Задачи о точках с рациональными координатами

Задачи о пифагоровых треугольниках с целочисленными значениями сторон. Практическое использование задач в геодезии, в атомных и молекулярных структурах и в астрономических расчетах. Число вариантов представления исходного числа в виде двух сомножителей.

Рубрика Математика
Вид статья
Язык русский
Дата добавления 26.08.2013
Размер файла 29,9 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задачи о точках с рациональными координатами

Автор Фильчев Э.Г.

Россия

В результате анализа дерева ПТ возникли ряд интересных задач о пифагоровых треугольниках с целочисленными значениями сторон. Решение этих задач может найти практическое использование в геодезии, в атомных и молекулярных структурах, и в астрономических расчетах.

Y

М(x, y )

Z y

0 X x

Рис. 1 Точка в прямоугольной системе координат

Считаем, что координаты точки М имеют целочисленные значения.

Задача 1

“ Имеем массив ПТ с x и y. Известно, что в этом массиве имеются такие ПТ, у которых при одинаковых значениях x имеют место разные пары значений y и z. Требуется определить метод нахождения ПТ с одинаковыми значениями x “

Значения X могут быть четными или нечетными. Для четных значений имеем

x = 2m2 + 2mn= 2m(m + n ), тогда y = n2 + 2mn = n (n + 2m ) ( 1 )

Для нечетных значений имеем

x = n2 + 2mn = n (n + 2m ), тогда y = 2m2 + 2mn = 2m(m + n ) ( 2 )

При z = n2 + 2mn + 2m2 = ( n + m )2 + m2 ( 3 )

1. Пусть ( J ) x = 2m2 + 2mn, следовательно ( > ) x = 2m(m + n ), y = n (n + 2m ).

Рассмотрим ПТ( 4, 3, 5 ). Здесь x = 4 = 2• 1•( 1 + 1 ) > m = 1, n = 1. Других вариантов, представления в виде двух целых сомножителей, нет. Вывод: Других ПТ с x = 4 нет.

2. На втором уровне дерева ПТ находятся три ПТ, а именно ПТ1( 120, 119, 129 ),

ПТ2( 12,5, 13 ), ПТ3( 15, 8, 17 ). Рассмотрим каждый из этих ПТ. Здесь x > y.

2.1. J имеем ПТ1( 120, 119, 169 ). Здесь x = 120 = 2• 60 > = 60, Число 60 имеет следующие варианты в виде двух целочисленных сомножителей 60 = 1•60 = 2• 30 = 3•20 = 4•15 = 5•12 = 6•10. Итого имеем 6 ПТ с x = 120. Определим эти ПТ.

2.1.1. J x = 2• 1• 60. По формуле ( 1 ) x = 2m(m + n ) > m = 1, (m + n ) = 60 > n = 59. Определим элементы ПТ.

x = 2m2 + 2mn = 2 + 2•1•59 = 120, y = n2 + 2mn = 3481 + 118 = 3599,

z = n2 + 2mn + 2m2 = 3599 + 2 = 3601> ПТ1( 120, 3599, 3601 ).

2.1.2. Аналогично получим ПТ2( 120, 896, 904), ПТ3( 120, 391, 409), ПТ4( 120, 209, 241 ),

ПТ5 ( 120, 119, 169 ), ПТ6( 120, 64, 136 ). Здесь имеют место как основные, так и не основные ПТ. Так, например, ПТ2( 120, 896, 904) и ПТ6( 120, 64, 136 ) - это не основные ПТ. Итого, при x = 120 получили 4 ПТ

ПТ1( 120, 3599, 3601 ), ПТ3( 120, 391, 409), ПТ4( 120, 209, 241 ), ПТ5 ( 120, 119, 169 ).

3. J x имеет нечетные значения > x = n2 + 2 mn = n ( n + 2m ). Рассмотрим ПТ( 15, 8, 17 ).

Здесь имеем x = 1• 15 = 3•5

3.1 J x = 1• 15 > n = 1, m = 7. Определим y = 2m2 + 2mn = 98 + 14 = 112 > z = 113.

3.2 J x = 3• 5 > n = 3, m = 1. Определим y = 2m2 + 2mn = 2 + 6 = 8 > z = 17

Таким образом при x = 15 имеем ПТ1( 15, 8, 17) и ПТ2( 15, 112, 113).

Задача решена!

Выводы 1. Число ПТ с четным целочисленным значением x равно числу вариантов в виде двух сомножителей.

2. Число ПТ с не четным целочисленным значением x равно числу вариантов представления x в виде двух сомножителей.

