Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «ВИТЕБСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ П.М. МАШЕРОВА»

Факультет математики и информационных технологий

Кафедра алгебры и методики преподавания математики

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине Алгебра

Группы, кольца, поля

Беляева Ульяна Андреевна,

3 курс, 37 группа

Руководитель: Куликова Евгения Ивановна

доцент

Витебск 2021



Реферат

Курсовая работа 27 с., 4 источника.

ГРУППА, ПОДГРУППА, ПОЛУГРУППА, КОЛЬЦО, ПОДКОЛЬЦО, ПОЛЕ.

Объект исследования - группы, кольца, поля.

Предмет исследования - применение групп, колец, полей в алгебре.

Цель работы - изучить группы, кольца, поля, а также связанные с ними теоремы и определения.

Методы исследования: описательно-аналитический, сравнительно-сопоставительный.



Содержание

• Реферат
• Введение
• 1. Группа
• 1.1 Бинарная алгебраическая операция
• 1.2 Полугруппа
• 1.3 Понятие группы
• 1.4 Свойства групп
• 1.5 Примеры групп
• 1.6 Подгруппы
• 2. Кольцо
• 2.1 Понятие кольца
• 2.2 Простейшие свойства кольца
• 2.3 Примеры колец
• 2.4 Подкольцо
• 3. Поле
• 3.1 Понятие поля
• 3.2 Простейшие свойства поля
• 3.3 Примеры полей
• Заключение
• Литература


Введение

В своей работе я рассматриваю тему «Группы, кольца, поля».

Нам известно, что одним из основных понятий в курсе алгебры является понятие множества, а также определение различных операций на том или ином множестве. В математике постоянно приходится иметь дело с различными множествами: множество решений однородного уравнения, множество углов, множество граней и так далее. Роль, которую понятие множества играет в современной математике, определяется не только тем, что сама теория множеств стала в настоящее время весьма обширной и содержательной дисциплиной, но главным образом тем влиянием, которое теория множеств, возникшая в 70-х годах XIX века, оказывала и оказывает на всю математику в целом.

Задав на некотором множестве обязательные условия (аксиомы) мы можем получить полугруппу, группу, кольцо, поле и так далее, в зависимости от заданных условий.

В современной алгебре теория групп является наиболее важным, перспективным и интенсивно развивающимся направлением. Находясь на стыке многих направлений (общая теория групп, теория колец, теория чисел, и др.), теория групп представляет собой обширную область приложений в различных разделах современного естествознания.

Определения группы, кольца и поля играют важную роль в алгебре и ее приложениях. Именно этим обуславливается актуальность и выбор темы исследования пал краткому введению в теорию основных алгебраических систем: групп, колец, полей.

Были поставлены следующие задачи:

ь Определить понятия группы, кольца и поля, а также соответствующие им понятия;

ь Рассмотреть свойства групп, колец и полей;

ь Рассмотреть соответствующие леммы и теоремы и доказать их;

ь Привести различные примеры групп, колец и полей;

Цель моей курсовой работы: изучить группы, кольца, поля, а также связанные с ними теоремы и определения.

Объект исследования: группы, кольца и поля.

Предмет исследования: применение групп, колец, полей в алгебре.



1. Группа

1.1 Бинарная алгебраическая операция

Определение. Бинарной алгебраической операцией на множестве Х называют отображение декартова квадрата .

Если - бинарная операция на X, то каждой упорядоченной паре элементов из Х соответствует однозначно определенный элемент . Бинарную операцию на Х обозначают одним из следующих символов: +, , , , и т.д. Если вместо условимся писать , то вместо следует писать .

Наиболее часто используются две формы операции: аддитивная и мультипликативная. При аддитивной форме записи операцию называют сложением и вместо пишут . При мультипликативной форме записи операцию называют умножением и вместо пишут или . В дальнейшем будем использовать мультипликативную форму записи операции.

