Методика навчання диференціальних рівнянь майбутніх вчителів математики в педагогічних університетах

1.2. Тестові завдання з множинним вибором. Вони передбачають принаймні три можливі відповіді (але не більше п'яти). Цей тип тестових завдань використовується у тих випадках, коли із запропонованих декількох відповідей лише одна є правильною

Тестові запитання відкритого типу

Тестові запитання відкритого типу передбачають вільні відповіді тих, хто тестується, по суті завдання без запропонованих варіантів відповідей. Той, хто тестується, має виконувати завдання згідно з власним баченням, яке має являти собою твердження з невідомою змінною.

РОЗДІЛ ІІ. МЕТОДИКА НАВЧАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ В ПЕДАГОГІЧНИХ УНІВЕРСИТЕТАХ

2.1 Розробка лекцій, практичних робіт, опорних конспектів

В цьому пункті другого розділу розроблені лекції, практичні роботи, опорні конспекти до змістовного модуля I «Основні поняття теорії диференціальних рівнянь. Рівняння з відокремлюючими змінними».

Методичні особливості вивчення змістовного модуля I «Основні поняття теорії диференціальних рівнянь. Рівняння з відокремлюючими змінними»

Основна мета вивчення модуля:

-- оволодіння студентами основними поняттями теорії диференціальних рівнянь, методами теорії звичайних диференціальних рівнянь першого порядку, однорідних, лінійних та рівнянь у повних диференціалах;

-- вироблення у студентів логічного й алгоритмічного мислення, необхідного для розв'язання задач, які пов'язані з теорією звичайних диференціальних рівнянь першого порядку, однорідних, лінійних та рівнянь у повних диференціалах;

-- прищеплення навичків дослідження динамічних математичних моделей практичних задач, їх розв'язання та вміння аналізувати отримані результати.

Теми лекцій, практичних занять та завдання для самостійної роботи для змістовного модуля I

Лекція 1. Диференціальні рівняння, основні визначення.

Звичайне диференціальне рівняння, рівняння в частинних похідних, порядок диференціального рівняння. Задачі, які приводять до звичайних диференціальних рівнянь.

Завдання для самостійної роботи: самостійне вивчення матеріалу з теми «Перспективи застосування диференціальних рівнянь у механіці і техніці» - 2 год. Література: [1-4].

Лекція 2. Диференціальні рівняння першого порядку.

Диференціальні рівняння першого порядку (загальні відомості). Розв'язок диференціального рівняння, загальний інтеграл і частинний розв'язок рівняння. Диференціальні рівняння із відокремлюючими змінними. Диференціальні рівняння із змінними, які відокремлюються.

Практичне заняття 1.

Диференціальні рівняння з відокремлюючими змінними.

Завдання для самостійної роботи: самостійне вивчення матеріалу з теми «Теорема Пікара. Варіанти теореми Пікара»- 2 год. Література: [1,3].

Лекція 3. Однорідні рівняння першого порядку.

Однорідна функція n-го порядку. Однорідні рівняння першого порядку.

Практичне заняття 2. Однорідні рівняння та рівняння, що зводяться до них.

Завдання для самостійної роботи: самостійне вивчення матеріалу «Геометрична інтерпретація рівнянь, розв'язаних відносно похідної» - 2 год. Література: [2-4].

Лекція 4. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.

Лінійні однорідні рівняння. Лінійні неоднорідні рівняння. Метод Лагранжа (метод варіації довільної змінної). Рівняння Бернуллі.

Практичне заняття 3. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку та рівняння, що зводяться до них (рівняння Бернуллі, метод Міндінг-Дарбу, рівняння Ріккаті).

Завдання для самостійної роботи: самостійне вивчення матеріалу лекції, інтегрування рівнянь, не розв'язаних відносно похідної - 2 год. Література: [1,3].

Лекція 5. Рівняння в повних диференціалах.

Загальні відомості про рівняння в повних диференціалах. Інтегруючий множник.

Практичне заняття 4. Рівняння в повних диференціалах (1) рівняння, які задані в повних диференціалах; 2) рівняння, які неявно задані в повних диференціалах.

Завдання для самостійної роботи: самостійне вивчення матеріалу з теми «Теорема Коші» - 2 год. Література: [1,2,5].

Логічна структура вивчення змістовного модуля I

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Короткий довідник з теми «Диференціальні рівняння I порядку»

Тип рівняння	Стандартна форма запису	Особливості	Метод розв'язування
З відокремлюючими змінними		При диференціалах - похідна функції, яка залежить одна від x, інша - від y
		Права частина - добуток функцій, які залежать одна від x, інша - від y
Однорідне		Права частина - однорідна функція нульового порядку
		- однорідні функції однакового порядку
В повних диференціалах
Лінійне		Першої степіні відносно та
		Першої степіні відносно та
Бернуллі		Відрізняється від лінійного правою частиною	Аналогічно лінійним

Розробка лекцій до змістовного модуля І

Лекція 1

Тема: «Диференціальні рівняння, основні визначення»

Мета:

– вивчення основних положень та визначень з теми «Диференціальні рівняння»;

– ознайомлення із виникненням та застосуванням диференціальних рівнянь;

– поглиблення, розширення знань, отриманих раніше при вивченні розділів диференціального і інтегрального числення з курсу математичного аналізу, алгебри та геометрії.

