Методика формирования у учащихся средней школы обобщенных умений и навыков при изучении определенного интеграла в процессе решения задач

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

Введение

Глава 1. Теоретические основы темы: ” Определенный интеграл

§ 1. Понятие определенного интеграла

§ 2. Свойства определенного интеграла

§ 3. Формула Ньютона-Лейбница

3.1 Замена переменной в определенном интеграле

3.2 Интегрирование по частям в определенном интеграле

§ 4. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

4.1 Работа переменной силы

4.2 Центр масс

4.3 Задача о площади криволинейной трапеции

4.4 Задача о вычислении пути

4.5 Задача о силе давления жидкости

Глава 2. Методика изучения определенного интеграла

§ 1. Психолого-педагогические особенности учащихся 11 класса

§ 2. Общие методические рекомендации к изучению темы ”Интеграл

§ 3. Методические рекомендации по решению задач с помощью определенного интеграла

Заключение

Литература

Приложение

Введение

Интеграл принадлежит к числу математических понятий, происхождение и развитие которых тесно связано с решением прикладных задач. Это понятие и построенный на его основе метод применяются сегодня в самых различных областях научно-практической деятельности человека, в том числе в физике, в химии, биологии, экономике, технических дисциплинах и т.д.

В методической литературе всё чаще задаются вопросом: “Нужно ли изучать в школе интегралы?” На что с уверенностью можно ответить: “Конечно же!” И дело здесь не в том, что интегральное исчисление возникает раньше дифференциального в истории науки (а этот факт должен быть обязательно учтён при построении школьного материала), а скорее в том, что интегралы могут выступать не как самоцель, а как аппарат для закрепления базового материала.

Широкие приложения интеграла побудили включить соответствующий раздел в действующую школьную программу по математике, которая предполагает наряду с раскрытием сути понятий интеграла ознакомить учащихся с некоторыми их приложениями. Это повышает интерес школьников к изучаемому материалу, положительно влияет на формирование у учащихся политехнического кругозора и правильного понимание места и роли математики в современном мире.

Математика изучает различные связи между величинами. Важнейшие примеры таких связей дает механическое движение. Между положением(координатой) точки и ее скоростью есть известная связь, лежащая в основе математического анализа: скорость является производной от координаты по времени. Сама операция нахождения производной называется дифференцированием. Обратная задача - нахождение положения точки по ее скорости - решается с помощью другой математической операции, называемой интегрированием.

Мы знаем много примеров пар величин, которые связаны между собой так же, как положение точки и ее скорость. Нахождение одной из этих величин, если известна другая, сводим к операции дифференцирования. Так, линейная плотность тонкого стержня есть производная его массы по длине, мощность тонкого стержня есть производная работы по времени и т.д. С помощью обратной операции - интегрирования можно вычислить массу по заданной плотности, работу по известной мощности, заряд по заданной силе тока т.д.

С понятием интеграла учащиеся знакомятся в 11 классе. Определенный интеграл вводится в школе с помощью формулы Ньютона-Лейбница, хотя, в большинстве практических задач он возникает как предел сумм определенного вида. Однако такое определение при отсутствии понятия предела невозможно. Выбор школьного определения объясняется тем, что оно позволяет быстро перейти к упражнениям вычислительного характера. В стороне остается сущность вводимого понятия, а вместе с ним и решения задачи интеллектуального развития школьника.

Таким образом объектом исследования данной работы является процесс обучения началам анализа в старшей школе.

Предметом исследования является методика формирования у учащихся средней школы обобщенных умений и навыков при изучении определенного интеграла в процессе решения задач.

Научная проблема состоит в обосновании и разработке методических положений по изучению темы «Определенный интеграл».

Целью данной работы - разработать методику обучения решению практических задач с помощью определенного интеграла учащихся старшей школы.

Исходя из поставленной цели, сформулируем гипотезу исследования. Итак, гипотеза исследования заключается в том, что разработанная методика обучения будет способствовать наиболее качественному усвоению материала по рассматриваемой теме и развитию математических способностей в соответствии с главной целью школьного образования.

Для успешной реализации поставленной цели и подтверждения гипотезы необходимо решить следующие задачи:

Изучить теоретические основы темы «Определенный интеграл»;

Выявить задачи вычисления определенного интеграла;

Разработать методические рекомендации к изучению темы «Определенный интеграл».

Методами исследования является:

1. Анализ методической и математической литературы, работ по истории математики, школьной программы, учебников и учебных пособий;

2. Обобщение и систематизация знаний теоретико-методического материала.

Практическая значимость исследований заключается в том, что в нем разработана методика обучения решению задач с применением определенного интеграла. Данная дипломная работа может быть полезна учителям при подготовке к урокам, а также студентам при подготовке к практическим занятиям.

Глава 1. Теоретические основы изучения темы “Понятие определенного интеграла и его свойств в курсе математики старшей школы”

§ 1. Понятие определенного интеграла

Пусть -функция, непрерывная на отрезке . Разобьем отрезок на n-частичных(элементарных) отрезков . В каждом из этих последовательных отрезков выберем точку . Составим сумму вида

. (1)

Эта сумма называется интегральной для функции .

Определение1. Интегральной суммой данной функции на данном отрезке называется сумма парных произведений длин элементарных отрезков на значения функции в выделенных точках последних.

Значение интегральной суммы зависит: 1) от способа разбиения основного отрезка на элементарные и 2) от выбора промежуточных точек x в этих последних.

Если и ,то геометрически интегральная сумма представляет собой площадь ступенчатой фигуры, состоящей из n прямоугольников, основания которых есть элементарные отрезки , а высоты равны выбранным значениям функции. В общем случае интегральная сумма есть алгебраическая сумма площадей этих прямоугольников.

Пусть число точек деления n неограниченно растет и ; если при этом интегральная сумма имеет конечный предел, не зависящий от способа дробления отрезка на частичные отрезки и от выбора точек в них, то последний называется определенным интегралом от функции .

