Методика реализации внутрипредметных связей в школьном курсе математики

5. Пропедевтическая функция. Данная функция является одной из самых основных, так как именно удачно осуществлённая пропедевтика того или иного материала способствует более качественному его усвоению. Реализация внутрипредметных связей посредством решения задач осуществляет пропедевтику материала на основе того, что они (связи) делятся на два типа. Логический тип внутрипредметных связей облегчает (обуславливает) логику решения задач на основе нового материала, аналитический тип способствует тому, что при исполнении решения задач по новой теме ученики пользуются уже известными приёмами. Кроме того, это способствует преемственности в обучении математике.

6. Интенсифицирующая функция. Реализация внутрипредметных связей способствует интенсификации учебного процесса, что играет важную роль в современном информационном обществе. Это происходит из-за того, что внутрипредметные связи обоих типов способствуют экономии времени, так как они делают возможным уплотнение учебного материала без ущерба для его качества. Объясняется это тем, что частое использование общих логических закономерностей и частое применение знакомых аналитических приёмов доводит умение пользоваться ими до автоматизма, что и обеспечивает более быстрое изучение нового материала.

7. Воспитывающая функция. Среди всего множества воспитательных моментов, которые привносит в жизнь школьника математика, обратим внимание на один, который обусловлен именно реализацией внутрипредметных связей посредством решения задач. Поскольку реализация внутрипредметных связей делает возможными “обратные” связи между субъектами и объектами, то для более успешного изучения нового материала ученик вынужден более добросовестно изучать предшествующий материал. Благодаря этому воспитывается трудолюбие, аккуратность, настойчивость в достижении цели.

8. Системообразующая функция. Смысл её в том, что реализация внутрипредметных связей посредством решения задач делает учебный материал системным, а не разрозненным. Системность материала значительно повышает качество знаний учеников. Эта функция внутрипредметных связей как бы суммирует в себе все предыдущие функции.

Заметим, что седьмую и восьмую функции все виды внутрипредметных связей выполняют в равной степени, причём последнюю скорее совместно, а не индивидуально.

2.2 Методика реализации внутрипредметных связей на различных этапах обучения

Одной из основных задач обучения является развитие целенаправленного мышления. Развитие же мышления предполагает формирование различных понятий, в том числе и математических, так как они выступают в качестве основной формы мышления. Понятия не могут существовать в отдельности друг от друга, они взаимообусловлены, взаимосвязаны. Существование каждого понятия было бы невозможно без определённых отношений к другим.

При рассмотрении данного пункта будем опираться на работу В. А. Далингера “Методика реализации внутрипредметных связей при обучении математике” [6].

Реализация внутрипонятийных связей [6] преследует цель научить учащихся выделять существенные признаки понятия, сформировать у них умение переформулировать определения понятий через другую совокупность существенных признаков. Учащиеся должны из набора существенных признаков объекта уметь устанавливать его принадлежность понятию и наоборот. Основная функция внутрипонятийных связей - образование понятия (по времени это 1-2 урока, на которых понятие вводится).

Любое понятие можно расчленить на составляющие его компоненты, между которыми устанавливаются определённые связи. Например, понятие геометрическая прогрессия определяется как числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля и каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и тоже число, не равное нулю. Исходя из этого определения, можно выделить следующие составляющие: последовательность, первый член последовательности, знаменатель прогрессии. Они подчинены определённым зависимостям. Так, члены последовательности должны быть отличны от нуля, знаменатель прогрессии есть любое число, не равное нулю, каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на знаменатель прогрессии. Для усвоения понятия геометрической прогрессии, на уровне требований программы девятилетней школы, необходимо, чтобы были усвоены перечисленные элементы и связи между ними.

Разумеется, для любого понятия можно выделить минимальный список наиболее важных отношений, играющих доминирующую роль не только в усвоении этого понятия, но и необходимый в дальнейшем для изучения других вопросов.

Рассмотрим пример.

При введении в 5 классе понятия биссектриса угла учащиеся должны уметь выделять существенные признаки этого понятия, входящие в его определение. Эти признаки таковы:

1. биссектриса угла - это луч;

2. биссектриса угла выходит из его вершины;

3. биссектриса угла делит его пополам.

Важным моментом при изучении этого понятия должна явиться работа учащихся по комбинированию выделенных признаков. При таком подходе они сознательно усвоят необходимость каждого признака и их достаточность для определения понятия биссектрисы угла. Здесь на первый план выступают внутрипонятийные связи, анализ которых поможет подвести объект под понятие.

Важное значение для успешной реализации внутрипонятийных связей имеет работа школьников по осознанию тех связей, которые существуют между свойствами понятия. При этом учебный материал должен быть организован на основе варьирования несущественных признаков понятий при сохранении постоянными существенных признаков, которые будут положены в основу обобщения.

Пример.

Для ознакомления учащихся с фактом влияния коэффициента на свойства функции достаточной является группа упражнений, состоящая из следующих задач: “Постройте графики функций

Как влияет на их расположение значение ?”

В данной группе задач исключено беспорядочное варьирование коэффициента, при котором ученик может упустить необходимые для обобщения связи между коэффициентом и свойствами функции . Все задачи направлены на осознанное понимание учащимися двух различных факторов, определяющих свойства функции: абсолютная величина , знак коэффициента .

