Особенности изучения квадратичной функции и её приложений в школьном курсе математики

Функциональная линия школьного курса математики является одной из ведущих, определяющих стиль изучения многих тем и разделов курса алгебры. Изучение функций в средней школе позволяет раскрыть внутренние связи между понятием функции и другими понятиями школьного курса математики, осуществить межпредметные связи.

В школе учащиеся овладевают понятиями функции, ее графика и способов задания; изучают элементарные функции, знакомятся с такими свойствами функций, как область определения, область значения, монотонность, четность и нечетность и другие; учатся применять знания о функциях к изучению разнообразных процессов и явлений.

Изучение квадратичной функции расширяет представление учащихся о функции, ее свойствах и графике. Изучение свойств функций имеет огромное развивающее значение для учащихся: они учатся вырабатывать алгоритм действий при решении задач, на основе исследований делать выводы, строить зависимости между величинами. Исследование свойств функции применяется для решения широкого спектра задач.

Целью дипломной работы является обзор приложений квадратичной функции к решению различных задач школьного курса математики и составление соответствующих методических рекомендаций.

Для достижения данной цели, были поставлены следующие задачи:

изучение психолого-педагогической, методической и учебной литературы;

подбор задачного материала;

выделение типовых задач в каждом разделе и составление решения к ним;

составление методических комментариев к решениям задач.

Решение поставленных задач определило структуру дипломной работы. Она состоит из двух глав, введения, заключения и библиографии. Первая глава посвящена психолого-педагогическим и методическим аспектам изучения квадратичной функции. Особое внимание здесь отводится роли наглядности в обучении вообще и при изучении функциональной линии в частности. Первая глава также содержит сравнительный анализ учебной литературы по теме «Квадратичная функция».

Вторая часть дипломной работы посвящена приложениям квадратичной функции к решению различных задач школьного курса математики по следующим направлениям:

1. Построение и чтение графика квадратичной функции.

2. Решение уравнений и их систем.

3. Решение квадратных уравнений с параметрами, в том числе, поиск параметра в зависимости от свойств корней уравнения.

4. Решение квадратных неравенств с параметрами.

К каждому разделу подобраны задачи, некоторые из них представлены с решениями и методическими рекомендациями.

Глава 1. Психолого-педагогические и методические особенности изучения темы «Квадратичная функция»

1. Возрастные психологические особенности

Подростковый возраст представляет собой сложный процесс личностного развития, отличающийся разноуровневыми характеристиками социального созревания. Уровень возможностей подростка, условия и скорость его социального развития связаны с осмыслением подростком себя и своей принадлежности к обществу, степенью выраженности прав и обязанностей, степенью овладения миром социальных вещей и отношений, насыщенностью дальних и ближних связей, их дифференциацией. По мере взросления у подростка изменяются характер и особенности видения себя в обществе, восприятие общества, иерархии общественных связей, изменяются его мотивы и степень их адекватности общественным потребностям.

В 12-13 лет, наряду с общим принятием себя сохраняется и ситуативно-отрицательное отношение ребенка к себе, обнаруживающее зависимость от оценок окружающих, прежде всего сверстников. В то же время критическое отношение подростка к себе, переживание недовольства собой сопровождается актуализацией потребности в самоуважении, общем положительном отношении к себе как личности.

В 14-15 лет возникает «оперативная самооценка», определяющая отношение подростка к себе и в настоящее время. Эта самооценка основывается на сопоставлении подростком своих личностных особенностей, форм поведения с определенными нормами, которые выступают для него как идеальные формы его личности [27].

Другим важным механизмом самосознания выступает личностная рефлексия, представляющая собой форму осознания подростком как своего внутреннего мира, так и понимания внутреннего мира других людей. Ведущее место занимает рассмотрение черт своего характера и особенностей взаимоотношений с людьми. В это время происходит своеобразный скачок в развитии личностной рефлексии, что выступает как серьезный стимул для самовоспитания подростка. Возрастает критичность детей по отношению к особенностям своей личности, что типично для 35% подростков.