– розвиток наукового мислення та пам'яті;

– виховання культури математичного запису і мовлення.

При вивченні теми студенти повинні:

знати: означення диференціального рівняння та основні поняття, які його стосуються (види, порядок, степінь, розв'язок);

уміти: визначати диференціальне рівняння з переліку рівнянь, складати рівняння за умовою задачі, що приводить до диференціального рівняння;

здатні: знаходити невизначений інтеграл (з курсу математичного аналізу).

Основні поняття: диференціальне рівняння (ДР), звичайне ДР, ДР у частинних похідних, порядок ДР, степінь, розв'язок.

Обладнання: підручники, дидактичний матеріал (таблиці), креслярські матеріали, мультимедійний проектор, комп'ютер.

Час: 2 год.

План лекції

1. Поняття диференціального рівняння і його розв'язку.

2. Приклади задач, які приводять до диференціального рівняння.

Список літератури

1. Еругин Р.П. и др. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений.

2. Пономарев К.К. Составление дифференциальных уравнений.

3. Pudy A.E., Rakov S.A. Mathematical Analysis. Differential Equations.

4. Давидов М.О. Курс математичного аналізу: Підручник: У 3 ч. Ч. 2. Функції багатьох змінних і диференціальні рівняння. - 2-ге вид., перероб. і допов. - К.: Вища школа, 1991 - 336 с.

Текст лекції

1. Поняття диференціального рівняння і його розв'язку.

В диференціальному численні за заданою функцією одного чи більшого числа змінних вивчались властивості цієї функції (монотонність, випуклість і ін.). Однак більшість задач практичного застосування мають характер обернених: треба знайти функцію, яка б мала наперед задані властивості.

При вивченні фізичних явищ часто не вдається безпосередньо знайти закон, який зв'язує розглядувані величини, але в той же час порівняно легко встановлюється залежність між тими ж величинами і їх похідними або диференціалами.

І ті і другі задачі приводять до рівнянь, що містять невідомі функції під знаками похідних і диференціалів.

Означення 1. Рівняння, в яких невідома функція входить під знаком похідної або диференціала, називаються диференціальними рівняннями. Наприклад, диференціальними рівняннями є такі:

Означення 2. Якщо в диференціальному рівнянні невідома функція є функцією однієї незалежної змінної, то таке диференціальне рівняння називається звичайним.

У загальному випадку його можна записати у вигляді

(1)

де - незалежна змінна, - функція від , яка підлягає визначенню, - її похідні.

Означення 3. Якщо невідома функція, яка входить у диференціальне рівняння, є функцією двох і більшого числа незалежних змінних, то таке диференціальне рівняння називається рівнянням у частинних похідних.

Рівняння 1), 2) і 4) є звичайними диференціальними рівняннями, а 3) - рівняння в частинних похідних.

Означення 4. Порядком диференціального рівняння називається максимальний порядок похідної (або диференціала), що входить у нього.

Рівняння 1) і 4) є рівняннями першого порядку. Рівняння (1) - звичайне диференціальне рівняння ого порядку.

Означення 5. Якщо ліва частина рівняння (1) є многочленом відносно похідної максимального порядку від невідомої функції, то степінь цього многочлена називається степенем даного диференціального рівняння. Наприклад, рівняння

- п'ятого степеня другого порядку, а рівняння

- другого степеня третього порядку.

У диференціальному рівнянню (1) ого порядку незалежна змінна , шукана функція і її похідні до ого порядку включно в явному вигляді можуть бути, але можуть окремо або всі разом бути відсутніми. Наявність же в явному вигляді похідної ого порядку необхідна, щоб це рівняння було диференціальним. Наприклад, є диференціальним рівнянням третього порядку, хоча в ньому в явному вигляді й відсутні і .

Означення 6. Розв'язком диференціального рівняння (1) називається разів диференційована функція в інтервалі , яка, будучи підставленою в це рівняння, перетворює його в інтервалі в тотожність

.

Наприклад, функція є розв'язком рівняння

оскільки для всіх вона перетворює це рівняння в тотожність.

Справді, знайшовши похідні і підставивши функцію її похідні в рівняння, дістанемо тотожність

,

правильну для .

Розв'язати диференціальне рівняння - означає знайти всі його розв'язки. Ці розв'язки найчастіше приводять до обчислення невизначених інтегралів. Тому операція знаходження розв'язків диференціального рівняння називається інтегруванням цього рівняння. Задача інтегрування диференціального рівняння вважається розв'язаною, якщо цю задачу звести до більш простої і вже вивченої в курсі інтегрального числення задачі обчислення невизначених інтегралів.

2. Приклади задач, які приводять до диференціального рівняння.

Задача 1. Знайти криві, які мають ту властивість, що відрізок дотичної (проведеної в будь-якій її точці), який міститься між осями координат, ділиться точкою дотику навпіл.

Розв'язання. Нехай - довільна точка шуканої кривої (мал. 1).