Определение 2. Определенным интегралом от данной функции на данном промежутке (или в пределах от a до b) называется предел соответствующей интегральной суммы при условии, что длина наибольшего элементарного отрезка подразбиения стремится к нулю, т.е.

. (2)

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования определенного интеграла (2). Заметим, что знак интеграла есть стилизованная сумма.

Функции , для которых существуют пределы интегральных сумм, называются интегрируемыми на соответствующем отрезке. Приведем без доказательства теорему об интегрируемости непрерывной функции.

Теорема. Если функция непрерывна на конечном отрезке , то предел соответствующей интегральной суммы этой функции, при условии, что длина наибольшего элементарного отрезка стремится к нулю, существует и не зависит от способа дробления отрезка на частичные отрезки и выбора промежуточных точек в них.

§ 2. Свойства определенного интеграла

1. Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.

Это утверждение непосредственно следует из определения интеграла как числа, равного пределу интегральных сумм. В случае неотрицательной подинтегральной функции утверждение особенно очевидно, так как площадь соответствующей криволинейной трапеции не зависит от обозначения оси абсцисс.

2. Определенный интеграл меняет знак при перестановке пределов интегрирования, т.е. при :

Доказательство. Согласно формуле имеем:

3. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т.е.

, для любого числа k.

Доказательство. Действительно, для любого разбиения Т промежутка ОХ от до и любого выбора точек

.

Переходя к пределу при стремлении шага разбиения к нулю, получаем:

4. Определенный интеграл от суммы двух функций f1(x) и f2(x) равен сумме определенных интегралов от слагаемых, т.е.

Доказательство. Действительно, для любого разбиения промежутка от до и любого выбора точек

Так как ,

,

то получаем что

.

5. Если отрезок [a,b] разбит точкой С на две части [a,c] и [c,b], то

Доказательство. Так как интеграл , равный пределу интегральных сумм, не зависит от применяемого при составлении интегральных сумм способа разбиения отрезка на части, можно рассматривать только те разбиения, в которых точка входит в качестве точки деления. Тогда

,

где и - суммы, соответствующие отрезкам деления, попавшим соответственно на отрезки и .

Переходя к пределу, при стремлении шага разбиения отрезка к нулю, получим:

,

,

а значит,

6. Если всюду на отрезке функция , то

.

Доказательство. В самом деле, любая интегральная сумма

для функции на отрезке неотрицательна, так как

, , .

Переходя к пределу в неравенстве , получаем .

7. Если всюду на отрезке , то .

8. Для функции , заданной на отрезке, имеет место неравенство

.

Доказательство. Оно основано на использовании очевидных неравенств , справедливых для любого значения отрезка . Интегрируя их почленно, получаем неравенства

,

откуда следует, что .

§ 3.Формула Ньютона-Лейбница

Пусть F(x) - любая первообразная для функции f(x) на отрезке [a,b]. Так как первообразные Ф(х) и F(x) отличаются постоянным слагаемым, то имеет место равенство

где С- некоторое число.

Подставляя в это равенство значение х=а, будем иметь:

Таким образом, для любого значения х, ,

В частности, при x=b получаем:

Формула (3)

выражающая определенный интеграл от непрерывной функции через неопределенный, называется формулой Ньютона-Лейбница.

Разность F(b)-F(a) принято условно записывать в виде:

или .

Формула (3) или, что то же формула

показывает, что определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений любой ее первообразной, вычисленных для верхнего и нижнего пределов интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница дает простой и удобный метод вычисления определенных интегралов от непрерывных функций, применимый в тех случаях, когда первообразная подинтегральной функции может быть найдена в элементарных функциях. Формула Ньютона - Лейбница обычно записывают в виде

.

Замечание. Удобно расширить понятие интеграла, полагая по определению при . Что

.

При таком соглашении формула Ньютона - Лейбница оказывается верной при произвольных и (в частности ).

3.1 Замена переменной в определенном интеграле

Пусть требуется вычислить определенный интеграл от функции f(x), непрерывной на отрезке [a,b]. Имеет место правило замены переменной.

Если: 1) функция непрерывна вместе со своей производной на отрезке с концами () оси Ot;

2) при изменении t от до значение функции не выходит за пределы отрезка [a,b]

3) то

Действительно по формуле Ньютона-Лейбница

,

Где F(x) - какая-нибудь первообразная для функции f(x) на отрезке [a,b].

Так как при этом функция F() является первообразной для функции , непрерывной на отрезке оси Ot с концами t= и t= , то по той же формуле Ньютона-Лейбница

Учитывая условия , заключаем, что

,

А значит,

Таким образом, если функция удовлетворяет указанным выше условиям 1,2,3, то подстановка сводит вычисление определенного интеграла

К вычислению интеграла

.

Примечание: Вычисление интеграла при a>b сводится к рассмотренному случаю, так как

= -.

Рассмотрим данный метод на конкретных примерах.

Пример1. Вычислить .

Решение. Рассмотрим подстановку . Здесь , функция и ее производная на отрезке непрерывны , при изменении t от t=0 до значения функции не выходят за пределы отрезка [0,1]. Применяя формулу замены переменной, получаем:

.

Пример2. Вычислить .

Решение. Применяя подстановку , находим ,

 .

Для вычисления полученного интеграла можно применить подстановку

u=2t+3: .

Примечание. При использовании формулы замены переменной в определенном интеграле необходимо проверять выполнение перечисленных выше условий. Если эти условия нарушаются, замена переменной по указанной формуле может привести к абсурду.

3.2 Формула интегрирования по частям в определенном интеграле

Пусть функции u= и непрерывны вместе со своими производными на отрезке [a,b]. Проинтегрируем тождество

=

В пределах от x=a до x=b: =

Так как функция является первообразной для функции , то по формуле Ньютона-Лейбница:

(4)

Равенство (4) при этом запишется в виде:



или что то же, в виде:

. (5)

Соотношение (5) называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.

Эту формулу обычно записывают более компактно:

.

Пример3. Вычислить .