Поуровневые изменения на протяжении подросткового периода онтогенеза претерпевает и наиболее заметная характерологическая особенность 10-15-летнего ребенка, проявляющаяся в обостренном стремлении утвердить себя в обществе, добиться от взрослых признания своих прав и возможностей.

Особенно зримо прослеживаются изменения в мотивах общественно полезной деятельности подростков. Если у младших подростков преобладают мотивы эмоционального отношения («я хочу заниматься общественно полезной работой, потому что это доставляет мне удовольствие»), то у детей 14-15 лет развиваются и начинают доминировать моральные мотивы, такие, как социальная взаимопомощь, ответственность перед коллективом, удовлетворенность от приносимой людям пользы.

Характерно, что с возрастом увеличивается количество подростков с ярко выраженными коллективистическими мотивами, которые к 14-15 годам отличаются зрелостью, стремлением «видеть» себя среди других, понять свою роль и определить свое место среди сверстников. Причем коллективистические мотивы, развиваясь в процессе специально организуемой деятельности, приближаются к мотивам, адекватным общественно значимому смыслу труда. В то же время мотивы групповой солидарности, которые не приобретают коллективистический характер, к старшему подростковому возрасту превращаются в индивидуалистические.

2. Особенности развития мышления подростка

Для человека свойственен высший познавательный процесс, название которому - мышление. В житейской практике мышление может ассоциироваться со здравым смыслом, интуицией. В действительности, оно не имеет ничего общего ни с тем, ни с другим. Оно представляет собой способность учиться, решать поставленную задачу. Мышление представляет собой порождение нового знания, активную форму творческого отражения и преобразования человеком действительности. Оно порождает такой результат, какого ни в самой действительности, ни у субъекта на данный момент времени не существует. Мышление (в элементарных формах оно имеется и у животных) также можно понимать как получение новых знаний, творческое преобразование имеющихся представлений.

Мышление в отличие от восприятия выходит за пределы чувственно данного, расширяет границы познания. В мышлении на основе сенсорной информации делаются определенные теоретические и практические выводы. Оно отражает бытие не только в виде отдельных вещей, явлений и их свойств, но и определяет связи, существующие между ними, которые чаще всего непосредственно, в самом восприятии человеку не даны. Свойства вещей и явлений, связи между ними отражаются в мышлении в обобщенной форме, в виде законов, сущностей. На практике мышление как отдельный психический процесс не существует, оно незримо присутствует во всех других познавательных процессах: в восприятии, внимании, воображении, памяти, речи. Высшие формы этих процессов обязательно связаны с мышлением, и степень его участия в этих познавательных процессах определяет их уровень развития.

В многообразных явлениях мышления различаются: мыслительная деятельность, мыслительные действия, мыслительные операции, формы мышления, виды мышления, индивидуально-типологические особенности мышления, мышление как процесс решения творческих, нестандартных задач.

Мыслительная деятельность - система мыслительных действий, направленная на решение какой-либо проблемы. Отдельные мыслительные действия связаны с решением промежуточных задач, составных частей общей проблемы.

Мыслительные действия - совокупность мыслительных операций, направленных на выявление непосредственно не данных, скрытых свойств и отношений объектов реального мира. Каждый мыслительный акт основан на системе операций.

К мыслительным операциям относятся сравнение, обобщение, абстрагирование, классификация и конкретизация.

Все мыслительные операции связаны с анализом и синтезом. Анализ и синтез - это две неразрывные стороны всего процесса познания (в том числе и чувственного этапа).

Продукт мыслительных действий - определенные познавательные результаты, которые выражаются в трех формах мышления.

Формами мышления являются: 1) суждение; 2) умозаключение; 3) понятие. Закономерности взаимоотношений между этими формами мышления изучает логика. Изучая формы мышления, логика отвлекается от конкретного содержания мыслей, заключенных в этих формах, она устанавливает общие законы и принципы достижения истинности тех знаний, которые выводятся из других достоверных знаний. Психология же изучает закономерности творческого мышления, приводящего к новым познавательным результатам, к открытию новых знаний.

