• Введение
• Страницы из биографии Пифагора
• Теорема Пифагора
• Доказательства методом площадей
• Примеры задач на применение теоремы Пифагора
• Пифагоровы Штаны
• Дерево Пифагора
• Пифагорова тройка
• Примитивные тройки
• Пентаграмма
• Литература

Введение

В современном мире Пифагор считается великим математиком и космологом древности, однако ранние свидетельства до III в. до н.э. не упоминают о таких его заслугах. Как пишет Ямвлих про пифагорейцев: "У них также был замечательный обычай приписывать всё Пифагору и нисколько не присваивать себе славы первооткрывателей, кроме, может быть, нескольких случаев. "

Античные авторы нашей эры отдают Пифагору авторство известной теоремы: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равняется сумме квадратов катетов. Такое мнение основывается на сведениях Аполлодора-исчислителя (личность не идентифицирована) и на стихотворных строках (источник стихов не известен):

"В день, когда Пифагор открыл свой чертёж знаменитый,

Славную он за него жертву быками воздвиг. "

Современные историки предполагают, что Пифагор не доказывал теорему, но мог передать грекам это знание, известное в Вавилоне за 1000 лет до Пифагора (согласно вавилонским глиняным табличкам с записями математических уравнений). Хотя сомнение в авторстве Пифагора существует, но весомых аргументов, чтобы это оспорить, нет.

Аристотель затрагивает развитие представлений о космологии в работе "Метафизика", однако вклад Пифагора в ней никак не озвучен. По Аристотелю космологическими теориями занимались пифагорейцы в середине V в. до н.э., но, видимо, не сам Пифагор. Пифагору приписывают открытие, что Земля - шар, но то же открытие наиболее авторитетный автор в этом вопросе, Феофраст, отдаёт Пармениду. Да и Диоген Лаэртский сообщает, что суждение о шарообразности Земли высказывал Анаксимандр Милетский, у которого учился Пифагор в юности.

В то же время, научные заслуги школы пифагорейцев в математике и космологии бесспорны. Точку зрения Аристотеля, отражённую в его несохранившемся трактате "О пифагорейцах", передал Ямвлих. По Аристотелю истинными пифагорейцами были акусматики, последователи религиозно-мистического учения о переселении душ. Акусматики рассматривали математику как учение, исходящее не столько от Пифагора, сколько от пифагорейца Гиппаса. В свою очередь математики-пифагорейцы, по их собственному мнению, вдохновлялись направляющим учением Пифагора для углублённого изучения своей науки.

Пифагорейская школа

Моральный кодекс Пифагорейцев: "Золотые стихи":

Беги от хитрости

Отсекай огнём от тела - болезнь, от души - невежество, от города - смуту, от семьи - ссору…

Есть 2 поры учил Пифагор, наиболее подходящие для размышлений:

когда идёшь ко сну и когда просыпаешься ото сна. В это время требуй от себя отчёта, оцени, что сделал и что предстоит сделать…

Измеряй свои желания, взвешивай свои мысли, исчисляй свои слова…

Система знаний в школе состояла из 4 разделов:

Арифметики - учения о числах

Геометрии - учения о фигурах

Астрономии - учения о строении мира

Музыки - учения о гармонии и теории музыки

Эта система, заложенная Пифагором просуществовала тысячелетия…

Теорема Пифагора

Формулировки.

Теорема Пифагора: Сумма площадей квадратов, опирающихся на катеты (a и b), равна площади квадрата, построенного на гипотенузе (c).

Геометрическая формулировка:

Изначально теорема была сформулирована следующим образом:

В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Алгебраическая формулировка:

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b:

Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника.

Обратная теорема Пифагора:

Для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой, что , существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.

Доказательства.

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.

Данный факт даже нашёл отражение в художественной литературе: в повести "Приключения Электроника" Евгения Велтистова главный герой на школьном уроке математики приводит у доски 25 различных доказательств теоремы Пифагора, повергнув в изумление учителя и всех одноклассников.

Разумеется, концептуально все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них: доказательства методом площадей, аксиоматические и экзотические доказательства (например, с помощью дифференциальных уравнений).

Через подобные треугольники.

Следующее доказательство алгебраической формулировки - наиболее простое из доказательств, строящихся напрямую из аксиом. В частности, оно не использует понятие площади фигуры.

Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из C и обозначим её основание через H. Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC. Введя обозначения

Получаем

Что эквивалентно

Сложив, получаем

Или , что и требовалось доказать

Доказательства методом площадей

Доказательство через равнодополняемость.

Расположим четыре равных прямоугольных треугольника так, как показано на рисунке.

Четырёхугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых углов 90°, а развёрнутый угол - 180°.

Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и площади внутреннего квадрата.

Что и требовалось доказать.

Теорема почти всюду носит имя Пифагора, но в настоящее время все согласны с тем, что она была открыта не Пифагором. Однако одни полагают, что он первым дал её полноценное доказательство, другие же отказывают ему и в этой заслуге.

Примеры задач на применение теоремы Пифагора

Задача №1

Решение:

Д АВС - прямоугольный с гипотенузой АВ, по теореме Пифагора:

АВ² = АС² + ВС^2,АВ² = 8² + 6^2,АВ² = 64 + 36,АВ² = 100,АВ = 10.

Ответ:

АВ = 10

Задача №2

Решение:

Д DCE - прямоугольный с гипотенузой DE, по теореме Пифагора:

DE² = DС² + CE^2,DC² = DE² - CE^2,DC² = 5² - 3^2,DC² = 25 - 9,DC² = 16,DC = 4.

Ответ:

DC = 4

Получили прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 ед. Это единственный прямоугольный треугольник, стороны которого равны трём последовательным натуральным числам. Его часто называют египетским треугольником, так как он был известен ещё древним египтянам. Они использовали этот треугольник в "правиле верёвки" для построения прямых углов при закладке зданий, храмов, алтарей…

Задача №3

Решение:

Д KLM вписан в окружность и опирается на диаметр KM (рис.14). Так как вписанные углы, опирающиеся на диаметр, - прямые, то угол KLM - прямой. Значит, Д KLM - прямоугольный. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника KLM с гипотенузой КМ:

KM² = KL² + KM^2,KM² = 5² + 12^2,KM² = 169,KM = 13.

Ответ:

KM = 13

Задача №4

Высота, опущенная из вершины В Д АВС, делит сторону АС на отрезки, равные 16см и 9см.

Найдите сторону ВС, если сторона АВ равна 20 см (рис.).

Дано:

Д АВС, BD - высота,

АВ = 20 см, AD = 16 см, DC = 9 см.

Найти: ВС.

Решение:

1) По условию задачи BD - высота, значит, Д ABD и Д CBD - прямоугольные.

2) По теореме Пифагора для Д ABD:

АВ² = AD² + BD², отсюда

BD² = AB² - AD^2,BD² = 20² - 16^2,BD² = 400 - 256,BD² = 144,BD = 12.

3) По теореме Пифагора для Д СBD:

ВС² = ВD² + DС², отсюда

BC² = 12² + 9^2,BC² = 144 + 81,BC² = 225,BC = 15.

Ответ: сторона BC равна 15 см.

Пифагоровы Штаны

История.

В старых школьных учебниках приводилось доказательство теоремы через получение равенства суммы площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, площади квадрата, построенного на гипотенузе этого треугольника. Построенные на сторонах треугольника и расходящиеся в разные стороны квадраты напоминали покрой мужских штанов, что породило шуточные фразы: "Пифагоровы штаны на все стороны равны".

Дерево Пифагора

Дерево Пифагора - разновидность фрактала, основанная на фигуре, известной как "Пифагоровы штаны".

История.

Пифагор, доказывая свою знаменитую теорему, построил фигуру, где на сторонах прямоугольного треугольника расположены квадраты. В наш век эта фигура Пифагора выросла в целое дерево. Впервые дерево Пифагора построил А.Е. Босман (1891-1961) во время второй мировой войны, используя обычную чертёжную линейку.

Особенности.

Одним из свойств дерева Пифагора является то, что, если площадь первого квадрата равна единице, то на каждом уровне сумма площадей квадратов тоже будет равна единице.

Если в классическом дереве Пифагора угол равен 45 градусам, то также можно построить и обобщённое дерево Пифагора при использовании других углов. Такое дерево часто называют обдуваемое ветром дерево Пифагора. Если изображать только отрезки, соединяющие каким-либо образом выбранные "центры" треугольников, то получается обнаженное дерево Пифагора.

