множестве действительных чисел возведение обеих уравнения в нечётную степень приводит к равносильному уравнению и поэтому проверка не требуется.

Пример №1. Решить уравнение .

Решение: Возведём обе части уравнения в шестую степень,

получим Х-3=64, откуда Х=67.

Проверка. Подставим 67 вместо Х в данное уравнение, получим, то есть 2=2 - верное равенство.

Ответ: Х=67.

Иногда удобнее решать иррациональные уравнения, используя равносильные переходы, то есть

При решении иррациональных уравнений следует иметь в виду, что не принадлежащие ОДЗ значения неизвестного всегда посторонние для решаемого уравнения; их можно отбросить без проверки по условию.

Примеры.

№1. Решить уравнение

Решение: ; ; ;

Х₁= - 2 - не удовлетворяет условию х.

Ответ: х=3.

№2. Решить уравнение .

Решение:

; ; х=7.

Ответ: х = 7.

№3. Решить уравнение

Решение: ; ; .

Ответ: х₁=3; х₂= -2.

Более сложные иррациональные уравнения, содержащие два или три знака радикала.

Общий метод решения заключается в следующем:

Сначала изолируют один радикал, затем обе части уравнения возводят в степень, потом снова изолируют радикал и так далее. При возведении обеих частей уравнения в одну и ту же степень ,получается уравнение, в общем случае не равносильное данному, поэтому проверка найденных значений неизвестного по условию данного уравнения обязательна, то есть является составной частью решения.

Пример 1.

Решить уравнение

Решение: Преобразуем уравнение к виду

Возведём обе части уравнения в квадрат

,

Ещё раз возведём обе части уравнения в квадрат, получим

,то есть , откуда

Проверка: 1) при х=5 имеем ; 6=6. Х=5 - является корнем заданного уравнения.2) при х=197 имеем то есть х=197 -посторонний корень.

Ответ: х=5.

2. Метод введения новых переменных

Другим приёмом решения иррациональных уравнений является способ введения новых переменных, относительно которых получается либо более простое иррациональное уравнение, либо рациональное уравнение.

Пример1.

Решить уравнение

Решение: Обозначим , тогда , при этом для всех хR .

Получим

По теореме ,обратной теореме Виета то есть

; .

Обратная замена Устная проверка.

Ответ:

Графическое решение уравнений

На практике довольно часто оказывается полезным графический метод решения уравнений. Он заключается в следующем:

для решения уравнения f(x} = 0, надо построить график функции у = f(x) и найти абсциссы точек пересечения графика с осью Х; эти абсциссы и являются корнями уравнения.

Например, надо решить уравнение.

Часто уравнение f(x)=0 заменяют равносильным g(x) =h(x), затем строят графики функций у = g(x) и y=h(x) ( если это проще, чем построение графика функции у = f(x) ) и находят абсциссы точек пересечения построенных графиков.

Так уравнение можно преобразовать к виду и найти абсциссы точек пересечения этих графиков.

Пример. Решить уравнение

Решение: Построим в одной системе координат графики функций у= и у=

у=- график получается смещением графика функции у= на единицы вправо вдоль оси ОХ. Графики функций пересекаются в двух точках с абсциссами х₁

( проверкой следует убедиться в точности результатов)

Ответ: х₁=1; х₂=4.

Надо отметить, что графический метод даёт приближённые ответы. При необходимости проверкой убеждаемся в точности полученных результатов.

Способ сопряжённого умножения

В основе рассматриваемого способа лежит формула:

Выражения и мы будем называть сопряжёнными, Иногда использование этой формулы облегчает решение.

Пример1 Решить уравнение

Решение: Домножим левую и правую часть уравнения на сумму радикалов, стоящих в левой части. Получаем

Решим второе уравнение методом введения новых переменных.

Пусть тогда

Решая уравнение , получаем два корня , так как , то .

Выполняя обратную замену, имеем х+3=

Х+3 = , значит х =

Ответ: х₁=.

Заметим, что умножение на сумму радикалов в данном случае не приводит к появлению посторонних корней - ведь область определения этой сумму та же, что исходного уравнения, и она положительна, как сумма отрицательных слагаемых, не обращающихся, очевидно в ноль одновременно.