Организуя работу над внутрипонятийными связями, учителю следует иметь в виду, что при этом важно варьировать несущественные признаки понятия. Особое значение эта работа имеет при формировании геометрических понятий. Если учитель ограничивается, например, стандартными чертежами, то школьники достаточно быстро связывают формируемое понятие с фигурами определённого вида и расположения. Использование стандартного чертежа вызывает у учащегося неверные ассоциации, в результате чего он в содержание понятия вносит и частные признаки демонстрируемой фигуры. В такой ситуации наблюдается разобщённость между словесным объяснением учителя и наглядной интерпретацией. Это приводит к тому, что знания, формируемые на базе одного и другого, не соответствуют друг другу. Например, многие ученики к прямоугольным треугольникам относят лишь те, у которых прямой угол находится “внизу”. Причиной ошибочного представления о понятии явилось то, что учащиеся при его введении пользовались лишь одним признаком, а не совокупностью существенных признаков, при этом доминирующим стал наиболее ярко выраженный несущественный признак.

Замечание. Следует иметь в виду, что формирование понятия в сознании учащихся в значительной степени зависит от того, в каком виде произошло первое знакомство с этим понятием (в психологии этот факт получил название “силы первого впечатления”).

Не менее важным в работе над внутрипонятийными связями является формирование у школьников умения переосмысливать фигуру в плане другого понятия, вычленять и комбинировать из элементов изображения новые фигуры, не указанные в условии задачи.

На уровне внутрипонятийных связей важна работа по формированию у школьников представления о свойствах, являющихся следствием других свойств, о понятии противоречивости свойств.

С этой целью учащимся 5 класса предлагать задачи такого содержания: ”Могут ли одновременно и удовлетворять условиям:

1. больше ; меньше ;

2. больше ; произведение чисел и равно нулю;

3. делитель ; меньше ;

4. расположено на числовом луче правее ; равно ;

5. расположено на числовом луче левее ; меньше ; ;

6. прямая параллельна прямой ; прямая перпендикулярна прямой ?”

Приведённые примеры показывают, что для усвоения понятия необходимо отыскать такой вид деятельности, который позволял бы усваивать основные элементы понятия и отношения между ними. При этом вид деятельности будет зависеть от характера понятия.

В курсе школьной математики все понятия можно условно подразделить на группы, положив в основу классификации тот или иной признак, а именно:

1. понятия, аналогами которых являются житейские представления учащихся (например, число, прямая, точка);

2. понятия, вводимые в курс без определений (например, величина, множество);

3. понятия, вводимые в курс через определения (например, функция, уравнение, неравенство, логарифм числа);

4. понятия, введённые ранее в “расплывчатом” виде, в дальнейшем получающие своё чёткое определение (например, график, равенство фигур).

При формировании понятий первой группы следует связывать математические понятия с их житейскими прототипами, приобретёнными учащимися вне целенаправленного обучения. Житейские прототипы, или, как их ещё называют, аналоги, могут либо верно, либо неверно отражать основную суть научного понятия. Например, учащиеся до 7 класса довольно часто пользуются термином функция. Но смысл, который вкладывается ими в данный термин, не соответствует его научной трактовке. Этот термин учащиеся до изучения понятия функции на уроках алгебры используют в смысле назначения: роль одного объекта по отношению к другому (функция органов дыхания, функция воды по отношению к растениям и т. д.) Ясно, что при формировании математического понятия функция в смысле зависимости опора на житейский прототип невозможна. В данном случае привычка учащихся к обыденном оборотам речи лишь тормозит понимание математического понятия.

Далее приведём пример, в котором формирование научного понятия возможно на основе его житейского аналога.

При формировании понятия натуральное число как количественной характеристики множества возможна опора на житейский прототип, так как фактически школьники ещё до целенаправленного обучения имеют такое же представление об этих числах. Знакомясь с натуральными числами в начальной школе, учащиеся получают их путём отсчитывания или присчитывания палочек, косточек и т. д. Мы в процессе обучения учащихся приходим к научной характеристике понятия, известного ещё ранее из жизненного опыта. При этом совершается переход от предметных действий к выделению формального содержания и его изображению на уровне абстракции и обобщения.

Особое значение соотношение житейских прообразов и их научных образов приобретает в случае изучения основных неопределяемых понятий курса. Формирование этих невозможно без опоры на жизненный опыт учащихся. Первостепенное значение при этом имеет мотивация введения этих понятий.

Например, в курсе геометрии при введении различных геометрических фигур учащимся полезно предлагать задания по составлению “родословной”

каждого понятия (в виде схемы).

Сравнивая эти схемы “родословной”, учащиеся замечают, что каждое из этих понятий сводится к таким, как точка, прямая, плоскость, расстояние. Тем самым школьники подводятся к мысли, что не все понятия могут быть определены, а следовательно, некоторые из них должны быть взяты в качестве основных, неопределяемых. В действующем школьном курсе геометрии к ним относятся точка, прямая, плоскость, лежать между, принадлежит.

При работе над этими понятиями опора на житейские прототипы не только не исключает (как это было в примере с понятием функции), а, наоборот, предполагает как можно более частое обращение к ним.

Если понятие определяется в школьном курсе математики, то чаще всего определение даётся сразу в завершённой, свёрнутой форме. Однако такой подход не требует от школьников самостоятельного выделения существенных признаков понятий, а это в итоге приводит к тому, что ученики не могут их сознательно использовать при решении практических задач. В подобных определениях для учащихся остаются скрытыми не только те действия, которые позволяют распознавать понятие в изменяющихся условиях, но и сам процедурный характер его получения.

Исключение составляют те случаи, когда для распознания объекта в определении соответствующего понятия дан эталон, с которым этот объект может быть сравнён. Например, в такой форме даётся определение линейной функции: “Функция, которую можно задать формулой вида где и - некоторые числа, называется линейной”.

Раскрытие внутрипонятийных связей должно идти через действия учащихся, при этом учитель должен организовать целесообразную деятельность учеников.

Рассмотрим пример.

В 9 классе учащиеся знакомятся с понятием чётной и нечётной функции. Даётся следующее определение чётной функции: “Функции называется чётной, если для каждого из области определения этой функции выполняется равенство

Такое положение приводит к тому, что школьники на вопрос: “Является ли функция заданная на отрезке чётной?” - дают утвердительный ответ, так как приоритет отдаётся второму признаку, хотя оба признака в этом определении необходимы и лишь вместе достаточны.