Для подростка большое значение приобретает теоретическое мышление, способность устанавливать максимальное количество связей в окружающем мире - в системе исторически обусловленной реальности существования. Он психологически погружен в реальности предметного мира, образно-знаковых систем, природы и социального пространства. Подросток, погружаясь в социальную среду, непрестанно трансформирует свои высшие психические функции и присваиваемую систему знаков. Это обстоятельство изменяет мышление. Ж. Пиаже писал, что «социальная жизнь трансформирует интеллект через воздействие трех посредников: языка (знаки), содержания взаимодействия субъекта с объектами (интеллектуальные ценности) и правил, предписанных мышлению (коллективные логические и дологические нормы). В этом случае присваиваемые социальные отношения вырабатывают новые возможности мышления».

То, насколько быстро подросток способен выйти на уровень теоретического мышления, определяет глубину постижения им учебного материала и развитие его интеллектуального потенциала. В отрочестве престижно быть преуспевающим в интеллектуальной деятельности [26].

Математическое мышление - это система, направленная на решение математических задач, в которой как в целостности представлены интеллектуальные, деятельностные, эмоционально-личностные и творческие составляющие.

В качестве интеллектуальной составляющей подразумеваются математические знания, интуиция и логика. Эмоционально-личностными компонентами математического мышления принято считать совокупность таких качеств личности, как самоконтроль, самокритика, способность получать эстетическое удовольствие от процесса и результата решения математической задачи. К творческой составляющей математического мышления, можно отнести:

«беглость» - способность продуцировать большое количество идей;

«гибкость» - способность применять разнообразные стратегии при решении проблем;

«оригинальность» - способность продуцировать необычные, нестандартные идеи;

«разработанность» - способность детально разрабатывать возникшие идеи;

«абстрагирование» - способность выделять главное, способность понимать суть проблемы;

«сопротивление замыканию» - способность длительное время оставаться открытым новизне и разнообразию идей, достаточно долго откладывать принятие окончательного решения для того, чтобы совершить мыслительный скачок и создать оригинальные идеи.

Деятельностной составляющей являются математические умения и навыки.

Эффективное школьное образование - это такое образование, при котором ученик постепенно начинает сам организовывать процесс своего обучения.

Умение решать задачи является наиболее яркой характеристикой уровня математического мышления учеников. Зная возможности задач, нетрудно подобрать почти к каждой теме системы задач, решения которых совершенствуют конкретные операции и приемы мышления. Например, практические задачи стимулируют операцию конкретизации, а также понимание взаимосвязи и зависимости между различными областями знаний, и в частности, между математическими и физическими знаниями. Задачи с неполным или избыточным составом условия; задачи, данные которых противоречат друг другу; так называемые нереальные задачи (их данные противоречат научному или здравому смыслу) развивают умение анализировать, выделять существенное, критически оценивать условия, конкретизировать теоретические положения, предупреждают случаи неправомерного обобщения явлений.

В процессе решения математических задач решающую роль играют определенные «эвристические методы», которые обусловливают возникновение следующих друг за другом стадий решения.

Одним из них является умение «переструктурировать», изменить ситуацию. При этом изменяются не только те или иные части ситуации, но и сама структура. Части и моменты ситуации, которые раньше совсем не осознавались, вдруг выделяются, становятся главной темой. Решающие моменты в процессах мышления, моменты внезапного понимания, возникновения чего-то нового, всегда являются моментами, когда происходит переструктурирование мыслимого материала. Умение посмотреть на проблему с новой точки зрения, сместить акценты, является следствием достигшей в мышлении децентрации - способности сменить систему отсчета.

Сознательное манипулирование системой отсчета требует от подростка специальных умений. В своей работе «Как приходят новые идеи» Г. Гельмгольц пишет: «Каждый раз мне приходилось всячески переворачивать мою задачу на все лады так, чтобы все ее изгибы и сплетения залегли прочно в голове и могли быть пройдены наизусть» [11].

К. Дункер в своей работе «Психология продуктивного мышления» рассматривает процессы решения математических задач. «Решение, - отмечает К. Дункер, - возникает из рассмотрения исходных данных задач под углом зрения требуемого, из ряда переструктурирований ситуации, вследствие чего и возникают моменты внезапного понимания» [14]. Свойствами мышления, которые являются условием успешности решения математических задач, К. Дункер считает широту и гибкость мышления и способность абстрагироваться от конкретного содержания.

