Методика формирования у учащихся средней школы обобщенных умений и навыков при изучении определенного интеграла в процессе решения задач

Тип урока:

Повторение изученного материала.

Цели урока:

1. Образовательная:

-повторить свойства определенного интеграла;

- рассмотреть способы решения определенного интеграла, сводящегося к формуле Ньютона-Лейбница.

2. Развивающая:

- развивать память учащихся;

- развивать логическое и абстрактное мышление.

3. Воспитательная

- прививать интерес к математике;

- воспитывать положительное отношение к процессу обучения.

Ход урока

I. Организационный момент:

- приветствие класса;

- проверить готовность класса к уроку;

- сообщить тему урока и цели.

II.Устный опрос по теории.

- Сформулируйте основную теорему.

- Что называется определенным интегралом?

- Как найти значение определенного интеграла?

III. Укажем свойства определенного интеграла (выражаемые равенствами) используемые далее в упражнениях. Будем считать, что функции, о которых пойдет речь, имеют первообразные на отрезках, где они рассматриваются.

1. .

2.

- определенный интеграл от суммы двух функций равен сумме определенных интегралов от этих функций.

3. ,

k=const-постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

Очевидным следствием свойств 2 и 3 является соотношение

,

k=const, m=const- определенный интеграл от линейной комбинации функций равен соответствующей линейной комбинации определенных интегралов от этих функций.

Докажем эти свойства.

1)

2) Если F(x)- первообразная для функции f(x), а G(x)- первообразная для g(x), то F(x)+ G(x) является первообразной для f(x)+ g(x), а потому

.

3) Если F(x)- первообразная для функции f(x), то kF(x) - первообразная для функции kf(x), следовательно,

.

Замечание. При введении определенного интеграла предполагалось , что a b. Для случаев, когда a b или a=b считают по определению

4. .

5. .

Важно отметить, что эти определения формально согласуются с формулой Ньютона-Лейбница:

,

.

Указанные здесь определения позволяют считать справедливыми соотношения 2,3, их следствия и 4 при любых значениях a и b, если на отрезке с концами a и b функции f(x) и g(x) интегрируемы. Соотношение 1 становится справедливым при любых значениях a, b и c, если функция f(x) интегрируема на наибольшем из отрезков с концами a и b, a и c, b и c.

Данное замечание можно рассматривать как пример распространения математического понятия (в данном случае понятия определенного интеграла) за пределы области, где оно первоначально возникло.

IV. Задание 1. Выведите приведенное выше следствие свойств 2 и 3.

Задание 2. Вычислите интегралы, используя свойства:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) .

Задание 3. а) Найдите все числа A, B и C, которых функция удовлетворяет условиям:

f`(1)=0; f(2)-f`(2)=2; .

б) Найдите все числа A и B, при которых функция

удовлетворяет условиям: f`(1)=2; .

Ответы: 2. 1) 4; 2) 9; 3) 9,5; 4) 6; 5) ; 6) 6-2; 7) ; 8) 8; 9) 13; 10) . 3. а) А=-1, В=2, С=0; б) А=-, В=.

Часть из заданий делается в классе, оставшаяся часть задается на дом.

Самостоятельная работа №1 (на 20 мин.)

Тема: «Площадь фигуры»

Цель:

закрепить изученный материал по теме «Определенный интеграл».

Тип урока: закрепление изученного материала.

Ход урока

1. Организационный момент:

- приветствие;

- регистрация учащихся;

- сообщение темы и цели урока

Вариант I

1.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=sin x, y=0, x=0, x=.

Решение. S=.

Ответ: 2.

2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=2x-x2, y=0.

Решение. S=

Ответ:.

3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=1-x и y=3-2x-x2.

Решение.

.

Следовательно, площадь заштрихованной фигуры равна:

Ответ: 4,5.

Вариант П

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=, y=0, x=1, x=2.

Решение.

Ответ:

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=cos x, y=0,

x=0, x=.



Решение.

Ответ: 1.

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=6-2x и y=6+x-x2

Решение.

.

Ответ: 4,5.