Отметим также, что решить уравнение «в лоб» довольно трудно - оно путём громоздких вычислений сводится к уравнению четвёртой степени.

Пример 2

Решить уравнение:

Решение. Умножим обе части уравнения на сопряжённое левой части выражение, то есть на , так как при х, так как D< 0.

Получаем

Сложим почленно уравнения и ,получим 2



.

Проверка

1) Х=, то

То есть х =- корень уравнения

2) Х=1, то 1=1.

Х=1- корень уравнения.

Ответ:

Оригинальные способы решения иррациональных уравнений

В ряде случаев достаточно внимательно проанализировать область определения уравнения, сравнить подкоренные выражения и решение оказывается совершенно простым

Пример 1

Решить уравнение:

Решение: Обратим внимание на подкоренные выражения х-3 и 3-х. Оба этих выражения должны быть неотрицательны, то есть

; , значит х =3.

Проверка: 0+

0+

Ответ: х = 3.

Пример 2

Решить уравнение:

Решение: Так как разность между двумя радикалами равна 1, то 2х-3>2х-1, то есть -3>-1, что неверно, а значит, уравнение корней не имеет.

Ответ: решений нет.

Пример 3

Решить уравнение:.

Решение: ОДЗ:; система не имеет решений.

Ответ: нет корней.

Пример 4

Решить уравнение:

Решение: ОДЗ х, x-2<x+3 для всех хR, значит

, то есть то есть уравнение не имеет решений.

2.3 Организация и анализ результатов педагогического исследования

При внедрении программы подготовки к ЕГЭ, способствующей развитию продуктивного мышления, исследования включало изучение творческой мотивации и особенностей учебно-познавательной деятельности старшеклассников, диагностику организации процесса продуктивной умственной деятельности школьников методом наблюдения за деятельностью учителя и учащихся в системе уроков.

Изучая особенности продуктивного мышления старшеклассников, мы придерживались смысловой теории мышления, выдвинутой и обоснованной О.К. Тихомировым. Он отмечал, что главная особенность творческого мышления состоит в уровне обобщения, характере используемых средств, их новизне для субъекта, степени активности самого субъекта мышления [31]. При оценивании результатов тестирования математических задач ЕГЭ характеристики продуктивного мышления беглость, гибкость, оригинальность, выступили в роли критериев исследуемого процесса. Испытуемыми были 30 учащихся старших классов школы № 6 г. Татарска во время проведения занятий по программе подготовке к ЕГЭ.

Полученные результаты представлены в Приложении 1 (таблица 1).

По результатам обследования при решении задач ЕГЭ из пунктов «В» у 5 школьников выявлен низкий уровень продуктивного мышления, у 21 человека - средний, 4 школьника с высоким уровнем креативности.

Способность видеть проблему при решении задач неразрешимую с помощью известных, стереотипных интеллектуальных действий использовалось в качестве наиболее точного критерия умения мыслить продуктивно. Поэтому нас в первую очередь интересовали ответы учащихся на ниже приведенные вопросы.

1. Удавалось ли вам находить противоречия там, где другие их не видят? Случалось ли вам прозорливо усматривать, самостоятельно выявлять и оригинально ставить перед собой проблемы? Если ваш ответ положителен, назовите, пожалуйста, проблемы.

2. Над какими проблемами вы думаете: а) редко; б) часто; в) постоянно.

3. Овладеваете ли вы сами умением мыслить, думать, догадываться, предвосхищать и предвидеть нужные раскрывающиеся вам факты?

4. Приходилось ли вам участвовать в порождении учебных задач?

5. Наиболее характерные вопросы, задаваемые вами на уроках?

На первый вопрос отвечали все испытуемые учащиеся старших классов, и все ответили - «нет».

Умение самостоятельно ставить вопросы, рождающиеся в процессе решения математических задач по теме «Функции», потребность самостоятельного исследования проблем, неразрешимых с помощью известных знаний и действий - показатель наличия культуры мышления, отсутствие указанных умений и потребностей свидетельствует об ее отсутствии. Ответы на другие вопросы также вызвали у старшеклассников затруднения. Результаты опроса, анкетирования, наблюдения за учащимися в процессе обучения приводят к выводу, что школьники в процессе учебной деятельности решают в основном упрощенные по смысловому содержанию математические задачи, которые могут решаться на сравнительно низких уровнях продуктивного мышления. Но продуктивная природа умственного процесса прежде всего проявляется в том, что сам этот процесс безгранично далеко выходит за пределы стандартных ситуаций. Подавляющее большинство учебных задач, стимулирующих продуктивную умственную деятельность, требует выявления новых средств и способов решения в процессе самостоятельной познавательной деятельности учащихся. Построение учебной деятельности школьников не способствует максимальной мобилизации умственных возможностей обучаемых.

