Особенности изучения квадратичной функции и её приложений в школьном курсе математики

1. Построение и чтение графика квадратичной функции.

Использование на уроках алгебры кусочных функций позволяет учителю разнообразить урок, сделать его творческим и интересным. Ученики сами могут составлять свои примеры. Более того, кусочные функции реализовывают наше представление о реальном мире.

1. Постройте график функции , где



Укажите промежутки возрастания функции.

Решение:

1.

x	-2	-1	0	1	2
y	0	-0,75	-1	-0,75	0

2.

х	0	2
у	2	0

3.

х	0	-2
у	2	0

Функция возрастает при и при .

Ответ: ;

2. Известно, что график квадратичной функции симметричен относительно прямой и проходит через точку К (-2;-4). Постройте этот график.

Решение:

Подставим координаты точки К в уравнение .

Графиком функции является парабола. Т. к. известно, что график заданной функции симметричен относительно прямой , то вершина параболы имеет координаты .

Координаты вершины:

Составим систему уравнений:



Получили функцию:

Построим график этой функции.

x	-2	0	2	4	6
y	-4	2	4	2	-4

3. Постройте график функции . Сколько общих точек может иметь с этим графиком прямая ? (Для каждого случая укажите соответствующее значение m).

Решение:

Рассмотрим 2 случая:

1. Если , тогда

Графиком функции является парабола, ветви направлены вверх.

Нули функции:

или

Координаты вершины:

х	0	2	4
у	0	-4	0

2. Если , тогда

Графиком функции является парабола, ветви направлены вверх.

Нули функции:



или

Координаты вершины:

х	-4	-2	0
у	0	-4	0

Возможны 4 случая:

нет общих точек - при

2 общие точки - при и при

3 общие точки - при

4 общие точки - при

Задачи для самостоятельного решения

1. Построить графики функций в одной системе координат:

y=x2x є [-2 ; 2]

y=-x2 + 4x є [-1 ; 1]

y= - (x + 2)2 + 4x є [-2 ; -1]

y= - (x - 2)2 + 4x є [1 ; 2]

y= - (x - 1.5)2 - 3x є [0 ; 1.5]

y= - (x + 1.5)2 - 4x є [-1.5 ; 0]

y=x2 - 6x є [-1.4 ; 0]

y=x2 - 5x є [0 ; 1.4]

2. По графикам функций, изображенным на рисунке, восстановите аналитическую запись функций, если известно, что все эти графики получены из графика функции только с помощью движений и симметрии. Указание: в случае необходимости используйте шаблон графика функции.

3. На рисунке изображен график функции . Используя график, решите неравенство

4. С помощью графиков функций, вычислите координаты точек пересечения парабол:

А) и

Б) и

5. Постройте график функции , где . Укажите промежутки возрастания функции.

6. Постройте график функции . Сколько общих точек может иметь с этим графиком прямая ? (Для каждого случая укажите соответствующее значение m).

7. Парабола пересекает ось х в точке . Найдите значение с и определите, пересекает ли эта парабола прямую .

8. При каких значениях а парабола пересекает ось х в двух точках и ее ветви направлены вниз?

9. При каких положительных значениях k, парабола и прямая не пересекаются?

10. При каких значениях n парабола целиком расположена ниже прямой ?

Ответы:



3.

4. (0,3;-3,8); (3,7;10,5)



Функция возрастает на промежутках

нет общих точек - при

2 общие точки - при и при

3 общие точки - при

4 общие точки - при

7. с=18(3;0)

8.

9.

10.

2. Решение квадратных уравнений и систем уравнений.

При решении следующих заданий удобно применить функционально-графический метод решения. Суть этого метода состоит в том, что для уравнения вида , нужно построить в одной системе координат графики функций и . Затем найти точки их пересечения: абсциссы точек пересечения будут являться корнями заданного уравнения. Этот метод позволяет определить количество решений уравнения.

1. Выясните, имеет ли корни уравнение:

Решение:

Чтобы решить данное уравнение, построим графики функций левой и правой частей уравнения:

1.

2.

1. Графиком функции является парабола. Ветви направлены вверх.