Решение. Обозначая (тогда ), по формуле интегрирования по частям получим:

.

§ 4. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

4.1 Работа переменной силы

Определенный интеграл применяется в физических, механических и геометрических задачах. Особое внимание в своей работе я уделяю физическим задачам, которые могут быть использованы для проведения факультативных занятий по теме: ” Определенный интеграл”.

Рассмотрим материальную точку, движущуюся под действием силы P по прямой. Если действующая сила постоянна и направлена вдоль прямой, а перемещение равно S, то, как известно из функции, работа A этой силы равна произведению P*S. Теперь выведем формулу для подсчета работы, совершаемой переменной силой.

Пусть точка движется по оси Ox под действием силы, проекция которой на ось Ox есть функция f от x . При этом мы будем предполагать, что f есть непрерывная функция. Под действием этой силы материальная точка переместилась из точки M(a) в точку M(b). Покажем, что в этом случае работа A подсчитывается по формуле

. (6)

Разобьем отрезок [a;b] на n отрезков одинаковой длины Это отрезки [a;x1],[x1;x2],...,[xn-1;b]. Работа силы на всем отрезке [a;b] равна сумме работ этой силы на полученных отрезках. Так как f есть непрерывная функция от x, при достаточно малом отрезке [a;x1] работа силы на этом отрезке приближенно равна f(a)(x1-a) (мы пренебрегаем тем, что f на отрезке меняется). Аналогично работа силы на втором отрезке [x1;x2] приблизительно равна f(x1)(x2-x1) и т.д.; работа на n-м отрезке приближенно равна f(xn-1)(b-xn-1). Следовательно, работа силы на всем отрезке [a;b] приближенно равна:

=

и точность приближенного равенства тем выше, чем короче отрезки, на которые разбит отрезок [a;b]. Естественно, что это приближенное равенство переходит в точное, если считать, что

Поскольку Аn при стремится к интегралу рассматриваемой функции от a до b формула выведена.

Пример4: Сила упругости пружины, растянутой на 5 см, равна 3 Н. Какую работу надо произвести, чтобы растянуть пружину на 5 см?

Решение: По закону Гука сила F, растягивающая пружину на величину x, вычисляется по формуле , где - постоянный коэффициент пропорциональности,

точка O соответствует свободному положению пружины. Из условий задачи следует, что . Следовательно, и сила ,

Дж.

4.2 Центр масс

При нахождении центра масс пользуются следующими правилами:

1. Координата центра масс системы материальных точек с массами , расположенных на прямой в точках с координатами , находится по формуле

. (6)

2. При вычислении координаты центра масс можно любую часть фигуры заменить на материальную точку, поместив ее в центр масс этой части, и приписать ей массу, равную массе рассматриваемой части фигуры.

Пример5: Пусть вдоль стержня - отрезка [a;b] оси Ox - распределена масса плотностью , где - непрерывная функция. Покажем, что:

a) суммарная масса M стержня равна ;

b) координата центра масс равна .

Разобьем отрезок [a;b] на n равных частей точками . На каждом из n этих отрезков плотность можно считать при больших n постоянной и примерно равно на k - ом отрезке (в силу непрерывности ). Тогда масса k-го отрезка примерно равна , а масса всего стержня равна . Считая каждый из n маленьких отрезков материальной точкой массы , помещенной в точке , получим, что координата центра масс приближенно находится так:

.

Теперь осталось заметить, что при числитель стремится к интегралу , а знаменатель (выражающий массу всего стержня) - к интегралу .

4.3 Задача о площади криволинейной трапеции

Пусть в плоскости, снабженной декартовой системой координат, задана фигура , ограниченная отрезком оси , прямыми и , кривой , где - однозначная, непрерывная неотрицательная на отрезке функция .

Такую фигуру называют криволинейной трапецией с основанием .

Отметим, что данная здесь терминология отличается от принятой в курсе элементарной геометрии, где отрезок называется высотой трапеции, а основаниями трапеции называются отрезки параллельных прямых и . Отметим также, что точка может совпадать с точкой , а точка с точкой . Поставим задачу: “Найти площадь криволинейной трапеции”.

Для решения поставленной задачи поступают следующим образом. Разбивают отрезок на частей одинаковой длины: , где точки есть . Затем через точки деления - проводят прямые параллельные оси . В результате проделанной операции данная криволинейная трапеция разбивается на криволинейных трапеций с основаниями .

На каждом отрезке выбирают произвольную точку . Далее строят прямоугольники с основаниями , равными , и высотами длины , площадь каждого прямоугольника равна произведению . Из построенных прямоугольников образуют ступенчатую фигуру , площадь которой вычисляется по формуле

.

Это есть приближение площади криволинейной трапеции . Очевидно, что, чем мельче отрезки деления , тем лучше будет приближение. Поэтому, если рассмотреть , то получим площадь криволинейной трапеции. Если понятие интеграла уже введено, то можно записать, что площадь такой криволинейной трапеции вычисляется по формуле

.

4.4 Задача о вычислении пути

Пусть материальная точка движется прямолинейно с некоторой мгновенной скоростью , то есть. Известна скорость точки в любой момент времени , - непрерывная функция на отрезке . Требуется найти путь, который пройдет тело за промежуток времени от до .

Простейшем случае, если мгновенная скорость постоянна, то есть. для , то путь, пройденный телом, равен (по определению, известному из курса физики) произведению скорости на время движения: . В общем случае, когда мгновенная скорость непостоянна, поступают следующим образом.

Промежуток изменения времени разбивают точками на отрезков одинаковой длины

.

Далее, выбрав на каждом отрезке произвольную точку , составляют сумму (*). Каждое слагаемое этой суммы дает приближение пути, пройденного телом за время до . Действительно, скорость в точках отрезка мало отличается от ее значения в точке , т.к. функция непрерывна. Поэтому путь, который прошло тело за промежуток времени , приближенно равен пути, который проходит тело за это время с постоянной скоростью, равной . Следовательно, путь, пройденный телом за время от до приближенно выражается суммой (*):

,

т.к. он складывается из путей, пройденных телом за каждый промежуток времени , на которые разбит отрезок времени . Легко видеть, что приближение будет тем лучше, чем мельче отрезки деления .