Для развития мышления в математике полезна визуализация - включение наглядных образов. Чувственно-наглядные образы лежат в основе мысленных (воображаемых) моделей. Важнейшей функцией такой модели является наглядное представление чувственно-невоспринимаемых явлений. Развитие математического мышления школьника предполагает необходимость развития умения конструировать модели существующего явления в рамках целостности с целью его опосредованного изучения.

1.2 Роль дидактических принципов в обучении математике

1.3 Анализ учебного материала по теме «Квадратичная функция» в учебниках по алгебре 7-9 классов

Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова

7 класс.

В данном учебнике изучение темы «Квадратичная функция» начинается с 3 главы «Степень с натуральным показателем». Перед этим ученики знакомятся с понятиями функции и ее графика, рассматривается линейная функция и прямая пропорциональность.

Функция рассматривается на основе зависимости площади квадрата от его стороны. Далее авторы предлагают построить график функции по точкам. Для чего составляется таблица значений функции.

Далее описываются некоторые свойства рассматриваемой функции:

График функции проходит через начало координат; все точки графика функции, кроме (0; 0), расположенных выше оси х; точки графика, имеющие противоположные координаты, симметричны относительно оси у.

В заключении данного параграфа дается система упражнений на нахождение по графику функции значения х по заданному значению у и наоборот, на нахождение значения y по заданному значению х.

Также в 7 классе авторы учебника рассматривают абсолютную погрешность, взяв для рассмотрения график функции . По графику определяются приближенные значения функции при заданных значениях х. Затем значения х подставляются в формулу. Получается второй результат. После этого высчитывается погрешность.

8 класс

В 8 классе работа с квадратичной функцией начинается во второй главе «Квадратные корни».

Учащимся даются понятия: квадратный корень, арифметический квадратный корень, вводится обозначение арифметического квадратного корня и понятие подкоренного выражения.

Авторы подводят учащихся к решению уравнения , где a - произвольное число. Говорится, что если , то уравнение не имеет корней, а вот если , то уравнение имеет два корня. Проверяется наличие корней графическим методом, используя квадратичную функцию.

Далее изучается функция и ее график. Сначала рассматривается задача: зависимость площади квадрата от его стороны. Выводится формула

Построение осуществляется по точкам (точно также как и функция ). Говорится, что графики функций (при ) и симметричны относительно прямой y = x.

9 класс

В 9 классе данный коллектив авторов рассматривает квадратичную функцию в общем виде. Сначала изучается частный случай квадратичной функции - функция . При получаем функцию , при - . Составляется таблица значений функции и строится ее график. Затем делается вывод, что при любом значение функции больше соответствующего значения функции в 2 раза. График функции можно получить из параболы растяжением от оси х в 2 раза.

Аналогично рассматривается функция . И отсюда следует вывод, что график функции можно получить из параболы сжатием к оси х в 2 раза.

Затем авторы акцентируют свое внимание на то, что график функции можно получить из параболы растяжением от оси х в а раз, если , и сжатием к оси х в раз, если .

Далее аналогично строится график функции и сравнивается с графиком функции . График функции может быть получен из графика функции с помощью симметрии относительно оси х.

Далее авторы, подводя итог, говорят, что графики функций и (при ) симметричны относительно оси х.

В конце этого параграфа говорится, что построение графика, симметричного данному относительно оси х, растяжение графика от оси х или сжатие к оси х - различные виды преобразования графиков функций. Преобразования графиков, рассмотренные для функции , применимы к любой функции.

Система упражнений на закрепление этой темы состоит из упражнений на построение графиков функций.

Затем авторы рассматривают графики функций вида и . В качестве примеров берутся другие частные случаи квадратичной функции.

Далее делается вывод: график функции является параболой, которую можно получить из графика функции с помощью параллельного переноса вдоль оси у на n единиц вверх, если , или на -n единиц вниз, если ; график функции является параболой, которую можно получить из графика функции с помощью параллельного переноса вдоль оси х на m единиц вправо, если , или на -m единиц влево, если .

