Показательно-степенные уравнения и неравенства
Функции и их свойства, используемые при решении показательно-степенных уравнений и неравенств. Степенные и показательные функции и их свойства. Опыт проведения занятий со школьниками по теме: "Решение показательно-степенных уравнений и неравенств".
| Рубрика | Математика |
| Вид | дипломная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 24.11.2007 |
| Размер файла | 595,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
белгородский государственный университет
КАФЕДРА алгебры, теории чисел и геометрии
Тема работы: Показательно-степенные уравнения и неравенства.
Дипломная работа студента физико-математического факультета
Научный руководитель:
______________________________
Рецензент : _______________________________
________________________
Белгород. 2006 г.
Содержание.
|
Введение |
3 |
|||
|
Тема I. |
Анализ литературы по теме исследования. |
|||
|
Тема II. |
Функции и их свойства, используемые при решении показательно-степенных уравнений и неравенств. |
|||
|
I.1. |
Степенная функция и ее свойства. |
|||
|
I.2. |
Показательная функция и ее свойства. |
|||
|
Тема III. |
Решение показательно-степенных уравнений, алгоритм и примеры. |
|||
|
Тема IV. |
Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры. |
|||
|
Тема V. |
Опыт проведения занятий со школьниками по теме: «Решение показательно-степенных уравнений и неравенств». |
|||
|
V.1. |
Обучающий материал. |
|||
|
V.2. |
Задачи для самостоятельного решения. |
|||
|
Заключение. |
Выводы и предложения. |
|||
|
Список используемой литературы. |
||||
|
Приложения |
Введение.
«…радость видеть и понимать…»
А.Эйнштейн.
В этой работе я попыталась передать свой опыт работы учителем математики, передать хоть в какой-то степени свое отношение к ее преподаванию -- человеческому делу, в котором удивительным образом переплетаются и математическая наука, и педагогика, и дидактика, и психология, и даже философия.
Мне довелось работать с малышами и выпускниками, с детьми, стоящими на полюсах интеллектуального развития: теми, кто со-стоял на учете у психиатра и кто действительно интересовался математикой
Мне довелось решать множество методических задач. Я попы-таюсь рассказать о тех из них, которые мне удалось решить. Но еще больше -- не удалось, да и в тех, что вроде бы решены, появ-ляются новые вопросы.
Но еще важнее самого опыта -- учительские размышления и сомнения: а почему он именно такой, этот опыт?
И лето нынче на дворе иное, и разворот образования стал поинтереснее. «Под юпи-терами» нынче не поиски мифической оптимальной системы обучения «всех и всему», а сам ребенок. Но тогда -- с необходи-мостью -- и учитель.
В школьном курсе алгебры и начал анализа, 10 - 11 класс, при сдаче ЕГЭ за курс средней школы и на вступительных экзаменах в ВУЗы встречаются уравнения и неравенства, содержащее неизвестное в основании и показатели степени - это показательно-степенные уравнения и неравенства.
В школе им мало уделяется внимания, в учебниках практически нет заданий на эту тему. Однако, овладение методикой их решения, мне кажется, очень полезным: оно повышает умственные и творческие способности учащихся, перед нами открываются совершенно новые горизонты. При решении задач ученики приобретают первые навыки исследовательской работы, обогащается их математическая культура, развиваются способности к логическому мышлению. У школьников формируются такие качества личности как целеустремленность, целеполагание, самостоятельность, которые будут полезны им в дальнейшей жизни. А также происходит повторение, расширение и глубокое усвоение учебного материала.
Работать над данной темой дипломного исследования я начала еще с написания курсовой. В ходе, которой я глубже изучила и проанализировала математическую литературу по этой теме, выявила наиболее подходящий метод решения показательно-степенных уравнений и неравенств.
Он заключается в том, что помимо общепринятого подхода при решении показательно-степенных уравнений (основание берется больше 0) и при решении тех же неравенств (основание берется больше 1 или больше 0, но меньше 1), рассматриваются еще и случаи, когда основания отрицательны, равны 0 и 1.
Анализ письменных экзаменационных работ учащихся показывает, что неосвещенность вопроса об отрицательном значении аргумента показательно-степенной функции в школьных учебниках, вызывает у них ряд трудностей и ведет к появлению ошибок. А также у них возникают проблемы на этапе систематизации полученных результатов, где могут в силу перехода к уравнению - следствию или неравенству - следствию, появиться посторонние корни. С целью устранения ошибок мы используем проверку по исходному уравнению или неравенству и алгоритм решения показательно-степенных уравнений, либо план решения показательно-степенных неравенств.
Чтобы учащиеся смогли успешно сдать выпускные и вступительные экзамены, я считаю, необходимо уделять больше внимания решению показательно-степенных уравнений и неравенств на учебных занятиях, либо дополнительно на факультативах и кружках.
Таким образом тема, моей дипломной работы определена следующим образом: «Показательно-степенные уравнения и неравенства».
Целями настоящей работы являются:
1. Проанализировать литературу по данной теме.
2. Дать полный анализ решения показательно-степенных уравнений и неравенств.
