Динамика движения крови в кровеносных сосудах

2) законами сохранения массы

; ; (3.22)

; (3.23)

формулой Пуазейля, принятой в физиологии, для каждого из имеющихся в сердце путей тока крови

(если легочный клапан открыт,) иначе ;

(если аортальный клапан открыт,) иначе ;

(3.24)

(если атриовентрикулярный клапан открыт), иначе Q_1,4= 0

Q_2,3 = (если митральный клапан открыт), иначе Q_2,3 = 0;

Q_1,2 =(если есть дефект межжелудочковой перегородки),иначе Q_1,2 = 0

Q_3,42 = (если есть дефект межпредсердной перегородки),иначе Q_3,4 = 0

Для замыкания этой системы дифференциальных уравнений к ней следует присоединить еще 4 соотношения. Ими могут быть:

* либо задаваемые давления на 4 сосудах, которые соединяют камеры сердца с другими частями ССС

(j= 5,6,7,8), (3.25)

* либо (усредненные по сердечному циклу) соотношения между выходами желудочков

(3.26)

.

Начальные условия для этой системы ОДУ задавать не требуется, вместо них используются условия периодичности (одинаковости параметров всех камер в начале и в конце сердечного цикла).

Фактически могут быть измерены только кровотоки и давления, тогда как константы модели (их более 20) требуется подобрать для максимального соответствия наблюдаемым данным.

Как видно из приведенного описания, данная модель предполагает, что давления, создаваемые стенками желудочков, являются известными (заданными) функциями времени, т.е. в модели не учитывается ни коронарное кровообращение, ни иннервация различных частей миокарда, приводящая к синхронизированному напряжению, создающему, в свою очередь, волны повышенного давления (систола) и активного его понижения (диастола).

3.4 Квазиодномерная модель гемодинамики

Рассмотрим прямолинейный сосуд с жесткой стенкой, сечение которого, оставаясь по форме круглым, мало меняется вдоль оси x, так что локально течение в сосуде считаем пуазейлевским.

Записывая закон Бернулли с добавлением в него силы тяжести и силы трения (пропорциональной вязкости и скорости и обратно пропорциональной площади поперечного сечения), приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению квазиодномерного стационарного приближения

= , (3.27)

где постоянными являются кровоток в сосуде Q, ускорение свободного падения, угол между положительным направлением (в сторону, куда течет кровь) оси трубки и направлением вертикали, плотность и кинематическая вязкость кровис,v, а меняется только сечение сосуда S(x) =р r² (x).

Из (27) выводится явная аналитическая формула для величины давления в разных сечениях сосуда

. (3.28)

В частности, при S(x) = constснова приходим к пуазейлевской зависимости линейного уменьшения давления вдоль направления кровотока.

Формула (28) дает начальное приближение (S(x) = S₀ (x), P (x) = P₀ (x)), которое будет использоваться при расчете пульсовых волн, возникающих в стенке, обладающей упругостью.

Для учета упругих свойств стенки, можно задать "уравнение состояния"S = S(P ), которое нужно добавить к системе нестационарных уравнений Навье - Стокса

; cos , (3.29)

где давление и скорость будут на этот раз функциями не только продольной координаты x, но и времени t. В простейшем приближении тонкой изотропной оболочки, отклонения сечения S(x, t) от значений стационарного режима S₀ (x) пропорциональны отклонению давления P (x, t) от P₀ (x):

P(x,t)= P₀(x) + p(x,t); S(x,t)=S₀(x) + s(x,t);

s(x,t) = Oс(x,t); O=O(x):=S^ґ_P??P=P?(x). (3.30)

Подставляя эти соотношения в (27) и оставляя только члены, линейные относительно p(x,t) и s(x,t), приходим к линеаризованным уравнениям гемодинамики с трением ЛГДТ

Система уравнений, которое относится к гиперболическому типу, замыкается начальными условиями u(x, 0) = (x), p(x, 0) = (x).

Приближенное аналитическое решение удается получить лишь тогда, когда постоянства кровотока и сосуда постоянного сечения и постоянной жесткости: Q const, S0 (x) = S0 const, (x) = 0 const.

Функции f± (x (U ± c)t представляют собой две бегущие волны произвольной формы, которые распространяются в сосуде со скоростями U ± c.

В случае переменных коэффициентов, например, для практически важного случая конусного сужения крупных артерий и меняющейся их жесткости, а также при сложных нелинейных зависимостях S = S(P, x) следует применять разностные методы непосредственно к решению исходной системы уравнений Навье - Стокса (3), т.е. не используя процедуры линеаризации.