Аналогичную картину наблюдаем и в случае выполнения задания на определение чётности функции Учащиеся поступают следующим образом:

Из этого следует вывод: так как функция нечётная, то нечётна и заданная функция. Но, как легко заметить, область определения заданной функции несимметрична относительно нуля , и значит, можно сразу утверждать, что эта функция ни чётна, ни нечётна.

Обнаруженная типичная ошибка учащихся показывает, что приведённое выше определение педагогически нецелесообразно ( Алгебра и начала анализа: Пробный учебник для 10-11 кл. ср. шк. / Под ред. А. Н. Тихонова. - М.: Просвещение, 1989).

Конечно, авторы правы, утверждая далее, что “из этого определения следует, что вместе с каждым значение также входит в область определения функции ”. Учитывая типичную ошибку школьников, следовало бы дать это определение с избытком, включив в него ещё один существенный признак - симметричность области определения функции относительно нуля.

Недостаточная работа над внутрипонятийными связями приводит, как правило, к типичным ошибкам. Обратим внимание на некоторые из них:

1. Ошибки, связанные с неправильным указанием родового понятия.

Например, средней линией треугольника называется прямая, соединяющая середины его двух сторон (указано понятие, которое для определяемого не является родовым).

2. Ошибки, связанные с неправильным указанием видового отличия.

Например, угол, образованный двумя хордами, называется вписанным (не указан ещё один существенный признак - вершина угла должна лежать на окружности).

3. Ошибки, связанные с тавтологией.

Например, равными треугольниками называются такие треугольники, которые равны между собой.

4. Ошибки, связанные с пропуском слов.

Например, простое число - это натуральное число, которое делится само на себя и на единицу (пропущено слово “только”).

Задача учителя - вести исчерпывающий разбор типичных ошибок, выявлять их природу и происхождение, ибо без этого нельзя обеспечить эффективные средства исправления и предупреждения ошибок в будущем.

В педагогической литературе правомерно ставятся вопросы: ”Нужно ли предупреждать ошибки в действиях учащихся?”; “ Нужно ли допущенную ошибку обсуждать фронтально или же целесообразнее это сделать индивидуально?”; “Есть ли ошибки такого рода, обсуждение которых вообще не целесообразно?”.

Практика преподавания математики в школе показывает, что продуманная работа над систематическими ошибками может оказаться эффективным средством формирования сознательных и прочных знаний учащихся. В каждом конкретном учитель должен сам определить, какая форма работы будет целесообразнее: фронтальная или индивидуальная.

Большое значение в работе с внутрипонятийными связями играют контрпримеры, которые вначале приводятся учителем, а затем к их конструированию подключаются и учащиеся.

Так, для примера, приведённого в четвёртом пункте типичных ошибок, можно привести такой контрпример: число 12 делится на себя и на единицу, но оно не является простым.

Подобного рода работа повысит математическую культуру учащихся, научит их сознательно относиться к каждому слову в определении.

Контрпримеры чаще всего применяются тогда, когда надо убедить ученика в том, что он ошибается. Полезно уже на уровне 5-6 классов предлагать задания следующего содержания: “Приведите контрпримеры, доказывающие ложность следующих высказываний:

1. любые три отрезка могут быть сторонами треугольника;

2. сумма любого чётного и любого нечётного числа есть число простое;

3. любая фигура, имеющая три угла, является треугольником;

4. любое число, оканчивающееся единицей, делится на 3;

5. чтобы углы были смежными, достаточно, чтобы две их стороны были бы противоположными лучами”.

Успешному усвоению внутрипонятийных связей будет способствовать организация активной познавательной деятельности школьников на всех этапах формирования понятия. Приведём пример.

Для формирования понятия медианы треугольника учащимся предлагается:

1. построить произвольный треугольник;

2. соединить отрезком его вершину с серединой противоположной стороны.

После этой работы учитель говорит: “Такой отрезок называется медианой треугольника” - и предлагает учащимся самим сформулировать определение медианы треугольника.

Учителю при работе над внутрипонятийными связями следует иметь в виду, что не всегда структура текста учебника математически соответствует оптимальной последовательности этапов формирования понятий, которая может быть такой:

1. Рассмотрение примеров объектов, входящих в объём понятия.

2. Ведение термина, обозначающего понятие.

3. Рассмотрение примеров объектов, не входящих в объём понятия.

4. Формулирование определения понятия.

5. Сообщение дополнительных сведений, в частности указание несущественных признаков понятия.

6. Систематизация знаний.

Часто в учебниках математики авторы по ряду причин освещают не все этапы образования понятий. Так, например, в учебнике геометрии А. В. Погорелова почти все параграфы, посвящённые понятиям, начинаются с определений. В учебнике алгебры для 7 класса под редакцией А. Н. Тихонова текст, в котором вводится понятие функции, содержит лишь этапы 1, 4, 5.

Задача учителя состоит в том, чтобы на уроках, посвящённых формированию понятий, восполнять недостающие этапы. В таком случае формируемое понятие будет усвоено учащимися сознательно и полно.

Большую роль в работе с внутрипонятийными связями играют упражнения по практическому применению понятий и теорем. На уроках мы часто сталкиваемся с ситуацией, когда учащиеся верно формулируют определение понятия, теорему, но оказываются бессильными в случае решения конкретной задачи. Например, учащиеся 7 класса верно формулировали определения соответствующих понятий и теорем, но не могли ответить на вопросы:

1. хватит ли 20 см проволоки, чтобы согнуть из неё треугольник, одна сторона которого была бы равна: 12 см; 8 см; 10 см;

2. почему углы при основании равнобедренного треугольника всегда острые;

3. как при помощи рулетки убедиться в том, что оконная рама имеет форму прямоугольника;

4. почему каждый острый угол прямоугольного равнобедренного треугольника равен ?

