Методика реализации внутрипредметных связей в школьном курсе математики

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ

ГОУ ВПО “ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ”

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Кафедра геометрии и методики преподавания математики

КУРСОВАЯ РАБОТА

на тему

“Методика реализации внутрипредметных связей в школьном курсе математики”

Выполнил: студент 1 группы V курса

физико-математического

факультета Аксёнов Н.А.

Руководитель: канд. педагогических наук

доцент Кожухов С.К.

Орёл, 2006

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РЕАЛИЗАЦИИ

ВНИТРИПРЕДМЕТНЫХ СВЯЗЕЙ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ

1.1 Психолого-педагогические основы отбора содержания и усвоения новых знаний

1.2 Понятие и виды внутрипредметных связей в обучении математике

ГЛАВА II. МЕТОДИКА РЕАЛИЗАЦИИ ВНУТРИПРЕДМЕТНЫХ

СВЯЗЕЙВ ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ

2.1 Методическая значимость реализации внутрипредметных связей в школьном курсе математики

2.2 Методика реализации внутрипредметных связей на различных этапах обучения

Внутрипредметные связи на этапе изучения нового материла

Внутрипредметные связи на этапе обобщения и систематизации знаний, умений и навыков

2.3 Реализация внутрипредметных связей на факультативных занятиях по математике

Заключение

Литература

внутрипредметный математика школьный

ВВЕДЕНИЕ

В условиях более ранней специализации обучения нужны такие программы и учебники по математике, которые позволили бы эффективно дифференцировать усвоение материала учащимися на обязательном и углублённом уровнях. Это возможно за счёт реализации в учебных курсах различной степени полноты внутрипредметных связей. Усиление внутрипредметных связей следует рассматривать как одно из важнейших направлений дидактического совершенствования школьного курса математики.

Понятия и их свойства, методы доказательства теорем, методы решения задач должны быть организованы в определённую систему, только в этом случае возможно успешное оперирование ими.

Роль внутрипредметных связей в учебном процессе велика, они непосредственно влияют на достижение обучающей, развивающей и воспитывающей целей обучения. При этом внутрипредметные связи формируют у учащихся научное мировоззрение, помогают видеть мир в движении и развитии, способствуют установлению логических связей между понятиями, тем самым развивают логическое мышление учащихся, выступают средством предупреждения и ликвидации формализма в знаниях школьников, позволяют сформировать такую систему знаний, которая предстаёт перед учащимися не как застывшая, а как динамичная, качественно изменяющаяся, сокращают затраты учебного времени, способствуют устранению перегрузки школьников.

Задача учителя - вооружить учащихся учебно-познавательным аппаратом, способами деятельности по овладению этими связями. Это в свою очередь требует формирования у школьников определённой системы умений и навыков. Все учебные умения и навыки можно разделить на две группы: специальные, формируемые на базе одного учебного предмета, и общие, формируемые на базе системы многих предметов. К ним относят общелогические, учебные, поисково-информационные, организационно-познавательные. Формирование специальных умений и навыков происходит во внутрипредметном плане, но при этом возможен перенос их в область смежных дисциплин.

Реализация внутрипредметных связей в обучающей деятельности учителя заключается прежде всего в отборе материала, который представляет эти связи, в выборе организационных форм, методов и приёмов обучения, направленных на наиболее успешное усвоение этого материала. Реализация внутрипредметных связей с позиции учебной деятельности ученика состоит в его самостоятельной работе по усвоению связей между изученными частями материала, по обобщению и систематизации знаний.

ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РЕАЛИЗАЦИИ ВНИТРИПРЕДМЕТНЫХ СВЯЗЕЙ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ

1.1 Психолого-педагогические основы отбора содержания и усвоения новых знаний

Одним из наиболее актуальных и сложных вопросов, сопряжённых с процессом отбора содержания и усвоения новых знаний, является не только вопрос “Как решать?”, но и вопрос “Что решать?”.

В настоящее время в психолого-педагогических исследованиях практически отсутствуют разработки, посвящённые именно особенностям реализации внутрипредметных связей посредством решения задач. В связи с этим в данном параграфе необходимо провести анализ психолого-педагогической литературы, посвящённой вопросам обучения математике в средней школе.

Как показал Ю.М. Колягин в своих работах [7, 8, 9, 10 , 11], задача - это основное средство обучения математике. Поэтому, прежде всего, дадим психолого-дидактическую трактовку понятия “задача”.

По вопросу смысла понятия “задача” значительное исследование провёл В.И. Крупич в труде [12], в параграфе с таким же названием. Для решения проблемы, которой посвящена данная курсовая работа, этот вопрос очень важен, поэтому мы здесь кратко остановимся на основных результатах, полученных В.И. Крупичем, реферативно изложим их.

В психологии понятие “задача” рассматривается как объект мышления. Несмотря на важную роль задач в развитии мышления, в психологии нет единой трактовки этого понятия, поэтому рассмотрим имеющиеся подходы, созданные психологами в решении этой проблемы.

Школьный предмет математика оказывает сильное влияние на развитие мышления главным образом на такие его приёмы как анализ, синтез, обобщение, абстрагирование. С.Л. Рубинштейн в своей работе [17] отмечает, что мышление - это прежде всего анализирование, синтезирование и обобщение. Однако, несмотря на тесную связь, мышление и решение задач не могут быть отождествлены путём сведения мышления к решению задач, так как мышление имеет место и при формулировке задач. Но, несомненно, развивать мышление лучше всего именно в процессе решения задач. Это определяется самим тезисом о процессе мышления, который состоит в том, что ход решения задачи определяется самой задачей, то есть задача создаёт исходную детерминацию для мышления, определяя общее направление поисков неизвестного [3].