Самостоятельная работа №2

Тема: «Вычисление интеграла»

Цель:

закрепить изученный материал по теме «Определенный интеграл».

Тип урока: закрепление изученного материала.

Ход урока

1. Организационный момент:

- приветствие;

- регистрация учащихся;

- сообщение темы и цели урока

Вариант I

1. Вычислите:

а) ; б) .

в) .

2. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями

.

При каких значениях а верно равенство

?

Вариант II

1. Вычислите:

а) ; б) .

в) .

2. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями

.

При каких значениях а верно равенство

?

Ответы:

В-I. 1. а) 2; б) ; в) . 2. . 3. .

В-II. 1. а) 1; б) 1,2; в) . 2. . 3..

Задание на дом:

1. Найдите числа А и В, удовлетворяющие условиям:

; .

Вычислите .

Ответы: 1. А=1,5, В=0. 2. 12.

Контрольная работа

Тема урока:

«Определенный интеграл».

Цель урока:

Закрепить изученный материал по теме «Определенный интеграл».

Тип урока: контролирующий урок.

Ход урока

1. Организационный момент:

- приветствие;

- сообщение цели урока и прочтение текста контрольной работы.

Вариант I.

1. Вычислить интеграл:

а) ; б) .

2. Вычислить:

+3.

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

, y=0, x=1.

Преобразовать подынтегральную функцию и вычислить интеграл:

.

Вариант II.

1. Вычислить интеграл:

а) ; б) .

2. Вычислить:

3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

, , .

4. Преобразовать подынтегральную функцию и вычислить интеграл:

.

Заключение

В выпускной квалификационной работе изложен методический материал по решению задач с помощью определенного интеграла. В процессе исследования выявлено, что изучение определенного интеграла вооружает учащихся методом решения задач с использованием интеграла, который является одним из средств логического, пространственного мышления.

В ходе проведения работы, в соответствии с поставленной целью, были решены следующие задачи:

- произведен анализ учебной, психолого-педагогической, математической и методической литературы;

- систематизировано изучение решений задач с применением определенного интеграла в курсе начала анализа;

- определены психолого-педагогические и дидактические особенности обучения учащихся старших школ.

Разработана и практически реализована методика решения задач с помощью определенного интеграла, включающая в себя описание конкретной формы работы и примеры их реализации.

Перспектива дальнейшего исследования связана с проблемой формирования логического и абстрактного мышления.

По результатам итоговой контрольной работы можно судить об эффективности предложенной методики.

Рекомендуемая методика материала факультатива ориентирует учащихся на самостоятельное изучение, углубление, расширение знаний, а также искать применение новых знаний.

Материалы работы могут быть полезны абитуриентам, студентам, а также учителям средних образовательных школ и школ с математической специализацией.

Литература

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. Геометрия 10 - 11 “Просвещение” 2000 г.

Басова Н.В. Педагогика и практическая психология Ростов н/Д: ”Феникс” 1999 - 346 с.

Бордовская Н.В. Реан А.А. Педагогика : учебник для вузов - СПб: ”Питер” 2001 - 275 с.

Газета “Математика” 16/99

Газета “Математика” 43/98

Газета “Математика” 22/97

Газета “Математика” 8/96

Журнал Математика в школе 3/1981

Журнал Математика в школе 6/2002

Зимняя И.А. Педагогическая психология - М: Логос, 2001 - 363 с.

Каплан Б.С., Рузин Н.К., Столяр А.А. Методы обучения математике Минск: Народная асвета 1981г 245 с.

Квант Математический кружок 5/99 - 178 с.

Колмогоров А.Н., Абрамов А.М. Алгебра и начала анализа 10 - 11 М.: Просвещение 1997 г.

Крутецкий В.А. Психология с. 126

Кузнецова Г.М., Миндюк Н.Г. Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев Москва: Дрофа 2002 г.

Методика преподавания математики в средней школе (частная методика) Москва: Просвещение 1997 г. - 332 с.

Методика преподавания математики в средней школе (общая методика) Москва: Просвещение 1980 г. - 259 с.

Немов Р.С Психология 1 том М.: Просвещение 1990 - 261 с.

Приложение

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

Размещено на Allbest.ru