Опишем общую схему численного решения уравнений гемодинамики.

Далее, строится разностная схема, т.е. производные по x и по t заменяются разностными отношениями значений искомых величин в узлах сетки. При этом нужно выполнить два требования: во-первых, соответствующая дискретизированная величина должна стремится к требуемой производной при h, 0 с погрешностью O(h +) (свойство аппроксимации) и, во-вторых, решение получаемой алгебраической задачи с N M переменными должно быть единственным и зависящим непрерывно от начальных данных (свойство устойчивости, т.е. при выборе соответствующих норм должна иметь место оценка с постоянной M,

Согласно классической теореме А.А. Самарского (см. напр. [9, часть III, гл. 1, § 6]), если исходная дифференциальная задача поставлена корректно, разностная схема аппроксимирует исходную задачу и является устойчивой, то решение разностной задачи сходится к решению дифференциальной задачи и порядок точности решения совпадает с порядком аппроксимации.

Следует отметить, что далеко не всякая разностная схема обладает свойством устойчивости. Наиболее устойчивыми являются так называемые неявные схемы, когда приближаемые производные вычисляются по неизвестным значениям на (k + 1)-м слое по времени, например, абсолютно устойчивая неявная схема для системы (5) имеет вид S(Pj,k+1 ) S(Pj,k ) Uj+1,k+1 S(Pj+1,k+1 ) Uj1,k+1 S(Pj1,k+1 ) Uj,k+1 Uj,k Uj+1,k+1 Uj1,k+1 Pj+1,k+1 Pj1,k+ Здесь известными являются физические параметры: -,, g, L, T, количества узлов J и K по переменным x и t, а также функциональная, нелинейная, зависимость площади сечения от давления, S = S(P ). Кроме того, заданы значения искомых переменных P (x, t), U (x, t) на нулевом временном слое Pj,0, Uj,0. Для нахождения значений Pj,k, Uj,k, k 0, которые представляют собой приближенные значения искомых давлений и скоростей в узлах сетки, разработаны специальные итерационные методы.

сердце кровь гемодинамика сосуд

4. Математические модели движения крови в системе сосудов с упругими стенками

4.1 Материалы и методы

Рассматриваем осесимметричное течение крови, которая принимается вязкой и несжимаемой жидкостью, в цилиндрическом сосуде постоянного радиуса R. Движение происходит в цилиндрической системе координат (x, r, и), причем ось x совпадает с осью симметрии движения. Материал стенки считаем идеально упругим и изотропным.

Перемещения стенок будем представлять в виде суммы:

u_общ(x,t) = u(x,t) + u₀(x,t), w_общ(x,t) = w(x,t) + w₀(x,t),

где u(x,t) - упругие движения в продольном направлении, w(x,t) - в поперечном, а функции u ₀(x,t), w₀(x,t) описывают дополнительное смещение стенки сосуда, вызываемое реактивным мышечным сокращением при прохождении по сосуду пульсовой волны давления, то есть при работе вторичного сердца.

Система уравнений движения кровотока в гибких цилиндрических сосудах в таком случае будет:

, (4.1)

=

=

где p - давление; м - вязкость крови; с - плотность крови; v_x - осевая компонента скорости крови; t - время; u, w - перемещения стенки в продольном и поперечном направлениях; v_r - радиальная компонента скорости крови; R - радиус сосуда; S?, T? - силы натяжения в окружном и продольном направлениях соответственно; S₀, T₀ - начальные значения сил натяжения в окружном и продольном направлениях; коэффициент Пуассона; E - модуль Юнга стенки; н -h - толщина стенки сосуда; с₀ - массовая плотность материала стенки сосуда.

Третье уравнение системы получено из уравнений Навье-Стокса для осесимметричного течения вязкой несжимаемой жидкости. Оно заменяет уравнение неразрывности.

На стенке задаются кинематические и статические контактные условия:

1. Статические условия:

(4.2)

2. Кинематические условия:

¦_??=?? = + ,

¦_??=?? = + . (4.3)

Цель и задача заключается в нахождении общего решения системы уравнений (1) с граничными условиями (2), (3). В силу линейности уравнений задача распадается на однородную и неоднородную. Сначала построится общее решение однородной задачи, после чего найдем частное решение неоднородной.