Тоді . Оскільки , то маємо співвідношення

(2)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Мал. 1. Мал. 2.

яке зв'язує незалежну змінну , шукану функцію і її похідну , тобто дістали звичайне диференціальне рівняння першого порядку. Переписавши (2) у вигляді , а це останнє - у вигляді ,

маємо рівність . Звідси , і, отже,

, (3)

де . Шукані криві (3) є сім'єю гіпербол, для яких осі координат виконають роль асимптот.

Задача 2. Відомо, що швидкість розпаду радію пропорційна наявній його кількості.

Знайти закон, який виражає зміну кількості радію протягом часу, якщо відомо, що через 1600 років залишиться половина кількості радію. Розв'язання. Нехай - кількість радію в момент часу (час у роках). Оскільки швидкість зміни є похідною від за часом , то, згідно з умовою задачі,

. (4)

Тут задача привела до звичайного диференціального рівняння першого порядку.

Переписавши (4) у вигляді . А останнє у вигляді , маємо рівність

, (5)

де - стала.

Нехай у початковий момент кількість радію дорівнює . Підставляючи замість і в (5) відповідно і , дістанемо . Таким чином

або .

Коефіцієнт знаходимо з умови, що при :

.

Звідси .

Отже, кількість радію в момент часу визначається за формулою

.

Задача 3. З циліндричної посудини висотою і радіусом , повністю заповненою водою, через отвір площі , що міститься в його дні, витікає вода. За яким законом буде знижуватися рівень води в посудині протягом часу, якщо відомо, що швидкість витікання рідини з отвору залежить від висоти (Мал.3) стовпа рідини за формулою

,

де - прискорення вільного падіння.

Розв'язання. За проміжок часу від до висота рівня води в посудині знизиться з висоти до . За цей час з посудини витікає об'єм води, що дорівнює - . Такий же об'єм води витікає з отвору. Він дорівнює , де - довжина шляху, пройденого частинкою рідини з моменту до : , де - середня швидкість руху рідини за час .

Таким чином,

,

звідси ; де .

Переходячи до границі при , дістанемо диференціальне рівняння

,

яке зв'язує і .

З (6) маємо

або .

Звідси , де - довільна стала. Оскільки в момент рівень , то . Отже, або . Такий закон витікання рідини з отвору в дна посудини. Взявши , дістанемо

- час, протягом якого з посудини витікає вся рідина.

Лекція 2

Тема: «Диференціальні рівняння першого порядку»

Мета:

– вивчення основних положень та визначень з теми «Диференціальні рівняння першого порядку»;

– ознайомлення із видами диференціальних рівнянь першого порядку та методами їх розв'язування;

– розвиток візуального мислення та пам'яті;

– виховання математичної культури.

При вивченні теми студенти повинні:

знати: означення та види диференціальних рівнянь першого порядку;

уміти: визначати диференціальне рівняння першого порядку з переліку рівнянь, знаходити загальний та частинний інтеграл рівняння з відокремлюючими змінними за допомогою теореми Коші;

здатні: використовувати алгоритм розв'язування рівняння з відокремлюючими змінними.

Основні поняття: диференціальне рівняння першого порядку, загальний та частинний інтеграл, особливий розв'язок, рівняння з відокремлюючими змінними.

Обладнання: підручники, дидактичний матеріал (таблиці), креслярські матеріали, мультимедійний проектор, комп'ютер.

Час: 2 год.

План лекції

1. Загальні відомості про диференціальні рівняння першого порядку.

2. Диференціальні рівняння із відокремлюючими змінними.

3. Диференціальні рівняння із змінними, які відокремлюються.

Список літератури

1. Pudy A.E., Rakov S.A. Mathematical Analysis. Differential Equations.

2. Давидов М.О. Курс математичного аналізу: Підручник: У 3 ч. Ч. 2. Функції багатьох змінних і диференціальні рівняння. - 2-ге вид., перероб. і допов. - К.: Вища школа, 1991 - 336 с.

3. Еругин Р.П. и др. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений.

4. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.

Текст лекції

1. Загальні відомості про диференціальні рівняння першого порядку.

Означення 1. Диференціальне рівняння першого порядку має вигляд

.

Якщо це рівняння можна розв'язати відносно , то його можна записати у вигляді



Для такого рівняння справедлива наступна теорема, яка називається теоремою існування і одиничності розв'язку диференціального рівняння.

Теорема 1. Якщо в рівнянні функція і її частинна похідна по у неперервні в деякій області D на площині 0ху, яка містить деяку точку , то існує єдиний розв'язок цього рівняння ,
який задовольняє умові при .

Геометричний зміст теореми полягає в тому, що існує і притім єдина функція , графік якої проходить через точку .

Означення 2. Умова, що при функція у повинна дорівнюватися заданому числу , називається початковою умовою, або умовою Коші. Вона записується у вигляді

або .

Означення 3. Задача, у якій потрібно знайти частинний розв'язок рівняння , який задовольняє початковій умові , називається задачею Коші.