Поэтому путь, пройденный телом за отрезок времени , определятся как предел следующего вида:

.

Если учащимся известно понятие интеграла, то путь пройденный телом, можно вычислить по формуле .

4.5 Задача о силе давления жидкости

Пусть пластинка в виде трапеции погружена вертикально в жидкость с удельным весом так, что ее основания параллельны свободной поверхности жидкости и находится ниже ее уровня соответственно на расстоянии и . Требуется определить силу давления жидкости на пластинку.

Если бы пластинка находилась в горизонтальном положении на глубине от свободной поверхности (уровня) жидкости, то сила давления жидкости на пластинку была бы равна весу столба жидкости, имеющего основанием данную пластинку, а высотой - глубину , т.е.

, (*)

где - площадь пластинки. Если же пластинка погружена в жидкость вертикально, то по формуле (*) давление жидкости на пластинку не может быть вычислено, так как в этом случае давление жидкости на единицу площади пластинки изменяется с глубиной погружения.

При решении задачи будем учитывать закон Паскаля, т.е. то, что давление жидкости передается во все стороны одинаково.

Для решения задачи разобьем пластину на частей (малых горизонтальных полосок) прямыми, параллельными свободной поверхности жидкости (т.е. параллельно оси ) и проходящими через точки:

, .

Выделим одну из полосок - ю (на рисунке она заштрихована), находящуюся на глубине . Для достаточно узкой полоски давление во всех ее частях можно считать приближенно одинаковым а саму полоску можно принять за прямоугольник с высотой и основанием, равным нижнему основанию полоски. Легко видеть, что основание прямоугольника зависит от глубины погружения полоски, т.е. будет функцией абсциссы . Обозначим эту функцию , . Таким образом, силу давления на полоску можно вычислить по формуле (*), т.е. имеем:

.

Просуммировав силы давления жидкости на все полоски, найдем некоторое приближение силы давления жидкости на всю пластинку:

.

Точное значение силы давления жидкости на пластинку определяется по формуле:

.

Следовательно, если учащиеся знакомы с понятием интеграла, сила давления жидкости на пластинку вычисляется по формуле

.

Далее, если еще не было введено понятие (определенного) интеграла, следует переходить к рассмотрению этого понятия следующим образом. Итак, нами рассмотрены задачи (геометрическая и физические), решение которых производилось с помощью одной и той же последовательности действий (одним и тем же методом), приводящей к построению некоторой суммы и нахождению предела этой суммы. Так как указанный метод применяется к решению большого числа математических и прикладных задач, то, естественно изучить его, абстрагируясь от конкретного содержания задач. Сущность этого метода состоит в следующем:

1. Пусть на отрезке задана произвольная однозначная функция . Отрезок разбивается на частей одинаковой длины точками , причем .

2. На каждом из отрезков разбиения выбирается произвольная точка и для каждого отрезка разбиения составляется произведения значения функции в выбранной точке на длину соответствующего отрезка , т.е. произведение вида .

3. Берется сумма всех таких произведений , называемая интегральной суммой функции на отрезке .

4. Находится предел интегральных сумм , т.е.

.

Рассматриваемый предел, если он существует, носит название определенного интеграла и обозначается .

Глава II Методика изучения определенного интеграла

§1. Психолого-педагогический аспект учащихся 11 класса

Изучение темы интеграл происходит в 11 классе. В соответствии с возрастной периодизацией - это дети подросткового и раннего юношеского возраста. В старших классах школы развитие познавательных процессов детей достигает такого уровня, что они оказываются практически готовыми к выполнению всех видов умственной работы взрослого человека, включая самые сложные познавательные процессы школьников, приобретают такие качества , которые делают их совершенно гибкими, причем развитие средств познания несколько опережают собственно-личностное развитие детей. Исследование памяти детей данного возраста показали, что для подростка вспоминать - значит мыслить. Его процесс запоминания сводится к мышлению, к установлению логических отношений внутри запоминаемого материала, а припоминание заключается в восстановлении материала по этим отношениям.

Старший школьный возраст характеризуется продолжающимся развитием общих и специальных способностей. В учении формируются общие интеллектуальные способности, особенно понятийное теоретическое мышление. Это происходит за счет усвоения понятий, совершенствования умения пользоваться ними, рассуждать логически и абстрактно. Например при введении понятия определенного интеграла и заменой его символикой.

Ж. Пиаже был одним из первых психологов, который заметил, что полное формирование математических понятий предполагает наличие у школьников определенных умственных структур и что то или иное математическое понятие не сводится к чистой логике, а рождается в мышлении школьника в результате синтеза так называемых логико-оперативных структур, которые образуются посредством органической связи '' внутренних'' умственных операций с эффективной ''внешней'' деятельностью над конкретным учебным материалом [11] .

А русский педагог-психолог Д.Д.Галанин высказывал: ''… наилучшим путем в обучении я считаю тот, который дает материал для создания идей, а сами идеи возникают уже непосредственно в душе ребенка путем естественной деятельности его психического аппарата. Пуст для такого построения курса я вижу в опыте ребенка, его конкретных им самим перерабатываются в логические понятия и суждения''. Поэтому уроки целесообразно проводить в ходе эвристической беседы, понятия давать на интуитивной основе, позволяющие учащимся самостоятельно открывать новые для них факты [11].

Очень полезно решать задачи т.к. они способствуют лучшему развитию мышления. Например, решение задач с применением определенного интеграла способствуют развитию абстрактного мышления. Для решения задач необходима некоторая база теоретических обобщенных знаний. Решение задач предполагают привлечение уже имеющихся знаний в качестве средств и методов решения. Можно предложить учащимся найти объем пирамиды Хеопса, которая представляет собой правильную пирамиду высотой 147м, в основании которой квадрат со стороной 232м.