Примеры:

Классическое дерево Пифагора

Обдуваемое ветром дерево Пифагора

Обнаженное дерево Пифагора

Обнаженное обдуваемое ветром дерево Пифагора

Пифагорова тройка

Пифагоровы тройки, это числа, удовлетворяющие теореме Пифагора:

3, 4, 5; 7, 24, 25; 11,60, 61; 15, 8, 17; 33, 56, 65;

35, 12, 37; 63, 16, 65;

Эти числа обладают рядом интересных свойств:

Один из катетов должен быть кратным трём

Один из катетов должен быть кратным четырём

Одно из пифагоровых чисел должно быть кратно пяти

В математике пифагоровой тройкой называется кортеж из трёх натуральных чисел удовлетворяющих соотношению Пифагора:

Примитивные тройки

Поскольку уравнение однородно, при домножении , , и на одно и то же натуральное число получится другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка называется примитивной, если она не может быть получена таким способом из какой-то другой пифагоровой тройки, то есть, являются взаимно простыми числами.

пифагор теорема штаны дерево

Нетрудно видеть, что в примитивной тройке числа x и y имеют разную чётность, причем чётное делится на 4, а,z - всегда нечётно.

Любая примитивная пифагорова тройка где x - нечётно, а y - чётно, однозначно представляется в виде для некоторых натуральных взаимно простых чисел разной чётности, которые можно вычислить по формулам:

Наоборот, любая такая пара чисел задаёт примитивную пифагорову тройку

Свойства.

Треугольник, длины сторон которого равны пифагоровым числам, является прямоугольным. Кроме того, любой такой треугольник является героновым, то есть, все его стороны и площадь являются целочисленными. Простейший из них - египетский треугольник со сторонами

Всякая пифагорова тройка задаёт точку с рациональными координатами на единичной окружности

Неизвестно, существуют ли две различные пифагоровы тройки, имеющие одинаковое произведение.

Примеры.

(3, 4,5), (6, 8,10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50), …

История.

Пифагоровы тройки известны очень давно. В архитектуре древнемесопотамских надгробий встречается равнобедренный треугольник, составленный из двух прямоугольных со сторонами 9, 12 и 15 локтей. Пирамиды фараона Снофру (XXVII век до н.э.) построены с использованием треугольников со сторонами 20, 21 и 29, а также 18, 24 и 30 десятков египетских локтей.

Пентаграмма

1. Жмудь Л.Я. Пифагор и его школа. - М.: Наука, 1990. - ISBN 5-02-027292-2

2. Жмудь Л.Я. Наука, философия и религия в раннем пифагореизме. - СПб., 1994. - 376 с. - ISBN 5-86050-066-1

3. Фрагменты ранних греческих философов. Часть 1: От эпических космогоний до возникновения атомистики, Изд. А.В. Лебедев. - М.: Наука, 1989. - с.138-149.

4. Леонтьев А.В. Традиция о Пифагоре у Аристоксена и Дикеарха // Человек. Природа. Общество. Актуальные проблемы. Материалы 11-й международной конференции молодых ученых 27-30 декабря 2000 г. - Издательство Санкт-Петербургского университета. 2000. - С.298-301.

5. Леонтьев А.В. К вопросу об образе Пифагора в античной традиции VI-Vвеков до н.э. // Мнемон. Исследования и публикации по истории античного мира. Под редакцией профессора Э.Д. Фролова. - Выпуск 3. - Санкт-Петербург, 2004.

6. Панченко Д.В. Парадокс Пифагора // Индоевропейское языкознание и классическая филология - XII: Материалы чтений, посвященных памяти проф. И.М. Тронского 23-25 июня 2008 г. С.355-363.

7. Сигачёв А.А. Пифагор

8. Скопец З.А. Геометрические миниатюры. М., 1990

9. Еленьский Щ. По следам Пифагора. М., 1961

10. Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. М., 1959

11. Глейзер Г.И. История математики в школе. М., 1982

12. В. Литцман, "Теорема Пифагора" М., 1960.

13. Сайт о теореме Пифагора с большим числом доказательств материал взят из книги В. Литцмана, большое число чертежей представлено в виде отдельных графических файлов.

14. Теорема Пифагора и пифагоровы тройки глава из книги Д.В. Аносова "Взгляд на математику и нечто из нее"

15. История теоремы Пифагора

16. О теореме Пифагора и способах ее доказательства Г. Глейзер, академик РАО, Москва

17. Интерактивный пазл-доказательство теоремы Пифагора

Размещено на Allbest.ru