Чтобы учитель мог отличить формальные знания учащихся от сознательных, он должен помнить о следующих внешних проявлениях формализма: отрыв формы от содержания; неумение применять теорию на практике; преобладание памяти над пониманием.

Проверить, сознательно ли школьники усвоили внутрипонятийные связи, поможет педагогически целесообразная постановка вопросов. Вопрос считается педагогически целесообразным, если ответ на него не копирует учебник, а будит активную, сознательную мысль ученика; такой вопрос должен выявлять степень понимания, а не степень запоминания материала. Например, в 5 классе при изучении натурального ряда чисел учащимся сообщают его свойства: натуральный ряд чисел начинается с 1; каждое следующее натуральное число на единицу больше предыдущего; натуральный ряд чисел неограничен (не имеет конца). При этом вопросы “С какого числа начинается натуральный ряд чисел?”, “На сколько следующее натуральное число больше предыдущего?”, “Конечен ли натуральный ряд чисел?” - педагогически нецелесообразны.

Выявить сознательное усвоение школьниками свойств натурального ряда чисел помогут такие вопросы: “Каково наименьшее натуральное число?”, “Какое натуральное число предшествует 1?”, “Назовите наибольшее натуральное число?”, “Почему обозначает следующее за натуральным числом число?”.

Для успешной реализации внутрипонятийных связей необходимо у школьников формировать логические приёмы мышления, такие, как подведение род понятие, сравнение, выведение следствий, построение объектов по определению понятия.

К сожалению, значительная часть учащихся не владеет этими приёмами. Так, при подведении объекта под понятие они опираются не на систему признаков, указанную в определении, а на отдельные признаки. Например, школьники ошибочно дают утвердительные ответы на вопросы: “будут ли углы смежными, если они имеют общую вершину и в сумме составляют ?”, “Будут ли углы вертикальными, если они равны и имеют общую вершину?”.

В заключении рассмотрим ещё один вопрос, связанный с определением понятий.

Радикальное изменение содержания школьной математики привело в своё время к усилению строгости изложения курса. Отражением этого явилось

усиление внимания к строгости определений понятий, изучаемых в курсе математики. В большей степени дефиниционный формализм коснулся содержания основ математического анализа, изучаемых в школе.

Наличие большого числа строгих определений понятий в прежнем курсе алгебры и начал анализа привело к смещению в преподавании акцента от интуитивного к логическому. В таком случае в процессе обучения отрабатывались и закреплялись формальные определения понятий вместо выработки у учащихся адекватных представлений о понятиях, необходимых для правильного их использования в практической работе.

Такое изменение методической ситуации в изучении понятий привело к формализму в знаниях учащихся.

Рассмотрим пример.

Школьникам 9 классов в своё время предлагалось задание: “Покажите на рисунке, как может идти график функции вблизи точки , если

1. ;

2. ;

3. предел в точке отсутствует, а ”.

Подавляющее большинство учащихся с заданием подобного рода не справились, хотя определение непрерывной функции в точке ими формулировалось верно.

Внутрипредметные связи на этапе обобщения и систематизации знаний, умений и навыков

В педагогической литературе существуют различные классификации видов повторения.

1. По временному признаку: в начале учебного года; в течение всего учебного года; в различное время года, после изучения отдельных тем, разделов учебного материала; в конце учебного года всего курса.

2. По основной дидактической цели: опорное; первично-закрепляющее; подкрепляющее (предупреждающее); корректирующее; углубляющее; обобщающе-систематизирующее.

3. По частоте использования: эпизодическое; периодическое; регулярное.

4. По месту в процессе усвоения:

а) повторение, предшествующее изучению нового материала, при котором вспоминаются те факты из ранее пройденного, которые необходимы для полноценного усвоения нового;

б) повторение, сопутствующее изучению нового материала; этот вид повторения своей целью восстановить в памяти ученика те знания, которые входят в содержание вновь изучаемого, а также провести сравнение, сопоставление и установление логических связей ранее пройденного и нового материала;

в) повторение, следующее за изучением нового материала и обеспечивающее закрепление полученных знаний, выработку твёрдых умений и навыков; этот вид повторения особо направлен на систематизацию и обобщение полученных знаний с целью их дальнейшего, более эффективного использования.

Обобщения в сознании учащихся при существующей структуре курса и используемой технологии обучения сами по себе, произвольно не возникают. Школьники не всегда осознают, что любому теоретическому материалу изучаемого курса присуща определённая система. Отсутствие у учащихся умения обобщать есть одна из основных причин слабого овладения ими системой знаний. Поэтому на определённом этапе обучения необходимы перекомпоновки, соподчинения, систематизации материала, выявление новых связей и отношений между элементами изученной суммы знаний.

Это возможно при обобщающем повторении. Оно позволяет углубить, расширить, обобщить и систематизировать знания. Если в какой либо теме учебного курса слабо будут реализованы внутрипредметные связи, то обобщающее повторение призвано устранить этот недостаток; с его помощью можно установить те связи и отношения между элементами знаний, которые ранее не были раскрыты.

Не смотря на большую результативность, обобщающее повторение проводится в школе крайне редко или же проводится лишь в плане закрепления полученных знаний. Это можно объяснить многими причинами: недостатком времени; отсутствием эффективной методики его проведения; трудностями организации и проведения; отсутствием в учебниках достаточного числа обобщающих упражнений; недостаточной полнотой внутрипредметных связей в темах курса; мелкой рубрикацией глав и параграфов в учебниках и т.д.