Применение правила включает две мыслительные операции:

- определить какое именно правило привлечь для решения;

- применение общего правила к частному условию задачи.

Подростки могут формировать, исследовать и сравнивать между собой различные альтернативы при решении одних и тех же задач. В этом случае можно предложить вычислить объем усеченной пирамиды, так как данную задачу можно решить и аналитическим способом, и через определенный интеграл. Характерной особенностью подросткового и юношеского возраста является стремление к самообразованию, поэтому учащимся данного возраста рекомендуется чаще давать задания, которые требуют самостоятельной работы с источником, умение делать выводы, например, написание реферата или доклада об истории интегрального исчисления или о происхождении понятий и символов интегрального исчисления [20].

Для становления внутреннего плана действий помогут специальные упражнения, направленные на то, чтобы одни и те же действия, как можно чаще совершались не с реальными, а с воображаемыми предметами, т.е. в уме. Надо придерживаться правила: до тех пор, пока решение до конца не продумано в уме, пока не составлен план включенных в него действий и пока он не выверен на логичность, к практическому решению не следует приступать.

Подростковый возраст - это время профессионального самоопределения, очень важно в эти годы окончательно выявить и по мере возможности развить те способности, на основе которых подростки могли бы разумно и правильно осуществить выбор профессии. Использование имеющихся задатков и уже проявивших себя способностей означает необходимость их развития в процессе специальным образом организации обучения. Это значит, что необходимо уменьшать или сокращать количество часов, отводимых на изучение общеобразовательных предметов. Без них не будут должным образом развиваться общие интеллектуальные способности, как одна из основ будущей профессиональной работы [2].

Это означает лишь то, что профессионализация обучения с одновременной его дифференциацией по способностям к образовательной программе.

Учебно-воспитательный процесс должен строится с учетом возрастных возможностей и способностей учащихся.

Для подтверждения и развития интереса к предмету следует включать в процесс обучения занимательные задачи, сведения из истории математики [11].

§2. Общие методические рекомендации к изучению темы ”Интеграл”

Данной темой фактически завершается изучение понятий, связанных с элементами математического анализа; рассматривается операция обратная дифференцированию как, при изучении производной, основное внимание уделяется ознакомлению интегрирования и его приложениями. В школьном курсе данная тема изучается в ознакомительном плане, т.к. она не входит в выпускные экзамены. Но поскольку эта тема способствует дальнейшему развитию, особое внимание уделяется этой теме на факультативных занятиях. В этой связи целесообразно использовать геометрические и механические интерпретации, графические образы, опираться на здравый смысл в обосновании каких-либо выкладок. Формула Ньютона-Лейбница не доказывается, а поясняется на основе наглядных соображений.

В изучении темы целесообразно использовать методы проблемного обучения.

Одним из первых основных методов, который позволяет учащимся проявлять активность в процессе обучения, стал эвристический метод или эвристическая беседа. Этот метод заключается в том, что учитель не сообщает учащимся готовых знаний, а ставит перед ними учебную проблему, а затем путем последовательно поставленных заданий подводит их к самостоятельному открытию нового для них факта.

Так же рекомендуется использовать метод “проблемного обучения”. Здесь знания не достаются в готовом виде, а учитель организует их “добывание”, “открытие”: подбирает такие задачи и вопросы, которые заинтересуют учащихся и вызовут напряженную мыслительную деятельность. Возникновение интересов учащихся зависят от учителя. Создать проблемную ситуацию - такое жизненное или учебное затруднение, возникающее тогда, когда учащийся понимает задачи (явление, ситуацию), пытается ее решить (объяснить), чувствует недостаточность имеющихся знаний. Эта ситуация вызывает у учащихся желание найти объяснение непонятному факту, создает мотивы учебной деятельности.

Не менее хорош исследовательский метод. Он заключается в написании рефератов, докладов, т.е. ученик сам добывает знания по данной теме, исследуя те или иные источники.

Так же полезно использовать метод наглядного обучения. Заключается в применении учителем наглядных пособий (плакаты, рисунки), технических средств обучения (кинофильмов, диафильмов и т.д.).

При изучении данной темы учитель

- сразу формулирует определение нового понятия;

- мотивирует обозначение его соответствующим термином, а там где требуется это, то и символом;

- выделяет в определении определяющее понятие существенные свойства определяемого понятия;

- конкретными примерами иллюстрирует введенное понятие.

Следует постоянно контролировать на сколько усвоен материал. Для этого рекомендуется проводить самостоятельные работы на 20-15 мин. На каждом уроке проводить фронтальный опрос и т.д. Перед изучением новой темы проводить актуализацию знаний для облегчения понимания нового материала. Новый материал может изучаться в качестве проблемы, что дает лучшее усвоение нового материала, либо учитель сам объясняет в целях экономии времени, тем самым большую часть времени посвящает решению практических задач.

После изучения нового материала необходимо проводить первичное закрепление, т.е. решение задач по аналогии. Задачи следует вводить в работу от простого постепенно увеличивая трудность.

На втором уроке, после изучения новой темы, полезно решать нестандартные задачи, позволяющие ученикам логически мыслить.

Курс ''Алгебра и начала анализа'' предполагает изучение лишь основ определенного интеграла. Факультативные занятия предполагают более углубленное изучение данной темы.

2.1 Тематическое планирование

После ознакомления учащихся Х - ХI классов в курсе ''Алгебра и начала анализа'' с понятиями предела и производной, способами их вычисления и некоторыми их применениями, в ХI классе учащихся знакомят с понятиями и основными идеями интегрального исчисления. В теме ''Интеграл'' рассматриваются вопросы: первообразная функции, интеграл и его применение к нахождению площади, интеграл как предел интегральных сумм, площадь круга и его частей. Кроме того, в курсе ''Геометрия'' (ХI класс) учащиеся знакомятся с применением определенных интегралов к вычислению объемов тел. Программа по математике не предполагает выработки навыков и техники интегрирования сложных функций.

