Возможности использования элементов теории вероятностей и статистики на уроках математики в начальной школе

2. Есть три ключа от трех замков. Они перемешались. Сколько проб достаточно, чтобы подобрать ключи к замкам?

3. В аквариуме 6 золотых рыбок и 2 незолотые рыбки. Наугад достали 3 рыбки. Какие рыбки могли достать?

4. В мешочке 3 красных и 3 желтых шарика. Сколько надо вынуть наугад, не глядя в мешочек, шариков, чтобы быть уверенным в том, что:

а) хотя бы один из вынутых шариков будет красным;

б) два шарика будут разного цвета;

в) не будет ни одного красного шарика.

5. В мешочке 10 одинаковых по размерам и весу шаров, из которых 4 красных и 6 голубых. Из урны извлекается 1 шар. Какова вероятность (шанс) того, что извлеченный шар окажется голубым? Сколько нужно сделать попыток, чтобы достать 1 голубой шар?

Цель констатирующего эксперимента: проверить, как ученики III класса будут воспринимать и решать эти задачи, т. е. изучить начальный уровень знаний, умений, навыков.

Вывод. Результат констатирующего эксперимента освещен в таблице.

В эксперименте принимало участие 15 человек. Нету ни одного учащегося, решившего все задачи. Основной успех достигнут при решении задач №№ 1--3. Итак, как видим, результат невысок.

Причины низких результатов:

1. Подобные задачи редко встречались в практике учащихся.

2. Предложенные задачи чаще всего решаются нетрадиционными методами.

3. Учащиеся не знакомы с элементами теории вероятностей.

III.2. Методический (обучающий) эксперимент

Цель эксперимента: познакомить учеников с элементами теории вероятностей, логическим процессами, приемами решения задач, с проведением эксперимента, вычислением вероятности по формуле. Предлагались следующие задания.

1. В ящике имеются 3 черных и 5 белых шаров. Какое наименьшее количество шаров надо взять из ящика (не заглядывая в него) чтобы среди вынутых шаров оказался: а) хотя бы 1 черный; б) хотя бы 1 белый?

2. В ящике имеются 12 одинаковых шаров, отличающихся только цветом: 6 красных, 3 белых, 2 зеленых и 1 черный. Какое наименьшее количество шаров надо взять из ящика наугад, чтобы среди вынутых шаров было не менее двух шаров одного цвета?

Решение. Будем рассуждать следующим образом: вынув один шар, вынимаем следующий. Он может оказаться того же цвета, что и первый. Но возможно, что второй шар иного цвета, третий шар отличается по цвету от двух первых и т. д. Наихудший вариант: 4 первых шара оказались разных цветов. Тогда пятый шар составит одноцветную пару с одним из ранее вынутых.

Ответ: 5 шаров При решении этой задачи можно использовать наглядный эксперимент, а данные заносить в таблицу..

В методическом эксперименте учащихся познакомились с понятиями теории вероятностей, приемами вычислений по формуле, учились проводить опыты. Приведем несколько из них.

1. Опыты с пятью монетами, которые Буратино получил от Карабаса-Барабаса Эксперимент описан выше..

Велась таблица, куда заносились предположения детей об исходе опытов и данные опытов. Опыт проводился более 100 раз.

Учащиеся научились проводить эксперимент и заносить данные в таблицу, делать вывод.

2. Эксперимент с двумя белыми и одним черным шаром, где нужно было выяснить, каков может быть результат опыта, если вытаскивать один за другим 2 шара. Исходы опытов зарисовывались.

После знакомства детей с формулой, по которой вычисляется вероятность, были предложены задачи таких типов:

1. В урне 10 одинаковых шаров, из которых 4 красных и 6 голубых. Из урны извлекается 1 шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется голубым?

Решение. Событие “извлеченный шар окажется голубым” обозначим буквой A. Данное испытание имеет 10 равновозможных элементарных исходов, из которых 6 благоприятствуют событию A. В соответствии с формулой получаем:

.

2. В урне 3 черных и 4 белых шара. Вы вынимаете один из них, кладете обратно, перемешиваете и вынимаете другой. Возможен один из трех исходов: либо оба шара черные, либо оба белые, либо они различных цветов. Каковы вероятности этих событий?

Во время эксперимента дети учились применять формулу, придумывали и свои аналогичные задачи.

III.3. Контрольный эксперимент

Цель: 1. Окончательно проверить, доступны ли первоначальные логические понятия, элементы теории вероятностей, методика решения задач на нахождение вероятности какого-либо события учащимся начальных классов. 2. Проверить умения решать вероятностные задачи после получения некоторых теоретических и практических знаний и умений.

Были предложены задачи:

1. В пакете имеются конфеты трех сортов, не различимые на ощупь. Какое наименьшее число конфет надо взять наугад из пакета, чтобы среди вынутых были хотя бы 2 конфеты одного сорта?

2. Ключи от четырех чемоданов перемешались. Нужно определить, от какого чемодана какой ключ. Сколько для этого надо сделать попыток?