Координаты вершины:



х	-2,75	-1,75		0	0,75
у	2,875	-3,125		-4	-0,625

2.

х	-1	-0.5	0	0.5	1
у	-6	-1.375	1	1.875	2

Ответ: уравнение имеет корни.

2. Сколько решений имеет система уравнений

Решение:



Построим графики функций:

1. Графиком функции является гипербола, расположенная в I и III четвертях.

х	1	2	4	-1	-2	-4
у	2	1		-2	-1

2. Графиком функции является парабола, ветви направлены вниз.

Координаты вершины:

х	-2	-1	0	1	2
у	1	4	5	4	1



Ответ: система имеет 3 решения.

Данная система методом подстановки не решается, т.к. получается кубическое уравнение.

Задачи для самостоятельного решения

1. Выясните, имеет ли корни уравнение:

2. Решите уравнение:

3. Решите уравнение:



4. Решите уравнение:

5. Сколько решений имеет система уравнений:

Ответы:

Имеет;

-0,8;

-0,07; 1,5;

-2,8;

Решение уравнений и неравенств с параметрами довольно трудоемкое занятие и зачастую вызывают трудности в решении у учащихся. Здесь требуется применение ранее полученных знаний не только алгоритмов решения уравнения (неравенства), но и определенных свойств функций. Такими задачами проверяется понимание материала учащимися.

3. Решение квадратных уравнений с параметрами, в том числе, поиск параметра в зависимости от свойств корней уравнения.

1. При каком наибольшем значении параметра а, уравнение имеет хотя бы одно решение?

Решение:



Рассмотрим функцию и построим ее график.

Графиком квадратичной функции является парабола, ветви направлены вниз (т.к. -2<0).

Координаты вершины:

х	-1	0	1	2	3
у	-9	-3	-1	-3	-9

- наибольшее значение функции.

Значит, - наибольшее значение, при котором уравнение имеет решение.

Ответ: -1.

2. При каких значениях а уравнение имеет один корень?

Решение:

Рассмотрим функцию .

1) Если , то функция является квадратичной.

Уравнение имеет один корень, если .

2) Если , (т.е. ) то функция является линейной, а уравнение принимает вид . Это уравнение имеет один корень.

Ответ:

3. При каких значениях p уравнение (1) имеет решение?

Решение:

Это уравнение квадратное относительно и чтобы ответить на вопрос задачи, нужно найти значение p, при которых корни уравнения удовлетворяют условию .

Зададим функцию .

Графиком является парабола, ветви направлены вверх.

Рассмотрим 4 случая:

1) Только больший корень лежит в интервале

.

2) Только меньший корень трехчлена лежит в интервале



.

3) Оба корня трехчлена лежат в интервале



4) Число является корнем трехчлена, если , т.е. если и . Число будет корнем трехчлена, если и .

Итак, все значения , при которых уравнение (1) имеет решение, определяются неравенством : .

Ответ:

4. Для каждого действительного числа а решить уравнение: (1).

Решение:

Представим уравнение (1) в виде (2) и построим график функции .

Для построения графика функции можно использовать свойство четности. Данный график сначала строится для , функция в этом случае принимает вид . Далее график симметрично отображается относительно оси Оу.

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз.

Координаты вершины:

х	-2	-1	-0,5	0	1
у	2	0	-0,25	0	2



Решением уравнения (2) для различных значений параметра а представляются абсциссы точек пересечения графика функции и графика прямой .

Отсюда при получаем 2 системы:

1) 2)

Ответ: при ;

при ;

при уравнение (1) не имеет корней.

Задачи для самостоятельного решения

1. При каких значениях а, уравнение имеет решения?

2. При каких значениях параметра a, уравнение имеет решения?

3. При каких значениях параметра z, уравнение не имеет решений?

4. При каком значении m уравнения и имеют общий корень?

5. Определить число а так, чтобы один из корней уравнения был квадратом другого.

6. При каких значениях k уравнение имеет корни? Приведите пример положительного значения k, при котором выполняется это условие.

7. При каких значениях m уравнение имеет корни, отношение которых равно 2?

8. При каких значениях m уравнение имеет различные корни?

9. В уравнении квадрат разности корней равен 16. Определить свободный член уравнения.