Означення 4. Загальним розв'язком диференціального рівняння першого порядку називається функція

яка залежить від однієї довільної сталої С і задовольняє наступним умовам:

а) вона задовольняє диференціальному рівнянню при будь-якому конкретному значенні сталої С;

б) яка б не була початкова умова при , тобто , можна знайти таке значення , що функція задовольняє даній початковій умові. При цьому передбачається, що значення і належать до тієї області зміни змінних х і у, у якій виконуються умови теореми існування й одиничності розв'язку.

У процесі знаходження загального розв'язку диференціального рівняння ми приходимо до співвідношення вигляду

не розв'язаному відносно у. Розв'язавши це співвідношення відносно у, одержуємо загальний розв'язок. Однак не завжди удається виразити у в елементарних функціях; у таких випадках загальний розв'язок залишається в неявному вигляді.

Означення 5. Рівність вигляду , яка неявно задає загальний розв'язок, називається загальним інтегралом диференціального рівняння.

Означення 6. Частинним розв'язком називається будь-яка функція , яка утворюється з загального розв'язку , якщо в останньому довільної сталої С придати визначене значення . Співвідношення називається в цьому випадку частинним інтегралом рівняння.

З геометричної точки зору загальний інтеграл являє собою сімейство кривих на координатній площині, яке залежить від однієї довільної сталої С. Ці криві називаються інтегральними кривими даного диференціального рівняння. Частинному інтегралу відповідає одна крива цього сімейства, яка проходить через деяку задану точку площини.

Вирішити або проінтегрувати диференціальне рівняння - значить:

а) знайти його загальний розв'язок або загальний інтеграл (якщо початкові умови не задані) або

б) знайти той частинний розв'язок рівняння, який задовольняє заданим початковим умовам (якщо такі є).

Означення 7. Особливим розв'язком називається такий розв'язок, у всіх точках якого умова одиничності не виконується, тобто в будь-якому околі кожної точки особливого розв'язку існують принаймні дві інтегральні криві, які проходять через цю точку.

Особливі розв'язки не утворюються з загального розв'язку диференціального рівняння ні при яких значеннях довільної сталої С (у тому числі і при ).

2. Диференціальні рівняння із відокремлюючими змінними

Означення 8. Диференціальне рівняння типу

називають рівнянням із відокремлюючими змінними, тому що в цьому рівнянні змінні відокремлені, тобто при знаходиться тільки функція від х, а при - тільки функція від у.

Інтегруючи обидві частини цього рівняння, одержимо співвідношення, яке зв'язує розв'язок у, незалежну змінну х і довільну сталу С, тобто одержимо загальний інтеграл рівняння

.

Приклад. Знайти загальний розв'язок рівняння

Розв'язок. , ,

.

3. Диференціальні рівняння із змінними, які відокремлюються.

Означення 9. Диференціальні рівняння, у яких змінні можна відокремити за допомогою множення або ділення обох частин рівняння на той самий вираз, називаються диференціальними рівняннями із змінними, які відокремлюються.

Це рівняння виду

.

Воно може бути приведене до рівняння із відокремленими змінними шляхом ділення обох його частин на вираз :

, або

.

Приклад. Знайти загальний розв'язок рівняння

.

Розв'язок. Відокремлюючи змінні, знаходимо:

,

Інтегруючи, отримаємо: або .

Останнє співвідношення є загальний інтеграл даного рівняння.

Приклад. Розв'язати задачу Коші

, .

Розв'язок. Відокремлюючи змінні, знаходимо:

.

Інтегруючи, отримаємо: ,

.

Одержали загальний інтеграл вихідного рівняння.

Розв'язавши останнє рівняння відносно у, знайдемо загальний розв'язок вихідного рівняння

, , .

Знайдемо частинний розв'язок, який задовольняє початковій умові .

, , ,

 - розв'язок задачі Коші.

Лекція 3

Тема: «Однорідні рівняння першого порядку»

Мета:

– вивчення основних положень та визначень з теми «Однорідні диференціальні рівняння першого порядку»;

– ознайомлення із методами розв'язування однорідних рівнянь першого порядку;

– поглиблення, розширення знань, отриманих раніше при вивченні диференціальних рівнянь, для розв'язування однорідних рівнянь;

– розвиток наукового мислення та пам'яті;

– виховання математичної культури.

При вивченні теми студенти повинні:

знати: означення та види однорідних рівнянь першого порядку, означення однорідної функції;

уміти: визначати однорідне рівняння першого порядку з переліку рівнянь, знаходити загальний та частинний розв'язок однорідного рівняння;

здатні: використовувати алгоритм розв'язування однорідних рівнянь першого порядку.

Основні поняття: однорідна функція, однорідне рівняння першого порядку.

Обладнання: підручники, дидактичний матеріал (таблиці), креслярські матеріали, мультимедійний проектор, комп'ютер.

Час: 2 год.

План лекції

1. Однорідна функція.

2. Однорідні рівняння першого порядку.

Список літератури

1. Pudy A.E., Rakov S.A. Mathematical Analysis. Differential Equations.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного.

3. Давидов М.О. Курс математичного аналізу: Підручник: У 3 ч. Ч. 2. Функції багатьох змінних і диференціальні рівняння. - 2-ге вид., перероб. і допов. - К.: Вища школа, 1991 - 336 с.