Говорят, что на множестве Х определена бинарная операция (умножение), если для всех . Если для всех , то операция называется ассоциативной. Если для всех, то операция называется коммутативной. Элемент называется единичным, если для всех Обратным к элементу называется такой элемент , что .

1.2 Полугруппа

Определение. Полугруппой называется непустое множество P с бинарной алгебраической операцией (умножение), которая удовлетворяет следующим двум требованиям:

1. операция определена на P, т.е. для всех ;

2. операция ассоциативна, т.е. для любых .

Теорема 1.1. В полугруппе может быть не более одного единичного элемента. Если в полугруппе имеется единичный элемент, то каждый элемент обладает не более чем одним обратным.

Доказательство:

Пусть - единичные элементы. Тогда , поскольку - единичный элемент, и , так как - единичный элемент. Поэтому . Пусть теперь - единичный элемент. Предположим, что - обратные к элементы, т.е. . Тогда . ?

Теорема 1.2. В полугруппе результат применения операции к нескольким элементам не зависит от способа распределения скобок.

Доказательство:

Пусть - элементы мультипликативной полугруппы P. Не меняя порядка следования элементов, можно разными способами вычислять их произведение. Для составим следующие произведения:

Поскольку операция ассоциативна, то . Для , используя свойство ассоциативности, легко доказать, что все пять произведений совпадают.

Продолжим доказательство индукцией по . Считаем, что для числа элементов, меньшего , справедливость утверждения установлена. Нам нужно показать, что

при любых . По предположению индукции произведения внутри скобок вычисляются однозначно. Пусть . Тогда

Теорема 1.2 позволяет использовать в полугруппах знак кратного умножения:

В частности, при произведение обозначают через и называют -й степенью элемента .

Следствие 1.3. Пусть P - полугруппа с заданной на мней бинарной алгебраической операцией (умножением) и Тогда для любых отличных от нуля натуральных чисел имеем:

.



1.3 Понятие группы

Определение. Группой называется непустое множество с бинарной алгебраической операцией), которая удовлетворяет следующим требованиям:

1. операция определена на , т.е. для всех ;

2. операция ассоциативна, т.е. для любых ;

3. в существует единичный элемент, т.е. такой элемент , что для всех ;

4. каждый элемент обладает обратным, т.е. для любого существует такой элемент , что .

Определение. Группу с коммутативной операцией называют коммутативной или абелевой.

Определение. Число элементов в группе называется порядком группы.

Определение. Группой называется непустое множество с бинарной алгебраической операцией (умножение), удовлетворяющей следующим требованиям:

1) операция определена на ;

2) операция ассоциативна;

3) уравнения имеют решения для любых элементов .

1.4 Свойства групп

Свойство 1.4. В группе имеется единственный единичный элемент и для каждого элемента существует единственный обратный.

Доказательство:

Допустим, что в некоторой группе есть два единичных элемента . Тогда из свойств единичного элемента следует, что



.

Таким образом, .

Теперь допустим, что у элемента есть два обратных элемента . Тогда из свойств обратного элемента следует, что

Следовательно, .

Свойство 1.5. Если , то .

Доказательство:

Первое равенство очевидно. Так как , то справедливо и второе равенство.

Свойство 1.6. В группе для любых элементов каждое из уравнений относительно переменных имеет в группе единственное решение.

Доказательство:

Элемент есть решение уравнения , так как С другой стороны, если - произвольное решение уравнения , то . Следовательно является единственным решением первого уравнения. Аналогично доказывается, что элемент является единственным решением второго уравнения.

Свойство 1.7 (закон сокращения). Для любых из следует и из следует .

Доказательство:

Если , то являются решениями уравнения . По лемме 1.4 отсюда следует, что . Аналогично доказывается, что из следует .

Свойство 1.8. Для любых элементов из следует и из следует .

Доказательство:

Если , то . По закону сокращения, из следует . Аналогично из следует и .