Полученные выводы позволяют понять, что представляет собой график функции . Рассматривается очередной пример () и после этого делается вывод, что график функции является параболой, которую можно получить из графика функции с помощью двух параллельных переносов. Замечается, что производить параллельные переносы можно в любом порядке: сначала выполнить параллельный перенос вдоль оси х, а затем вдоль оси y или наоборот.

Далее в учебнике рассматривается построение графика квадратичной функции в общем виде. Вводится квадратичная функция и из трехчлена выделяют квадрат двучлена. После некоторых преобразований авторы получают . Получается формула вида, где , . Авторы акцентируют внимание на том, что график функции есть парабола, которую можно получить из графика функции с помощью двух параллельных переносов - сдвига вдоль оси х и сдвига вдоль оси у.

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин

7 класс

В 7 классе рассматривается прямоугольная система координат, понятие функции, линейная функция и ее график.

8 класс

В данном учебнике изучение квадратичной функции начинается в 5 главе после изучения квадратных корней и квадратных уравнений.

Сначала рассматриваются примеры из разных областей науки и техники, где встречаются квадратичные функции.

После этого вводится определение квадратичной функции, и рассматриваются примеры квадратичных функций и задачи.

- Найти значение функции при

- При каких значениях х квадратичная функция принимает значение, равное 7;

- Найти нули функции .

Авторы предлагают решать такие задачи аналитически: подстановкой заданного значения в формулу.

Только после этого начинается рассмотрение непосредственно квадратичной функции, ее некоторых свойств и графика.

Функция вводится как частный случай функции при а=1, b=c=0. Для построения графика этой функции составляется таблица ее значений, строятся указанные в таблице точки, соединяют плавной линией. Кривая, являющаяся графиком функции , называется параболой.

После этого рассматривается функция .

Приводится пример построения графика функции , зная график функции . Для построения составляется таблица значений функции . Говорят, что график функции получается растяжением графика функции от оси Ox вдоль оси Oy в два раза.

Аналогичным образом, на примере, авторы демонстрируют сжатие графика. График функции получается сжатием графика функции к оси Ox вдоль оси Oy в два раза.

Затем рассматриваются функции и . График функции можно получить симметрией относительно оси Ох графика функции .

Далее авторами рассматривается функция . В начале параграфа рассматривается задача: построить график функции и сравнить его с графиком функции .

Как и для функции сначала составляется таблица значений функции . Найденные точки отмечаются на координатной прямой и соединяются плавной линией. Первая часть задачи решена. Далее сравниваются функции и . Сначала преобразуется формула , используя метод выделения полного квадрата. Затем сравниваются графики частями. Сначала - функции и . Отсюда делается вывод, что графиком функции является парабола, полученная из параболы сдвигом (параллельным переносом) вправо на единицу.

После этого сравниваются функции и . Получается, что графиком функции является парабола, полученная сдвигом параболы вверх на две единицы.

Из всего этого следует, что графиком функции является парабола, получаемая сдвигом параболы на единицу вправо и на две единицы вверх.

Далее авторы обобщают ранее объясненное.

Задачи, предлагаемые для закрепления данного материала выглядят так:

1. С помощью шаблона параболы построить график функции .

2. Записать уравнение параболы, полученной из параболы сдвигом вдоль оси Ох на 3 единицы вправо.

Также в 8 классе решаются квадратные неравенства с помощью графика квадратичной функции. Их решение сводится к отысканию нулей квадратичной функции и промежутков, на которых квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения. В конце дается подробный алгоритм решения неравенств графическим методом.

В качестве дополнительного более сложного материала производится исследование квадратичной функции на основе теорем:

1. Если , то при всех действительных значениях х знак квадратичной функции совпадает со знаком числа .

2. Если , то при всех действительных значения х, кроме , знак квадратичной функции совпадает со знаком числа а; при значение квадратичной функции равно нулю.

3. Если , то знак квадратичной функции совпадает со знаком числа для всех х, лежащих вне отрезка , т. е. при и при , где - нули функции, знак квадратичной функции противоположен знаку числа а при .