Дадим классификацию обобщающих повторений исходя из их содержания, максимально ориентированного на учёт возрастных и индивидуальных особенностей учащихся. Обобщающее повторение рассматриваем на уровне: понятий, системы понятий и теорий (обобщающее повторение на уровне теорий даёт определённую трактовку изученным понятиям с позиции тех или иных фундаментальных идей, которые рассматриваются в курсе, поэтому материал, направленный на обобщающее повторение этого вида целесообразно рассматривать на кружковых и факультативных занятиях (что мы и сделаем в следующем параграфе настоящей главы)). Наиболее сложным является организация обобщающего повторения на уровне теорий, в связи с чем первые два уровня в большей степени приемлемы в обучении учащихся младших и средних школьных возрастов, последний же даёт больший эффект в основном лишь в старших классах.

Из выше сказанного следует, что методика организации обобщающего повторения должна меняться от класса к классу. Так, если в средних учитель сам в форме беседы или рассказа обращает внимание учащихся на необходимость всестороннего изучения каждого понятия, явления, на взаимосвязь изучаемых понятий, то в старших классах следует организовать самостоятельное открытие школьниками новых связей между изученными понятиями, проведение обобщения полученных знаний.

Обобщающее повторение на уровне понятий

Обобщающее повторение на уровне понятий позволяет привить учащимся умение выделять существенные признаки понятий, давать понятиям определения через различную совокупность существенных признаков или через другое родовое понятие, умение подводить объект под понятие. На данном уровне обобщающего повторения отрабатываются опорные знания темы в аспекте тех связей и отношений, которые были использованы при первоначальном изучении материала. Большую роль в организации этого вида повторения играют внутрипонятийные связи.

Задания, используемые на повторительно-обобщающих уроках такого типа, по своим функциональным назначениям можно разделить на следующие группы:

1. способствующие воспроизведению факта, закона, алгоритма, формулировок определений и теорем;

2. требующие анализа какого-либо факта, закона, ситуации;

3. формирующие умения самостоятельно иллюстрировать теоретические положения примерами, в том числе и из практики;

4. приводящие к синтезу знаний и их обобщению;

5. развивающие мышление учащихся.

Приведём примеры заданий, которые можно использовать при обобщающем повторении на уровне понятий в различных темах школьного курса математики.

1. Организуя повторение на уровне понятий по теме “Многоугольники” в курсе геометрии 8 класса, учащимся могут быть предложены такие задания.

а) Известно, что во всяком ромбе диагонали взаимно перпендикулярны, верно ли обратное: четырёхугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны, является ромбом? (Это задание требует от учащихся анализа ситуации.) Ответ на данный вопрос отрицательный.

б) Дан четырёхугольник, у которого два противоположных угла прямые, можно ли утверждать, что такой четырёхугольник всегда будет прямоугольником? (Это задание развивает мышление школьника, требует от него анализа ситуации.) Ответ на поставленный вопрос отрицательный.

2. Для проведения обобщающего повторения по теме “Производная” можно повторить определение производной, алгоритм нахождения производной функции по определению, основные правила и формулы, связанные с производной.

3. Для повторения темы ”Прогрессии” целесообразно провести с учащимися математический диктант такого содержания (в скобках указаны задания для второго варианта):

а) Первый член последовательности равен 8. Запишите рекуррентную формулу для числовой последовательности, если каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с числом 4 (умноженному на число 4).

б) Как называется такая последовательность?

в) Запишите для неё формулу -го члена.

г) Найдите пятый член этой последовательности.

д) Является ли число 88 членом этой последовательности?

е) Найдите шесть первых членов этой последовательности.

ж) Дана последовательность: Напишите формулу для нахождения суммы первых членов, если эта последовательность является геометрической прогрессией (арифметической прогрессией).

з) Какая последовательность обладает свойством: квадрат каждого её члена, начиная со второго, равен произведению двух соседних с ним членов? (Каждый член, начиная со второго, равен полусумме двух соседних с ним членов?)

и) Определить и в геометрической прогрессии: если известно, что её первый член положителен. (Определить и в геометрической прогрессии: если известно, что её четвёртый член отрицателен.)

к) Известно, что Найдите где - члены арифметической прогрессии. (Известно, что Найдите где - члены арифметической прогрессии.)

5. Для того чтобы обучить учащихся различать свойства и признаки понятий, полезной при организации обобщающего повторения на уровне понятий (хотя это можно сделать и значительно раньше) окажется работа по переформулированию теорем в условной форме: “Если…, то …”.

Действительно, как узнать, о свойстве или о признаке идёт речь в теореме? На этот вопрос легко ответить, если теорему сформулировать в условной форме. Если окажется, что рассматриваемое понятие находится в условии теоремы, то теорема выражает свойство этого понятия, если же понятие окажется в заключении теоремы, то она выражает признак.

Приведём примеры.

1. Теорема Пифагора: “В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов”. Переформулируем теорему из категорической формы в условную. Будем иметь: “Если треугольник прямоугольный, то квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов”. Так как понятие прямоугольный треугольник оказалось в условии теоремы, то теорема выражает собой свойство этого понятия.

2. Теорема: “Треугольник, у которого углы при основании равны, - равнобедренный”. Сформулируем теорему в терминах “если…, то…”. Будем иметь: “Если в треугольнике углы при основании равны, то треугольник равнобедренный”. Так как понятие равнобедренный треугольник оказалось в заключении теоремы, то эта теорема выражает собой признак.

Заметим, что некоторые теоремы одновременно выражают как свойство, так и признак одного и того же понятия. Так обстоит дело в последнем случае; сформулировав теорему в виде: “Если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны”, мы имели бы свойства равнобедренного треугольника.