Свойство 1.9. Пусть - группа, элементы . Тогда:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) два класса сопряженных элементов либо совпадают, либо их пересечение пусто;

6) группа является объединением непересекающихся классов сопряженных элементов.

Доказательство:

1-4 утверждения очевидны.

5. Пусть и . Тогда для некоторых . Поэтому

.

Если . Аналогично , поэтому .

6. Так как , то каждый элемент группы принадлежит некоторому классу сопряженных элементов и, согласно утверждению 5, группа распадается на непересекающиеся классы сопряженных элементов.



1.5 Примеры групп

Приведем несколько примеров групп:

1. N,R - это абелевые группы относительно сложения.

2. Q,C - абелевые группы относительно сложения.

3. Множество всех подстановок на множестве A = {1, 2,..., n} будет группой относительно умножения подстановок.

4. Множество всех матриц n Ч n с действительными элементами является группой относительно операции сложения матриц.

5. Множество всех невырожденных матриц n Ч n с действительными элементами является группой относительно операции умножения матриц.

6. Множество Q*, состоящее из элементов множества Q, исключая ноль является абелевой группой относительно умножения.

7. Множество R*, состоящее из элементов множества R, исключая ноль является абелевой группой относительно умножения.

8. Множество C*, состоящее из элементов множества C, исключая ноль является абелевой группой относительно умножения.

1.6 Подгруппы

Определение. Подмножество группы называется подгруппой, если группа относительно той же операции, которая определена на группе

Запись означает, что - подгруппа группы .

Теорема 1.10. Непустое подмножество группы будет подгруппой тогда и только тогда, когда для всех .

Доказательство:

Пусть - подгруппа группы , т.е - группа относительно той же операции, которая определена на . На определена алгебраическая операция, поэтому для всех .

Проверим, совпадает ли единица подгруппы с единицей группы . Ясно, что , поскольку - элемент из . В для имеется обратный элемент , т.е. . Так как - единица в , то . Умножив обе части последнего равенства на , получим или , откуда . Таким образом, единицы подгруппы и группы совпадают.

Поскольку - подгруппа, то для каждого существует обратный элемент , т.е. такой, что . Это означает, что является обратным элементом в .

Обратно, пусть и для всех . Тогда на определена алгебраическая операция. Она ассоциативна в , так как ассоциативность справедлива для всех элементов из . Элемент , обратный к , также принадлежит , поэтому и . Поскольку , то и - группа.

Теорема 1.10 (в аддитивной формулировке). Непустое подмножество H группы G с операцией + является подгруппой группы G тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет следующим условиям:

1) Для любых a, b ? H a + b ? H (т.е. H замкнуто относительно операции +);

2) Для любых a ? H ? a ? H.

Отметим, что каждая группа обладает единичной подгруппой . Сама группа также считается подгруппой в . Эти подгруппы называют тривиальными подгруппами. Нетривиальная подгруппа группы - это такая подгруппа из , которая отличная от и .

Лемма 1.11.

1. Если - подгруппа группы и - подгруппа в , то - подгруппа группы .

2. Если и - подгруппы группы и содержится в , то - подгруппа в .

Пусть - подмножество группы и . Через обозначим подмножество всех элементов группы вида , где «пробегает» все элементы множества . Подмножество называется подмножеством, сопряженным подмножеству посредством элемента .

Лемма 1.12. Если - подгруппа группы , то - также подгруппа для любого .

Доказательство:

Пусть . Тогда существуют элементы такие, что , . Следовательно, , поскольку . Кроме того, , так как . Условия теоремы 1.10 выполняются, следовательно, - подгруппа.

Лемма 1.13. Пересечение любого непустого семейства подгрупп группы является подгруппой.

Доказательство:

Пусть , где - подгруппа группы для любого и - некоторое множество индексов. Если , то для всех . Значит, и . Если для всех . Следовательно, и - подгруппа группы согласно теореме 1.10.



