• Введение
• Глава I. Теоретические основы поверхностей вращения второго порядка
• 1.1 Уравнение поверхностей второго порядка
• 1.2 Способы получения поверхностей вращения второго порядка
• 1.2.1 Геометрический способ
• 1.2.2 Аналитический способ
• 1.3 Построение поверхностей вращения второго порядка методом параллельных ссечений
• 1.3.1 Суть метода параллельных сечений
• 1.3.2 Примеры построения поверхностей вращения второго порядка
• Глава II. Изучение темы "поверхности вращения второго порядка" в школьном курсе математики
• 2.1 Анализ содержания школьного курса математики
• 2.1.1 Анализ школьных программ и учебников по геометрии
• 2.1.2 Анализ содержания образования по математике основной школы
• 2.2 Методы и средства обучения
• 2.3 Обзор возможностей математических пакетов для изучения темы "поверхности вращения второго порядка"
• 2.3.1 Возможности математических пакетов Maple и Mathcad
• 2.3.2 Авторская программа "поверхности второго порядка"
• 2.4 Образовательные возможности изучения темы "поверхности вращения второго порядка"
• 2.5 Система занятий по теме "поверхности вращения второго порядка"
• Заключение

Введение

Эллиптический параболоид

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением , a > 0, b > 0, называется эллиптическим параболоидом. Эллиптический параболоид изображен на рисунке 2.

Рис.2

Свойства эллиптического параболоида

1. Эллиптический параболоид - неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z ? 0 и принимает сколь угодно большие значения.

2. Эллиптический параболоид обладает

· осевой симметрией относительно оси Oz,

· плоскостной симметрией относительно координатных осей Oxz и Oyz.

3. В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси Oz, получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy - парабола.

Однополостный гиперболоид

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением , a > 0, b > 0, c > 0, называется однополостным гиперболоидом. Однополостный гиперболоид изображен на рисунке 3.

Рис.3

Свойства однополостного гиперболоида

1. Однополостный гиперболоид - неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z - любое число.

2. Однополостный гиперболоид обладает

· центральной симметрией относительно начала координат,

· осевой симметрией относительно всех координатных осей,

· плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.

3. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy - гипербола.

Двуполостный гиперболоид

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением , a > 0, b > 0, c > 0, называется двуполостным гиперболоидом.

Двуполостный гиперболоид изображен на рисунке 4.

Рис.4

Свойства двуполостного гиперболоида

1. Двуполостный гиперболоид - неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что

2. Двуполостный гиперболоид обладает

· центральной симметрией относительно начала координат,

· осевой симметрией относительно всех координатных осей,

· плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.

3. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, при |z|>c получается эллипс, при |z|=c - точка, а в сечении плоскостями, перпендикулярными осям Ox и Oy, - гипербола.

Коническая поверхность

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением , a > 0, b > 0, c > 0, называется конической поверхностью. Коническая поверхность изображена на рисунке 5.

Свойства конической поверхности

1. Коническая поверхность - неограниченная поверхность, поскольку из её уравнения следует, что z - любое число.

2. Коническая поверхность обладает

· центральной симметрией относительно начала координат,

· осевой симметрией относительно всех координатных осей,

· плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.

3. В сечении конической поверхности плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy - прямые.

Рис. 5

Цилиндрическая поверхность

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением , a > 0, b > 0, называется цилиндрической поверхностью. Цилиндрическая поверхность изображена на рисунке 6.

Рис. 6

Свойства цилиндрической поверхности

1. Цилиндрическая поверхность - неограниченная поверхность.

2. Цилиндрическая поверхность обладает

· центральной симметрией относительно начала координат,

· осевой симметрией относительно всех координатных осей,

· плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.

3. В сечении цилиндрической поверхности плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy - прямые.

Поверхностью вращения второго порядка называется поверхность заданная линией второго порядка, которая вращается вокруг одной из осей координат и в сечении плоскостью параллельной одной из координатных плоскостей получается окружность. В уравнении такой поверхности существует особенность: два знаменателя в сумме дробей равны.