3. В мешочке 3 красных и 3 желтых шарика. Сколько надо вынуть наугад, не глядя в мешочек, шариков, чтобы быть уверенным в том, что:

а) будет 2 желтых шарика;

б) 3 шарика будут разного цвета.

4. В мешочке 3 черных и 4 белых шара. Вы вынимаете один из них, кладете обратно, перемешиваете и вынимаете другой. Найти вероятность того, что вынут черный шар (³/₇), вынут белый шар (⁴/₇).

5. Какова вероятность того, что в наудачу выбранном двузначном числе цифры одинаковы? (⁹/₉₀)

Вывод. Результат контрольного эксперимента освещен в таблице.

Правильно решенных задач -- 55. Наибольшее количество решений достигнуто в задачах №№ 1, 2, 3. В этот раз решили все задачи 7 человек. Как видим, ученики 3-го класса после получения некоторых знаний и умений справились с заданиями намного лучше, чем в констатирующем эксперименте. Некоторые учащиеся решили задания на нахождение вероятности события.

Итак, результаты эксперимента подтверждают гипотезу о том, что мыслительные способности можно развивать. Многие вероятностные задачи доступны учащимся начальной школы. Этому безусловно способствует система специальных задач и упражнений, которые, как нам кажется, надо в большем количестве вводить в учебники по математике для начальной школы.

Заключение

Мы попытались показать, насколько многообразен и интересен мир задач и упражнений, как важно, начиная с начальной школы, развивать логику ребенка, его мыслительные способности, вводя даже такое сложное понятие как теория вероятностей.

Некоторые виды задач, приемлемые для начальной школы, рассматривались нами более подробно, более тщательно раскрывалась методика работы с ними. Многие задачи недоступны детям младшего школьного возраста, хотя отдельные элементы их в пропедевтическом плане можно предлагать на уроках математики и занятиях по интересам.

На основании изученной литературе и результатов эксперимента мы пришли к выводам:

1. В ныне действующих учебниках по математике (под ред. А. А. Сто-ляра) рассмотренные выше задачи присутствуют, но в малом количестве и эпизодично.

2. Поскольку многие задачи с элементами теории вероятностей и статистики доступны детям младшего школьного возраста, интересны им и тесно связаны с программой по математике, то их необходимо включать в учебники. Они привлекают ребят и делают уроки многообразными и интересными.

3. Необходимо более тщательно разработать методику работы задач с элементами теории вероятностей и статистики.

4. Система выше рассмотренных задач и упражнений позволяет активизировать мышление детей.

5. Использование разнообразных задач с элементами теории вероятностей и статистики в курсе математики начальной школы позволяет:

развивать:

-- логическое и вообще математическое мышление;

-- способности к решению нестандартных задач;

-- интерес к математике как науке;

уточнять математические понятия; знакомиться с новыми понятиями, создавая хорошую базу знаний для обучения в среднем и старшем звене школы;

расширять:

-- круг упражнений в курсе математики начальной школы;

-- круг интересов младших школьников.

Таким образом, наша гипотеза в целом подтверждается: задачи с использованием элементов теории вероятностей и статистики можно и нужно вводить в курс математики начальной школы в бльших количествах. Это детям доступно и интересно.

Давая ученикам инструмент -- умение логически мыслить, проводить эксперименты, делать выводы, -- позволяющий более уверенно чувствовать себя в проблемных ситуациях, в том числе и житейских, -- не это ли и есть гуманизация образования?

Литература

2. Блох А. Ш., Юркевич А. В. Первые темы теории вероятностей. Учебно-методическое пособие. Мн., 1978.

3. Бычкова Л. О., Сенютин В. Д. Об изучении вероятности и статистики в школе //Математика в школе. 1991. № 6. С. 9--12.

4. Горский Д. П. Краткий словарь по логике. М., 1991.

5. Гусев В. А., Орлов А. И., Розенталь А. Л. Внеклассная работа по математике в 6--8 классах. М., 1995.

6. Каменкова Н. Г. Элементы теории вероятностей: Учебное пособие. СПб, 1993.

7. Программы 12-летней общеобразовательной школы с рус. яз. обучения. Подготовительный -- III кл. Мн., 1999.

8. Столяр А. А. Основы современной школьной математики. Ч. 1. Мн., 1975.

9. Тарасов Л. В. Неслучайная случайность. Ч. I. /Экспериментальный учебник развивающего типа по интегративному предмету “Закономерности окружающего мира” (VI класс). М., 1993.

10. Тихомирова А. Ф., Басов А. В. Развитие логического мышления детей. Яр., 1997.

11. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача. Ч. II. М., 1983.

12. Эльконин Д. Б. Детская психология. М., 1960.

13. Юркевич А. В., Шербаф А. И., Жавнерко В. В. Об одном способе изложения теории вероятностей в школе //Новые технологии в системе непрерывного образования. Т. 2. Мн., 1995.

14. Юркевич А. В., Шербаф А. И. Теория вероятностей в задачах. Учебное пособие. Мн., 1994.