3. Привести достаточное число примеров по данной теме разнообразных типов.
4. Проверить на урочных, факультативных и кружковых занятиях как будет восприниматься предлагаемые приемы решения показательно-степенных уравнений и неравенств. Дать соответствующие рекомендации к изучению этой темы.
Предметом нашего исследования является разработка методики решения показательно-степенных уравнений и неравенств.
Цель и предмет исследования потребовали решения следующих задач:
1. Изучить литературу по теме: «Показательно-степенные уравнения и неравенства».
2. Овладеть методиками решения показательно-степенных уравнений и неравенств.
3. Подобрать обучающий материал и разработать систему упражнений разных уровней по теме: «Решение показательно-степенных уравнений и неравенств».
В ходе дипломного исследования было проанализировано более 20 работ, посвященных применению различных методов решения показательно-степенных уравнений и неравенств. Отсюда получаем.
План дипломной работы:
Введение.
Глава I. Анализ литературы по теме исследования.
Глава II. Функции и их свойства, используемые при решении показательно-степенных уравнений и неравенств.
II.1. Степенная функция и ее свойства.
II.2. Показательная функция и ее свойства.
Глава III. Решение показательно-степенных уравнений, алгоритм и примеры.
Глава IV. Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры.
Глава V. Опыт проведения занятий со школьниками по данной теме.
1. Обучающий материал.
2. Задачи для самостоятельного решения.
Заключение. Выводы и предложения.
Список использованной литературы.
В I главе проанализирована литература по теме: «Решения показательно-степенных уравнений и неравенств».
В II главе теоретические сведения о степенной и показательной функциях и применение их свойств при решении показательно-степенных уравнений и неравенств, выявляются недостатки в понимании учащимися отрицательного аргумента показательно-степенной функции.
В III главе «Решение показательно-степенных уравнений, алгоритм и примеры» приведен полный анализ решения показательно-степенных уравнений, рассмотрен алгоритм решения показательно-степенных уравнений и примеры, и примеры в которых он применяется.
В IV главе «Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры» приведен полный анализ решения показательно-степенных неравенств и рассмотрен план решения показательно-степенных неравенств и примеры, в которых он применяется.
В V главе рассматривается методика обучения учащихся решению показательно-степенных уравнений и неравенств, приведен обучающий материал, разработана система заданий с учетом разного уровня сложности, которая содержит в себе задания используемые на уроке, задания для самостоятельного решения.
Глава II. Функции и их свойства, используемые при решении показательно-степенных уравнений и неравенств.
Для решения показательно-степенных уравнений и неравенств необходимо знать свойства показательной и степенной функции и уметь ими пользоваться. В этой главе мы рассмотрим данный вопрос.
II.1. Степенная функция и ее свойства.
Степенная функция с натуральным показателем. Функ-ция у = хn, где n -- натуральное число, называется степен-ной функцией с натуральным показателем. При n = 1 получаем функцию у = х, ее свойства:
Прямая пропорциональность. Прямой пропорциональ-ностью называется функция, заданная формулой у = kxn, где число k называется коэффициентом пропорциональ-ности.
Перечислим свойства функции у = kx.
Область определения функции -- множество всех действительных чисел.
y = kx -- нечетная функция (f( -- х) = k ( -- х)= -- kx = -k(х)).
3) При k > 0 функция возрастает, а при k < 0 убывает на всей числовой прямой.
Гра-фик (прямая) изображен на рисунке II.1.
Рис. II.1.
При n=2 получаем функцию y = х2, ее свойства:
Функция у --х2. Перечислим свойства функции у = х2.
Область определения функции -- вся числовая прямая.
у = х2-- четная функция (f( -- х) = ( -- x)2 = x2 = f (х)).
На промежутке [0; + ??) функция возрастает.
В самом деле, если , то , а это и означает возрастание функции.
4) На промежутке (--оо; 0] функция убывает.
В самом доле, если ,то -- х1 > -- х2 > 0, а потому
(--х1)2> ( -- х2)2, т. е. , а это и означает убывание функции.
Графиком функции y=х2 является парабола. Этот график изображен на рисунке II.2.
Рис. II.2.
При n = 3 полу-чаем функцию у = х3, ее свойства:
Область определения функции -- вся числовая прямая.
y = х3 -- нечетная функция (f ( -- х) = { -- x)2 = -- х3 = -- f (x)).
3) Функция y = x3 возрастает на всей числовой прямой. График функции y = x3 изображен на рисунке. Он на-зывается кубической параболой.
График (кубическая парабола) изображен на рисунке II.3.
Рис. II.3.
Пусть n-- произвольное четное натуральное число, большее двух:
n = 4, 6, 8,... . В этом случае функция у = хn обладает теми же свойствами, что и функция у = х2. График такой функ-ции напоминает параболу у = х2, только ветви графика при |n| >1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при тем «теснее прижимаются» к оси х, чем больше n.