Обобщающее повторение на уровне системы понятий

Обобщающее повторение на уровне системы понятий преследует цель выработать у учащихся умения сопоставлять изученные понятия, отыскивать новые связи и отношения между ними, прослеживать развитие понятий в их иерархических зависимостях, т.е. устанавливать подчинённость вида роду в случае сопоставимых понятий. При этом происходит либо обогащение и расширение ранее изученных понятий, либо образование новых. На данном уровне обобщающего повторения определяется место и значение понятий в системе, происходит функциональное соотнесение понятий.

Если на уровне понятий обобщающее повторение организовывалось с помощью методов наблюдения и сравнения, то на уровне системы понятий на первый план выдвигается анализ взаимосвязей понятий. Это даёт возможность классифицировать понятия не только по их природе, но, что ещё более существенно, по отношениям между ними.

Обобщающее повторение на уровне системы понятий предполагает такую ориентацию учащихся в учебном материале, которая бы позволяла определить и усвоить общий способ преобразования этого материала на основе соответствующих предметных и знаковых моделей. К таким знаковым моделям относятся классификационные схемы, сводные таблицы, определённые записи, опорные конспекты. Они позволяют придать полученным при обобщающем повторении систематизированным знаниям определённую структуру.

Принцип систематичности и последовательности, используемый при написании учебников математики, закладывает в учебный материал линейные связи, а обобщающее повторение на уровне системы понятий призвано преобразовать эти связи в структурно-объёмные, которые фиксируются в виде классификационных схем и таблиц.

Покажем на примерах, как может быть организовано обобщающее повторение на уровне системы понятий.

1. Для обобщения темы “Четырёхугольники” курса геометрии 8 класса на уровне системы понятий полезной окажется работа по конструированию определений различных видов четырёхугольников посредством перечисления необходимого и достаточного набора существенных признаков. Например, учащимся можно предложить такое задание.

Какие из нижеперечисленных существенных свойств однозначно определяют основные понятия темы? (Это задание направлено на синтез знаний и их обобщение.)

1) Диагонали взаимно перпендикулярны.

2) Многоугольник.

3) Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

4) Противоположные стороны попарно равны.

5) Имеет четыре и только четыре угла.

6) Имеет хотя бы один прямой угол.

7) Диагонали равны между собой.

8) Четырёхугольник.

9) Две смежные стороны равны между собой.

10) Параллелограмм.

11) Четыре стороны и четыре угла равны между собой.

12) Прямоугольник.

13) Ромб.

Школьники могут выбрать различные совокупности существенных признаков, однозначно определяющих одно и то же понятие. Запишем некоторые из них условно в таком виде:

Четырёхугольник = 2+5; Ромб = 8+3+1;

Параллелограмм = 8+4; Ромб = 10+1;

Параллелограмм = 8+3; Квадрат = 13+6;

Параллелограмм = 2+5+4; Квадрат = 10+11;

Ромб = 10+9; Квадрат = 10+9+7;

Квадрат = 2+5+4+9+6; Прямоугольник = 10+6;

Квадрат = 12+9; Прямоугольник = 8+3+6.

Сумма номеров означает такую совокупность существенных признаков, которая необходима и достаточна для однозначного определения понятия.

Для обобщающего повторения темы “Четырёхугольники” на уроне системы понятий полезным будет и такое задание.

Какие из нижеперечисленных определений являются правильными? К каждому неправильному определению приведите пример, иллюстрирующий его ошибочность.

1) Прямоугольником называется параллелограмм, имеющий хотя бы один прямой угол.

2) Прямоугольником называется четырёхугольник, диагонали которого равны.

3) Прямоугольником называется четырёхугольник, диагонали которого в точке пересечения делятся пополам.

4) Прямоугольником называется четырёхугольник, имеющий хотя бы два прямых угла.

5) Параллелограммом называется четырёхугольник, две противоположные стороны которого параллельны.

6) Параллелограммом называется четырёхугольник, две противоположные стороны которого равны между собой.

7) Параллелограммом называется многоугольник, все противоположные стороны которого попарно равны и параллельны.

8) Параллелограммом называется четырёхугольник, диагонали которого в точке пересечения делятся пополам.

9) Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно равны и параллельны, а диагонали равны между собой.

10) Ромбом называется параллелограмм, две смежные стороны которого равны между собой.

11) Квадратом называется ромб, у которого диагонали равны.

12) Квадратом называется многоугольник, все стороны и все углы которого равны между собой.

13) Квадратом называется такой многоугольник, у которого четыре стороны и четыре угла равны между собой.

Это задание помогает развить у ученика умения анализировать новые ситуации, иллюстрировать теоретические положения примерами, способствует формированию высшего типа мышления - творческого.

2. Для обобщения материала, связанного с понятием треугольник. эффективным будет такое задание.

Выберите из списка то понятие, которое является

1) отрезком биссектрисы угла треугольника, соединяющим вершину треугольника с точкой противоположной стороны;

2) отрезком, соединяющим середины двух сторон треугольника;

3) фигурой, состоящей из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх попарно соединяющих их отрезков;

4) точкой пересечения серединных перпендикуляров, проведённых к сторонам треугольника;

5) точкой пересечения биссектрис треугольника;

6) отрезком перпендикуляра к стороне треугольника, проведённым через противоположную вершину;

7) точкой, равноудалённой от вершин треугольника;

8) точкой, равноудалённой от сторон треугольника;

9) отрезком, соединяющим вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Список понятий

А - центр вписанной окружности; Б - средняя линия треугольника;

В - высота треугольника; Г - биссектриса треугольника;

Д - треугольник; Е - медиана треугольника;

Ж - центр описанной окружности; З - угол.