По учебнику А.Н. Колмогорова, А.А Абрамова ''Алгебра и начала анализа'' на изучение раздела ''Интеграл'' выделяется 10 часов. В этом учебнике доступно рассмотрена данная тема для понимания учащихся, поэтому его удобно использовать для планирования. Изучение этой темы начинается с изучения первообразной.

Основная цель - познакомить учащихся и интегрированием как операцией, обратной дифференцированию; научить применять первообразную для вычисления площадей криволинейных трапеций.

№ урока	Содержание учебного материала
1 -3	Глава Ш Первообразная и интеграл §8 Интеграл Площадь криволинейной трапеции. Самостоятельная работа № 1
4,5	Понятие об интеграле. Формула Ньютона-Лейбница
6,7	Вычисление интегралов. Самостоятельная работа № 2
8, 9	Вычисление площадей с помощью определенных интегралов. Самостоятельная работа № 3
10	Контрольная работа

По учебнику Ш.А. Алимова, Ю.М. Колягина `'Алгебра и начала анализа 10-11 '' изучению первообразной и интеграла отводится 12 часов.

Основная цель - ознакомить учащихся с понятиями первообразной и интеграла, научить находить площадь криволинейной трапеции в простейших случаях. Знакомство с первообразной и правилами ее нахождения позволяет прейти к понятию интеграла и его вычислению по формуле Ньютона-Лейбница. При этом обучение вычислению интегралов не является обязательным. Практическое применение интеграла иллюстрируется на примере простейших задач на нахождение площади криволинейной трапеции [15].

§3. Методические рекомендации по решению задач с помощью определенного интеграла

Часто при изучении интегрального исчисления в школе рассматриваются лишь основные моменты данного раздела: нахождение первообразных функции, вычисление определённых интегралов, отыскание площадей плоских фигур и объёмов тел вращения. Данные вопросы являются базовыми и необходимыми, ведь именно они раскрывают основную суть процесса интегрирования, но где же творческий подход в обучении математике? Где он? Порой мы просто-напросто ограничиваем тему "Интеграл" учебников и делаем её недоступной для другого математического материала, входящего в рамки школьной программы. Многие из учителей забывают, что, используя несложные конструкции, содержащие определённые интегралы, можно составить прекрасные уравнения, неравенства, их системы, различные задачи с параметрами, решение которых вызовет лишь положительное одобрение со стороны школьников. И это действительно так. Решая достаточно большое количество стандартизованных задач, учащиеся вскоре приходят к усталости, усталости решать "одно и тоже". В этот момент "мозговой штурм" сменяется "мозговым спадом", что на наш взгляд, не хотел бы наблюдать на своём уроке каждый учитель. И вот тогда на помощь могут прийти всё те же конструкции. Благодаря им, учащиеся будут стремиться вычислить не только сам интеграл, но и применить полученные в ходе вычисления результаты к решению конкретной задачи, которая в свою очередь вызовет интерес у школьников. Таким образом, удастся восстановить атмосферу сотрудничества на уроке и локализовать "штурм" в каждом из учеников. Составляя конструкции, можно осуществить внутриматематическое моделирование, которое позволит доказать учащимся то, что тема "Интеграл" не существует сама по себе, автономно, а великолепно и в полном объёме используется при решении задач ранее изученных тем.

Также одним из существенных моментов при решении задач, содержащих конструкции, является то, что учащиеся сталкиваются с тем, что в пределах интегрирования появляются переменные (до этого были лишь постоянные), для которых чаще всего приходится проводить анализ и находить их ОДЗ. Ведь вне ОДЗ многие определённые интегралы не вычислимы, тогда сталкиваемся с несобственными интегралами, решение которых не предусматривается школьной программой. Поэтому при составлении любых конструкций данный факт должен обязательно учитываться. Именно анализ заставляет учащихся сомневаться, делает процесс вычисления познавательным и привлекает к себе класс. Заинтересованный ученик всегда активен. Он стремится решить, понять, осознать. Поддержание данного стремления - основная задача учителя, его мастерство и профессионализм. Приведём примеры некоторых из конструкций, которые могут быть использованы в конкретных ситуациях. К каждому заданию прилагается по два варианта с решениями.

I. Решить уравнения.

А) ,

Решение. Вычислим интеграл:



Тогда

Решая полученное уравнение, находим, что x = 0, x = + 1, x = - 2.

Ответ: - 2, - 1, 0, 1.

Следует отметить, что в данном задании ничего не потребовалось, кроме техники нахождения простейших интегралов и решения уравнения, в том числе кубического.

Б) .

Решение. (В силу того, что интеграл неопределён при , то подобные точки выколоты из области задания). Вычислим значение интеграла:

.

Для удобства проведём вычисления по отдельности:

,

Приравнивая левую и правую часть равенства, получим:

.

Решая полученное тригонометрическое уравнение, имеем , где .

Но так как (по условию), то подбором устанавливаем, что .

Ответ: .

В данном задании учащимся приходится проводить исследовательскую работу с целью нахождения ОДЗ, решением тригонометрического уравнения, отбором корней. Здесь же они сталкиваются с вычислением нетабличного интеграла, для решения которого применяется подстановка, с которой многие учителя сталкиваются в своей преподавательской практике. Только правильный выбор подстановки и её использование приведёт к желаемому результату.

II. Решить неравенства.

А) ,

Решение. Вычислим определённый интеграл:

Тогда .Приравняем многочлен, стоящий в левой части к нулю и находим корни уравнения . Откуда . Методом интервалов решаем неравенство : откуда

Ответ: .

Б) .

Решение. По отдельности вычислим интеграл, стоящий в левой части и интеграл, стоящий в правой части неравенства:

; .

Тогда



Ответ: .

Существенных трудностей задания А) и Б) не вызывают.

III. Оцените последовательности.

А) ,

Решение. Вычислим данный интеграл:

.

Пользуясь неравенством Коши для двух неотрицательных чисел, оценим выражение

.