3. В числе полученных ПТ могут иметь место не основные ПТ.

Пример 1. Как элемент основного ПТ, задано x = 93240. Необходимо определить все ПТ с этим значением x.

Решение. 1. Определяем сомножители числа 93240. 93240 faktor > 23•32•5•7•37

2. Заданное число x - четное. Поэтому определяем = 22•32•5•7•37

3. Определяем все возможные пары сомножителей числа

> 46620 = 1• 46620 = 2•23310 = 3• 15540 = 4•11655 = 5• 9324 = 6•7770 = 7• 6660 = 9•5180

46620 = 10•4662 = 12•3885 = 14•3330 = 15• 3108 = 18• 2590 = 20• 2331 = 21•2220

46620 = 28•1665 = 30• 1554 = 35•1332 = 36•1285 = 37•1260 = 42• 1110 = 45•1036

46620 = 60• 777 = 63• 740 = 70• 666 = 74• 630 = 84• 555 = 90• 518 = 105• 444 = 111• 420

46620 = 126• 370 = 140• 333 = 148• 315 = 180• 259 = 185• 252 = 210• 222

В результате получили 36 вариантов представления числа = 46620 в виде двух сомножителей, что соответствует утверждению “ В прямоугольной системе координат имеется 36 пифагоровых треугольников с целочисленными сторонами, при условии, что один из катетов равен числу 93240 “ .

4. Определим эти ПТ. Пусть x = 2m2 + 2mn = 93240 >

> m = 15, ( m + n ) = 3108 > n = 3108 - 15 = 3093. Теперь, имея значения m и n , по формулам Системы mn параметров, вычислим значения всех элементов ПТ.

x = 2m2 + 2mn = 93240, y = n2 + 2mn = 30932 + 2•15•3093 = 9659439, z = y + 2mn

> z = 9659439 + 2•152 = 9659889. Получили ПТ(93240, 9659439, 9659889 ).

Аналогично определяются остальные 35 ПТ. Все 36 ПТ представлены в таблице 1.

пифагоров треугольник сомножитель задача

Таблица 1

m

n

x

y

z

m

n

x

y

z

1

46619

93240

2173424399

2173424401

36

1259

93240

1587673

1590265

2

23308

93240

543356096

543356104

37

1223

93240

1586231

1588969

3

15537

93240

241491591

241491609

42

1068

93240

1230336

1233864

4

11651

93240

135839009

135839041

45

991

93240

1071271

1075321

5

9319

93240

86936951

86937001

60

717

93240

600129

607329

6

7764

93240

60372864

60372936

63

677

93240

543631

551569

7

6653

93240

44355551

44355649

70

596

93240

438656

448456

9

5171

93240

26832319

26832481

74

556

93240

391424

402376

10

4652

93240

21734144

21734344

84

471

93240

300969

315081

12

3873

93240

15093081

15093369

90

428

93240

260224

276424

14

3316

93240

11088704

11089096

105

339

93240

186111

208161

15

3093

93240

9659439

9659889

111

309

93240

164079

188721

18

2572

93240

6707776

6708424

126

244

93240

121024

152776

20

2311

93240

5433161

5433961

140

193

93240

91289

130489

21

2199

93240

4927959

4928841

148

167

93240

77321

121129

28

1637

93240

2771441

2773009

180

79

93240

34681

99481

30

1524

93240

2414016

2415816

185

67

93240

29279

97729

35

1297

93240

1772999

1775449

210

12

93240

5184

93384

Из данных этой таблицы следует, что если в значениях m и n имеется общий множитель, то ПТ является не основным. Так, например, ПТ ( 93240, 6707776, 6708424 ) - это не основной ПТ. Если разделить каждый из элементов на 8, то получим основной ПТ(11655, 838472, 838553).

Определим в таблице 1 не основные ПТ.

Строка 2 . Здесь имеем m =2, n = 23308, x = 93240, y = 543356096, z = 543356104 .

Запишем числа (x, y, z ) в виде произведения сомножителей > x = 93240 faktor = 23•32•5•7•37,

y = 543356096 faktor = 26• 31•47•5827, z = 543356104 faktor = 23•3•29881. В этих числах общим множителем имеем 23 = 8. Сократим на 8 каждый из элементов, тогда получим основной ПТ,

ПТ ( 11655, 67919512, 67919513 ). Из данных таблицы 1 следует, что при x = 93240 имеется 17 основных ПТ и 19 не основных ПТ. Значения m, записанные в виде кортежа, для основных ПТ имеют вид ( 1, 4, 5, 7, 9, 20, 28, 35, 37, 45, 60, 63, 111,140, 148, 180,185 ).