Пусть n -- произвольное нечетное число, большее трех: n = = 5, 7, 9, ... . В этом случае функция у = хn обладает теми же свойствами, что и функция у = х3. График такой функции на-поминает кубическую параболу (только ветви графика тем круче идут вверх, вниз, чем больше n. Отметим также, что на промежутке (0; 1) график степенной функции у = хn тем медленнее отдаляется от оси х с ростом х, чем больше n.
Степенная функция с целым отрицательным показа-телем. Рассмотрим функцию у = х-n, где n -- натуральное чис-ло. При n = 1 получаем у = х-n или у = Свойства этой функции:
График (гипербола) изоб-ражен на рисунке II.4.
Пусть n -- нечетное число, большее единицы,
n = 3, 5, 7, ... . В этом случае функция у = х-n обладает в основном теми же свойствами, что и функция у = График функции у = х-n (n = 3, 5, 7, ...) напоминает
Рис. II.4.
график функции у =. Пусть n -- четное число, например п = 2. Перечислим не-которые свойства функции у = х-2, т. е. функции y = .
Функция определена при всех х0.
y = четная функция.
y = убывает на (0; +оо) и возрастает на (--оо;0).
Теми же свойствами обладают любые функции вида y = х-n при четном n, большем двух.
График функции у = изображен на рисунке. Ана-логичный вид имеет график функции , если n = 4, 6, ... .
Функции вида , , обладают теми же свойствами, как и функция .
Степенная функция с положительным дробным показа-телем. Рассмотрим функцию у = хr, где r -- положительная несократимая дробь. Перечислим некоторые свойства этой функции.
Область определения -- луч [0; + оо).
Функция ни четная, ни нечетная.
Функция у = хr возрастает на [0; +оо).
Рис. II.5.
На рисунке II.5. изображен график функции Он заключен между графиками функций у = х2 и у = х3, заданных на промежутке [0; + оо).
Подобный вид имеет график любой функции вида у = хr, где .
На том же рисунке изображен график функции . Подоб-ный вид имеет график любой степенной функции у = хr, где .
Степенная функция с отрицательным дробным пока-зателем. Рассмотрим функцию у = х-r, где r -- положительная несократимая дробь. Перечислим свойства этой функции.
Область определения -- промежуток (0; + оо).
Функция ни четная, ни нечетная.
Функция у = х-r убывает на (0; +оо).
Построим для примера график функции у -- х таблицу значений функции:
Нанесем полученные точки на координатную плоскость и соединим их плавной кривой (см. рис. II.6.).
Подобный вид имеет график любой функции
у = хr, где r -- отрицательная дробь.
Рис. II.6.
II. 2. Показательная функция и ее свойства.
Функция, заданная формулой вида у = ах, где а -- некоторое положительное число, не равное единице, называется показатель-ной.
Функция у = ах при а>1 обладает следующими свойст-вами (см. рис. II.7.):
а) область определения -- множество всех действительных чисел;
б) множество значений -- множество всех положительных чисел;
Рис. II.7.
в) функция возрастает;
г) при х = 0 значение функции равно 1;
д) если x > 0, то аx > 1;
е) если х < 0, то 0 < ах < 1.
3. Функция у = ах при 0<а< 1 обладает следующими свойст-вами (см. рис. II.8.):
а) область определения D(f)=R;
б) множество значений E(f)=R+;
в) функция убывает;
г) при х = 0 значение функции равно 1;
д) если х > 0, то 0 < ах < 1;
е) если х < 0, то ах > 1.
Рис. II.8.
Глава III. Решение показательно-степенных уравнений, алгоритмы и примеры.
Так называются уравнения вида , где неизвестное находится и в показателе и в основании степени.
Можно указать совершенно четкий алгоритм решения уравнении вида . Для этого надо обратить внимание на то, что при а(х) не равном нулю, единице и минус единице равенство степеней с одинаковыми основаниями (будь-то положительными или отрицательными) возможно лишь при условии равенства показателей То - есть все корни уравнения будут корнями уравнения f(x) = g(x) Обратное же утверждение неверно, при а(х) < 0 и дробных значениях f(x) и g(x) выражения а(х) f(x) и
а(х)g(x) теряют смысл. То - есть при переходе от к f(x) = g(x) (при и могут появиться посторонние корни, которые нужно исключить проверкой по исходному уравнению. А случаи а = 0, а = 1, а =-1 надо рассмотреть отдельно.
Итак, для полного решения уравнения рассматриваем случаи:
а(х) = О . Если при значении х, удовлетворяющем этому уравнению, f(x) и g{x) будут положительными числами, то это решение. В противном случае, нет
а(х) = 1. Корни этого уравнения являются корнями и исходного уравнения.
а(х) = -1. Если при значении х, удовлетворяющем этому уравнению, f(x) и g(x) являются целыми числами одинаковой четности (либо оба четные, либо оба нечетные) , то это решение. В противном случае, нет
При и решаем уравнение f(x)= g(x) и подстановкой полученных результатов в исходное уравнение отсекаем посторонние корни.
Примеры решения показательно-степенных уравнений.
Пример №1.
Решение
1) x - 3 = 0, x = 3. т.к. 3 > 0, и 32 > 0, то x1 = 3 - это решение.