4. Еругин Р.П. и др. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений.

5. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.

Текст лекції

1. Однорідна функція.

Означення 1. Функція називається однорідною функцією n-го порядку щодо змінних х і у, якщо при будь-якому t справедлива тотожність

.

Приклад. - однорідна функція першого порядку, тому що

.

Приклад. - однорідна функція другого порядку, тому що

.

Приклад. - однорідна функція нульового порядку, тому що

2. Однорідні рівняння першого порядку.

Означення 2. Рівняння виду називається однорідним, якщо функції при і є однорідними однакового порядку.

Однорідне рівняння зводиться до вигляду і за допомогою заміни змінних , де , , або зводиться до рівняння із змінними, які відокремлюються.

Приклад. Розв'язати задачу Коші

, .

Розв'язок.

- однорідні функції першого порядку

, ,

, ,

,

, , , ,

- загальний розв'язок.

Знайдемо частинний розв'язок, який задовольняє початковій умові

: , .

- розв'язок задачі Коші.

Лекція 4

Тема: «Лінійні диференціальні рівняння першого порядку»

Мета:

– вивчення основних положень та визначень з теми «Лінійні диференціальні рівняння першого порядку»;

– ознайомлення із видами лінійних рівнянь першого порядку та методами їх розв'язування;

– поглиблення, розширення знань, отриманих раніше при вивченні диференціальних рівнянь, для розв'язування лінійних рівнянь;

– розвиток візуального мислення та пам'яті;

– виховання математичної культури.

При вивченні теми студенти повинні:

знати: означення та види лінійних рівнянь першого порядку, методи їх розв'язування;

уміти: визначати лінійне рівняння першого порядку з переліку рівнянь, знаходити загальний та частинний розв'язок лінійного рівняння як однорідного, так і неоднорідного;

здатні: використовувати алгоритм розв'язування лінійних рівнянь першого порядку.

Основні поняття: лінійне рівняння першого порядку (лінійне однорідне, лінійне неоднорідне), підстановка та рівняння Бернуллі, метод Лагранжа.

Обладнання: підручники, дидактичний матеріал (таблиці), креслярські матеріали, мультимедійний проектор, комп'ютер.

Час: 2 год.

План лекції

1. Загальні відомості про лінійні рівняння першого порядку.

2. Рівняння Бернуллі.

3. Метод Лагранжа (метод варіації довільної змінної) для розв'язку лінійних рівнянь першого порядку.

Список літератури

1. Pudy A.E., Rakov S.A. Mathematical Analysis. Differential Equations.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного.

3. Давидов М.О. Курс математичного аналізу: Підручник: У 3 ч. Ч. 2. Функції багатьох змінних і диференціальні рівняння. - 2-ге вид., перероб. і допов. - К.: Вища школа, 1991 - 336 с.

4. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.

Текст лекції

1. Загальні відомості про лінійні рівняння першого порядку.

Означення 1. Лінійним рівнянням першого порядку називається рівняння, що має вигляд

, (1)

де і - задані неперервні функції від х (або сталі).

Якщо , то рівняння називається лінійним однорідним.

Якщо , то рівняння називається лінійним неоднорідним.

Шукаємо розв'язок рівняння (1) у вигляді добутку двох функцій від х:

, (2)

. (3)

Підставивши у і в (1), маємо:

,

. (4)

Виберемо функцію такою, щоб

, (5)

, , ,

,

, .

Так як нам досить якого-небудь відмінного від нуля розв'язку рівняння (5), то за функцію візьмемо .

Підставляючи знайдене значення в (4), одержимо:

, , , .

Підставляючи й у (2), одержуємо розв'язок неоднорідного рівняння:

,

. (6)

Розв'язок однорідного рівняння можна записати у вигляді:

, , ,

, .

Приклад. Розв'язати рівняння

Розв'язок. Скориставшись (2), (3) , , маємо:

, .

Згідно методу виберемо функцію такою, щоб , тоді

, ,

.

, , , ,

.

Підставляючи й , одержуємо загальний розв'язок рівняння:

.

2. Рівняння Бернуллі

Означення 2. Рівнянням Бернуллі називається рівняня виду

або .

Рівняння Бернуллі відрізняється від лінійного правою частиною і зводиться до послідовності рівнянь з відокремлюючими змінними за тією ж схемою, що і лінійне, з підстановкою

або

Приклад 1. Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння

.

10. Визначаємо тип диференціального рівняння (таблиця 1):

- рівняння Бернуллі, де .

20. Запишемо підстановку:

.

30. Здійснимо підстановку в дане рівняння:

40. Запишемо послідовність рівнянь відносно функцій та . Згрупуємо перший і третій члени рівняння:

Виберемо функцію так, щоб вона перетворювалася в нуль дужку, отримаємо послідовність функцій:

50. Знайдемо функції та . Кожне з рівнянь послідовності є рівнянням з відокремлюючими змінними:

60. Запишемо загальний розв'язок диференціального рівняння:

3. Метод Лагранжа (метод варіації довільної змінної) для розв'язку лінійних рівнянь першого порядку

Суть методу полягає в тому, що спочатку знаходимо загальний розв'язок відповідного лінійного однорідного рівняння

Потім, вважаючи в цьому розв'язку сталу С функцією від х, шукаємо розв'язок лінійного неоднорідного рівняння у вигляді:

. (7)

Розв'язок (7) повинен задовольняти рівняння (1). Диференціюючи і підставляючи (7) в (1), маємо:

,

,

, ,

,

. (8)

Він співпадає з розв'язком (6).