Наблюдения показали, что весьма часто в своей учебной работе школьники оказываются не в состоянии не только углубляться в изучение поставленного к задаче вопроса и цели ее, но даже мысленно сколько-нибудь отступать от первоначально сформулированной цели, тогда как именно в умении мысленно «отойти» от ее исходной постановки и таится часто наиболее правильное решение.

В подавляющем большинстве случаев учащиеся средней школы проявляют такую беспомощность не по причине ограниченности своих умственных способностей, а прежде всего потому, что сам подход учителей к обучению школьников, принцип построения учебных задач в существующих сборниках и задачниках не стимулирует продуктивную умственную деятельность учащихся. Сами вопросы и цели в задачах строятся в таких категоричных формулировках, что учащиеся одну из частых постановок вопроса принимают за единственно возможный вариант и в дальнейшем при решении задачи ориентируются только на этот локально сформулированный вопрос, даже не предполагая, что в данной учебной задаче могут быть другие принципиально иные пути ее решения.

При анализе полученных результатов выявлен ряд общих существенных характеристик обучения, независящих от уровня: а) предметного содержания реализуемой учебной программы; б) качественной успеваемости обучающихся; в) профессиональной компетенции учителя. К ним относятся:

1. Преимущественное стимулирование одной психической функции - памяти, которая доминирует над процессом мышления (до 90 % вопросов, предлагаемых учителем на уроке, обращены к памяти учащихся). Сложные проблемные вопросы, пробуждающие потребность в мысли, усиливающие мысленное принуждение, используются редко и не всеми учителями.

2. Школьники в процессе учебно-познавательной деятельности решают в основном упрощенные по смысловому содержанию задачи, которые могут быть выполнены на сравнительно низких уровнях умственных возможностей; учебный процесс ориентирован преимущественно на репродуктивную умственную деятельность учащихся.

3. Содержание, формы, методы обучения в целом не ориентированы на интенсивное развитие постепенно развивающейся интеллектуальной активности школьников.

4. Реальный педагогический процесс противоречит объективным законам процесса познания. Знания учащимися усваиваются в «готовом виде», оставляя в стороне сам процесс получения нового знания, полный сложностей и противоречий, что не сообразуется с законами психического, в частности, умственного развития. Условия обучения не стимулируют процесс продуктивного мышления школьников, а скорее, тормозят его [3].

Проведенное исследование подтвердило недостаточную эффективность существующей системы школьного обучения. Объективно возникающие в процессе продуктивной деятельности школьников в основном преодолеваются логическим путем, а психологический момент такого преодоления, существующий в единстве с логическим, пока еще слабо учитывается. Тем самым тормозится умственное развитие школьников в процессе обучения: познавательные барьеры в ходе обучения не преодолеваются, а устойчиво воспроизводятся, при этом предпосылки к высокопродуктивным умственным процессам не созревают.

Исследование особенностей развития продуктивного мышления школьников в аспекте влияния на него различных условий обучения дало возможность установить следующее. Традиционная система обучения не вполне благоприятна для детей с более высоким темпом развития их продуктивного мышления. Относительно небольшие требования к активной мыслительной деятельности тормозят темпы их развития.

Проанализировав исходное состояние развития продуктивного мышления школьников, нами была разработана программа подготовки к ЕГЭ по математики, способствующая развитию этого вида мышления.

Для получения достоверных результатов формирующего эксперимента была проведена диагностика исходного состояния развития продуктивного мышления школьников.

Данные, полученные в результате тестирования, свидетельствуют что по итогам формирующего эксперимента, процент школьников с низким уровнем развития продуктивного мышления небольшой - 16,5%, средний уровень развития продуктивного мышления имеет подавляющее большинство школьников - 64%, достаточный уровень был обнаружен у 6,5% школьников, высоким уровнем продуктивного мышления обладают 13% участников эксперимента.