В этом однородном случае решение будем искать в виде простых гармонических волн вида:

ц = ,

.(4.4)

Здесь ч - волновое число; - частота пульсации кровотока.

Подставляя функции (4) в первые три уравнения системы (1), получим значения для амплитуд скоростей и давления:

.(4.5)

где - функции Бесселя первогорода порядков 1 и 0.

Далее, будем строить частные решения для каждой волновой гармоники , подставим в однородную систему (1) значения (5), а также функции (4) и выполним однородные кинематические условия (2). Получая систему линейных однородных алгебраических уравнений относительно произвольных постоянных , A и B. Ненулевое решение системы существует тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю.

Таким образом, получим дисперсионное уравнение следующего вида:



Здесь .

Для решения, полной краевой задачи с учетом граничных условий на входе и выходе из ССС необходимо решить дисперсионное уравнение для конечных значений волновых чисел (конечных гармонических частот колебаний). Для определения числа решений и начального приближения может быть использован контурный график начальных точек дисперсионных кривых, полученный в программном пакете РТС Mathcad.

В случае (0.00001)малых коэффициентов вязкости дисперсионное уравнение имеет два комплексных решения. Контурный график представлен на рисунке 4.1.

Рис. 4.1. Начальные точки дисперсионных кривых в случае малой вязкости крови



Рис. 4.2. Начальные точки дисперсионных кривых в случае большой вязкости крови

Используя полученные точки в качестве начальных приближений для построения нашего решения дисперсионного уравнения, можно построить необходимые для данного случая дисперсионные кривые. Наличие дисперсионных кривых позволяет завершить решение полной краевой задачи с учетом краевых и контактных условий поставленной задачи.

Таким образом, общее решение уравнений однородной системы (4.1) построено.После перейдем к построению частного решения неоднородной системы.

Решение частной неоднородной системы для каждой волновой гармоники будет:

= ,



.(4.6)

где,

параметр Уомерсли, - скорость пульсовой волны давления Моянса-Кортевега.

Функции , , показывающие работу распределенного сердца, определяются из данного эксперимента. Следует отметить, что установившееся течение вязкой жидкости при дополнительном мышечном воздействии возможно, если среднее ускорение реактивного перемещения стенок равно 0. В простейшем случае функции реактивного перемещения стенок могут быть прописаны в таком виде:

где:- параметры, характеризующие степень мышечной активности,0 q1, T - период пульсации жидкости (крови).

В таком случае, график ускорения реактивного перемещения стенок будет антисимметричным, и среднее ускорение будет равно нулю (рис. 4.3).



Рис. 4.3. Реактивное ускорение стенок сосуда ССС

Затем, раскладывая в ряды Фурье функции скорости и ускорения реактивного перемещения стенок сосуда и подставляя в неоднородную систему (1) и в контактные условия (2) функции (6), получим систему линейных алгебраических уравнений относительно постоянных u₁₀, w₁₀, A₀, B₀, «определитель» которого будет отличен от нуля, так как не является корнем дисперсионного уравнения.

Решая данную систему, определим неизвестные постоянные и построим базовые частные решения для продольной и поперечной частей скорости. Сумма решений, найденных для каждой волновой гармоники , даст решение системы уравнений (4.1) с кинематическими контактными условиями (4.2).

В последствии, задача о построении решения системы уравнений (1) с граничными условиями (4.2), (4.3) будет решена. Расчеты с помощью построенной трехмерной аналитической модели трудоемки, поэтому нами принято решение о необходимости ее упрощения.

Ставя среднее значения радиуса сосуда в уравнение системы (4.1), получим одномерную систему течения вязкой несжимаемой жидкости (крови):

p+

=

,

(4.9)

где:Q = объемный расход крови человека.

Не учитывая инерционными силами, действующими на оболочки сосуда, а также конвективной составляющей ускорения частиц крови, из замкнутой системы уравнений (9) получим более простую систему уравнений динамики движения кровотока:

*

Из системы уравнений (10) с учетом разложения функций (4.7), (4.8) в ряды Фурье, получаем разрешающее уравнение для объемного потока крови:



(4.11)

- коэф. разложения в ряд Фурье.

Построение аналитического решения задачи по определению объемного потока крови в системе кровеносных сосудов проводилось для участка сосудистой системы ССС с двумя узлами бифуркации. Рассматривается система артерий, состоящая из 5 сегментов, в которых происходит«периодическая пульсация» крови. Каждый отдельный участок обладает своей пространственной одномерной системой координат, начало которой находится на входе, а ось x направлена в сторону выходного отверстия сосуда.