1.3 Способы получения поверхностей вращения второго порядка

1.3.1 Геометрический способ

Пусть дана кривая l, которая лежит в плоскости XOY и имеет уравнение ; (рис.7). Найдём уравнение поверхности, которая получается при вращении кривой l вокруг оси ОХ (рис.8).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Очевидно, что точка М с координатами (x, y, z), где принадлежит искомой поверхности тогда и только тогда, когда , таким образом уравнение поверхности, полученной вращением кривой вокруг оси ОХ имеет вид: , . Это уравнение получено из уравнения кривой l следующим образом: обе части уравнения возводятся в квадрат и y² заменяется на y²+ z².

При вращении кривой или прямой вокруг одной из координатных осей можно получить поверхность вращения.

Для этого необходимо уравнение прямой или кривой сначала возвести в квадрат, а затем при их вращении вокруг оси OY x² заменяется на x²+y², при вращении вокруг оси ОХ y² заменяется на y²+ z².

Эллипсоид вращения

Поверхность, которая получается при вращении эллипса вокруг одной из осей, называется эллипсоидом вращения. Пусть в плоскости XOY эллипс задан уравнением: .

Составим уравнение поверхности, полученное вращением эллипса вокруг оси ОХ. Для этого в уравнении эллипса y² заменим на y²+ z². После замены получим: (I).

Это уравнение называется уравнением эллипсоида. При a >b уравнение (I) определяет эллипсоид вращения, вытянутый вдоль оси ОХ (приложение 1 рис.9), при a < b - эллипсоид вращения сжатый вдоль оси ОХ (приложение 1 рис.10), при a = b уравнение определяет сферу (приложение 1 рис.11).

Однополостный и двуполостный гиперболоиды вращения

Пусть в плоскости ХОУ дана гипербола, заданная уравнением . При вращении гиперболы вокруг одной из её осей получится поверхность вращения, называемая гиперболоидом вращения.

При вращении гиперболы вокруг её действительной оси (ОХ), получается двуполостный гиперболоид, чтобы получить его уравнение необходимо (достаточно) в уравнении гиперболы y² заменяется на y²+ z². После замены получим: . Двуполостный гиперболоид изображен в приложении 1 рис.12.

При вращении гиперболы вокруг её мнимой оси (ОУ), получается однополостный гиперболоид. Для получения уравнения поверхности однополостного гиперболоида нужно в уравнении гиперболы заменить x² на x²+z² после замены получим . Однополостный гиперболоид изображен в приложении 1 рис 13.

Параболоид вращения

Поверхность которая получается при вращении параболы вокруг её оси симметрии называется параболоидом вращения. Пусть на плоскости ХОY парабола задана уравнением: . Параболоид можно вращать вокруг оси OY. При вращении параболы вокруг оси ОY необходимо заменить в уравнении x² на x²+z²,, после замены получим уравнение: - это уравнение эллиптического параболоида, он изображен в приложении 1 рис.14.

Коническая поверхность

Поверхность которая получается при вращении прямой не параллельной осям координат называется конической. Пусть на плоскости ХОY прямая задана уравнением ky=x, где k коэффициент при y, возведем данное уравнение в квадрат получим: ky²=x². При вращении данной прямой вокруг оси OY, заменим x² на x²+z² получим уравнение конуса: x²-ky²+z²=0 . Его изображение представлено в приложении 1 рис.15.

Цилиндрическая поверхность

Поверхность, которая получается при вращении прямой параллельной одной из осей координат, называется цилиндрической. Пусть на плоскости ХОY прямая параллельная оси OY задана уравнением , k число, возведём равенство в квадрат: при вращении данной прямой вокруг оси OY, заменим x² на x²+z² получим уравнение цилиндра: . Его изображение представлено в приложении 1 рис.16.

1.2.2 Аналитический способ

Общее уравнение поверхности второго порядка имеет вид: , где A^/, G^/, B^/, M^/, K^/, C^/, N^/, T^/, L^/, D^/ - коэффициенты.