2. Кольцо

2.1 Понятие кольца

Определение. Непустое множество с двумя бинарными алгебраическими операциями (сложением и умножением) называется кольцом, если выполняются следующие условия:

1) множество К является абелевой группой;

2) умножение определено на и ассоциативно;

3) операция умножение связана с операцией сложения законами дистрибутивности: для любых .

Определение. Группа (, +) называется аддитивной группой кольца . Нуль этой группы, т.е. нейтральный элемент относительно сложения, называется нулем кольца и обозначается через 0 или .

Если в кольце умножение коммутативно, т.е. для любых , то К называется коммутативным кольцом.

Если в К существует элемент такой, что для всех , то называют единицей кольца , а само кольцо - кольцом с единицей. Единичный элемент обозначается также через .

Определение. Кольцо называется областью целостности, если оно коммутативно, и для любых из следует или .

Определение. Элементы кольца называются делителями нуля, если .

Отметим, что любая область целостности не имеет делителей нуля.

Определение. Элемент кольца с единицей называется обратимым элементом, или делителем единицы, если существует элемент , для которого .

2.2 Простейшие свойства кольца

Пусть - кольцо. Так как множество (, +) есть абелева группа, то в силу свойства 1.6 для любых элементов уравнение имеет единственное решение , которое обозначается также через .

Теорема 2.1. Пусть К - кольцо. Тогда для любых элементов :

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Доказательство:

1)

.

2)

.

3)

4)

7)

группа поле кольцо алгебраический

2.3 Примеры колец

При обычных операциях сложения и умножения кольцом является:

1. Множество целых чисел.

2. Множество рациональных чисел.

3. Множество действительных чисел.

4. Множество рациональных чисел.

5. Множество, состоящее лишь из одного числа 0.

6. Множество четных чисел и вообще множество целых чисел, кратных некоторому числу n.

7. Множество комплексных чисел с целыми a и b (так называемое кольцо целых комплексных чисел).

8. Множество действительных чисел , где a и b - целые числа.

Множество натуральных чисел, а также множество всех положительных рациональных чисел кольцами не являются, так как не выполняется аксиома 3.

2.4 Подкольцо

Определение. Непустое подмножество элементов кольца называют подкольцом, если само является кольцом относительно операций сложения и умножения, определенных в .

Теорема 2.2. Непустое подмножество элементов кольца является его подкольцом тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

1)

2)

3)

Доказательство:

Необходимость. Пусть -- подкольцо кольца (,+, ·). Тогда --подгруппа группы (, +). Поэтому по теореме 1.10 (в аддитивной формулировке), удовлетворяет условиям 1) и 2). Кроме того, замкнуто относительно операции умножения, определенной в , т.е. удовлетворяет и условию 3).

Достаточность. Пусть ? , H = ? и удовлетворяет условиям 1) ? 3). Из условий 1) и 2) по теореме 1.10 следует, что --подгруппа группы (, +), т.е. (, +)--группа. При этом, так как (, +)--абелева группа, (, +) также абелева. Кроме того, из условия 3) следует, что умножение является бинарной операцией на множестве . Ассоциативность операции · в и ее дистрибутивность относительно операции + следуют из того, что такими свойствами обладают операции + и · в .

Отметим, что условия 1) и 2) могут быть заменены одним условием

Всякое кольцо содержит нулевое подкольцо, т.е. подкольцо, состоящее из одного нулевого элемента 0. Само кольцо является своим подкольцом.



3. Поле

3.1 Понятие поля

Определение. Элемент кольца называется обратимым элементом кольца, если в кольце существует такой элемент , что . При этом элементы называют взаимно обратными.

Определение. Полем называется коммутативное кольцо с единицей, , в котором каждый ненулевой элемент обратим.

Множество ненулевых элементов поля замкнуто относительно операции умножения, так как если произведение двух ненулевых элементов a и b равно нулю, то цепочка равенств

немедленно приводит к противоречию с условием . Таким образом, в поле нет делителей нуля, а все его ненулевые элементы образуют коммутативную группу, которая называется мультипликативной группой поля. Воспользуемся этим свойством и дадим новое, независимое от понятия кольца определение поля.