Проведя повторное обследование, мы получили следующие результаты (Прил. 1, таблица 2)

По результатам обследования у 5 школьников (16%) обнаружился высокий уровень развития продуктивного мышления у 20 школьников (84%) средний уровень развития продуктивного мышления.

На констатирующем этапе эксперимента было обнаружено пять школьников с низким уровнем развития продуктивного мышления, что составило 16,5%; в контрольном исследовании школьников с низким уровнем развития продуктивного мышления не было. Повысился процент школьников, обладающих высоким уровнем развития продуктивного мышления: с 13% до 16%. Процент школьников со средним уровнем развития продуктивного мышления вырос: с 72% до 84%.

Также повторно было проведено тестирование на выявление чувствительности к противоречиям по старым вопросам:

1. Удавалось ли вам находить противоречия там, где другие их не видят? Случалось ли вам прозорливо усматривать, самостоятельно выявлять и оригинально ставить перед собой проблемы? Если ваш ответ положителен, назовите, пожалуйста, проблемы.

2. Над какими проблемами вы думаете: а) редко; б) часто; в) постоянно.

3. Овладеваете ли вы сами умением мыслить, думать, догадываться, предвосхищать и предвидеть нужные раскрывающиеся вам факты?

4. Приходилось ли вам участвовать в порождении учебных задач?

5. Наиболее характерные вопросы, задаваемые вами на уроках?

На первый вопрос «нет» ответило 14 старшеклассников, что на 53% меньше, чем на формирующем этапе эксперимента.

У большинства старшеклассников не вызвали затруднений и ответы на другие вопросы, что так же является показателем развития продуктивного мышления в процессе занятий по подготовке к ЕГЭ.

Результаты опроса, анкетирования, наблюдения за учащимися в процессе обучения показывают, что школьники научились решать усложнённые задачи, часть школьников (3 человека - 10% учащихся) находила нестандартные решения задачи, демонстрировала умения решать задачу несколькими способами.

Заключение

Подводя итоги всей работы, мы отмечаем, что проблему формирования продуктивного мышления школьников можно решать на уроках математике. Развитие продуктивного мышления сегодня не отдалённая цель, а реальная программа воспитания и обучения. Важность этой программы обусловлена необходимостью активизировать творческий потенциал личности, так как в современных условиях многие жизненные ситуации требуют оригинальных подходов, нестандартных.

Каждый ребёнок рождается с врождёнными задатками, которые лишь во взаимодействии с другими условиями могут оказаться включенными - в ходе жизни.

Проведённый теоретический анализ психолого-педагогической литературы по проблеме исследования позволил установить, что вопросы развития продуктивного мышления в определённой степени противоречивы и не позволяют однозначно интерпретировать понятия, используемые в этой предметной области. Мнение большинства специалистов едины в том, что креативное, творчески ориентированное образование позволяет воспитывать нестандартно мыслящих людей, способных грамотно решать проблемы, эффективно работать в самых разнообразных областях деятельности независимо от формальной специальности.

Выбор критериев и показателей, характеризующих продуктивное (творческое) мышление, позволил провести типизацию групп, соответствующих четырём уровням развития творческого мышления: низкий, средний, достаточный, высокий.

После разработке программы подготовки к ЕГЭ по математике, направленной на развитие продуктивного мышления, в контрольном исследовании зафиксированы более высокие результаты по сравнению с результатами первого тестирования.

На констатирующем этапе эксперимента было обнаружено пять студентов с низким уровнем развития продуктивного мышления, что составило 16,5%; в контрольном исследовании школьников с низким уровнем развития продуктивного мышления не было. Повысился процент школьников, обладающих высоким уровнем развития продуктивного мышления: с 13% до 16%. Процент школьников со средним уровнем развития продуктивного мышления вырос с 72% до 84%.

Таким образом, была получена положительная динамика всех уровней продуктивного мышления школьников. Следовательно, разработанная программа оказалась эффективной. Гипотеза о возможности развития продуктивного мышления школьников при подготовке к ЕГЭ по математике подтвердилась. Цели и задачи, поставленные при выполнении дипломной работы, достигнуты.

Список литературы

1. Аганисьян В. М. Психолого-дидактические основы творческого взаимодействия преподавателя и обучающихся в процессе учебного диалога. - СПб.: ЛОИРО, 1998. - С.133.