На каждом i-м участке запишем уравнение для объемного потока крови:

(4.12)

Граничные условия для данного случая:

При х=0, .

Контактные условия выражают условия сохранения расходов и непрерывности давления в узлах разветвления сосуда:



. (4.15)

Объемный поток крови на каждом участке будем искать в виде:

(4.16)

где: - средний объемный кровоток на I-том участке.

Решением уравнения (12) в данном случае будет функция:

(4.17)

Неизвестные константы определяются из граничных условий (13) и контактных условий (4.14), (4.15).

Средний объемный поток крови на первом участке определяем из условия на входе:

Где - дополнительный средний расход, за счет продольных сокращений стенки;



На остальных участках средние объемные потоки крови определяются из первого уравнения системы (10) при условии установившегося течения жидкости:

Таким образом, построена одномерная математическая модель периодического движения крови, которая учитывает работу сердца. Важнейшим преимуществом данной математической модели является то, что основная система уравнений допускает аналитическое решение.

Заключение

Предложенные варианты постановки задач гемодинамики в системе кровеносных сосудов позволяют уменьшить количество основополагающих предположений и упростить основную систему уравнений. В случае, когда проводится учет направленных потоков жидкости, отпадает необходимость пренебрежения конвективной составляющей ускорения частиц, что повышает точность результатов.

Новый вид кинематических контактных условий стесненного скольжения, по мнению авторов, более адекватно описывает процесс взаимодействия потока со стенкой. В реальном сосуде в случае выполнения условий прилипания частиц неизбежным был бы процесс образования атеросклеротических отложений, который является патологическим. Таким образом, математические модели, в которых взаимодействие крови со стенкой описывается подобным образом, не могут достоверно описывать процесс гемодинамики.

Замена уравнений Навье-Стокса уравнениями Эйлера в системе существенно упрощает основную систему, при этом уравнение для тонкого погранслоя вблизи стенки сосуда, позволяет учесть все возникающие в этой области процессы.

Таким образом, делается попытка упрощения и уточнения, позволяющий моделировать движение крови в системе кровеносных сосудов человека.

Рассмотрены варианты задачи о движении крови в сосудах с упругими стенками, позволяющие уменьшить количество гипотез и, тем самым, повысить строгость и реалистичность предлагаемых математических моделей с точки зрения физических представлений.

Кроме того, предлагается попытка нового вида кинематических контактных условий, позволяющих более точно описать процесс взаимодействия потока крови с сосудистой стенкой.

В первой главе дается общая информация по анатомии и физиологии системы кровообращения, электрокардиографии ССС.

Во второй главе излагаются физические законы, которые служат основой построения математических моделей в кардиологии: приведены уравнения гидродинамики, гидравлики, теории упругости, описаны сократительные свойства сердечной мышцы. На этом базисе в главе строятся модели сердца и артериальной сосудистой системы, начиная от простейших однокамерных до достаточно полных четырехкамерных.

В третьей главе описывается квазиодномерная модель гемодинамики артериальных сосудов, позволяющая рассчитывать распространение пульсовых волн с учетом упругих свойств стенок и реально существующей переменности сечения по длине сосуда. Приведены разностные схемы для нахождения численных решений в случаях, когда чисто аналитические методы перестают работать.

Четвертая глава посвящена математической модели движения крови в системе сосудов с упругими стенками. В данной главе использованы материалы из автореферата диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Доль А.В. «Биомеханическое моделирование кровеносных сосудов с учетом мышечной активности стенок» разработанной в 2013 году.

В данной выпускной квалификационной работе разработана одномерная линейная математическая модель, для которой получено аналитическое решение. Результаты, полученные с помощью данной модели, мало отличаются от результатов, полученных методом конечных элементов. Важнейшим преимуществом данной модели является то, что основная система уравнений допускает аналитическое решение.

Литература

1. Колябин Г.А. Применение математического анализа к описанию процессов репарации инфаркта миокарда и прогнозированию кардиологических заболеваний: Учебное пособие. - М.: РУДН, 2008. - 144 с.

2. Доль А.В. Биомеханическое моделирование кровеносных сосудов с учетом мышечной активности стенок: автореф.дис. … канд. физ.-мат. наук. - Саратов: Саратовский гос. ун-т, 2013. - 23 с.

3. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х томах. Т. 1: Пер. с англ.-- М.г Мир, 1984.--528 с., ил.