2) x - 3 = 1, x2 = 4.
3) x - 3 = -1, x = 2. Оба показателя четные. Это решение x3 = 1.
4) x - 3 ? 0 и x ? ± 1. x = x2, x = 0 или x = 1. При x = 0, (-3)0 = (-3)0 -верно это решение x4 = 0. При x = 1, (-2)1 = (-2)1 - верно это решение x5 = 1.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4.
Пример №2.
Решение
По определению арифметического квадратного корня: x - 1 ? 0, x ? 1.
1) x - 1 = 0 или x = 1, = 0, 00 это не решение.
2) x - 1 = 1 x 1 = 2.
3) x - 1 = -1 x 2 = 0 не подходит в ОДЗ.
4) =
Д = (-2) - 4*1*5 = 4 - 20 = -16 - корней нет.
Ответ: 2.
Пример №3.
Решение
1) = 0 решения нет, т.к. 0 в любой степени не равен 1.
2) ? 0 т.е. . Тогда можем записать:
3) = 1. = 0
и
4) = -1 х = 0 или х = 1. При х = 0 = -1. (-1)-1 ? (-1)0. Это не решение. При х = 1 (-1)0 = (-1)0. Это решение х3 = 1.
5) ? 0 и ? ±1 имеем = 0, = -1 или
= 1. Эти корни уже учтены.
Ответ: -1, 1, 2.
Пример №4.
Решение
1) При решений нет, т.к. 0 в любой степени не равен 1.
при ,
2) , .
3) , .
, (-1)0 = (-1)0 это решение.
.
4) и
или
При (-4)0 = 1 - верно.
Ответ: -1, 2, 4.
Пример №5.
Решение
1) , , это не решение.
2) , и .
3) отрицательных значений основание не имеет. При и , , ,
х = 5, 315 = 315 - верно. х3 = 5,
х = 2 - не является решением.
Ответ: 1,3,5.
Пример №6
Решение
1) не дает решений, т.к. 0 ни в какой степени не равен 1.
2) . или .
3) отрицательных значений не имеет.
4) При ,
, т.к. , то . Проверка 20 = 1 - верно.
Ответ: -1, 1, 2.
Пример №7
Решение
1) , , , . Это решение .
2) , .
3) , , - четное и -3х - четное. Это решение. х2 = -4.
4) и , , , , 4-3 = 4-3 - верно. .
Ответ: -4, -3, -2, 1
Пример №8
Решение
ОДЗ: ,
, ,
и
Все решения принадлежат уравнению =2.
, , и . Оба значения принадлежат к ОДЗ.
Ответ: -4, -1.
Пример №9
Решение
ОДЗ: , , .
1) решений не имеет, т.к. 0 в любой степени не равен 1.
При , или ,
ОДЗ, ОДЗ.
Значит все решения содержатся в уровнении = 0, или .
Проверка: , 20 = 1 - верно.
, - верно.
Ответ: 0, 3/2.
Пример №10
Решение
1) решений не дает, т.к. 0 в любой степени не равен 1.
2) При , , . Все решения принадлежат уравнению . или .
3) , и .
Второе решение не подходит, т.к , . А является решением
Ответ: , 2, 4.
Пример №11
Решение
1) , , и это решение .
2) , .
3) , , - четное, - нечетное. Это является решением.
4) или , , , , .
Проверка: , - верно.
Но не является корнем!
Выражение (-1,5)52,5, которое получается при проверке не имеет смысла, т.к. степень отрицательно числа имеет смысл только для целых показателей. Равенство = только для . Значит, отрицательное число можно возводить только в степень с целым показателем.
Ответ: -4, -2, -1.
Пример №12
Решение
ОДЗ: . Значит 0,1 и -1 отпадают.
и все решения содержатся в уравнении.
, ,
Ответ: 5.
Пример №13
Решение
1) , , . Это решение .
2) , , .
3) отрицательных значений не имеет.
При или все решения в уравнении , и .
При , - верно. .
Ответ: -1, 2, 3, 4.
Пример №14
Решение
ОДЗ:
1) При решений нет, т.к. 0 в любой степени не равен 1.
При
2) , и . - решение, а .
3) для всех . При и все решения содержатся в уравнении , или . При , .
При , - верно. .
Ответ: 4, 5.
Пример №15.
,
Решение
используя свойства логарифма и получили:
=
В первой части уравнения выполнили преобразования
. Получили уравнение . Все решения содержатся в уравнении.
или .
Ответ: 2.
Пример №16
Решение
ОДЗ:
Преобразуем знаменатель дроби в правой части уравнения
; .
, , где
1) , - верно.
2) ,
Пасть , тогда
, или .
Следовательно; или , , .
Ответ: 1, 0,1, 0, 0,01.
Пример №17
Решение
ОДЗ: и
Выполним преобразования.
+= 2+2
+= 4
Пусть , а ,
Следовательно, или
,
2*2t = 4
2t = 4/2
2t = 2
t = 1
Ответ: 2.
Пример №18
Решение
ОДЗ:
;
Прологарифмируем обе части равенства:
, где .