Определение. Непустое множество с двумя бинарными алгебраическими операциями (сложением и умножением) называется полем, если выполняются следующие условия:

1) множество с операцией сложения является абелевой группой;

2) множество всех ненулевых элементов с операцией умножения также является абелевой группой;

3) операция сложения связана с операцией умножения законами дистрибутивности: для любых .

Определение. Поле называется конечным, если оно состоит из конечного числа элементов.

Определение. Пусть - поле. Группа (, +) - называется аддитивной группой поля. Её нейтральный элемент называется нулём поля и обозначается символом 0 или .

Элемент 1, нейтральный относительно умножения, называется единицей поля и обозначается также символом .

Определение. Подполем поля называется подкольцо поля , в котором всякий ненулевой элемент обратим. Подполе поля, отличное от , называется собственным подполем.

Определение. Поле называется простым, если оно не имеет собственных подполей.

3.2 Простейшие свойства поля

Пусть - элементы поля и . Уравнение имеет в поле решение ; легко проверить, что является единственным решением уравнения. Элемент обозначается символом или .

Теорема 3.1. Пусть - поле. Тогда для любых элементов поля:

1) если , то и

2) если и , то

3) если , то

4) если и , то

5) тогда и только тогда, когда

7)

8)

9)

Доказательство:

(1) Если , то , так как при , что в поле невозможно. Поскольку , существует элемент , обратный , и .

(2) Если и , то в поле существуют элемент и

.

(3) Из следует . В самом деле, если , то существует элемент и

(4) По закону контрапозиции, из (3) следует, что

(5) Пусть . Тогда, и

Обратно: из равенства

при следуют равенства

(6) Так как , то

(7) При

(8) При

.

(9) Если и , то

(10) При



3.3 Примеры полей

Приведем несколько примеров полей:

1. Множество R - вещественных чисел;

2. Множество Q - рациональных чисел;

3. Множество С - комплексных чисел;

4. Множество - из двух элементов;

5. Для каждого простого числа p мы имеем поле вычетов Z_p из p элементов.



Заключение

Хочу подвести итоги своей курсовой работы. Цель, сформулированная вначале, была достигнута. Задачи курсовой работы выполнены. А именно, в этой работе удалось:

ь Определить понятия группы, кольца и поля, а также соответствующие им понятия;

ь Рассмотреть свойства групп, колец и полей;

ь Рассмотреть соответствующие леммы и теоремы и доказать их;

ь Привести различные примеры групп, колец и полей;

С помощью исследования учебных пособий удалось проанализировать теоретическую часть и изложить ее в данной курсовой работе. Кроме того, были приведены доказательства теорем и лемм.

Также стоит отметить, что теоретическая часть была подкреплена различными примерами, которые подчеркивали теоретический материал.

Тема «Группы, кольца, поля» является очень актуальной в наше время, так как является неотъемлемой частью алгебры. В данной курсовой работе удалось проанализировать основные понятия и теоремы, касающиеся этой темы.



Литература

1. Куликов, Л.Я. Алгебра и теория чисел: Учебное пособие для педагогических институтов / Л.Я. Куликов. Москва: "Высшая школа", 1979. 559 с

2. Монахов, В.С. Введение в теорию конечных групп и их классов: учебное пособие / В.С. Монахов. Минск: "Вышэйшая школа", 2006. 207 с.

3. Чашкин, А.В. Элементы конечной алгебры: группы, кольца, поля, линейные пространства: учебное пособие / А.В. Чашкин, Д.А. Жуков. Москва: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2016. 368 с.

4. Воробьев, Н.Н. Алгебра: группы, кольца, поля. Комплексные числа: методические рекомендации / Н.Н. Воробьев, С.Н. Воробьев, М.И. Наумик. Витебск: ВГУ имени П.М.Машерова, 2016. 56 с.

Размещено на Allbest.ru