2. Аганисьян В. М. Психолого-дидактические основы творческого взаимодействия преподавателя и обучающихся в процессе учебного диалога. - СПб.: ЛОИРО, 1998. - С.133.

3. Атахов Р. Соотношение общих закономерностей мышления и математического мышления. Вопросы психологии. - М.: 1995. - С.17.

4. Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа. - Дрофа, 1996. - С.128.

5. Бородуля И. Т. Тригонометрические уравнения и неравенства: Кн. Для учителя. - М.: Просвещение, 1989. - С.239.

6. Брушлинский А.В. Мышление и прогнозирование: Логико-психологический анализ. - М., 1979. - С.240.

7. Вертгеймер М. Продуктивное мышление. - М.: Прогресс, 1987. - С.336.

8. Готовимся к ЕГЭ по математике. Обобщающее повторение курса алгебры и начал анализа / Под ред. Семенко Е. А., Васильева И. В., Канюка М. В. Фоменко М. В.- Краснодар: Просвещение, 2005. - С.137.

9. Грановская Р. М., Крижанская Ю. С. Творчество и преодоление стереотипов. - Санкт-Петербург, ОМС, 1994. - С.192.

10. Гройсман А. Л. Психология. Личность. Творчество. Регуляция состояний. Ч. 3. - М., 1993. - С.119.

11. Давыдов В.В. Теория развивающего обучения / В.В. Давыдов. - М., 1996. - С.176.

12. Дружинин В. Диагностика общих познавательных способностей. // Когнитивное обучение: современное состояние и перспективы. - М..: Изд. Институт психологии РАН, 1997. - С.296.

13. Единый государственный экзамен: Математика: 2004-2005.Контр. измерит. матер./ Л.О.Денищева, Г.К.Безрукова, Е.М. Бойченко и др.; под. Ред. Г.С.Ковалевой. - И-во образования и науки РФ. Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки.: Просвещение, 2005. - С.80.

14. Задания для подготовки к ЕГЭ - 2010 / Семенко Е.А., Крупецкий С.Л., Фоменко Е. А., Ларкин Г. Н. - Краснодар: Просвещение - Юг, 2010. - С.136.

15. Калмыкова З.И. Продуктивное мышление как основа обучаемости. - М., 2001. - С.234.

16. Кочагин В. В. ЕГЭ-2009. Математика. Тематические тренировочные задания. - М.: Эксмо, 2008. - С.256.

17. Краткий психологический словарь / Под общ. ред. А.В Петровского, М.Г. Ярошевского. - Ростов н/Д.: Феникс, 1999. - С.81.

18. Лаппо Л.Д. ЕГЭ. Математика. Практикум по выполнению типовых тестовых заданий ЕГЭ: учебно-методическое пособие/ Л.Д. Лаппо, М.А. Попов, М.: Издательство «Экзамен», 2007. - С.255.

19. Людмилов Д. С. Некоторые вопросы проблемного обучения математике. - Пермь, 1975. - С.115.

20. Лютикас В.С. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей: Учеб. пособие для 9-11 кл. сред. шк. - 3-е изд. перераб. - М.: Просвещение, 1990. - С.160.

21. Макарычев Ю.Н. и др. Тригонометрия. - М. Просвещение, 2005

22. Матюшкин А. М. Мышление, обучение, творчество. - М.: Изд-во МПСИ, 2003. - С.387.

23. Мочалов В. В., Сильвестров С. В. Уравнения и неравенства с параметрами. - Чебоксары: Издательство Чувашского Университета., 2000. - С.144.

24. Немов Р. С. Психология Учеб. для студентов высш. пед. учеб. заведений В 3 кн. Кн. 1. Общие основы психологии. 3-е изд. - М. Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 1997. - С.688.

25. Пономарев Я. А. Психология творчества и педагогика. - М., 1976. - С.302.

26. Практическая психодиагностика. Методики и тесты / Ред-сост. Д. Я. Райгородский - Самара: Бахрах, 1998.- С.234.

27. Рубинштейн С. Л. Основы общей психологи. - СПб.: Питер, 2000. - С.712.

28. Сергеев И. В. Отличник ЕГЭ. Математика. Решение сложных задач. - М.: Интеллект-Центр, 2010. - С.80.