9 класс.

Квадратичная функция не рассматривается в 9 классе.

С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин

7 класс

В 7 классе данный коллектив авторов функцию не рассматривает.

8 класс

В 8 классе авторы вводят понятие функции, графика функции. После этого рассматриваются линейная, квадратичная функции и обратная пропорциональность.

При изучении квадратичной функции сначала рассматриваются ее свойства.

После формулировки каждого свойства даются пояснения.

Затем рассматривается график функции и определяются ранее обозначенные свойства функции . Также дается определение параболы.

Далее рассматривается понятие квадратного корня, опираясь на график функции .

После этого вводится понятие арифметического квадратного корня из данного неотрицательного числа. Его определение производится по графику функции .

Далее авторы рассматривают функцию . Сравниваются две функции и и делается вывод, что график функции получается из графика функции растяжением последнего в 2 раза вдоль оси Оу. Рассуждая аналогично, можно показать, что график функции , если , получается из графика функции растяжением последнего в а раз вдоль оси у; если же , то сжатием последнего в раз.

Далее рассматривается функция . При этом изучаются 2 функции: сначала , а затем .

Затем авторы рассматривают график функции . Приведена теорема: Графиком квадратичной функции является парабола с вершиной в точке , полученная параллельным переносом параболы , где . Эта теорема приводится с доказательством. На закрепление данного материала учащимся предлагаются задания на построение графика квадратичной функции.

9 класс

В 9 классе квадратичная функция данным коллективом авторов не рассматривается.

А.Г. Мордкович и др.

7 класс

В 7 классе квадратичная функция изучается после линейной функции. Поэтому перед ее изучением автор приводит веские аргументы для чего «она нужна». Затем учащимся предлагается подставить в формулу целые числа (-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3). Из полученных значений составляется таблица. На координатной плоскости располагают получившиеся точки и соединяют их линией, которая называется параболой.

После этого описываются геометрические свойства параболы (ось симметрии, ветви параболы, вершина параболы) и свойства функции .

Затем рассматриваются примеры применения свойств функции (найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [1, 3]).

В качестве совета, автор предлагает учащимся вырезать из бумаги шаблон параболы.

Система упражнений направлена на построение графика квадратичной функции и определению по нему ее свойств.

8 класс

В 8 классе продолжается рассмотрение квадратичной функции. В 7 классе изучалась функция . Теперь же учащимся предлагается сначала изучить функцию . Для этого рассматриваются 2 функции и . Составляется таблица значений функций, и строятся графики. Затем делается вывод: от величины коэффициента k зависит «скорость устремления» ветвей параболы вверх или, как еще говорят, «степень крутизны» параболы.

После этого рассматривается функция и сравнивается с функцией . После этого рассмотрения делается общий вывод: График функции симметричен графику функции относительно оси абсцисс.

Затем рассматривается графики функции , и и алгоритмы их построения.

Далее говорится, что график любой квадратичной функции можно получить из параболы параллельным переносом.

Для доказательства этого факта используется метод выделения полного квадрата.

В следующей главе рассматривается функция . Говорится, что ранее было получено, что график функции получается из графика функции с помощью преобразования симметрии относительно оси х. Воспользовавшись этим, строится график функции и отражается симметрично оси х. Это и будет график функции .

Система упражнений состоит из заданий на определение свойств квадратичной функции по ее графику. Также большое внимание уделено преобразованиям графика функций. Имеется достаточно много систем уравнений для графического их решения. Делается акцент на решение задач с параметрами.

9 класс

В данном учебнике квадратичная функция в 9 классе не рассматривается.

К.С. Муравин, Г.К. Муравин, Г.В. Дорофеев

8 класс

Изучение квадратичной функции в данном учебнике начинается только в 8 классе и ведется на двух языках - алгебраическом и геометрическом.

На геометрическом языке строится график функции . Говорится также, что построить график «целиком» невозможно, и поэтому строят только такую его часть, которая отражает важнейшие его свойства.

Строится таблица значений функции. Отмечаются полученные точки и соединяются плавной линией. Получившийся график представляет собой бесконечную непрерывную кривую, которая называется параболой.