Умножим обе части уравнения на 2.
Пусть , тогда
, или
1) ,
или
Ответ: 0.1, 10.
Пример №19
Решение
ОДЗ:
Обратите внимание ниоткуда не следует! Наоборот, из ОДЗ видно, что может быть отрицательным!
,
или
Оба значения в ОДЗ.
Так как возводили в квадрат, корни надо проверить.
, - верно.
, - верно.
Ответ: -3, 3.
Пример №20
ОДЗ:
Возведем обе части уравнения в квадрат (т.к. они положительны, то посторонние корни не появляются)
или
Прологарифмируем по основанию 10.
или
1) или
,
Ответ: 0.01, 100.
Пример №21
Решение
ОДЗ:
Прологарифмируем по основанию 10.
, где .
Пусть , тогда:
умножим на 4
,
, или
1)
2)
Ответ: 0,0001, 10.
Пример №22
Решение
ОДЗ:
Заменим: , получим:
, где .
Решаем уравнение:
; или
1) ; ; . .
2) , , , , .
; ; ; .
Ответ: 0,1, 1, 10.
Пример №23
Решение
и
\ :
Подставим во второе уравнение вместо число 5, получим:
или
составляем систему уравнений:
Ответ: (13;8)
Пример №24
Решение
ОДЗ:
;
,
; или
, .
Ответ: 5.
Пример №25
Решение
ОДЗ:
Прологарифмируем правую и левую части данного уравнения по основанию 10:
Получим:
или
Обозначив , перепишем записанное уравнение в виде:
.
Решая его относительно , находим , .
Используя обозначения , из первого решения квадратного уравнения имеем . Отсюда . Используя решение , получаем . Преобразуем правую часть этого уравнения:
. Значит, , т.е. .
Ответ: 30, 100.
Пример №26
Решение
Так как , то при и имеем равносильное уравнение:
или
.
,
Ответ: 5.
Пример № 27
Решение
ОДЗ:
Так как обе части уравнения положительны, то прологарифмируем по основанию 10:
,
; или
1) 2)
Ответ: 0.1, 100.
Пример №28
Решение
ОДЗ:
Так как обе части уравнения положительны, то прологарифмируем по основанию 3:
и , поэтому
Пусть , тогда
или .
1)
;
2)
Ответ: , 3.
Пример №29
Решение
1) , т.к. 0 в любой степени не равен 1.
2) = 1, =1, , или
=-1, , .
Так как 1 в любой степени равна 1, то это решения.
3) (т.к. )
При все решения принадлежат уравнению . или .
При = 0, что не удовлетворяет уравнению
,
Ответ: , .
, .
, .
Пример №30
Решение
ОДЗ:
=
1) , , .
2) Так как , то остальные решения получаем из уравнения : Отсюда или . , и , .
Ответ: , -, и , .
Пример №31
Решение
1) или , и . Это решение. .
2) , и
3) Так как , то ;
;
; . Это решение.
Ответ: ; 5; 3; 4.
Пример №32
Решение
при всех
1) , - решений нет.
2). Потому при левая часть равна единице, а правая нет. Это решение.
3) ;
;
;
;
;
;
;
и ;
; ;
; ;
;
;
- решений нет.
Ответ: -3, 3.
Пример №33
Решить графически уравнение:
Решение
У функции Д(y): x > 0 и log2 x > 0, т.е.,
x > 1. обл. определения х > 1.
А теперь: (формула перехода к новому основанию и определение логарифма).
Тогда (определение логарифма: ).
Так, что нужно только учитывать, что Д(у): x > 0.
Построим график функции (рис III.1).
у
2
1
0 1 4 х
Рис. III.1.
Ответ: (4; 2).
Пример №34
Решить систему уравнений:
Решение:
По определению логарифма имеем:
.
Прологарифмируем первое уравнение системы по основанию х.
.
Из второго уравнения системы выразим у через х:
,
Тогда:
Пусть , , Д = (-5)2 -4*1*4 = 9, , или .
1) 2)
Д = (-3)2 - 4*1*(-4) = 25 пусть , тогда
или Д = (-1)2 - 4*3*4 = -47<0
или корней нет
(-1,-1) - удовлетворяет ОДЗ
(4,4) решение системы уравнений.
Ответ: (4, 4).
Пример №35
Решите систему уравнений:
Решение.
По определению логарифма имеем:
Основание логарифма может быть:
1) (дробное)
(-1, 0) - не удовлетворяет ОДЗ.
2)
Выполним преобразования:
Прологарифмируем первое уравнение системы по основанию х:
,
, ,
или
Пусть , тогда
Д = (-)2 -4*1*(-2) = 9
или
: (х+1)
, где
;
1)
или
Решаем биквадратное уравнение
Примем , тогда получим
D = 32 - 4*1*(-4) = 25
; или
а)
б) ; (не удовлетворяет ОДЗ)
- решение системы уравнений.
2)
или
- (не удовлетворяет ОДЗ)
D = (-1)2 -4*4*3 = -47 - корней нет.