29. Телегина Э.Д. Репродуктивные и продуктивные компоненты мышления в педагогической деятельности. / Мышление и общение в практической деятельности. - Ярославль, 1992. - С. 75-76.

30. Теория и практика продуктивного обучения / под ред. М.И. Башмакова. - М.: Народное образование, 2000. - С.6-14.

31. Тихомиров, О.К. Психология мышления: учеб пособие для студ. высш. учеб. заведений / О.К. Тихомиров. - 3-е изд., стер. - М.: Издательский цент "Академия", 2002. - С.287.

32. Туник Е. Е. Креативные тесты (адаптированный вариант). - СПб., 2002. - С.48.

33. Яковлева Е. Л. Психология развития творческого потенциала. - М., 1997. - С.224

Приложение 1

Диагностика продуктивного мышления

Данная методика позволяет определить четыре уровня продуктивного мышления: интерес к предмету (И); воображение (В); сложность (С) и творчество (Т). Несмотря на ее адресованность юношескому возрасту, она не утрачивает своей прогностичности и в зрелом возрасте.

Инструкция к тесту. Это задание поможет вам выяснить, каков у вас уровень продуктивного мышления. Среди следующих коротких предложений вы найдете такие, которые определенно подходят вам лучше, чем другие. Их следует отметить знаком «Х» в колонке «В основном верно». Некоторые предложения подходят вам лишь частично, их следует пометить знаком «Х» в колонке «Отчасти верно». Другие утверждения не подойдут вам совсем, их нужно отметить знаком «Х» в колонке «Нет». Те утверждения, относительно которых вы не можете прийти к решению, нужно пометить знаком «Х» в колонке «Не могу решить».

Делайте пометки к каждому предложению и не задумывайтесь подолгу. Здесь нет правильных или неправильных ответов. Отмечайте первое, что придет вам в голову, читая предложение. Это задание не ограничено во времени, но работайте как можно быстрее. Помните, что, давая ответы к каждому предложению, вы должны отмечать то, что действительно чувствуете. Ставьте знак «Х» в ту колонку, которая более всего подходит вам. На каждый вопрос выберите только один ответ.

Тестовый материал

1. Если я не знаю правильного ответа, то попытаюсь догадаться о нем.

2. Я люблю рассматривать предмет тщательно и подробно, чтобы обнаружить детали, которых не видел раньше.

3. Обычно я задаю вопросы, если чего-нибудь не знаю.

4. Мне не нравится планировать дела заранее.

5. Перед тем как играть в новую игру, я должен убедиться, что смогу выиграть.

6. Мне нравится представлять себе то, что мне нужно будет узнать или сделать.

7. Если что-то не удается с первого раза, я буду работать до тех пор, пока не сделаю это.

8. Я никогда не выберу игру, с которой другие незнакомы.

9. Лучше я буду делать все как обычно, чем искать новые способы.

10. Я люблю выяснять, так ли все на самом деле.

11. Мне нравится заниматься чем-то новым.

12. Я люблю заводить новых друзей.

13. Мне нравится думать о том, чего со мной никогда не случалось.

14. Обычно я не трачу время на мечты о том, что когда-нибудь стану известным артистом, музыкантом, поэтом.

15. Некоторые мои идеи так захватывают меня, что я забываю обо всем на свете.

16. Мне больше понравилось бы жить и работать на космической станции, чем здесь, на Земле.

17. Я нервничаю, если не знаю, что произойдет дальше.

18. Я люблю то, что необычно.

19. Я часто пытаюсь представить, о чем думают другие люди.

20. Мне нравятся рассказы или телевизионные передачи о событиях, случившихся в прошлом.

21. Мне нравится обсуждать мои идеи в компании друзей.

22. Я обычно сохраняю спокойствие, когда делаю что-то не так или ошибаюсь.

23. Когда я вырасту, мне хотелось бы сделать или совершить что-то такое, что никому не удавалось до меня.

24. Я выбираю друзей, которые всегда делают все привычным способом.

25. Многие существующие правила меня обычно не устраивают.

26. Мне нравится решать даже такую проблему, которая не имеет правильного ответа.

27. Существует много вещей, с которыми мне хотелось бы поэкспериментировать.