Затем авторы приводят сравнительную таблицу свойств квадратичной функции на алгебраическом и геометрическом языках.

Далее на основе графика функции рассматривается уравнение .

Также вводится понятие арифметического квадратного корня из числа а и его обозначение.

Система упражнений дана на построение графика функции и отыскание с помощью него точек, которые принадлежат и не принадлежат графику.

9 класс

В 9 классе данный коллектив авторов функциям выделяет 2 главы.

Вначале рассказывается про квадратичную функцию . Напоминаются основные ранее изученные свойства функции , говорится про ось симметрии, и на этой основе рассматриваются различные квадратичные функции такие, как , и . После каждого из этих примеров делаются выводы о преобразованиях, применимых для графика функции , которые приводят к получению графика заданной функции.

Упражнения, данные после этого параграфа включают в себя:

1. Постройте график функции:

1) 2) 3) 4)

2. Изготовьте из картона или плотной бумаги шаблоны парабол:

, , ,

Также имеются контрольные вопросы:

Как получить график функции из графика функции ?

Далее рассматривается функция . Выделяют полный квадрат из выражения и получают функцию , где p и q - некоторые числа.

Приводятся примеры, рассматривается как изменяется график в зависимости от чисел p и q и затем делается вывод, что график функции получается из графика функции сдвигом параллельно оси ординат на q единиц вверх при и на |q| единиц вниз при . Далее говорится, что тем же приемом - сдвигом вдоль осей координат графика произвольной функции можно получить графики функций и . Именно,

- График функции получается из графика функции сдвигом параллельно оси абсцисс на p единиц влево при и на -p единиц вправо при .

- График функции получается из графика функции сдвигом параллельно оси абсцисс на q единиц вверх при и на -q единиц вниз при .

Изучение квадратичной функции в проанализированных учебниках начинается в 7 (Ю.Н. Макарычев и др., А.Г. Мордкович и др.) и 8 (С.М. Никольский и др., Ш.А. Алимов и др., Г.В. Дорофеев и др.) классах. В учебниках А.Г. Мордковича и др., Ю.Н. Макарычева и др., Ш.А. Алимова и др. изложение материала ведется доступным языком. Прослеживается нить «от простого к сложному». В остальных же учебниках теоретический материал изложен на более научном уровне. Во всех учебниках рассматриваются приложения квадратичной функции (решение уравнений, неравенств, систем уравнений, построение графиков функций, задачи с параметрами). Отличие лишь в том, какое внимание уделяется тому или иному разделу. Задачи с параметрами наиболее ярко отражены только в учебнике А.Г. Мордковича и др.

В учебнике Г.В. Дорофеева и др. изучение квадратичной функции ведется в 8 и 9 классах на двух языках - алгебраическом и геометрическом. Уделяется большое внимание преобразованиям графиков функций. Вся теория изложена «строго по делу», без отступлений.

В учебниках А.Г. Мордковича и др. функциональная линия является ведущей. Автор выделяет в системе упражнений по изучению того или иного класса функций инвариантное ядро, универсальное для любого класса функций, которое состоит из шести направлений:

графическое решение уравнений;

отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежутке;

преобразование графиков;

функциональная символика;

кусочная функция;

чтение графика.

Это шесть элементов, с помощью которых, функция становится привлекательной, понятной и привычной [22].

В учебнике Ш.А. Алимова и др. квадратичной функции и ее приложениям посвящен практически весь учебник 8 класса. Блоком рассматривается квадратичная функция и ее свойства, и затем квадратные неравенства и задачи с параметрами, решаемые с помощью построения графика квадратичной функции.

В учебнике Ю.Н. Макарычева определение квадратичной функции дается в 9 классе предлагается учащимся сразу, затем рассматриваются частные случаи квадратичной функции и после непосредственно общий вид квадратичной функции. Только после этого авторы обращают внимание на решение квадратных уравнений и систем уравнений (в частности, графический метод), опираясь на свойства квадратичной функции. Задачам с параметрами уделяется крайне мало внимания.

Глава 2. Методическая разработка по теме «Квадратичная функция и ее приложения»