Прибавив к обеим частям данного неравенства - 2, получим оценку (an):

.

Ответ: .

Б) .

Решение. Вычислим определённый интеграл:

Тогда .

Используя неравенство Коши для трёх неотрицательных чисел, оценим (bn):

.

Ответ: .

Вся трудность заданий А) и Б) заключается лишь в том, на сколько хорошо учащиеся помнят неравенство Коши.

IV. На координатной плоскости изобразите множество точек (область), удовлетворяющих следующим условиям.

А)

Решение. Преобразуем каждое неравенство системы по отдельности:

.

С учётом вычислений данная система примет вид:

На координатной плоскости заштриховываем множества точек, удовлетворяющих каждому из неравенств системы:

Закрашенная часть - искомая область.

Б)

(данную конструкцию уместно предложить после изучения показательной функции).

Решение. Преобразуем каждое из неравенств системы по отдельности:

Тогда с учётом вычислений данная система примет вид:

.

На координатной плоскости заштриховываем множества точек, удовлетворяющих каждому из неравенств системы:

Закрашенная часть - искомая область.

Сложность заданий А) и Б) заключается лишь в том, на сколько правильно учащиеся могут решать неравенства с двумя переменными.

V. При всех значениях параметра решить уравнения.

А)

Решение. Для начала вычислим предложенный интеграл:

.

Тогда .

определенный интеграл задача

Решая данное уравнение относительно параметра а, имеем:

1. если a = - 1: - 3 = 0, сл., решений нет; если a = 1: получим линейное уравнение 2x - 3 = 0, сл., ;

2. если

2.1. если , то решений нет;

2.2. если

Произведя отбор, запишем ответ.

Ответ: при :

при : решений нет

 при a = 1: .

Б).

Решение. Вычислим предложенные определённые интегралы:

;

.

С учётом полученных вычислений имеем:

Во избежание ошибок при решении данного задания, необходимо заранее вспомнить с учащимися основные свойства тригонометрических функций (особенно области значений синуса и косинуса), а также правила решения отдельных задач с параметрами (это касается и задания А). Добиться максимальной работоспособности учащихся на уроке можно лишь при постановке таких проблемных ситуаций, которые будут создавать у школьников стремление их разрешить. На мой взгляд, одной из таких ситуаций будет использование предложенных конструкций, которые и осуществят творческий подход при обучении математике.

Изучение темы "Определенный интеграл" представляет собой сложный процесс, основными компонентами которого являются:

- приобретение учащимися определенной системы знаний, умений, навыков;

- овладение определенной системой фактов, идей.

Целью занятий по решению определенного интеграла является расширение и углубление знаний, развитие интереса учащихся к предмету, а также развитие их математических способностей, формирование у учащихся понятий и методов решения систем уравнений различной сложности.

Положение школьного курса алгебры в системе математических предметов имеет свою специфику. Прежде всего, курс алгебры девятилетней школы, по своему содержанию, носит преимущественно прикладной и практический характер. При его изучении учащиеся овладевают определенными знаниями, умениями и навыками, составляющими существенное звено математического аппарата, который активно применяется при решении разнообразных математических и нематематических задач. При этом следует отметить то, что обучение в VII -IX классе представляет не завершающий, а промежуточный этап в системе математического образования каждого школьника. На базе, полученной учеником математической подготовки, строится его дальнейшее обучение в X - XI классах. В XI классе вводится понятие определенного интеграла, и рассматриваются методы его решения.

Исходя из вышесказанного, следует отметить, важность изучения темы «Определенный интеграл». Основное место в данной теме занимают методы решения интеграла; замена переменной и интегрирование по частям.

Как же сконцентрировать внимание учащихся при изучении определенного интеграла? Эту проблему можно решать разными способами. При закреплении и тренировке в применении изученного материала полезен следующий прием. После предъявления первого задания учитель, не решая и не разъясняя его, просит учащихся составить аналогичное упражнение. Уже одно это заставляет школьников сосредоточиться, так как понять аналогию можно только тогда, когда хорошо проанализировал условие исходного примера.

Рассмотрим урок, на котором отрабатывается метод решения определенного интеграла способом подстановки. Учащимся предлагается вычислить следующий интеграл:

.

Решение. Воспользуемся подстановкой , роль и играют значения 0 и . Имеем

.

Это задание ученики должны выполнить самостоятельно. При этом они имеют право задавать учителю вопросы по поводу возникающих трудностей.

Следующее задание уже более сложнее. Например:

.

Решение. Подстановка (где t изменяется от до 0) приводит к равенству

или

.

Перенося последний интеграл налево, получаем

.

Описанный метод очень удобен для рассмотрения различных случаев вычисления интегралов. Описанная работа занимает обычно весь урок. Естественно, что более сильные учащиеся опережают класс. Для того чтобы они не дезорганизовывались, ожидая новых заданий, учитель предлагает им решать упражнения из учебника. Можно отметить и еще один недостаток таких уроков. Учащиеся одного и того же класса в одно и то же время распадаются на две большие группы, которым нет дела друг до друга. Такое отчуждение вредно влияет на внимание учащихся. Объединить класс можно несколько иным построением урока. Учитель вначале рассматривает не одно задание, а сразу два или три. Разъяснив задание, он стирает его с доски. Закончив объяснения, учитель составляет на доске три задания для самостоятельной работы.

Ребята приступают к самостоятельной работе. Тот, кто выполнит все задания первым, подходит к учителю, который быстро проверяет работу ученика и выставляет за нее оценку. Несколько человек, получившие хорошие оценки, объявляются консультантами. Они должны проверить работы своих товарищей и выставить в их тетрадях свои оценки. Разрешение на выставление оценок мобилизует проверяющих. Они с большой ответственностью приступают к проверке. Учитель же может проконтролировать проверяющих, собрав тетради и просмотрев их после урока.

Такие уроки требуют от учителя максимума внимания и умения владеть классом, но и учащимся они приносят большую пользу как в учебном, так и в воспитательном плане.