Приклад. Розв'язати рівняння методом Лагранжа

Розв'язок. Розв'яжемо відповідне однорідне рівняння

, ,

, .

Вважаючи в цьому розв'язку сталу С функцією від х, шукаємо розв'язок лінійного неоднорідного рівняння у вигляді:

, .

Підставимо у вихідне рівняння у, і з отриманого диференціального рівняння знайдемо функцію :

,

, .

- загальний розв'язок.

Тому що , то - теж розв'язок вихідного рівняння.

Лекція 5

Тема: «Диференціальні рівняння в повних диференціалах»

Мета:

– вивчення основних положень та визначень з теми «Диференціальні рівняння в повних диференціалах»;

– ознайомлення із видами рівнянь в повних диференціалах та методами їх розв'язування;

– поглиблення, розширення знань, отриманих раніше при вивченні диференціальних рівнянь, для розв'язування рівнянь в повних диференціалах;

– розвиток наукового мислення та пам'яті;

– виховання математичної культури.

При вивченні теми студенти повинні:

знати: означення інтегруючого множника, означення та види рівнянь в повних диференціалах, методи їх розв'язування;

уміти: визначати рівняння в повних диференціалах з переліку рівнянь, знаходити інтегруючий множник для рівняння, яке зводиться до рівняння в повних диференціалах;

здатні: використовувати алгоритм розв'язування рівнянь в повних диференціалах.

Основні поняття: рівняння в повних диференціалах, інтегруючий множник.

Обладнання: підручники, дидактичний матеріал (таблиці), креслярські матеріали, мультимедійний проектор, комп'ютер.

Час: 2 год.

План лекції

1. Загальні відомості про рівняння в повних диференціалах.

2. Інтегруючий множник

Список літератури

1. Pudy A.E., Rakov S.A. Mathematical Analysis. Differential Equations.

2. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного.

4. Давидов М.О. Курс математичного аналізу: Підручник: У 3 ч. Ч. 2. Функції багатьох змінних і диференціальні рівняння. - 2-ге вид., перероб. і допов. - К.: Вища школа, 1991 - 336 с.

5. Еругин Р.П. и др. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений.

6. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.

Текст лекції

1. Загальні відомості про рівняння в повних диференціалах.

Означення 1. Рівняння називається рівнянням в повних диференціалах , якщо його ліва частина - повний диференціал деякої функції , тобто

.

Необхідною і достатньою умовою повного диференціала є рівність частинних похідних

Загальний інтеграл рівняння в повних диференціалах має вигляд

Де функція може бути знайдена за однією із формул:

Приклад 1. Вказати рівняння в повних диференціалах:

а)

10. Диференціальне рівняння записано в симетричній формі, де

,

20. Знайдемо частинні похідні:

,

30. Порівняємо частинні похідні. Так як , то рівняння є рівнянням в повних диференціалах.

б)

10. Диференціальне рівняння записано в симетричній формі, де

,

20. Знайдемо частинні похідні:

, .

30. Порівняємо частинні похідні. Так як , то рівняння є рівнянням в повних диференціалах.

Приклад 2. Знайти загальний інтеграл диференціального рівняння

10. Визначаємо тип рівняння (таблиця 1):

Запишемо рівняння в симетричній формі

, , ,

тоді

,

1.2 Знайдемо частинні похідні:

,

.

1.3. Порівняємо частинні похідні. Так як , то рівняння є рівнянням в повних диференціалах.

20. Запишемо формулу загального інтеграла:

30. Виберемо формулу для відшукання функції :

40. Знайдемо функцію :

50. Запишемо загальний інтеграл рівняння:

Приклад 3. Знайти загальний інтеграл диференціального рівняння

Відповідь:

Приклад 4. Серед рівнянь вказати те, яке є одночасно однорідним і в повних диференціалах:

а)

б)

в)

2. Інтегруючий множник

Нехай функції неперервні в області вигляду . Якщо для рівняння

(1)

умова не виконується в області , то це рівняння не буде рівнянням у повних диференціалах у цій області.

В цьому разі виникає питання, чи не можна підібрати функцію так, щоб після множення на неї рівняння (1) дістали рівняння

(1')

в повних диференціалах. Така функція називається інтегруючим множником диференціального рівняння (1).

Щоб функція , неперервна в однов'язній області разом зі своїми частинними похідними і , була інтегруючим множником рівняння (1), необхідно і достатньо, щоб для всіх точок виконувалась рівність

,

тобто

. (2)

Рівність (2) містить невідому функцію під знаком частинних похідних, тобто (2) є диференціальне рівняння в частинних похідних. Його розв'язання є задачею складнішою, ніж розв'язання рівняння (1). Однак задача по знаходженню інтегруючого множника значно спрощується, коли відомо, що він залежить від однієї незамкненої змінної або .