10. При каком значении m сумма квадратов корней уравнения минимальна?

11. Найти все значения параметра а, при которых оба корня квадратного уравнения принадлежат промежутку (0;3).

12. Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения больше а?

Ответы:

1.

2. [0;8]

3. и

4. 3

5.

6.

7. -2; 1

8. m - любое

9. -3

10. 1

11.

12.

4. Решение квадратных неравенств с параметрами.

1. При каких значениях m неравенство (1) выполняется при всех ?

Решение:

Чтобы неравенство (1) выполнялось для всех , нужно, чтобы квадратный трехчлен (график - парабола, ветви направлены вверх) при всех указанных x был отрицателен.

Для этого нужно, чтобы интервал (1;2) целиком лежал между корнями параболы.

Составим систему:

.

Ответ: .

2. При каких значениях k верно следующее утверждение: «неравенство (1) выполняется хотя бы при одном (2)»?

Решение:

1) При утверждение верно, например, для точки :

2) При (т.е. при ) утверждение верно, т.к. в этом случае неравенство принимает вид:

,

,

т.е. , например, удовлетворяет неравенству (1) и неравенству (2).

3)



.

Ответ: .

Задачи для самостоятельного решения

1. Для каждого значения параметра, а решить неравенство .

2. Найти все значения а, для которых при всех х, не превосходящих по модулю единицы, справедливо неравенство

3. Найти все значения k, при каждом из которых существует хотя бы одно общее решение неравенств и .

4. При каких значениях p вершины парабол и расположены по разные стороны от оси х?

5. При каких значениях m из неравенства следует ?

6. При каких значениях а, неравенство выполняется при всех значениях х?

Ответы:

1. При неравенство решений не имеет

При ;

2.

3.

4.

5. Ни при каких m;

6.

Заключение

Цель данной дипломной работы - обзор приложений квадратичной функции к решению различных задач школьного курса математики и составление соответствующих методических рекомендаций.

В ходе выполнения дипломной работы была проанализирована психолого-педагогическая, методическая и учебная литература, подобран задачный материал, выделены типовые задачи в каждом разделе и предоставлены решения к ним, составлены комментарии к решениям задач.

Функционально-графические методы применимы для решения широкого спектра задач школьной программы, однако, как показал анализ учебной литературы им не всегда уделяется должное внимание.

Вторая глава дипломной работы содержит банк задач, для решения которых так или иначе используются свойства квадратичной функции. Условно задачи были поделены на следующие блоки:

1. Построение и чтение графика квадратичной функции.

2. Решение квадратных уравнений и систем уравнений.

3. Решение квадратных уравнений с параметрами, в том числе, поиск параметра в зависимости от свойств корней уравнения.

4. Решение квадратных неравенств с параметрами.

К некоторым задачам мы привели решения и методические рекомендации. Также имеются задачи для самостоятельного решения с ответами. Они расположены по уровню сложности.

Имеются творческие задания, а также задачи, к решению которых применим только функционально-графический метод.

Представленная разработка может послужить дополнением к традиционным урокам, для работы на факультативах, для дифференцированного обучения, а также в качестве домашних заданий, в том числе индивидуальных.

Библиография

1. Алгебра: сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 кл. [Текст]: Итоговая аттестация / Л.В. Кузнецова, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович, Л.О. Рослова.- М.: Просвещение, 2006.- 192 с.

2. Алгебра [Текст]: Учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников и др.- 2-е изд.- М.: Просвещение, 2008.- 285 с.

3. Алгебра [Текст]: Учеб. для 7 кл. общеобразоват. Учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.- 8-е изд.- М.: Просвещение, 2008.- 207 с.

4. Алгебра [Текст]: Учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков и др.; под ред. С.А. Теляковского.- 9-е изд.- М.: Просвещение, 2008.- 223 с.

5. Алгебра [Текст]: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников и др.- М.: Просвещение, 2007.- 287 с.

6. Алгебра [Текст]: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. Учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.- 44-е изд.- М.: Просвещение: Моск. учеб.», 2008.- 255 с.: ил.