28. Если я однажды нашел ответ на вопрос, я буду придерживаться его, а не искать другие ответы.

29. Я не люблю выступать перед группой.

30. Когда я читаю или смотрю телевизор, я представляю себя кем-либо из героев.

31. Я люблю представлять себе, как жили люди 200 лет назад.

32. Мне не нравится, когда мои друзья нерешительны.

33. Я люблю исследовать старые чемоданы и коробки, чтобы просто посмотреть, что в них может быть.

34. Мне хотелось бы, чтобы мои родители и руководители делали все как обычно и не менялись.

35. Я доверяю свои чувствам, предчувствиям.

36. Интересно предположить что-либо и проверить, прав ли я.

37. Интересно браться за головоломки и игры, в которых необходимо рассчитывать свои дальнейшие ходы.

38. Меня интересуют механизмы, любопытно посмотреть, что у них внутри и как они работают.

39. Моим лучшим друзьям не нравятся глупые идеи.

40. Я люблю выдумывать что-то новое, даже если это невозможно применить на практике.

41. Мне нравится, когда все вещи лежат на своих местах.

42. Мне было бы интересно искать ответы на вопросы, которые возникнут в будущем.

43. Я люблю браться за новое, чтобы посмотреть, что из этого выйдет.

44. Мне интереснее играть в любимые игры просто ради удовольствия, а не ради выигрыша.

45. Мне нравится размышлять о чем-то интересном, о том, что еще никому не приходило в голову.

46. Когда я вижу картину, на которой изображен кто-либо незнакомый мне, мне интересно узнать, кто это.

47. Я люблю листать книги и журналы для того, чтобы просто посмотреть, что в них.

48. Я думаю, что на большинство вопросов существует один правильный ответ.

49. Я люблю задавать вопросы о таких вещах, о которых другие люди не задумываются.

50. У меня есть много интересных дел как на работе (учебном заведении), так и дома.

Обработка данных теста

При оценке данных опросника используются четыре фактора, тесно коррелирующие с уровнями продуктивного мышления. Они включают Интерес (И), Воображение (В), Сложность (С) и Творчество (Т). Мы получаем четыре «сырых» показателя по каждому фактору, а также общий суммарный показатель.

При обработке данных используется либо шаблон, который можно накладывать на лист ответов теста, либо сопоставление ответов испытуемого с ключом в обычной форме.

Ключ к тесту

Склонность к творчеству (ответы, оцениваемые в 2 балла)

положительные ответы: 1, 21, 25, 35, 36, 43, 44;

отрицательные ответы: 5, 8, 22, 29, 32, 34;

все ответы на данные вопросы в форме «может быть» оцениваются в 1 балл;

все ответы «не знаю» на данные вопросы оцениваются в -1 балл и вычитаются из общей суммы.

Проявление интереса (ответы, оцениваемые в 2 балла)

положительные ответы: 2, 3, 11, 12, 19, 27, 33, 37, 38, 47, 49;

отрицательные ответы: 28;

все ответы «может быть» оцениваются в +1 балл, а ответы «не знаю» - в -1 балл.

Сложность (ответы, оцениваемые в 2 балла)

положительные ответы: 7, 15, 18, 26, 42, 50;

отрицательные : 4, 9, 10, 17, 24, 41, 48;

все ответы в форме «может быть» оцениваются в +1 балл, а ответы «не знаю» - в -1 балл.

Воображение (ответы, оцениваемые в 2 балла)

положительные: 13, 16, 23, 30, 31, 40, 45, 46;

отрицательные: 14, 20, 39;

все ответы «может быть» оцениваются в +1 балл, а ответы «не знаю» - в -1 балл.

В данном случае определение каждого из четырех факторов продуктивного мышления осуществляется на основе положительных и отрицательных ответов, оцениваемых в 2 балла, частично совпадающих с ключом ( в форме «может быть»), оцениваемых в 1 балл, и ответов «незнаю», оцениваемых в -1 балл.

Этот опросник разработан для того, чтобы оценить, в какой степени способными на творчество (Т), интерес (И), обладающими воображением (В) и предпочитающими сложные идеи (С) считают себя испытуемые. Из 50 пунктов 12 утверждений относятся к любознательности, 12 - к воображению, 13 - к способности идти на риск, 13 утверждений - к фактору сложности.