Задача 1 “Задано значение четное значение x, как элемент основного пифагорова треугольника (ПТ), необходимо определить все ПТ с данным значением x “.

Данная задача в методическом представлении может иметь два варианта:

- указать методику определения всех ПТ

- при заданном четном числе x, определить все ПТ при разделении полученных данных на основные и не основные ПТ.

Задача 2

“Задано значение нечетное значение x, как элемент основного пифагорова треугольника (ПТ), необходимо определить все ПТ с данным значением x “.

В задаче 2 x = n2 + 2mn = n•( n +2m ). Здесь x надо записать в виде двух сомножителей. При этом за n надо принять меньший множитель. Тогда больший множитель будет равен ( n +2m ).

> m = .

Далее методика, определения ПТ, как в примере 1.

В заключении можно сделать два утверждения

Утверждение 1 “ Для четных значений x, как элемента исходного ПТ, в соответствии с Системой mn параметров, x = 2m(m + n ). При этом общее число ПТ, как основных, так и не основных равно числу вариантов представления исходного числа x в виде двух сомножителей “.

Утверждение 2 “ Для нечетных значений x, как элемента исходного ПТ, в соответствии с Системой mn параметров, x = n (n + 2m). При этом общее число ПТ , как основных, так и не основных равно числу вариантов представления исходного числа x в виде двух сомножителей “.

Предложенная задача может найти применение в геодезии, в атомных и молекулярных структурах, и в астрономических расчетах.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Число как основное понятие математики. Натуральные числа. Простые числа Мерсенна, совершенные числа. Рациональные числа. Дробные числа. Дроби в Древнем Египте, Древнем Риме. Отрицательные числа. Комплексные, векторные, матричные, трансфинитные числа.

    реферат [104,5 K], добавлен 12.03.2004

  • Сущность и содержание способа пропорций, определение вида зависимости. Обозначение неизвестного числа в пропорции буквой Х. Запись условий задачи в виде таблицы. Поиск неизвестного члена пропорции. Составление дополнительных пропорций для решения задачи.

    презентация [96,9 K], добавлен 08.02.2010

  • Определение числа e, вычисление его приближенного значения и его трансцендентность. Анализ формул числа е с помощью рядов и пределов функции. Проявление числа e в реальной жизни и его практическое применение. Применение числа e в математических задачах.

    курсовая работа [352,9 K], добавлен 17.05.2021

  • Доказательство гипотезы Гольдбаха-Эйлера. Гипотезы о том, что любое четное число, большее двух, может быть представлено в виде суммы двух простых чисел и любое нечетное число М, большее семи, представимо в виде суммы трех нечетных простых чисел.

    задача [28,3 K], добавлен 07.06.2009

  • Теоретические основы моделирования: понятие модели и моделирования. Моделирование в решении текстовых задач. Задачи на встречное движение двух тел. Задачи на движение двух тел в одном направлении и в противоположных направлениях. Графические изображения.

    курсовая работа [98,9 K], добавлен 03.07.2008

  • Гиперкомплексные числа: общее понятие и основные свойства. Нахождение корней трансцендентного уравнения в комплексных числах на примере уравнения классической задачи теории флаттера в математическом виде. Программная реализация решения в среде Maple.

    контрольная работа [1,2 M], добавлен 28.06.2013

  • Определение вписанной и описанной окружности, их свойства и признаки. Взаимное расположение прямой и окружности. Свойства прямоугольного треугольника и теорема Пифагора. Задачи с окружностью, вписанной и описанной в треугольниках и четырехугольниках.

    реферат [298,7 K], добавлен 16.06.2009

  • Комплексные числа в алгебраической форме. Степень мнимой единицы. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Тригонометрическая форма. Приложение теории комплексных чисел к решению уравнений 3-й и 4-й степени. Комплексные числа и параметры.

    дипломная работа [1,1 M], добавлен 10.12.2008

  • Вписанная и описанная окружности в треугольниках и четырехугольниках, их определение и построение. Теорема Пифагора. Определение площади треугольника, трапеции и параллелограмма. Решение типовых задач по изложенным темам с применением полученных знаний.

    реферат [187,3 K], добавлен 28.05.2009

  • Алгоритма решения диофантовых уравнений. Системный анализ свойств пифагоровых троек. Разработка способов и алгоритмов вычисления пифагоровых троек вида х2=у2+z2. Графические модели, отображающие каждый член пифагоровой тройки в виде составных квадратов.

    статья [793,0 K], добавлен 31.12.2015

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.