Обобщающее повторение на уровне системы понятий формирует у учащихся целостное представление об изучаемом материале. Следует при этом отличать системные знания от систематичных. Систематичность знаний есть лишь необходимое, но не достаточное условие формирования системных знаний. Если систематичность знаний подразумевает реализацию линейных связей (эти связи представлены материалом учебника), то системность знаний - реализацию объёмных связей, получаемых путём структурирования линейных. Объёмные связи при повторном изложении материала на уроках обобщающего повторения разворачиваются в линейные, но они уже отличаются от тех, которые конструировались в системе первичного изложения материала.

2.3 Реализация внутрипредметных связей на факультативных занятиях по математике

Рассмотрим на примерах, как реализуются внутрипредметные связи между различными темами школьного курса математики на факультативных занятиях.

Покажем, во-первых, как можно применить производную к таким содержательно-методическим линиям школьного курса математики, как линия уравнений и неравенств, линия тождественных преобразований. Заметим, что при этом приложения производной расширяются не за счёт увеличения программного материала, а за счёт нераскрытых сторон известных учащимся фактов.

Пример 1. Доказать тождество

Для доказательства рассмотрим функцию

Доказать данное тождество - это значит показать, что при любом значения функции равны , т.е. следует установить, что эта функция постоянна и её значение есть число . Найдём производную функции :

Так как для любого , то это означает, что на множестве R функция есть постоянная. Чтобы найти эту постоянную, вычислим значение функции в любой точке, например в точке

Итак, можно сделать вывод, что на множестве R данное равенство есть тождество.

Пример 2. Докажите, что для всех неотрицательных справедливо неравенство:

Рассмотрим функцию на промежутке Найдём производную этой функции:

При любом значении справедливо неравенство Это значит, что на промежутке функция возрастает. В то же время замечаем, что функция на промежутке есть непрерывная функция, как сумма непрерывных функций. А это значит, что на левом конце этого промежутка при принимает своё наименьшее значение.

А так как то для любого т.е.

откуда

Пример 3. При каких действительных уравнение

имеет решение?

Найдём область определения данного уравнения, для чего решим систему:

Рассмотрим на отрезке функцию и найдём её производную:

Найдём точки, в которых эта производная на отрезке равна нулю,

Далее

и а значит, - единственная критическая точка.

Найдём значение функции в точке и на концах отрезка :

Учитывая, что функция непрерывна на отрезке , её наибольшее значение будет число , а наименьшее - число Так как функция непрерывна, то область её значений целиком лежит между наименьшим и наибольшим значениями и представляет отрезок Следовательно, , стоящее в правой части исходного уравнения, должно принимать значения из этого промежутка. Итак, исходное уравнение имеет решение при

В курсе алгебры и начал анализа учащиеся 10 класса начинают изучение тригонометрии. В связи с этим, на факультативных занятиях, целесообразно расширить круг рассматриваемых задач по некоторым темам курса (мы ограничимся рассмотрением уравнений и систем уравнений), поскольку достаточно часто на вступительных экзаменах по математике во многие российские вузы предлагаются задачи по курсу “Тригонометрия”, предполагающие при их решении использование нескольких теорий. Безусловно, их решение базируется на том теоретическом материале, который изучается в школе. Однако, необходимость применять эти знания в новых условиях зачастую ставит учащихся в тупик. Поэтому применение внутрипредметных связей при решении подобных задач является весьма эффективным средством преодоления обозначенных проблем.

Рассмотрим примеры.

Пример 4. Решить уравнение

Трудность решения этой задачи заключается в том, что школьники достаточно хорошо знакомы с методом решения однородных (сводящихся к однородным) уравнений второй степени. Но не смотря на это далеко не все учащиеся способны применить этот же метод к решению поставленной задачи, поскольку это уравнение четвёртой, а не второй степени (в этом заключается новизна той ситуации, в которую учитель ставит их этой задачей). На самом же деле решение этой задачи проводится по той же схеме, что и для уравнений второй степени.

Прежде всего (поскольку уравнение неоднородное), выясним, не являются ли значения, при которых решениями данного уравнения. Очевидно, что при уравнение обращается в верное равенство: 1=1. Следовательно, эти значения - решения уравнения.

Пусть далее Перепишем исходное уравнение в виде

а затем разделим обе части уравнения на Получим:

или

Используя далее тождество приходим к уравнению

Откуда

или,

Из первого уравнения совокупности находим Второе уравнение совокупности, очевидно, не имеет решений.

Пример 5. Решить уравнение

На первый взгляд это уравнение может показаться вполне безобидным. Однако, как будет видно из приведённого решения, это далеко не так (придётся вспомнить ранее изученный материал по теме “Функция и её свойства”, а также методы решения уравнений в целых числах).

Из уравнения следует, что (это непосредственно следует из самого уравнения и области определения функции , которую многие школьники просто забывают). Тогда уравнение можно переписать в виде

Произведя подстановку приходим к уравнению

Полученное уравнение является стандартной задачей школьного курса математики и его решение не составит труда. Получим

На следующем этапе решения задачи многие учащиеся могут допустить следующую ошибку: забыв о введённом условии они просто приравнивают найденное значение к выражению, заменённому нами на Здесь учителю следует обратить особое внимание учащихся на исследование полученных решений.

Так как а то из полученной серии решений следует выбрать только те решения, где Тогда

или

Произведём оценку выражения, стоящего под знаком радикала. Этот метод также может быть незнаком учащимся.

Имеем:

Откуда

поэтому из последнего уравнения следует, что может принимать только значения, равные 0 и 1.

Если то

откуда

Если то

или

Увлекшись решением, школьники могут совершенно забыть о введённом в самом начале решения условии которое, очевидно, устраняет два посторонних решения. Поэтому в ответ следует записать только

и

Рассмотрим примеры задач, реализующие внутрипредметные связи между материалом курса алгебры и геометрии 9 класса и материалом курса алгебры и начал анализа 10 класса.