Конечная количественная выраженность того или иного фактора определяется путем суммирования всех ответов, совпадающих с ключом, и ответов «может быть» (+1) и вычитания из этой суммы всех ответов «не знаю» (-1 балл).

Чем выше «сырая» оценка человека, испытывающего позитивные чувства по отношению к себе, тем более творческой личностью, любознательной, с воображением, способной пойти на риск и разобраться в сложных проблемах, он является; все вышеописанные личностные факторы тесно связаны с творческими способностями.

Могут быть получены оценки по каждому фактору теста в отдельности, а также суммарная оценка. Оценки по факторам и суммарная оценка лучше демонстрируют сильные (высокая «сырая» оценка) и слабые (низкая «сырая» оценка) стороны.

Таблица 1

Результаты определения уровня продуктивного мышления

№ п/п		интерес	воображение	сложность	творчество
1	Миноченко Е. В.	21	20	20	20
2	Бигвава Т. З.	13	14	12	17
3	Тихонов А. И.	16	14	15	17
4	Моисеева В. Ю.	11	12	11	14
5	Чаплина Г. В.	20	22	22	21
6	Прохоров Е. А.	13	15	15	17
7	Крымский А. С.	11	10	10	15
8	Мякшина С. А.	17	18	19	15
9	Маковецкий А. И.	12	15	15	13
10	Леонтьева И. С.	19	18	15	18
11	Базев И. В.	22	20	18	21
12	Григоренко О. А.	15	17	14	13
13	Лепешинская С. В.	15	14	14	19
14	Русаков А. Н.	18	18	15	14
15	Шведова Н. К.	14	15	14	14
16	Буйнова О. А.	17	19	16	15
17	Кармелицина О. В.	13	15	15	18
18	Свинцова О. П.	19	17	15	13
19	Гвоздев В. И.	17	16	18	15
20	Бритова С. В.	21	19	18	15
21	Картуесова Н. И.	15	20	18	17
22	Пырьев С. Н.	18	15	14	15
23	Иванова К. С.	22	18	21	17
24	Колтунова О. А.	14	15	13	14
25	Ачекин С. Б.	14	18	17	15
26	Куцепин С. Г.	17	15	17	15
27	Колесникова Е. Н.	11	10	11	15
28	Чернов К. П.	13	15	13	13
29	Беланова Т. М.	18	22	21	17
30	Звонарёва А. А.	15	17	15	20

Таблица 2

Результаты повторной диагностики определения уровня продуктивного мышления

№ п/п	Ф. И. испытуемого	интерес	воображение	сложность	творчество
1	Миноченко Е. В.	21	23	21	20
2	Бигвава Т. З.	13	14	15	15
3	Тихонов А. И.	16	18	17	17
4	Моисеева В. Ю.	13	14	15	14
5	Чаплина Г. В.	22	24	22	21
6	Прохоров Е. А.	15	17	15	17
7	Крымский А. С.	13	13	15	15
8	Мякшина С. А.	17	19	19	15
9	Маковецкий А. И.	15	18	18	15
10	Леонтьева И. С.	19	20	15	18
11	Базев И. В.	22	22	18	21
12	Григоренко О. А.	19	19	15	13
13	Лепешинская С. В.	17	17	15	19
14	Русаков А. Н.	21	20	17	14
15	Шведова Н. К.	17	19	17	14
16	Буйнова О. А.	17	20	16	15
17	Кармелицина О. В.	15	18	15	18
18	Свинцова О. П.	19	19	17	13
19	Гвоздев В. И.	17	19	18	15
20	Бритова С. В.	21	23	19	15
21	Картуесова Н. И.	18	20	18	17
22	Пырьев С. Н.	18	18	17	15
23	Иванова К. С.	22	21	21	19
24	Колтунова О. А.	16	18	16	14
25	Ачекин С. Б.	17	21	17	15
26	Куцепин С. Г.	17	17	17	15
27	Колесникова Е. Н.	15	17	15	15
28	Чернов К. П.	13	17	15	13
29	Беланова Т. М.	20	22	21	17
30	Звонарёва А. А.	15	19	15	20

Таблица 3

Уровни развития продуктивного мышления

I	12-16 баллов
II	17-20 баллов
III	21-23 балла

Размещено на Allbest.ru