4. Кудрина В.Г. Медицинская информатика: Учебное пособие. - М.: РМАПО, 1999. -- 100 с.

5. Агапов А.И. Задачник по теории вероятностей. - М.: Высшая школа,1994. -- 112 с.

6. Афифи А. Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ: Пер. с англ. / А. Афифи, С. Эйзен. - М.: Наука, 1982. - 488 с.

7. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М.: Высшая школа, 1998. - 480 с.

8. Боровиков В.П. Популярное введение в систему STATISTICA. -М: КомпьютерПресс, 1998. - 267 с.

9. Вейр Б. Анализ генетических данных.- М.: Мир, 1995. - 400 с.

10. Медик В.А., Толмачев М.С., Фишман Б.Б. Статистика в медицине и биологии: Руководство. В 2-х томах / Под ред. Ю.М. Комарова. Т.1.Теоретическая статистика. -М.: Медицина, 2000. - 412 с.

11. Медик В.А., Толмачев М.С., Фишман Б.Б. Статистика в медицине и биологии: Руководство. В 2-х томах / Под ред. Ю.М. Комарова. Т.2.

12. Прикладная статистика здоровья. - СПб: СМИО Пресс, 2003. - 352 с.

13. Компьютерные исследования и прогресс медицины (Сборник статейпод редакцией О.М. Белоцерковского) - М.: Наука, 2001. - 302 с.

14. Вараксин А.Н. О Статистические модели регрессионного типа вэкологии и медицине / Под редакцией В.Н. Чуканова. -Екатеринбург: Изд-во «Гощицкий», 2006. - 256 с.

15. Мовшович Б.Л., Калябин Г.А. Клинические особенности репарацииинфаркта миокарда. // Терапевтический архив. - 1989 - № 4. - С. 235-242.

16. Гланц С. Медико-биологическая статистика.- М.: Практика, 1998. -- 459 с.

17. Алексеевский А.В., Гельфанд И.М., Извекова М.Л., Шифрин М.А. Ороли формальных методов в клинической медицине: от цели к постановке задачи// - М.: Наука, 1997. с. 5-36.

18. Белоцерковский О.М., Виноградов А.В., Глазунов А.С. Метод раннего прогнозирования течения острого инфаркта миокарда и постинфарктного кардиосклероза// Информатика и медицина. - М.: Наука, 1997. с. 72-119.

19. Гельфанд И.М., Розенфельд Б.И., Шифрин М.А. Очерки о совместной работе математиков и врачей. - М.: УРСС, 2004. - 320 с.

20. Журавлев Ю.И., Избранные научные труды. - М.: Издательство Магистр, 1998. - 420 с.

21. Журавлев Ю.И., Гуревич И.Б. Распознавание образов и анализ изображений / Искусственный интеллект / Справочник. - М.: Радио и связь, 1990. - 325с.

22.Анализ данных на компьютере: Учебное пособие / Ю.Н. Тюрин, А.Н. Макаров; Науч. ред. В.Э. Фигурнов. - 4-e изд., перераб. - М.: ИД ФОРУМ, 2010. - 368 с.

23. Котов Ю.Б. Новые математические подходы к задачам медицинской диагностики. - М.: Едиториал УРСС, 2004. - 328 с.

24. Дюк В., Эманюэль В. Информационные технологии в медико-биологических исследованиях. - СПб.: Питер, 2003. - 528 с.

25. Моделирование виллизиевого круга человека в норме и при патологии / Д.В. Иванов, А.В. Доль, О.Е. Павлова, А.В. Аристамбекова // Российский журнал биомеханики. - 2013. - Т. - 17. № 3(61). - С. 36-49.

26. Педли Т. Гидродинамика крупных кровеносных сосудов / Т. Педли. - М.: Мир, 1983. - 400 с.

27. Смертность от болезней системы кровообращения в России и экономически развитых странах / В.И. Харченко, Е.П. Какорина, М.В. Корякин и др. // Российский кардиологический журнал. -2005. - № 2. - С. 5-18.

28. Гуляев Ю.П., Коссович Л.Ю. Математические модели биомеханики в медицине. - Саратов.: Изд. СГУ, 2001. - 49с.

29. Педли Т. Гидродинамика крупных кровеносных сосудов. - М.: Мир, 1983. - 400 с.

30. Вольмир А.С., Герштейн М.С. Проблемы динамики оболочек кровеносных сосудов // Механика полимеров. - 1970. - № 2. - C. 373-379.

Размещено на Allbest.ru