Известный психолог К.А. Славская в работе “Детерминация процесса мышления” отмечает: “принцип детерминизма, исходящий из того, что внешние причины действуют через внутренние условия, устанавливает определённое отношение внешних и внутренних условий любого тела, явления, процесса: он выступает как общий методологический принцип в любой области знания, в любой науке” [18, С.175].

Принцип детерминизма лежит в основе построения теории задач, так как задача, будучи объектом мыслительной деятельности, посредством условия и требования направляет мыслительный процесс на глубокое изучение объекта, раскрытие внутренних условий его существования. Внутренние условия, оказывая влияние на внешние условия (формулировку задачи), позволяют глубже вникнуть в текст задачи с целью её решения, используя различные приёмы.

Таким образом, сущность психологического подхода к понятию “задача” состоит в том, что задача есть объективная исходная проблемная ситуация, соотношение условий и требований. Это прежде всего задача, встающая для человека. Её можно рассматривать как особую форму познания действительности, причём задача выступает как объект, детерминирующий процесс мышления человека, понимаемый как деятельность [18, С.211].

В формулировке любой задачи обычно четко фиксированы условия (данные) и требования (вопрос или искомое). Как показал А.В. Брушлинский, нередко в методических исследованиях требования задачи и искомое отождествляются. С точки зрения психологии мышления это неправомерно, так как требование к любой задаче является известным (например, решить уравнение), а искомое (корни уравнения) неизвестно.

Кардинальной проблемой в психологии мышления является соотношение понятий “проблемная ситуация” и “задача”. С.Л. Рубинштейн утверждает, что начало мышления в проблемной ситуации [17]. Известный психолог А. М. Матюшкин в работе “Проблемные ситуации в мышлении и обучении” изложил свой подход к решению этой проблемы [13].

На основе анализа психолого-педагогических исследований (Д.Н. Богоявленского, Н.А. Менчинской, В.В. Давыдова и их сотрудников) А.М. Матюшкин показал, что процесс усвоения нового знания представляет собой по основным закономерностям процесс решения задач, названных проблемными. А.М. Матюшкин является сторонником того, что понятия “проблемная ситуация” и “задача” принципиально различны и обозначают разные психологические реальности. По его мнению, субъект (человек) не нужен для определения понятия задачи, так как задача - это объективно заданное и сформулированное словесно или в знаковой форме отношение между условиями (условием) и искомым. Проблемная ситуация рассматривается А.М. Матюшкиным как особый вид мыслительного взаимодействия субъекта (человека) и объекта, при котором субъект открывает новые знания и способы действия. Если задача характеризуется степенью сложности, то проблемная ситуация степенью трудности подлежащего усвоению неизвестного.

А.М. Матюшкин выделил три основных типа проблемных ситуаций (в зависимости от структурного места неизвестного в них): неизвестное совпадает с целью (предметом) действия; неизвестное совпадает со способом действия; неизвестное совпадает с условием выполнения действия.

Итак, А.М. Матюшкиным разведены понятия проблемной ситуации и задачи.

Напротив, Л.Л. Гурова в труде “Психологический анализ решения задачи” не проводит жёсткой границы между этими понятиями. Однако автор имеет в виду, что и то и другое понятие имеет два значения: “задача (а также и проблемная ситуация) может рассматриваться объективно, в своей логической характеристике, безотносительно к тому, занялся кто-либо её решением и может существовать в мышлении субъекта” [5, С.10].

Л.Л. Гурова дает следующее определение понятию задача: задача - это объект мыслительной деятельности, содержащий требование некоторого практического преобразования или ответа на теоретический вопрос посредством поиска условий, позволяющих раскрыть связи (отношения) между известными и неизвестными её элементами. Далее автор рассматривает некоторые логические характеристики задачи с точки зрения содержащейся в ней информации. Автором установлено, что любая задача (как объект) содержит информацию, принимающую два значения: субъективное и объективное. Субъективная информация рассматривается как познавательный результат каждого действия по отношению к задаче, имеющего сознательную цель, а объективная информация выявляется в ходе логического решения задачи и определяется логической структурой её решения.

Таким образом, разрабатывая теорию задач, необходимо исследовать объективную логическую структуру решения задачи в сопоставлении с субъективной психологической структурой её решения, так как между ними существует определённая взаимосвязь.

Итак, психологические исследования не выявили единой трактовки понятия “задача”, однако ввиду того, что задача содержит в себе субъективную и объективную информацию, просматриваются два подхода в освещении этого вопроса.

Первый подход состоит в том, что задача есть объективное отражение внешней ситуации, в которой развёртывается целенаправленная деятельность субъекта. Психологи, представители этого направления (Г.А. Балл [2], Я.А. Пономарёв [15], К.А. Славская [18] и др.) рассматривают задачу как проблемную ситуацию, в которой действует субъект. Поэтому в данном случае объективное изучение задач (то есть независимое от деятельности субъекта) невозможно.

Второй подход заключается в разведении понятий “проблемная ситуация” и “задача”. Задача здесь - “ситуация внешней деятельности”, которая может быть проанализирована и описана в отрыве от субъекта. Представители этого направления - А.В. Брушлинский [3], А.М. Матюшкин [13], Л.М. Фридман [21] и др. Данный подход позволяет рассматривать задачу как сложный объект (систему), не требующую для своей характеристики субъекта действия. Таким образом, появляется возможность объективного изучения самих задач, независимо от деятельности субъекта. Однако, эта трактовка понятия “задача” не отрицает её существования в мышлении субъекта. Поэтому при решении проблемы реализации внутрипредметных связей посредством решения задач используется именно этот подход, то есть за основу принята психологическая концепция А.М. Матюшкина о трактовке понятия “задача” и о соотношении задачи и проблемной ситуации.