В результате замены координат можно упростить уравнение. Поворотом осей координат можно добиться, чтобы уравнение поверхности не содержало слагаемого с произведением переменных xy, xz, yz. После поворота уравнение примет вид:

Для дальнейшего упрощения уравнения воспользуемся параллельным переносом. С помощью него можно добиться того, чтобы коэффициенты при x, y, z обратились в ноль, тогда уравнение примет следующий вид: - канонический вид уравнения поверхности второго порядка.

Итак, общее уравнение поверхности второго порядка в зависимости от значений коэффициентов A^/, G^/, B^/, M^/, K^/, C^/, N^/, T^/, L^/, D^/ и преобразованием плоскости можно привести к одному из видов:

I. .

II.

III.

Для поверхности вращения второго порядка, расположенной в канонической системе координат, при её пересечении плоскостями, параллельными какой-либо координатной плоскости, должны получаться окружности, в таком случае исследование уравнения будет заключаться в том, чтобы определить при каких коэффициентах уравнение поверхности второго порядка будет отвечать хотя бы одному из условий:

1. - уравнение окружности

2. - уравнение окружности

3. - уравнение окружности

Исследуем уравнение I.

1. Пусть , D<0, A>0, B>0, C>0, тогда уравнение будет иметь следующий вид: , разделим это уравнение на получим уравнение: . Заменим: на , на , на , получим уравнение следующего вида: - это уравнение эллипсоида. Полученное уравнение может быть уравнением эллипсоида вращения при выполнении следующих условий:

1) При получим следующее уравнение: , при сечении данной поверхности второго порядка плоскостями параллельными координатной плоскости XOY в интервале - c<z<c получаются окружности.

2) При получим следующее уравнение: , при сечении данной поверхности второго порядка плоскостями параллельными координатной плоскости XOZ в интервале - b<y<b получим окружности.

3) При получим следующее уравнение: , при сечении данной поверхности второго порядка плоскостями параллельными координатной плоскости ZOY в интервале - a<x<a получим окружности.

4) При получим уравнение сферы, которое имеет вид: , при сечении данной поверхности второго порядка плоскостями параллельными координатным плоскостям XOY, XOZ, ZOY в интервале - c<z<c, - b<y<b,-a<x<a получим окружности.

5) При последующем приравнивании коэффициентов к нулю будем получать линии второго порядка:

,

,

.

Исследуем одно из уравнений:

Пусть , D<0, A>0, B>0, тогда уравнение будет иметь следующий вид: , разделим это уравнение на получим уравнение: . Заменим: на , на , получим уравнение следующего вида: - это уравнение эллиптического цилиндра. Полученное уравнение может быть уравнением поверхности вращения второго порядка при выполнении следующего условия: , тогда получим следующее уравнение: , при сечении данной поверхности второго порядка плоскостями параллельными координатной плоскости XOY в интервале - c<z<c получим окружности.

2. Пусть , A>0, B>0, и получим уравнение: , разделим обе части уравнения на , получим: . Заменим: на , на , на , получим уравнение следующего вида: - это уравнение однополостного гиперболоида. Полученное уравнение может быть уравнением поверхности вращения второго порядка при выполнении следующего условия: при , тогда получим следующее уравнение: , при сечении данной поверхности второго порядка плоскостями параллельными координатной плоскости XOY в интервале - c<z<c получим окружности.

3. Пусть , A>0, B>0, и получим уравнение: , разделим обе части уравнения на , получим: . Заменим: на , на , на , получим уравнение следующего вида: - это уравнение двуполостного гиперболоида. Полученное уравнение может быть уравнением поверхности вращения второго порядка при выполнении следующего условия: при , тогда получим следующее уравнение: , при сечении данной поверхности второго порядка плоскостями параллельными координатной плоскости XOY в интервале - c<z<c получим окружности.

4. Пусть , A>0, B>0, тогда уравнение будет иметь следующий вид: , . Заменим: на , на , на , получим уравнение следующего вида: - это уравнение конуса. Полученное уравнение может быть уравнением поверхности вращения второго порядка при выполнении следующего условия: при , тогда получим следующее уравнение: , при сечении данной поверхности второго порядка плоскостями параллельными координатной плоскости XOY в интервале - c<z<c получим окружности.