Ответ: . [ ]
Пример № 36
Решение
Для любого х и ОДЗ этого уравнения состоит из всех х удовлетворяющих условию , т.е. ОДЗ есть множество всех х из промежутка на этом множестве. Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений.
и
Решаем ее.
принадлежат . Они и являются решениями исходного уравнения.
Ответ: .
Глава IV. Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры.
Неравенства вида (или меньше) при а(х)>0 и решаются на основании свойств показательной функции: для 0 < а(х) < 1 при сравнении f(x) и g(x) знак неравенства меняется, а при а(х) > 1 - сохраняется.
Самый сложный случай при а(х) < 0. Здесь можно дать только общее указание: определить, при каких значениях х показатели f(x) и g(x) будут целыми числами, и выбрать из них те, которые удовлетворяют условию
Наконец, если исходное неравенство будет выполняться при а(х) = 0 или а(х) = 1 (например, когда неравенства нестрогие), то нужно рассмотреть и эти случаи.
Пример 1.
Решить неравенство:
23x:+7 < 22x-1.
Решение.
Здесь основание степени больше 1, поэтому, сравнивая показатели, запишем неравенство того же смысла: Зх + 7 < 2х - 1. Решив это неравенство, получим х < - 8.
Ответ: -8.
Пример 2.
Решить неравенство:
Решение.
Так как 625 = 252= , то за-данное неравенство можно записать в виде
Так как 0 < 0,04 < 1, то, сравнивая показатели, запишем неравенство противоположного смысла 5х - х2 - 8 = -2. Имеем последовательно
,
,
,
.
Решив последнее неравенство, полу-чим 2 х 3.
Таким образом множество решений заданного неравенства есть отрезок [2; 3].
Ответ: [2; 3].
Пример 3.
Решим неравенство
0,57-Зх < 4.
Решение
Пользуясь тем, что 0,5 -2 = 4, перепишем заданное нера-венство в виде
0,57-Зх < 0,5-2. Показательная функция y= 0,5x убывает (основание 0,5 меньше 1). Поэтому данное не-равенство равносильно неравенству 7 - Зх > - 2, откуда х < 3.
Ответ: ( -- оо ; 3).
Пример 4.
Решим неравенство
Показательная функция y = 6x возрастает. Поэтому дан-ное неравенство равносильно неравенству х2 + 2x > 3, решая которое, получим: (-оо; -3)
и (1; оо).
Ответ: (-оо; -3) и (1; оо).
Пример 5.
Решим неравенство:
Сделаем замену , тогда и неравенство перепишется в виде , откуда . Следовательно, решением данного неравенства являются числа х, удовлетворяющие неравенствам , и только такие числа. Но , , а функция убывает,
поскольку < 1. Поэтому решением неравенств будут числа х, удовлетворяющие неравенствам - 2 < х < 1.
Ответ: ( - 2; 1).
Пример 6.
Решение
1)
2 3 10
Изобразим на числовом луче
Должны выполняться все три неравенства, т.к. это система. Но при взятое не выполняется. Решений нет.
2)
Изобразим на числовом луче
10
Если , то
-решение системы неравенств.
Остальные случаи не дают решений, т.к. или 1 не удовлетворяют условию, а при т.е. получаем отрицательные числа с дробными показателями степени.
Ответ:
Пример 7
Решение
При , х = 2,5 или х = -1
При или можно записать .
При второе неравенство не выполняется. Система решений не имеет.
Изобразим на числовом луче решение системы неравенств
-1 2,5 3
Система не имеет решений.
2)
Изобразим на числовом луче решение системы неравенств
решение системы неравенств.
3) , - выражение имеет смысл тогда, когда х - 3 - целое число, чтобы показатель х - 3 был целым числом. Таким образом х - целое число в промежутке (-1; 2,5) т.е. х может принимать значения 0,1,2.
Проверка:
При - верно.
При - верно.
При - верно.
4) , х2 = 2,5 и х1 = -1
При х = -1 - не имеет смысла выражение 0-4.
При х = 2,5, 02,5 - не имеет смысла.
5)
;
При ; - верно.
При ; - верно.
Ответ: или .
Глава V. Опыт проведения занятий со школьниками
по данной теме.
Анализируя опыт проведения занятий по решению показательно-степенных уравнений и неравенств с учащимися в старших классах я пришла к выводу, что недостаточно времени уделяется на решения заданий и упражнений по данной теме. Всего в школьном курсе на изучение математики отводится 850 часов, из них на решение всех уравнений и неравенств всего лишь 12% учебного времени, а на решение показательно-степенных уравнений и неравенств вообще ничтожное количество часов. Однако, используя факультативные занятия в старших классах, кружковую работу, элективные курсы можно значительно увеличить возможность учащихся реализовать себя, усилить их подготовку к выпускным и вступительным экзаменам.
Проводя занятия с учащимися я стараюсь больше внимания уделять решению конкретных заданий и упражнений, на основе чего строю алгоритм решения и создаю модель решения заданий одного вида или похожих между собой
Задачи для самостоятельного решения.
Решить уравнения.
1. Ответ: .
2. Ответ: 2.