Итак, при разработке теории задач следует исходить из объективной информации, содержащейся в задаче, однако следует учитывать, что наиболее полную теорию задач удастся построить при сопоставлении объективной и субъективной информации, содержащейся в задаче. В частности, при решении проблемы создания теоретических основ методики реализации внутрипредметных связей посредством решения задач необходимо придерживаться именно этой точки зрения. Это необходимо потому, что, во-первых, факт реализации той или иной задачей внутрипредметных связей полностью определяется логикой взаимодействия всех её компонентов, следовательно, не зависит от деятельности субъекта, решающего задачу, и даже не зависит от того, взялся ли кто-либо решать эту задачу или нет. Во-вторых, чтобы реальный субъект (человек) или абстрактный субъект смог определить, реализует ли данная задача внутрипредметные связи или нет, он должен извлечь из неё именно субъективную информацию. Таким образом, только сочетание объективной и субъективной информации позволит объективно строить теорию реализации внутрипредметных связей посредством решения задач. Заметим, что при построении этой теории во главу угла поставлены не сами задачи, а те внутрипредметные связи, которые “порождаются” в процессе решения задач. Следовательно, здесь задачу необходимо рассматривать не как сложный объект (систему), а как субъект, принадлежащий объекту, под которым следует понимать совокупность (систему) задач. Это не означает, что задача перестает быть сложным объектом, просто в данном исследовании интерес представляет не одна задача, а некоторое достаточно большое их количество. Ранее было установлено, что связи, возникающие при решении задач, являются их объективными свойствами, поэтому психологическая концепция А.М. Матюшкина о трактовке понятия “задача” может быть использована и в разрабатываемой в курсовой работе проблеме, то есть в случае, когда задача рассматривается как субъект, принадлежащий объекту. Непосредственно при построении теории следует исходить из того, что задача, прежде всего, содержит объективную информацию и извлекать её будет не реальный человек, а абстрактный субъект. Иными словами, создаваемая теория должна быть дистанцирована от деятельности ученика и освещать внутрипредметные связи, реализуемые посредством решения задач, безотносительно к тому, решает ли эти задачи кто-либо или нет.

Таким образом, в результате анализа различных психологических трактовок понятия “задача”, за основу при решении поставленной в курсовой работе проблемы нами взята психологическая концепция А.М. Матюшкина. Правомерность этого выбора пояснена выше.

Отметим также, что в решение проблемы выявления психолого-педагогических основ обучения математике в средней школе большой вклад внёс своими трудами Л.М. Фридман. В работе “Логико-психологический анализ школьных учебных задач” автор, разделяя понятия “задача” и “проблемная ситуация”, создал предпосылки объективного изучения самой задачи как сложного объекта. Кроме того, Л.М. Фридман написал несколько книг, посвящённых проблемам изучения математики для учеников средних школ. В работе “Учитесь учиться математике” автор в доступной ученикам форме освещает такие вопросы как зачем, что и как следует изучать в математике, а также даёт ряд практических советов по умственному развитию и развитию умений. В книге “Как научиться решать задачи”, написанной в соавторстве с Е.Н. Турецким, излагаются общие представления о математическом моделировании, его сущности и применении при решении задач (в том числе прикладного характера).

Но наиболее значительным вкладом Л.М. Фридмана в решение обозначенной проблемы является работа “Психолого-педагогические основы обучения математике в школе”. Она по сути дела представляет собой целевое научное исследование по указанному вопросу и является на сегодняшний день наиболее полным рассмотрением целого комплекса конкретных проблем.

В монографии [20] Л.М. Фридман рассмотрел психолого-педагогический анализ курса математики, развитие мышления в процессе обучения математике, роль и деятельность ученика и учителя в этом процессе. Последнюю главу автор посвятил формированию умений и навыков при решении математических задач. В свете тематики данного исследования проанализируем подробно те выводы, которые сделал Л.М. Фридман в этой главе. Под навыками автор понимает автоматизированное выполнение простейших основных действий. Что касается умения, то автор придерживается определения, сформулированного в труде [16]: “владение сложной системой психических и практических действий, необходимых для целесообразной регуляции деятельности имеющимися у субъекта знаниями и навыками”. Анализируя общие условия формирования навыков и умений, автор выделяет следующие: полнота ориентировочной основы умственных действий; развёрнутость действия при первоначальном его показе и освоении; поэлементное освоение сложного действия; растянутость процесса

формирования навыков и умений; поэтапная обработка каждого навыка и умения (в соответствии с теорией П.Я. Гальперина [4]).

В заключительной, третьей части главы Л.М. Фридман раскрывает проблему развития общих умений решения математических задач. При этом акцент сделан на то, что необходимо развивать общие умения решать любые задачи. Общее умение отличается от частных умений тем, что в основе последних лежат частные методы решения задач (алгоритмы, эвристические схемы). Общее же умение не требует никаких специальных знаний, на базе которых возможно такое формирование. Автор обращает внимание на то, что общие умения должны вырабатываться не стихийно при решении большого количества задач, а целенаправленно и систематически. Для целенаправленного развития таких умений необходимо больше внимания уделять заключительному анализу уже решённой задачи, на первый план следует выдвинуть учебно-познавательную цель её решения. Кроме того, сами ученики должны иметь общие и специфические знания о задачах. Общие знания - это представления о самом процессе решения задач, а также знание основных видов задач (задачи на доказательство, вычисление, исследование, построение). Специфические знания - это общие представления о моделях и моделировании, в частности, о математическом моделировании. Помимо этого, система задач должна быть построена с учётом того факта, что в начале ученики должны решать задачи на освоение нового материала. Цель таких задач - способствовать более глубокому пониманию и прочному запоминанию теории. Только после этого ученикам следует предложить задачи на применение изученного материала, назначение которых и состоит в более полном и осмысленном изучении математики. Такая организация обучения решению задач позволяет на протяжении длительного промежутка времени решать задачи, связанные с данной темой, а также осуществлять параллельное решение задач по разным, ранее изученным темам, предлагать ученикам задачи, требующие использования материала разных тем.