Припустимо, що рівняння (1) має інтегруючий множник, залежний тільки від . В цьому разі рівняння (2) набере вигляду

,

або ,

звідки . (3)

Оскільки є функцією однієї незалежної змінної , то вираз

 (4)

не повинен залежати від . Позначивши його через і припускаючи, що - неперервна функція в інтервалі , з (3) дістанемо

і, таким чином

, де . (5)

Покажемо, що коли вираз (4) справді не залежить від і є неперервною функцією від на інтервалі , то функція , задана рівністю (5), є інтегруючим множником рівняння (1).

Справді, для цього достатньо переконатись у справедливості рівності

(6)

для всіх точок . Маємо

,

,

тобто рівність (6) дійсно виконується в області .

В аналогічній спосіб можна показати, що коли вираз

не залежить від і є неперервною в інтервалі , то рівняння (1) має інтегруючий множник, незалежний від , який знаходиться за формулою

.

Розглянемо питання про еквівалентність рівнянь (1) і (1'). Якщо є інтегруючий множник рівняння (1), то рівняння

(7)

є рівнянням в повних диференціалах, тобто існує функція , повний диференціал якої дорівнює лівій частині цього рівняння:

. (8)

Загальний інтеграл рівняння (7) має вигляд

.

З (8) дістанемо

(9)

і, отже, ліва частина (9) може перетворитись у нуль не тільки при , але й при

. (10)

Якщо рівняння (10) задає як деяку функцію від або як деяку функцію від , то вона є розв'язком рівняння

(11)

що не міститься в загальному інтегралі рівняння (7).

Крім того, якщо рівняння

(12)

задає деяку функцію або , то з (7), видно, що ця функція ввійде в загальний інтеграл рівняння (5), однак може виявитись побічним розв'язком рівняння (11).

Таким чином, щоб дістати загальний інтеграл рівняння (11), треба взяти загальний інтеграл рівняння (7) і з нього вилучити ті розв'язки рівняння (12), які не є розв'язками рівняння (11), і додати ті розв'язки рівняння (10), які не є розв'язками рівняння (7).

Приклад 1. Розв'язати рівняння

(13)

Розв'язання. Тут Функції і неперервні в усій площині , однак умова не виконана і, отже, рівняння (13) не є рівнянням у повних диференціалах. Вираз (4) не залежить від і являє собою неперервну функцію від . Тому інтегруючий множник визначається за формулою (5)

.

Помноживши на цей множник праву і ліву частини рівняння (13), дістанемо рівняння в повних диференціалах

Функцію , повний диференціал якої дорівнює лівій частині останнього рівняння, знаходимо з рівнянь

З першого рівняння маємо

Звідси і з другого рівняння знаходимо

Таким чином, загальний інтеграл рівняння (13) має вигляд

Опорні конспекти лекцій змістовного модуля I

Лекція 1. Диференціальні рівняння, основні визначення

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекція 2. Диференціальні рівняння першого порядку

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекція 3. Однорідні рівняння першого порядку

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекція 4. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекція 5. Диференціальні рівняння в повних диференціалах

Розробка практичних занять для змістовного модуля І

Практичне заняття 1

Тема: «Диференціальні рівняння з відокремлюючими змінними»

Мета:

– вироблення вмінь та удосконалення навичок розв'язувати загальні диференціальні рівняння з відокремлюючими змінними;

– вироблення вмінь зводити диференціальне рівняння до рівняння з відокремлюючими змінними;

– розвиток продуктивного мислення;

– виховання математичної культури.

При вивченні теми студенти повинні:

знати: означення диференціального рівняння з відокремлюючими змінними, методи їх розв'язування;

уміти: застосовувати знання для розв'язування рівняння з відокремлюючими змінними, зводити рівняння до рівняння з відокремлюючими змінними;

здатні: розв'язувати загальні рівняння з відокремлюючими змінними.

Обладнання: підручники, дидактичний матеріал (таблиці), картки із самостійною роботою, мультимедійний проектор, комп'ютер.

Час: 2 год.

План заняття

I. Організаційний момент.

II. Актуалізація опорних знань (термінологічний диктант).

III. Вироблення вмінь та навичок.

IV. Контроль.

Список літератури

1. Pudy A.E., Rakov S.A. Mathematical Analysis. Differential Equations.

2. Давидов М.О. Курс математичного аналізу: Підручник: У 3 ч. Ч. 2. Функції багатьох змінних і диференціальні рівняння. - 2-ге вид., перероб. і допов. - К.: Вища школа, 1991 - 336 с.

3. Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям.

4. Самойленко Ф.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения, примеры и задачи.

5. Филиппов А.Ф. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям.

Хід заняття

I. Привітання із студентами, повідомлення мети й завдань заняття, перевірка присутніх.

II. Мета етапу: визначення рівня засвоєння теоретичного матеріалу студентами та рівня підготовки до практичного заняття.

Термінологічний диктант. Викладач називає терміни, які студенти вивчали на першій та другій лекції, вони записують відповіді. Після закінчення - взаємоперевірка (сусід перевіряє у сусіда), правильні відповіді на проекторі.