3. Ответ: 7; 14.
4. Ответ: .
5. Найдите произведение корней уравнения
Ответ: .
6. Ответ: .
7. Ответ: .
8. Ответ: .
9. Ответ:
10. Ответ: .
11. Ответ: 2; 3; 4; 11.
12. Ответ: .
13. Ответ: .
14. Ответ: -2; 0; 2.
15. Ответ: 1; 4; 5.
16. Ответ: нет решений.
17. Ответ: 1; 10; 10-3.
18. Ответ: 1; 8.
19. Ответ: -1; 1; 2.
20. Ответ: .
21. Ответ: 2; 10-1; 10-3.
22. Ответ: 0; 3.
23. Ответ: 0.
24. Ответ: .
25. Ответ: .
26.
Ответ: .
27. Ответ: .
28.
Ответ: .
29. Ответ: .
30. Ответ: .
31.
Ответ: .
32.
Ответ: .
33.
Ответ: .
34. Ответ: 0; 1.
35. Ответ: 1; 3.
36. Ответ: 0; 1; 5.
37. Ответ: 0; 5; 4.
38.
Ответ: .
39. Ответ: .
40. Ответ: .
41. Ответ: .
42. Ответ: .
43. Ответ: 1; 0,1; 0,01.
44.
45. Ответ: -2; -1; 3.
46. Ответ: -2; 0,6.
47. Ответ: .
48. Ответ: -4; -3,5; -2; -1.
49. Ответ: -0,2; 0,5; 1; 3.
50. Ответ: -2; 0,6.
Решить системы уравнений
1. Ответ: .
2. Ответ: (5;-1).
3. Ответ: .
4. Ответ: .
5. Ответ: .
6. Ответ: .
7. Ответ: .
8. Ответ: .
9. Ответ: .
10. Ответ: .
11.
Ответ: .
12. Ответ: .
13.
Ответ: .
14.
15.
16.
17.
Ответ: .
18.
Ответ: .
19.
Ответ: .
20. Ответ: .
21. Ответ: .
22. Ответ: .
23. Ответ: .
Решить неравенства.
1.
Ответ: если , то если то .
2. Ответ: .
3. Ответ: .
4. Ответ: .
5. Ответ: .
6. Ответ: .
7. Ответ: .
8. Ответ: .
9. Ответ: .
10. Ответ: .
11. Ответ: .
12. Ответ: .
13. Ответ: .
14. Ответ: .
15. Ответ: .
16. Ответ: .
17. Ответ: .
18. Ответ: .
19. Ответ: .
20. Ответ: .
21. Ответ: .
Заключение.
Подводя итоги данного дипломного исследования, можно сделать следующие выводы:
1. Показательно-степенные уравнения и неравенства представляют интерес для их изучения и использования в курсах школьной математики и элементарной математики в ВУЗе. Между тем, почти во всех пособиях они, если и рассматриваются, то не полно или не точно.
2. Для этого вида уравнений и неравенств может быть предложен алгоритм решения. Наибольшие трудности могут встретиться при решении показательно-степенных уравнений и неравенств в случае, когда основание степени отрицательно.
3. Проведенные по теме: «Показательно-степенные уравнения и неравенства» на уроках и факультативных занятия в школе показали доступность этой темы для учеников, интересующихся математикой. Для таких занятий изготовлен задачник, содержащий более 70 показательно-степенных уравнений и неравенств.
Мое предложение - больше уделять времени решению показательно-степенных уравнений и неравенств, т.к. это поможет учащимся успешно сдать ЕГЭ и вступительные экзамены в ВУЗы.
Материал, приведенный в данной работе может служить методическим пособием в работе с учащимися на уроках и факультативах.
Список используемой литературы.
1. Авербух Б.Г., Рубинштейн А.И. Об определении степени и решении уравнений и неравенств, содержащих показательно степенную функцию.//Математика в школе. - 1996.-№2.-с.29-33.
2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений: Колмагоров А.Н., Абрамов А.М., Дудинцын Ю.П. и др.; Под редакцией Колмагорова А.Н. - 12-е изд. - М.: Просвещение, 2002.
3. Белоненко Т.В., Васильев А.Е., Васильева Н.И., Крымская .Д. Сборник конкурсных задач по математике. - СПб.: Спецлитература, 1997.
4. Василенко Ю.К. Тождества, уравнения, неравенства: Пособие для повышения квалификации учителей математики. - Белаидит. Белгород, 2003.
5. Василюк Л.И., Куваева Л.А. Математика для абитуриентов: Справочник в экзаменационных вопросах и ответах. - Мн. Амалфея, 1999.
6. Давыденко И.О. Пособие по математике. Для поступающих в высшие учебные заведения (с анализом ошибок абитуриентов).- 2-е изд. - Томск,из-во Томского университета, 1973.
7. Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Математика для поступающих в ВУЗы. - М.: Дрофа, 2000.
8. Дудинцын Ю.П., Смирнова В.К. Содержание и анализ письменных экзаменационных работ по алгебре и началам анализа: Пособие для учителя. - М.: Просвещение, 1995.