Резюмируя содержание последнего абзаца, можно сделать однозначный вывод о том, что такая организация обучения математике по сути дела является психолого-педагогической основой реализации внутрипредметных связей посредством решения задач и создаёт предпосылки к разработке теоретических основ методической реализации этих связей.

Построение системы задач, при котором ученики сначала решают задачи на освоение нового материала, а затем на его применение, позволяет решить ещё ряд проблем. Одна из них - дифференциация обучения. Она возникает и вследствие психологических особенностей каждого ученика, например, быстроты мышления. Если на этапе решения задач на применение теоретического материала ученикам представить сразу всю систему задач, то каждый ученик сможет выбрать для себя те из них, которые ему более доступны, а также определить, в какой последовательности их решать. Вышеизложенные рассуждения в своей совокупности неизбежно приводят к выводу о том, что реализация внутрипредметных связей посредством решения задач является одной из важнейших психолого-педагогических особенностей обучения их решению, поскольку она позволяет решать целый ряд смежных проблем обучения, таких, как дифференциация обучения, оптимизация учебной нагрузки и т. д.

1.2 Понятие и виды внутрипредметных связей в обучении математике

В процессе рассмотрения обозначенного вопроса будем опираться на диссертационное исследование А. А. Аксёнова [1].

При определении внутрипредметных связей своей работе [1] автор классифицирует их по двум уровням: “внутрипредметные связи” на уровне математических субъектов и “внутрипредметные связи” на уровне математических объектов. Здесь мы не будем приводить подробное изложение всей теоретической модели, построенной А.А. Аксёновым, а ограничимся кратким освещением основных результатов, полученных в указанной работе.

Прежде всего, под математическим субъектом (субъектом математики) автор понимает “отдельное минимальное утверждение, обладающее строгой внутренней логикой, полностью определяющей его целостность и тождественность самому себе”. При этом всегда можно выяснить, истинно данное утверждение или ложно. Заметим также, что между математическими субъектами может быть установлено только два типа внутрипредметных связей - логический и аналитический [1, с. 37].

Под математическим объектом (объектом математики) следует понимать “любую совокупность субъектов математики”.

Далее А. А. Аксёнов проводит последующее деление на каждом из двух введённых им уровней. При этом имеют место следующие определения:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Внутрипредметные связи, установленные между двумя субъектами, называются безусловными, если определение или установление истинности (ложности) одного субъекта невозможно без использования другого субъекта.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Внутрипредметные связи, установленные между двумя субъектами, называются условными, если определение или установление истинности (ложности) одного субъекта всегда возможно без использования другого субъекта, при помощи замены последнего каким-либо другим субъектом (несколькими субъектами).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Пусть А и В - непустые математические объекты, между которыми установлены внутрипредметные связи. Внутрипредметные связи между А и В называются безусловными, если существует, по крайней мере, одна пара субъектов (), где первый компонент принадлежит объекту А, второй - объекту В, между которыми установлены безусловные внутрипредметные связи. В противном случае внутрипредметные связи между объектами А и В называются условными.

Приведённые выше определения позволяют сделать вывод о том, что внутрипредметные связи, реализуемые между математическими субъектами и математическими объектами, могут быть безусловными и условными.

Перейдём теперь к рассмотрению и установлению видов внутрипредметных связей.

Как показано в диссертационном исследовании [1], существует всего два вида внутрипредметных связей логического типа. Первый вид позволяет определять субъекты на основе общей логики, второй вид - устанавливать истинность (ложность) одного субъекта по аналогии с установлением истинности (ложности) другого субъекта.

I. Первый вид внутрипредметных связей логического типа назовём логической структурой задачи. Термин “логическая структура задачи” встречается в методической литературе [14, С.113]. Авторы шестой главы этого учебного пособия определили логическую структуру задачи как способ связи элементарных предикатов посредством логических связок конъюнкции и дизъюнкции. Предикаты в данном случае - это отдельные уравнения или неравенства, которые можно выделить в каждом задании. Недостаток такого истолкования термина в том, что его можно применить только к уравнениям, неравенствам и их системам. Помимо этого, данная интерпретация термина не позволяет широко использовать его в качестве одного из видов внутрипредметных связей. В.И. Крупич в своей работе [12] использует термин логическая структура решения задачи. Это совершенно другой термин, означающий некоторый план решения задачи, выполняемого абстрактным субъектом. Этот план заканчивается либо переходом к алгоритмически разрешимой задаче, либо даёт окончательный ответ на вопрос о нахождении всех неизвестных.

Очевидно, что термин “логическая структура задачи” нуждается в уточнении. В советском энциклопедическом словаре термин структура (от латинского слова structura - строение, расположение, порядок) определяется как “совокупность устойчивых связей объекта (имеется в виду любой реальный объект), обеспечивающих его целостность и тождественность самому себе, то есть сохранение основных свойств при различных внешних и внутренних изменениях” [19, С.1294].