Итак, при определенных значениях коэффициентов A, B, C, D уравнения , получаются уравнения следующих поверхностей вращения второго порядка:

- уравнение эллипсоида вращения,

- уравнение сферы,

- уравнение цилиндрической поверхности вращения,

- уравнение однополостного гиперболоида вращения,

- уравнение двуполостного гиперболоида вращения,

- уравнение конической поверхности вращения.

Исследуем одно из уравнений II

Пусть , A>0, B>0, C>0, тогда уравнение будет иметь следующий вид: , разделим это уравнение на получим уравнение: . Заменим: на , на , получим уравнение следующего вида: - это уравнение эллиптического параболоида. Полученное уравнение может быть уравнением поверхности вращения второго порядка при выполнении следующего условия: при , тогда получим следующее уравнение: , при сечении данной поверхности второго порядка плоскостями параллельными координатной плоскости XOY получим окружности.

Итак, при определенных значениях коэффициентов A, B, C, D уравнения , получаются уравнения следующих поверхностей вращения второго порядка: - уравнение эллиптического параболоида вращения.

Исследуем уравнения III:

Уравнения представленные под цифрой IV не могут являться уравнениями поверхности вращения второго порядка, так как ни при каких значениях они не могут описывать поверхность вращения. В их параллельных сечениях не может получиться окружности, это связано с тем, что в данных уравнениях не хватает квадрата хотя бы ещё у одной переменной.

1.4 Построение поверхностей вращения второго порядка методом параллельных ссечений

1.4.1 Суть метода параллельных сечений

Наиболее сложный вопрос при решении задач, это изображение, построение поверхностей. При построении поверхности вращения второго порядка по его уравнению широко используют метод параллельных сечений. Суть метода параллельных сечений заключается в том, чтобы, используя уравнение поверхности вращения второго порядка, получить линии второго порядка, расположенные в плоскостях параллельных координатным.

Для этого поверхность рассекают множеством плоскостей параллельных координатным, в каждой плоскости должна получиться линия второго порядка. Какая это будет линия зависит от уравнения поверхности второго порядка.

Данный способ довольно прост для понимания, так как связан с темой линии второго порядка, которая изучается перед темой поверхностей второго порядка, и позволяет наиболее четко изобразить объемную поверхность второго порядка на плоском листе ватмана.

Ниже будут представлены построения поверхностей вращения второго порядка таких как эллипсоида вращения, однополостного гиперболоида вращения, двуполостного гиперболоида вращения, эллиптического параболоида вращения.

1.4.2 Примеры построения поверхностей вращения второго порядка

Эллипсоид вращения

, a=b (1)

При построении этой поверхности воспользуемся методом параллельных сечений. Рассмотрим сечения плоскостей параллельных плоскости ХОУ. Уравнение такой плоскости имеет вид z=h, если плоскость пересекает ось OZ в точке с координатами о, о, h, подставляя это значение z в уравнение (1), получим следующее равенство: (2). Разделим его и положим , . Получим уравнение эллипса, который является проекцией сечения плоскость ХОУ: . Это возможно лишь в том случае, когда |h| <c. В противном случае уравнение (2) решений не имеет, то есть секущая поверхность не пересекает числа и принимает наибольшее значение при h=0. В сечении поверхности плоскостью ХОУ получается окружность с полуосями а и b. Оси окружностей уменьшаются при изменении |h| от о до с.

При пересечении поверхностью XOZ (y=o) получается эллипс: , плоскостью XOZ (x=0) - эллипс .

Этим эллипсом принадлежат концы осей эллипсов, полученных при пересечении поверхности плоскостями, параллельными плоскости ХОУ.

Положительные числа а, в, с называется полуосями эллипсоида. Если , то он называется трехосным. В нашем случае а=b это эллипсоид вращения, так все его сечения плоскостями z=h (|h|<c) являются окружностями. При a=b=c получаем сферу, так как уравнение (1) принимает вид: .