9. Единый государственный экзамен: Математика: Контрольно-измерительные материалы./ Денищева Л.О., Бойченко Е.М., Глазков6 под редакцией Ковалевой Г.С; М-во образования Российской Федерацию - М.: Просвещение, 2003.
10. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1993.
11. Кутасов А.Д., Пиголкина Т.С., Чехлов В.И., Яковлева Т.Х.; под редакцией Яковлева Г.Н.. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы.- 2-е изд.- М.: Наука, 1985.
12. Математика. Методические указания по подготовке к вступительным экзаменам./ СПбГИТМО. - СПб., 2000.
13. Нараленков М.И. Вступительные экзамены по математике. Алгебра: как решать задачи: Учебно-практическое пособие. - М.: Экзамен, 2003.
14. Норин А.В. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы: Учебное пособие. - Спб.: Питер, 2003.
15. Потапов М.К., Олейник С.Н., Нестеренко Ю.В. Конкурсные задачи по математике: Справочное пособие. - 2-е изд. - М.: Физмалит, 2001.
16. Потапов М.К., Александров А.В., Пасиченко П.И. Алгебра и начала анализа. Современный курс для поступающих в ВУЗы. - М.: Экзамен, 1998.
17. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы./ Под ред. Проф. Прилепко А.И. - М.: Высшая школа, 1983.
18. Симонов А.Я., Бакаев Д.С., Элельман А.Г. Система тренировочных задач и упражнений по математике. - М.: Просвещение, 1991.
19. Сканави М.И. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы. - М.: Просвещение, 1988.
20. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочник пособие по методам решения задач по математике для средней школы. - М.: Наука. ГРФМЛ, 1984.
21. Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика. Интенсивный курс подготовки к экзаменам. - М.: Рольф, 1997.
22. Шарыгин И.Ф. Математика. Для поступающих в ВУЗы: Учебное пособие. - 4-е изд. -М.: Дрофа, 2002.
23. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Решение задач: Учебное пособие для 11 класса общеобразовательных учреждений. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1995.
24. Шахно К.У. Сборник задач по элементарной математике повышенной трудности: Высшая школа, 1967.
25. Якушева Е.В., Попов А.В., Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Экзаменационные вопросы и ответы. Алгебра и начало анализа 9 и 11 выпускные классы: Учебное пособие.- М.: АСТ-Пресс, 2000.
Подобные документы
Абсолютная величина и её свойства. Простейшие уравнения и неравенства с модулем. Графическое решение уравнений и неравенств с модулем. Иные способы решения данных уравнений. Метод раскрытия модулей. Использование тождества при решении уравнений.
курсовая работа [942,4 K], добавлен 21.12.2009Сведения из истории математики о решении уравнений. Применение на практике методов решения уравнений и неравенств, основанных на использовании свойств функции. Исследование уравнения на промежутках действительной оси. Угадывание корня уравнения.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 07.09.2010Стандартные методы решений уравнений и неравенств. Алгоритм решения уравнения с параметром. Область определения уравнения. Решение неравенств с параметрами. Влияние параметра на результат. Допустимые значения переменной. Точки пересечения графиков.
контрольная работа [209,4 K], добавлен 15.12.2011Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании, называется логарифмическим уравнением. Свойства логарифмической функции, методы решения уравнений и неравенств. Использование свойств логарифма. Решение показательных уравнений.
курсовая работа [265,0 K], добавлен 12.10.2010Понятие о голоморфном решении задачи Коши. Теорема Коши о существовании и единственности голоморфного решения задачи Коши. Решение задачи Коши для линейного уравнения второго порядка при помощи степенных рядов. Интегрирование дифференциальных уравнений.
курсовая работа [810,5 K], добавлен 24.11.2013Основные направления развертывания линии уравнений и неравенств в школьном курсе математики, ее связь с числовой и функциональной системой. Особенности изучения, аналитический и графический методы решения уравнений и неравенств, содержащих параметры.
курсовая работа [235,2 K], добавлен 01.02.2015Понятие неравенства, его сущность и особенности, классификация и разновидности. Основные свойства числовых неравенств. Методика графического решения неравенств второй степени. Системы неравенств с двумя переменными, с переменной под знаком модуля.
реферат [118,9 K], добавлен 31.01.2009Тригонометрические уравнения и неравенства в школьном курсе математики. Анализ материала по тригонометрии в различных учебниках. Виды тригонометрических уравнений и методы их решения. Формирование навыков решения тригонометрических уравнений и неравенств.
дипломная работа [1,9 M], добавлен 06.05.2010Применение теоремы Лагранжа при решении задач. Ее использование при решении неравенств и уравнений, при нахождении числа корней некоторого уравнения. Решение задач с использованием условия монотонности. Связи между возрастанием или убыванием функции.
реферат [726,8 K], добавлен 14.03.2013Определение степенного ряда. Теорема Абеля как определение структуры области сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов. Ряды Тейлора, Маклорена для функций. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена. Приложения степенных рядов.
реферат [89,3 K], добавлен 08.06.2010