Пример 6. Решить систему уравнений

Преобразуем систему:

В полученной системе сделаем замену переменных по формулам

В новых обозначениях система примет вид:

Подобные системы учащиеся решают в курсе алгебры 9 класса. Безусловно, полученная система уравнений не является слишком сложной и, пожалуй, её уровень низок для рассмотрения на факультативном занятии. Однако мы приводим эту задачу чисто из методических соображений: рассматривать эту задачу на факультативе следует до изучения систем тригонометрических уравнений на обычных уроках. Делается это с той целью, чтобы сломать у учащихся стереотип в решении систем тригонометрических уравнений, поскольку многие школьники при решении таких задач стараются решать их исключительно средствами тригонометрии, не догадываясь о рациональности (а порой, необходимости) перехода к алгебраической задаче.

Приведём краткое решение этой системы. Вполне очевидно, что задачу можно решить с помощью арифметических действий. Вычитая из первого уравнения второе, придём к системе

которая, в свою очередь, распадается на две системы

и

Решением первой системы, в силу условия является пара чисел Вторая же система вовсе не имеет решений.

Возвращаясь к старым переменным, получаем систему простейших тригонометрических уравнений

Нетрудно установить, что последняя система имеет решения вида

Заметим при этом, что учителю необходимо обратить внимание учащихся на следующий факт: если при решении тригонометрических уравнений в записи ответов можно использовать одни и те же буквы для обозначения целых параметров, фигурирующих в решении, то в системах тригонометрических уравнений это не допустимо (за исключением систем, содержащих линейную зависимость между переменными): это приводит к потере решений.

Пример 7. Решить уравнение

Решение этой задачи предполагает повторение материала, связанного с бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, при условии, что приведём уравнение к виду

или

откуда

Из первого уравнения совокупности находим - противоречие с условием

Рассмотрим второе уравнение. Поскольку уравнение равносильно уравнению , то в виду обозначенного условия равенство не возможно, и рассматриваемое уравнение можно переписать в виде

из которого следует, что

Пример 8. Решить уравнение

Применим к решению этого уравнения аппарат геометрии.

Пусть вектор вектор Очевидно, что

Уравнение принимает вид: Отсюда, в силу определения скалярного произведения, следует, что векторы коллинеарны, т. е. их координаты пропорциональны: Данное уравнение равносильно однородному уравнению которое в свою очередь равносильно уравнению откуда Рассмотрим для параметра два случая:

1. Тогда

2. Тогда

Легко видеть, что для первой серии значений неизвестной функции и положительны, а для второй серии - отрицательны, следовательно, уравнению могут удовлетворять только значения из первой найденной серии.

Рассмотренный пример призван не только освежить в памяти учащихся некоторые сведения из курса геометрии, но и продемонстрировать новый метод решения уравнений, который, во многих случаях, оказывается более удобным и рациональным при решении задач.

Пример 9. Найдите все значения параметра при которых не имеет решений уравнение

Легко убедиться, что исходное уравнение можно переписать в виде:

откуда



Проведём исследование полученного уравнения.

Если то имеем ложное равенство 0=6. Следовательно, данное значение параметра удовлетворяет условию задачи.

Пусть Тогда уравнение можно переписать в виде

Поскольку, в силу ограниченности функции , то уравнение не будет иметь решений в двух следующих случаях:

1.

2.

Рассмотрение двух последних случаев сводится к решению дробно-рациональных неравенств. Для учащихся 10-11 классов это является лишней (но нужной) возможностью повторить метод решения таких неравенств. Нетрудно убедиться, что первому случаю соответствуют значения а второму -

Объединяя все рассмотренные случаи, приходим к выводу, что требованию задачи удовлетворяют значения

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Отметим в заключении основные результаты, полученные в предлагаемой курсовой работе.

1. Проведён анализ психолого-педагогической и методической литературы. При этом установлена решающая роль задачи как основного средства обучения математике, рассмотрены различные подходы к определению понятия “задача”.

2. С опорой на научные исследования введено понятие внутрипредметных связей, рассмотрены основные виды внутрипредметных связей, проведён подробный разбор примеров, иллюстрирующих каждый из видов этих связей. Рассмотрена и отмечена методическая значимость применения внутрипредметных связей в школьном курсе математики.

3. Подробно проанализирована методика реализации внутрипредметных связей на различных этапах процесса обучения. При этом на каждом этапе обучения показана возможность применения внутрипредметных связей в различных классах при изучении многих разделов школьной математики. Разбор каждого из освещаемых вопросов сопровождается рассмотрением примеров, наглядно иллюстрирующих эффективность реализации внутрипредметных связей при обучении математике.

4. На конкретных примерах показана целесообразность применения внутрипредметных связей на факультативных занятиях по математике. Отмечены основные моменты, вызывающие наибольшие затруднения в процессе решения таких задач.

ЛИТЕРАТУРА

1. Аксёнов А.А. Теоретические основы реализации внутрипредметных связей посредством решения задач в классах с углублённым изучением математики: Дис…канд. пед. наук. - Орёл, 2000. - 160 с.

2. Балл Г.А. Теория учебных задач: Психолого-педагогический аспект. - М.: Педагогика, 1990. - 184 с.

3. Брушлинский А.В. Психология мышления и кибернетика. - М.: Мысль, 1970. - 202 с.

4. Гальперин П.Я. Психология мышления и учение о поэтапном формировании умственных действий. - М., 1966. - С.236 - 277.

5. Гурова Л.Л. Психологический анализ решения задач. - Воронеж: Изд-во Воронежск. ун-та, 1976. - 314 с.

6. Далингер В.А. Методика реализации внутрипредметных связей при обучении математике: Кн. для учителя. - М.: Просвещение, 1991. - 80 с.

7. Колягин Ю.М. Математические задачи как средство обучения и развития учащихся средней школы: Автореф. дис. … д-ра пед. наук. - М., 1977. - 55 с.