Изображение эллипсоида и его сечений координатными плоскостями представлено в приложении (приложение 2, рис.17.).

Однополостный гиперболоид вращения

, a=b (3)

Чтобы построить форму поверхности, рассмотрим сечения её плоскостями, параллельными плоскости ХОУ. Уравнение такой плоскости: z=h. Подставим это значение z в уравнение (3), получим: (4). Проекция сечения на плоскость ХОУ - окружность, заданная уравнением (4). Её полуоси равны . Наименьшая окружность получается при h=0, то есть в сечении поверхности плоскостью ХОУ. Сечение поверхности плоскостью ХОУ (y=0) - гипербола. Её уравнения .

В сечении плоскостью XOZ (x=0) получим также гиперболу, заданную уравнением . В приложении 10 изображен однополостный гиперболоид и его сечения плоскостями XOZ, YOZ и некоторыми плоскостями, параллельными ХОУ.

Если в уравнении a=b, то сечения плоскостями параллельными ХОУ являются окружностями, и поверхность называется однополостным гиперболоидом вращения. Поверхность можно еще получить, вращая вокруг оси прямую, которая не пересекает ось и не параллельна ей. Изображение однополостного гиперболоида и его сечений координатными плоскостями представлено в приложении 2 рис.18.

Двуполостный гиперболоид вращения

, a=b (5)

Рассмотрим сечения этой поверхности плоскостями параллельными плоскости ХОУ. Пусть секущая плоскость пересекает ось OZ в точке с координатами (o, o,h) в сечении получится линия, заданная уравнениями: .

Это уравнение имеет решение при |h| c. При |h|=c в сечении получаются две точки А (o, o, h) и В (o, o, - h) - вершины гиперболоида. Если |h|>c, то в сечении получается окружность. Её уравнения , где .

Полуоси этой окружности увеличиваются с увеличением |h|. В сечении гиперболоида координатой плоскостью XOZ, получаем гиперболу. Её уравнение на плоскости XOZ: или . Действительная ось гиперболы расположена на оси OZ, на этой гиперболе лежат концы осей (равных 2 а), эллипсов, полученных в сечениях плоскостями z=h. В сечении гиперболоида плоскостью YOZ также получится гипербола. Её уравнение в плоскости: . У двуполостного гиперболоида вращения в уравнении (5) a=b, в сечении его плоскостями z=h, получаются окружности. Всё перечисленное выше позволит нам изобразить двуполостный гиперболоид вращения. Изображение двуполостного гиперболоида и его сечений координатными плоскостями представлено в приложении 2 рис. 19.

Эллиптический параболоид вращения

, a=b (6)

При z=0 это уравнение не имеет решений, при z=0 есть единственное решение: x=0, y=0, z=0. Получим координаты точки 0 (начало координат), которая называется вершиной параболоида. Все остальные его точки находятся над плоскостью ХОУ. В сечении поверхности плоскостями z=h (h>0) получаем окружнорсти, их уравнения: или , где . Оси окружности увеличиваются при возрастании h. В сечениях плоскостями XOZ и YOZ получаются параболы и . Изображение эллиптического параболоида и его сечений координатными плоскостями представлено в приложении (приложение 2, рис. 20.).

Глава II. Изучение темы "поверхности вращения второго порядка" в школьном курсе математики

2.1 Анализ содержания школьного курса математики

2.1.1 Анализ школьных программ и учебников по геометрии

На начальном этапе работы были проанализированы учебники геометрии следующих авторов: А.В. Погорелова (7-9 класс), А.С. Атанасяна (7-9 класс, 10-11 класс), И.Ф. Шарыгина (10-11 класс), А.Д. Александрова (9-10 класс). По итогам анализа была составлена таблица 1:

Таблица 1

Содержание темы "Поверхности вращения" в школьных учебниках

Таблица 1 позволяет сделать следующие выводы:

· определение поверхности вращения дано в учебниках А.В. Погорелова и И.Ф. Шарыгина, причем более полно представлено в учебнике Погорелова;