Система упражнений для изучения интеграла в учебном пособии недостаточно совершенна. Задания здесь в основном сводятся к вычислению площадей фигур и интеграла, т.е. имеют тренировочный характер. На уроках в 10 классе будут полезны задачи, в которых вычислению интеграла предшествовало бы упрощение или преобразование формулы, задающей функцию. Таковы следующие задачи:

1. Вычислите интеграл, предварительно выполнив необходимые преобразования подынтегральной функции:

а) ;

б) ;

в) .

Дополнительного времени, как и дополнительных знаний, для рассмотрения приведенных задач фактически не требуется: их решение целесообразно связать с повторением.

Можно предлагать и такие задачи на вычисления интегралов, которые требуют более сложных преобразований тригонометрических выражений.

2. Вычислите интеграл:

а) ;

б) ;

в) :

Решение.

.

Задачи 1-2 полезно рассмотреть на внеклассных и факультативных занятиях.

До сих пор рассматривались упражнения, в которых требовалось вычислить интеграл, привлекая для этого сведения из предшествующего курса алгебры и начал анализа. Но и задачам, в которых интеграл играет вспомогательную роль, надо отвести время на уроках или внеклассных занятиях. Вот примеры таких упражнений.

3.Решить уравнение:

а) ; б) ;

Найти все значения t такие, что и является корнем уравнения:

а) ; б) .

Найти множество неотрицательных корней уравнения:

.

Предложенные задачи, несомненно, будут способствовать сознательному усвоению понятия интеграла. Необходимо предупреждать возможность формального подхода к вычислению интегралов. Прежде чем вычислять интеграл, нужно убедиться, что на отрезке интегрирования существует первообразная подынтегральной функции: формула Ньютона-Лейбница применима лишь для непрерывных функций, а они имеют первообразную. Чтобы избежать недоразумений, полезно приучать десятиклассников перед формальным интегрированием устанавливать, непрерывна ли заданная (под интегралом) функция. В этих целях полезно рассмотреть следующую задачу:

Вычисляя и , ученик нашел, что

.

Верны ли эти равенства? Если нет, то в чем заключается ошибка?

Анализ ошибки полезно связать с геометрическими иллюстрациями и убедиться, что в точке x=2 функция не определена. Следовательно, на промежутке [0;3] функция не является непрерывной.

Методические разработки уроков по теме «Определенный интеграл»

С учетом методических рекомендаций приведенных выше и на основании учебника “Алгебра и начала анализа 10-11” (авторы А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов) были разработаны уроки по теме «Понятие определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница».

Конспект урока по алгебре (11 класс)

Урок-лекция №1

Тема урока:

Понятие интеграла.

Тип урока:

Изучение нового материала.

Цели урока:

- «открыть», что такое интеграл;

- учить решать интеграл;

- развивать интерес к математике, показав на историческом материале значимость интеграла;

- воспитывать самостоятельность и аккуратность.

Ход урока

I. Организационный момент:

- приветствие класса;

- проверить готовность класса к уроку;

- сообщить тему урока и цели.

II. Изучение нового материала.

а) учитель, для того, чтобы заинтересовать учащихся новым материалом, приводит исторические данные.

История понятия интеграла связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачи, которые мы сейчас относим к задачам на вычисление площадей. Символ введен Лейбницем ( 1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S ( первой буквы слова summa). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.), которое происходит от латинского integer означает целый.

б) Открытие нового знания происходит в виде обыкновенного урока, где ученику будут представлены основные положения определенного интеграла и способы его решения.

Необходимо сказать учащимся, что основные моменты необходимо записать и рассмотреть следующий материал: (см. глава 1 §1)

III. Домашнее задание.

Рассмотреть и проработать основные положения по изученному материалу, а именно:

- выучить определения;

- выучить запись определенного интеграла (уметь читать определенный интеграл).

IV. Подведение итогов.

Итак, давайте вспомним, что сегодня мы узнали (учитель с помощью учащихся):

- что такое определенный интеграл;

- как записывается определенный интеграл;

А сейчас прошу задать вопросы, если что-то непонятно.

Урок №2

Тема урока:

Формула Ньютона-Лейбница.

Тип урока:

Изучение нового материала.

Цели урока:

1. Образовательная:

- ввести понятие формулы Ньютона-Лейбница;

- рассмотреть способы решения определенного интеграла, сводящегося к формуле Ньютона-Лейбница.

2. Развивающая:

- развивать память учащихся;

- развивать логическое и абстрактное мышление.

3. Воспитательная

- прививать интерес к математике;

- воспитывать положительное отношение к процессу обучения.

Ход урока

I. Организационный момент:

- приветствие класса;

- проверить готовность класса к уроку;

- сообщить тему урока и цели.

II. Изучение нового материала.

Данный пункт урока рекомендуется начать с беседы: повторение опорных знаний о интеграле.

Необходимо повторить основные понятия интеграла, вспомнить: основные способы и методы решения определенного интеграла в зависимости от его вида. А затем плавно перейти к изложению нового материала.

Рассмотрим интеграл, применяя формулу Ньютона-Лейбница. В подинтегральном выражении находим первообразную, а затем вместо неизвестного подставляем пределы интегрирования.

А сейчас рассмотрим пример, который поможет осмыслить выше сказанное.

Пример 1

.

Решение.

Поскольку для x одной из первообразных является ,



III. Первичное осмысление и закрепление нового материала через практику (учащиеся работают у доски).

Пример 2

Решение.

.

Пример 3

.

Решение.

Пример 4

.

Решение.

.

IV. Постановка домашнего задания.

Продиктовать примеры три - четыре (использовать материал, содержащийся в приложении).

V. Подведение итогов.

Ребята, сегодня мы познакомились с определенными интегралами, сводящиеся к формуле Ньютона-Лейбница, а также узнали способы их решения. Есть что-нибудь непонятное в этой теме?

Если есть, то учитель ещё раз повторяет непонятные положения.

Урок №3

Тема урока:

Свойства определенного интеграла.