Если в качестве объекта, о котором говорится в данном определении, рассмотреть конкретную задачу, то, очевидно, под совокупностью устойчивых связей следует понимать логическую взаимосвязь между её компонентами, а также явные и неявные связи между элементами задачи. Очевидно, что логическая взаимосвязь между компонентами задачи, представленными в её информационной структуре, обуславливает выбор идеи, способа и метода её решения. Значит, логическая структура задачи может быть выявлена из её информационной структуры и должна полностью определять идею решения задачи. Поскольку структура - это совокупность свойств, которые сохраняются при всех внешних и внутренних изменениях, совершаемых над объектом (задачей), то логическая структура задачи не может зависеть от сознания реального субъекта, решающего её. Это означает, что реальный субъект, решающий задачу, может найти лишь ту идею решения, которая обусловлена логическими связями между компонентами задачи. С другой стороны, логическая структура выявляется на основе информационной структуры задачи, следовательно, она не может быть её объективной характеристикой. Логическая структура задачи олицетворяет собой взаимодействие психологического (выполняемого реальным субъектом) и логического (выполняемого абстрактным субъектом) процессов решения задачи, причём такое взаимодействие порождает единство выделенных противоположностей, тем более, что в идеальном случае психологический и логический процессы решения совпадают [12, С.47]. Всё это позволяет более чётко определить понятие логической структуры задачи с учётом того, что оно должно определять математические субъекты на основе их общей внутренней логики.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Локальной логической структурой задачи называется её характеристика, которая может быть выявлена в процессе анализа информационной структуры задачи, полностью обуславливается логикой взаимодействия компонентов задачи, чем однозначно детерминирует первую определяющую идею её решения и не зависит от субъекта, решающего задачу.

Иными словами, локальная логическая структура задачи является совокупностью тех свойств компонентов задачи, которые указывают на реализацию той или иной идеи её решения. Поскольку различные свойства компонентов могут обусловить реализацию нескольких идей решения задачи, некоторые задачи могут иметь несколько локальных логических структур, но каждая из них однозначно определяет соответствующую идею.

Например, уравнение имеет несколько локальных логических структур. В самом деле, если заметить, что левая часть уравнения - строго возрастающая функция, то можно найти подбором единственный корень. Если заметить, что то это уравнение можно решить методом разложения на множители. Можно найти корень подбором и воспользоваться схемой Горнера или поделить многочлен на двучлен “углом”. Можно решить его по формулам Кардано (степень уравнения - это тоже свойство его компонентов) на множестве действительных чисел. Напротив, уравнение допускает только одну идею аналитического решения - оценить левую и правую части уравнения, так как не существует формул, позволяющих решать уравнения, в которых присутствуют трансцендентные и алгебраические выражения, следовательно, оно имеет только одну локальную логическую структуру.

Замечание 1. Задача может быть рассмотрена как последовательность n подзадач, каждая из которых сама является отдельной математической задачей. Разумеется, для каждой из них существует своя локальная логическая структура (может быть, несколько таких структур), поэтому реальный процесс решения задачи - это переход от первой локальной логической структуры ко всем последующим. Естественно, по аналогии с глобальной идеей решения задачи можно сформулировать определение глобальной логической структуры задачи.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Глобальной логической структурой задачи называется последовательность локальных логических структур подзадач, на которые мысленно расчленяется исходная задача в процессе решения.

Очевидно, что каждая задача может иметь несколько глобальных логических структур, так как каждая её подзадача может иметь несколько локальных логических структур.

Особого внимания заслуживают задачи, которые имеют только одну первую локальную логическую структуру, а также стандартные задачи, то есть те, которые имеют информационную структуру вида ACRB и ACRX [57, С.51], где А - условие задачи, С - теоретический и (или) практический базис решения задачи, R - способ преобразования условия задачи для нахождения искомого (собственно процесс решения задачи), В - искомое в задаче (требование или цель), Х - означает, что B в задаче не сформулировано.

Что касается стандартных задач (тем более, алгоритмически разрешимых), то они отличаются тем, что для них заранее известен алгоритм, а следовательно, идея, способ и метод решения. Это, например, такие задачи как решение линейных и квадратных уравнений, нахождение гипотенузы по двум известным катетам и т.д.

Пример. Решить уравнение .

Первый вариант решения. Заметим, что можно понизить степень слагаемых в левой части уравнения (первая локальная логическая структура):

Уравнение приняло вид поэтому далее необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые: ,

Это вторая локальная логическая структура. Последнее уравнение алгоритмически разрешимо, для него логическая структура - известный алгоритм решения. Получаем: или . Тогда или где

Второй вариант решения. Заметим, что

Учитывая основное тригонометрическое тождество, получим такое равенство:

(Первая локальная логическая структура).

Уравнение примет вид: В полученном уравнении присутствует произведение синуса и косинуса для одинаковых аргументов, поэтому можно применить формулу синуса двойного угла:

Последнее уравнение также алгоритмически разрешимо. Имеем: или . Легко видеть, что при решении этих уравнений получатся те же самые корни.

Анализируя оба варианта решения, приходим к выводу, что и в первом и во втором случаях глобальная логическая структура задачи состоит из трёх локальных, причём первая локальная логическая структура различна для первого и второго вариантов решения задачи. Именно она выявила первую определяющую идею решения для обоих случаев. Из этого следует, что уравнение было решено двумя различными методами, а это означает, что оно решено и двумя различными способами. Возможно, что существует ещё несколько глобальных логических структур для этой задачи, но мы не будем задаваться целью найти их, тем более, что реализация внутрипредметных связей посредством решения задач предполагает иную их роль.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Две задачи имеют одну и ту же локальную логическую структуру, если для каждой из них существует, по крайней мере, одна локальная логическая структура, детерминирующая одинаковую для обеих задач первую определяющую идею решения.

Например, уравнения и имеют одну и ту же локальную логическую структуру, которая определяется свойством строгой монотонности, входящих в оба уравнения, функций. Причём если для первого уравнения возможен ещё целый ряд локальных логических структур, то для второго уравнения (если его решать аналитически) никакие другие локальные логические структуры невозможны.