· в учебниках А.В. Погорелова, А.Д. Александрова, А.С. Атанасяна даны определения трех поверхностей вращения: шара, цилиндра, конуса. Их изображения представлены во всех учебниках. Дополнительно к этому, в учебнике Александрова дается определение сферы;

· авторы учебников говорят уже о готовых (полученных) поверхностях, не углубляясь в их построение. Ни в одном учебнике не показан аналитический метод построения поверхности вращения. В учебнике А.В. Погорелова наглядно показан геометрический способ построения сферы, конуса и цилиндра;

· в анализируемых учебниках, кроме И.Ф. Шарыгина, представлены сечения шара и конуса.

Подводя итоги анализа учебников можно сказать, что наиболее широко тема поверхностей вращения представлена в учебниках таких авторов как А.В. Погорелов и А.Д. Александров, но даже у этих авторов материал направлен на формирование общих представлений о поверхностях, ориентирован на широкий круг учащихся. Исходя из этого, стала очевидна полезность разработки дополнительных материалов в виде системы занятий по изучению темы "Поверхности вращения второго порядка", которая может быть использована как на уроках для углубления знаний, так и для факультативных занятий или элективного курса.

Система занятий по изучению темы "Поверхности вращения второго порядка" может решать следующие задачи:

· систематизировать и углубить знания учащихся по составлению и исследованию уравнений поверхностей вращения, линий второго порядка;

· создать условия для развития пространственного мышления учащихся;

· научить учащихся строить поверхности вращения методом параллельных сечений;

· использовать информационные технологии как для наглядности, так и для организации исследовательской деятельности учащихся;

· научить учащихся работать с компьютерными математическими программами "Maple", "Mathcad";

· повысить математическую культуру учащихся;

· развить интерес учащихся к геометрии.

2.1.2 Анализ содержания образования по математике основной школы

Чтобы определить, существует ли возможность изучения темы "Поверхности вращения второго порядка" раньше, чем в курсе стереометрии, необходимо знать какими знаниями по геометрии и алгебре должны обладать учащиеся основной школы. Для этого была проанализирована примерная программа основного общего образования по математике, составленная на основе федерального компонента государственного стандарта основного общего образования.

В ходе анализа программы были определены знания, которыми должны обладать учащиеся 9 класса и которые составляют основу темы "Поверхности вращения второго порядка".

По алгебре:

· буквенные выражения (выражения с переменными);

· числовое значение буквенного выражения;

· допустимые значения переменных, входящих в алгебраические выражения;

· подстановка выражений вместо переменных;

· равенство буквенных выражений;

· тождество, доказательство тождеств;

· преобразования выражений;

· действия с алгебраическими дробями;

· рациональные выражения и их преобразования;

· уравнение с одной переменной;

· корень уравнения;

· линейное уравнение;

· квадратное уравнение: формула корней квадратного уравнения;

· решение рациональных уравнений;

· уравнение с двумя переменными; решение уравнения с двумя переменными;

· система уравнений; решение системы;

· система двух линейных уравнений с двумя переменными;

· числовые функции. Понятие функции. Область определения функции. Способы задания функции. График функции;

· функции, описывающие прямую и обратную пропорциональную зависимости, их графики. Линейная функция, ее график, геометрический смысл коэффициентов. Гипербола. Квадратичная функция, ее график, парабола. Координаты вершины параболы, ось симметрии. Степенные функции с натуральным показателем, их графики. Графики функций: корень квадратный, корень кубический, модуль. Использование графиков функций для решения уравнений и систем.

По геометрии:

· геометрические фигуры и тела;

· точка;

· прямая и плоскость;

· понятие о геометрическом месте точек;

· параллельные и пересекающиеся прямые;

· перпендикулярность прямых;

· окружность и круг;

· изображение чисел точками координатной прямой.

Таким образом, можно сделать вывод, что в 9 классе учащиеся уже обладают достаточной базой знаний и умений для успешного изучения темы "Поверхности вращения второго порядка".

2.2 Методы и средства обучения