7. Алгебра [Текст]: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков и др.; под ред. С.А. Теляковского.- 3-е изд.- М.: Просвещение, 2006.- 239 с.

8. Алгебра [Текст]: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников и др.- М.: Просвещение, 2008.- 255 с.

9. Алгебра [Текст]: Учеб. Для 9 кл. общеобразоват. Учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.- 10-е изд.- М.: Просвещение: Моск. учеб., 2006.- 255 с.

10. Алгебра [Текст]: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков и др.; под ред. С.А. Теляковского.- 3-е изд.- М.: Просвещение, 2006.- 271 с.

11. Гиппенрейтер Ю.Б. Хрестоматия по общей психологии. Психология мышления [Текст] / Ю.Б. Гиппенрейтер, В.В. Петухова.- М.: Моск. университет, 1981.- 400 с.

12. Занков Л.В. Наглядность в обучении [Текст] / Л.В. Занков // Пед. энциклопедия: В 4 т. / Гл. ред. И.А. Конров.- Т. 3.- М.: Сов. энциклопедия, 1966.

13. Крамор В.С. Примеры с параметрами и их решение [Текст]: Пособие для поступающих в вузы / В.С. Крамор.- М.: АРКТИ, 2008.- 48 с.: ил.- Методическая библиотека.

14. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников [Текст] / В.А. Крутецкий; под ред. Н.И. Чуприковой.- М.: Ин. практич. психологии, 2008.- 416 с.

15. Локоть В.В. Задачи с параметрами. Линейные и квадратные уравнения, неравенства, системы [Текст]: Учебное пособие / В.В. Локоть.- М.: АРКТИ, 2006.- 96 с.

16. Мордкович А.Г. Алгебра [Текст]: 7 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович.- 3-е изд., доработ.- М.: Мнемозина, 2008.- 160 с.

17. Мордкович А.Г. Алгебра [Текст]: 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович.- 3-е изд., доработ.- М.: Мнемозина, 2008.- 210 с.

18. Мордкович А.Г. Алгебра [Текст]: 9 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович.- 3-е изд., испр.- М.: Мнемозина, 2006.- 192 с.

19. Мордкович А.Г. Алгебра [Текст]: 7 кл.: Задачник для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская.- 3-е изд., доработ.- М.: Мнемозина, 2007.- 160 с.

20. Мордкович А.Г. Алгебра [Текст]: 8 кл.: Задачник для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская.- 3-е изд., испр.- М.: Мнемозина, 2008.- 239 с.

21. Мордкович А.Г. Алгебра [Текст]: 9 кл.: Задачник для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская.- 3-е изд., испр.- М.: Мнемозина, 2006.- 143 с.

22. Мордкович А.Г. Беседы с учителями математики [Текст]: Учеб.-метод. пособие / А.Г. Мордкович.- 2-е изд., доп. и перераб.- М.: Оникс 21 век, 2006.- 336 с.

23. Муравин К.С. Алгебра [Текст]: 7 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / К.С. Муравин, Г.К. Муравин, Г.В. Дорофеев.- 2-е изд., испр. и доп.- М.: Дрофа, 2008.- 240 с.

24. Муравин К.С. Алгебра [Текст]: 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / К.С. Муравин, Г.К. Муравин, Г.В. Дорофеев.- 3-е изд., стереотип.- М.: Дрофа, 2006.- 208 с.

25. Муравин К.С. Алгебра [Текст]: 9 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / К.С. Муравин, Г.К. Муравин, Г.В. Дорофеев.- М.: Дрофа, 2006.- 240 с.

26. Мухина В.С. Возрастная психология: феноменология развития, детство, отрочество [Текст]: Учебник для студ. вузов / В.С. Мухина.- 7-е изд., стереотип.- М.: Академия, 2006.- 456 с.

27. Формирование личности в переходный период от подросткового к юношескому возрасту / под ред. И.В. Дубровиной.- М.: Педагогика, 2007.

28. Хон Р.Л. Педагогическая психология. Принципы обучения [Текст]: Учеб. пособие для высшей шк. / Р.Л. Хон.- М.: Академический проект, 2009.

Размещено на Allbest.ru