Рассмотрим ещё две задачи.

ЗАДАЧА 1. Во втором ящике было в два раза больше килограммов конфет, чем в первом, в третьем в три раза больше чем в первом, в четвёртом в четыре раза больше, чем в первом. В третьем и четвёртом ящиках вместе было на 20 килограммов больше, чем в первом и втором вместе. Сколько килограммов конфет было в каждом ящике?

ЗАДАЧА 2. В треугольнике АВС угол В в четыре раза больше угла А, угол С в семь раз больше угла А. Найти градусные меры углов треугольника.

Выявим локальную логическую структуру обеих задач. В обеих задачах имелось несколько неизвестных компонентов (в первой задаче - количество килограммов конфет в каждом ящике, во второй - градусные меры каждого из углов), причём неизвестны были все без исключения компоненты. Известно было только то, как они друг к другу относятся, то есть во сколько раз один компонент больше другого, сколько они составляют вместе и т.д. Локальная логическая структура этих задач одинакова. Именно поэтому обе они решаются с помощью уравнения, причём в данном случае никакие другие идеи, принципиально отличные от применения уравнения, здесь невозможны.

Последние две задачи наглядно демонстрируют, что локальная логическая структура задачи позволяет определять практические субъекты на основе общей логики, что неизбежно приводит к тому, что они имеют одну и ту же первую определяющую идею решения. Это делает возможным строить процесс обучения решению задач так, что ученики будут обучаться не решению задач как таковому, а идеям (а также методам и способам) решения задач. Это позволит ученикам научиться мыслить идеями, “видеть” математические задачи их локальными логическими структурами.

Рассмотрим ещё один пример. Всякое уравнение вида:

, где и - некоторые функции действительной переменной, является однородным. Рассматривать решения таких уравнений можно, начиная с восьмого класса. Сначала рассматриваются рациональные однородные уравнения, затем тригонометрические, показательные, логарифмические, иррациональные уравнения. Также можно рассматривать однородные уравнения, в которых и - функции разных видов, например, показательная и иррациональная функции. Обучаясь таким образом, ученики с восьмого класса учатся применять при решении уравнений разных видов одну и ту же идею, один и тот же метод. Разумеется, при таком подходе к обучению решению задач его эффективность возрастает. Очевидно, локальная логическая структура может успешно применяться как вид реализации внутрипредметных связей посредством решения задач не только при изучении уравнений, но и при решении других видов задач (текстовых, геометрических и т.д.). Умение “видеть” задачи их локальными логическими структурами, мыслить при их решении идеями развивает логическое и математическое мышление учеников, способствует формированию теоретического мышления как такового.

Что касается глобальной логической структуры, то она способствует более глубокому пониманию того факта, что задача - это сложный объект. Действительно, любая задача, которая может быть мысленно расчленена на последовательность подзадач, предстаёт перед решающим её субъектом как некая система взаимообуславливающих друг друга компонентов (то есть имеющих смысловую нагрузку не только в отдельности, но и в совокупности).

II. Второй вид внутрипредметных связей логического типа - применение аналогии и сравнения при решении математических задач. Как уже отмечалось, этот вид внутрипредметных связей позволяет определять истинность (ложность) одного практического субъекта по аналогии с тем, как это было сделано для какого-либо другого практического субъекта. Если для первого вида внутрипредметных связей обязательным является наличие общих логических закономерностей при определении субъектов (из этого неизбежно вытекают некоторые аналогии при определении их истинности или ложности), то для второго вида требование наличия общей логики в определении субъектов отсутствует, сохраняется лишь аналогия при решении задач. Это единственное отличие первого и второго видов внутрипредметных связей. В качестве примера рассмотрим две задачи.

ЗАДАЧА 3. Выразить радиус вписанной в треугольник окружности через площадь и периметр последнего.

ЗАДАЧА 4. Выразить радиус вписанного в треугольную пирамиду шара через её объем и площадь полной поверхности.

Решение задачи 3. Пусть известны площадь треугольника и его периметр . Кроме того, пусть - искомый радиус и - длины сторон треугольника. Тогда Известно, что в любой треугольник можно вписать окружность и её центром будет точка пересечения биссектрис треугольника. Биссектрисы углов треугольника, проведённые до точки их пересечения, разбивают его на три треугольника, для каждого из которых одной из высот будет искомый радиус, а основанием для этих высот будут стороны исходного треугольника. Пусть - площади этих треугольников, тогда очевидно, что

Отсюда следует, что .

Решение задачи 4. Пусть дан объём пирамиды и площадь её полной поверхности. Помимо этого, пусть - искомый радиус, - площади граней пирамиды. Известно, что в любую треугольную пирамиду можно вписать шар, центр которого будет находиться в точке пересечения её биссекторных плоскостей. Если соединить центр шара с вершинами пирамиды, то исходная пирамида будет разделена на четыре пирамиды, одна из высот каждой из

которых - искомый радиус . Основания, перпендикулярные ему, - это грани исходной пирамиды. Пусть объёмы этих пирамид - . Ясно, что .

Тогда:

.

Окончательно получаем: .

Бесспорно, решение четвёртой задачи аналогично решению третьей. Однако третья задача была решена на плоскости, а четвёртая в пространстве. Именно в этом заключаются принципиальные различия в определениях треугольника и пирамиды, окружности и шара. Поэтому здесь имеет место не первый, а второй вид внутрипредметных связей.

Теперь рассмотрим внутрипредметные связи аналитического типа.

Определим третий вид внутрипредметных связей.

III. Использование базисных задач при решении некоторой совокупности задач. Для рассмотрения данного вопроса под совокупностью задач следует понимать множество задач с некоторым (необязательно общим) теоретическим базисом, необходимым для их формулировки и решения.

В методической литературе часто встречаются различные названия задач, результат или идея решения которых используются для решения других задач. Одни авторы называют их ключевыми, другие авторы - опорными. В.И. Крупич в своей работе [12, С.150] называет эти задачи базисными. В данной курсовой работе примем концепцию, согласно которой и ключевые и опорные задачи будем считать базисными по отношению к некоторой совокупности задач, в которой они используются. При этом под ключевой задачей будем понимать такую, которая открывает идею решения целого класса задач, а под опорной будем понимать задачу, результат которой аналитически используется для решения последующих задач.

ЗАДАЧА 5. (Опорная). Пусть и - корни квадратного уравнения . Выразить сумму через коэффициенты и .

Решение. По теореме Виета . Тогда:

ЗАДАЧА 6. Пусть и - корни уравнения . Выразить суммы: а) ; б) через коэффициенты и .

Решение. Так как (задача 5), то

.

Разумеется, этот вид внутрипредметных связей может применяться и в других областях школьной математики.

IV. Использование дополнительных задач при решении основной задачи. Под дополнительной задачей в данном случае будем понимать самостоятельную математическую задачу, без решения которой невозможно решить основную задачу. Дополнительная задача может быть сформулирована в явном или неявном виде, но в любом случае, прежде чем приступать к решению основной задачи, необходимо решить дополнительную задачу. Рассмотрим примеры.

ЗАДАЧА 7. Решить уравнение где .

ЗАДАЧА 8. Решить уравнение

В первом примере дополнительная задача сформулирована в явном виде, во втором примере - в неявном виде. Так как сначала необходимо решить дополнительную задачу, то в случае, когда она сформулирована неявно, дополнительная задача выступает как первая подзадача основной задачи.

V. Реализация внутрипредметных связей на основе переформулировки исходной задачи. Этот вид внутрипредметных связей также относится к аналитическому типу. Внутрипредметные связи здесь имеют место благодаря необходимости более глубоко понимать определение каждого математического субъекта и более качественно знать теоретический и практический базис решения математических задач.

ЗАДАЧА 9. Найти область определения функции .

Решение. В соответствии с определением понятия “область определения функции”, необходимо решить систему:

Получаем ответ:

В рассмотренном примере невозможно обойтись без знания того, что такое область определения функции и без умения решать системы неравенств. Пятый вид внутрипредметных связей в данном случае хорошо реализуется, если эту задачу рассматривать в теме “Решение систем неравенств”. В этом случае ученики будут вынуждены переформулировать исходную задачу. Разумеется, этот вид внутрипредметных связей может быть использован в любой другой области школьной математики.

VI. Непосредственный аналитический переход от одного теоретического и практического базиса к другому базису в процессе решения задач.

Ранее было отмечено, что задачу можно рассматривать как последовательность подзадач, каждая из которых имеет свою локальную логическую структуру, теоретический и практический базис. Если они имеют разный теоретический и практический базис, то реализуются внутрипредметные связи.

ЗАДАЧА 10. Решить уравнение .

Решение. Поскольку основания логарифмов равны, потенцируя, получим:

Пусть . Уравнение

примет вид: откуда , то есть или .

Проверкой легко убедиться, что при этих значениях синуса оба выражения, стоящих под знаком логарифма, положительны. Решая последние уравнения, найдем корни: где

В качестве первой подзадачи здесь выступает сама исходная задача. Второй подзадачей является переход к тригонометрическому уравнению и его преобразование. Третья подзадача - переход к алгебраическому уравнению и его решение, а четвёртой подзадачей было решение совокупности простейших тригонометрических уравнений. Шестой вид внутрипредметных связей здесь был реализован три раза при переходе от одной подзадачи к следующей.

VII. Решение задач, сформулированных на основе одного теоретического и практического базиса средствами другого (других) теоретического и практического базиса (базисов). Рассмотрим пример.

ЗАДАЧА 11. Решить уравнение

Решение. Поскольку левая и правая части уравнения - функции разных видов, необходимо оценить значение каждой из этих частей. Для оценки правой части воспользуемся аппаратом производной.

Пусть Тогда Приравняем производную к нулю, решим полученное уравнение. - единственная критическая точка. Очевидно, что при и при . Принимая во внимание, что данная функция определена для всех действительных чисел, делаем вывод, что - точка минимума. Тогда при всех действительных . Следовательно, уравнение равносильно системе: Эта система имеет единственное решение в силу вышеизложенных рассуждений.

В рассмотренном примере задача была сформулирована средствами алгебры, а решение было найдено при помощи дифференциального исчисления. Очевидно, этот вид внутрипредметных связей может быть использован при рассмотрении других тем школьной математики.

VIII. Одновременное использование сразу нескольких теоретических и практических базисов при решении одной и той же задачи. От предыдущего вида внутрипредметных связей этот вид принципиально отличается тем, что здесь основным является сочетание свойств компонентов задачи, имеющих различный теоретический и практический базис. В этом и заключён смысл одновременности. Рассмотрим пример.

ЗАДАЧА 12. При каких значениях параметра имеет единственный корень уравнение ?

Решение. Пусть . Уравнение примет вид: Если , то причём строго возрастает на . Требование задачи будет выполнено, если уравнение будет иметь единственный положительный корень. В соответствии с теоремой Виета получаем: 1) 2) , 3) где и - корни квадратного уравнения с параметром. Итак: 1) 2) 3) Тогда 1) 2) 3) . Окончательно получаем:

Ясно, что эту задачу невозможно было бы решить без сочетания свойств квадратного трёхчлена и показательной функции.

IX. Решение одной и то же задачи средствами различных теоретических и практических базисов (сначала полностью средствами одного базиса, а затем полностью средствами другого базиса).

ЗАДАЧА 13. Доказать, что функция строго возрастает на множестве всех действительных чисел.

Первый вариант решения. Очевидно, данная функция определена для всех действительных чисел. Предположим, что . Докажем, что . Имеем:

, так как второй множитель, очевидно, отрицателен, а первый и третий положительны. Итак, тогда . В силу произвольности чисел и утверждение доказано.

Второй вариант решения. Докажем, что при всех действительных . тогда, очевидно, при всех . Это означает, что данная функция строго возрастает на всей области определения.

Очевидно, что в этом виде внутрипредметных связей важна сама интерпретация утверждения задачи, факт того, что истинность (ложность) не зависит от способа её установления.

X. Различные варианты решения одной и той же задачи средствами одного и того же теоретического и практического базиса.

Принципиально десятый вид внутрипредметных связей отличается от девятого лишь тем, что здесь используется только один теоретический и практический базис. В характеристике было использовано слово “варианты”, так как в общем случае различная реализация решения задачи не приводит к тому, что задача решена различными способами. Под вариантом решения следует понимать любую его реализацию, отличную от всех других.

ЗАДАЧА 14. Решить уравнение .

Первый вариант решения. Воспользуемся формулой суммы синусов:

Тогда или , или , так как уравнение распадается на три уравнения и два последних из них являются однородными уравнениями первой степени относительно синуса и косинуса. Находим значения : или где .

Второй вариант решения. Воспользуемся формулой синуса тройного угла:

. Тогда или . Из последнего уравнения получаем: или . Легко видеть, что корни будут записаны точно также, как и в первом варианте решения.

Очевидно, что теоретический и практический базис обоих вариантов решения одинаков.

Разумеется, существуют математические задачи, реализующие несколько видов внутрипредметных связей.

Рассмотрим пример.

ЗАДАЧА 15. Решить уравнение при

Решение. Сначала решим дополнительную задачу: Если , то . Получаем уравнение .

Тогда:

или . Поскольку синус должен быть здесь только положительным, решим второе уравнение: . Проверкой легко убедиться, что подходят только чётные значения параметра .

Итак, .

В рассмотренной задаче сначала мы реализуем четвёртый вид внутрипредметных связей (вычисление значения производной), затем дважды шестой вид. Первый раз мы перешли от логарифмического уравнения к иррациональному, второй раз - от иррационального к тригонометрическому. В данной задаче задействовано два вида внутрипредметных связей. Также пример показывает, что один и тот же вид может быть использован в задаче несколько раз.

ГЛАВА II. МЕТОДИКА РЕАЛИЗАЦИИ ВНУТРИПРЕДМЕТНЫХ СВЯЗЕЙ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ

2.1 Методическая значимость реализации внутрипредметных связей в школьном курсе математики

Говоря о методической значимости реализации внутрипредметных связей в школьном курсе математики, естественно подразумевать те функции, которые выполняют внутрипредметные связи в процессе обучения.

В диссертационном исследовании [1] автором приводится восемь функций внутрипредметных связей. Определим и охарактеризуем каждую из них.

1. Философская функция. Математика как наука и как учебный предмет несёт в себе немало возможностей для формирования диалектического (диалектико-материалистического) мировоззрения. Реализация внутрипредметных связей посредством решения задач выступает при этом одним из самых мощных средств. Действительно, именно благодаря реализации внутрипредметных связей возможно понимание единства различных субъектов математики, которые констатируют зачастую противоречащие друг другу факты. Возможность определить один субъект при помощи другого, а также создать внутрисвязанный объект, является реальным воплощением закона перехода количественных изменений в качественные и обратно. Очевидно, что основную роль в формировании диалектического мировоззрения школьников играют безусловные внутрипредметные связи.

2. Языковая функция. Как известно, математика - это язык, на котором говорит природа. Именно математика является тем инструментом, благодаря которому строятся абстрактные модели реальных природных объектов и процессов. Реализация внутрипредметных связей посредством решения задач играет огромную роль в формировании понимания математики как языка. Это происходит потому, что для описания реальных природных объектов и процессов недостаточно пользоваться каким-либо одним математическим субъектом. Для этих целей используются несколько субъектов, то есть неизбежна реализация внутрипредметных связей при использовании математики как языка.

3. Развивающая функция. Реализация внутрипредметных связей посредством решения задач является мощным фактором, развивающим логическое, математическое и теоретическое мышление учеников, так как благодаря внутрипредметным связям логического типа, ученики учатся находить общие логические закономерности при изучении различных тем школьной математики, а благодаря внутрипредметным связям аналитического типа, ученики учатся применять математический аппарат одной области математики в других её областях. Внутрипредметные связи логического типа главным образом развивают логическое мышление учеников, связи аналитического типа делают курс математики более целостным, показывают взаимосвязь различных областей математики, тем самым способствуют формированию математического и теоретического мышления, закладывают основы математического сознания.

4. Функция уменьшения “сброса знаний”. “Сброс знаний” - это распространённое в практической работе абсолютно всех педагогов явление. Суть его в том, что человеческий мозг имеет свойство забывать информацию, которой не пользовался определённое время. Физиологами установлено, что полностью решить проблему сброса знаний невозможно. Однако сброс знаний можно значительно уменьшить. Реализация внутрипредметных связей посредством решения задач является одним из основных способов решения этой проблемы, так как необходимость применять одинаковые логические закономерности при изучении разных тем, использовать внутрипредметные связи аналитического типа позволяет ученикам более часто повторять изученный ранее материал и известные логические приёмы в текущей деятельности.