Перший варіант 1. Яке рівняння називається диференціальним? 2. Записати загальний вид диференціального рівняння першого порядку. 3. Що називається інтегральною кривою диференціальне рівняння у' =F (х; у)? 4. Що називається загальним розв'язком диференціального рівняння у' =F (х; у)?	Другий варіант 1. Яке диференціальне рівняння називається рівнянням першого порядку? 2. Записати загальний вид диференціального рівняння. 3. Що називається розв'язком диференціального рівняння у' =F (х; у)? 4. Як із загального розв'язку одержати частинний розв'язок?

5. Яке диференціальне рівняння називається рівнянням з відокремлюючими змінними?

III. Мета етапу: вироблення вмінь та удосконалення навичок розв'язувати загальні диференціальні рівняння з відокремлюючими змінними.

Розв'язування задач та вправ.

1. Знайти загальний розв'язок рівняння

Розв'язування.

- загальний розв'язок рівняння.

2. Знайти сім'ю розв'язків рівняння .

Розв'язування. Розглянемо рівняння

(1)

Його права частина f (х0; у0) неперервна при у0, тобто у верхній півплощині, включаючи вісь, Ох (область D'1). Функція неперервна при у>0, тобто у верхній півплощині, виключаючи вісь Ох (область D1). Рівняння (1) має сім'ю розв'язків:

, , (2)

де С - довільна стала. Формула (2) називається загальним розв'язком рівняння (1). Тоді у = (х+с)2, при чому х+с>Q. В півплощині у>0 функція у = (х+с)2 є розв'язком початкового рівняння.

3. Знайти загальний інтеграл диференціального рівняння (відповідь представити у вигляді )

Розв'язування.

5. Знайти загальний інтеграл диференціального рівняння.

Розв'язування.

Вводимо заміну

6. Знайти загальний інтеграл диференціального рівняння

Розв'язування.

Нехай

Вводимо заміну

IV. Мета етапу: перевірка базових вмінь та навичок студентів знаходити загальний інтеграл функції (з курсу математичного аналізу).

Самостійна робота (за варіантами). Перевіряється викладачем, результати оголошуються на наступному занятті.

1. Обчислити невизначені інтеграли: А) Б) 2. Знайти площу фігури, яка обмежена графіками функцій.	1. Обчислити невизначені інтеграли: А) Б) 2. Знайти площу фігури, яка обмежена графіками функцій.

Домашнє завдання: за підручником [1] розв'язати на ст. 11 (P.L. 1.1.) № 1 (10-15), № 2 (9-12).

Практичне заняття 2

Тема: «Однорідні рівняння та рівняння, що зводяться до них»

Мета:

– вироблення вмінь та удосконалення навичок розв'язувати загальні однорідні диференціальні рівняння та рівняння, що зводяться до них;

– вироблення вмінь зводити диференціальне рівняння до однорідного рівняння;

– розвиток продуктивного мислення;

– виховання математичної культури.

При вивченні теми студенти повинні:

знати: означення диференціального однорідного рівняння, методи його розв'язування;

уміти: застосовувати знання для розв'язування однорідного рівняння та рівняння, що зводиться до нього;

здатні: розв'язувати загальні однорідні рівняння.

Обладнання: підручники, дидактичний матеріал (таблиці), картки із самостійною роботою, мультимедійний проектор, комп'ютер.

Час: 2 год.

План заняття

I. Організаційний момент.

II. Актуалізація опорних знань (тестові завдання).

III. Вироблення вмінь та навичок.

IV. Контроль.

Список літератури

1. Pudy A.E., Rakov S.A. Mathematical Analysis. Differential Equations.

2. Давидов М.О. Курс математичного аналізу: Підручник: У 3 ч. Ч. 2. Функції багатьох змінних і диференціальні рівняння. - 2-ге вид., перероб. і допов. - К.: Вища школа, 1991 - 336 с.

3. Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям.

4. Самойленко Ф.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А.Дифференциальные уравнения, примеры и задачи.

5. Филиппов А.Ф. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям.

Хід заняття

I. Привітання із студентами, повідомлення мети й завдань заняття, перевірка присутніх, оголошення й аналіз результатів самостійної роботи.

II. Мета етапу: визначення рівня засвоєння теоретичного матеріалу студентами та рівня підготовки до практичного заняття.

Студенти разом з викладачем обговорюють наступну задачу.

Задача 1. Серед даних рівнянь вказати однорідні диференціальні рівняння:

а) ; в) ;

б) ; г) .

Розв'язуємо перше рівняння:

а) .

10. Перетворюємо диференціальне рівняння. Розділимо обидві частини рівняння на ; для виразу в дужках застосовуємо властивість, отримаємо:

.

20. Права частина перетвореного диференціального рівняння

є функцією нульового порядку однорідності так, як

,

то диференціальне рівняння є однорідним.

б) .

10. Перетворюємо диференціальне рівняння. Розділимо обидві частини рівняння на ; виразимо , отримаємо:

.

20. Права частина перетвореного диференціального рівняння

є функцією нульового порядку однорідності так, як

,

то диференціальне рівняння є однорідним.

в) .

10. Перетворюємо диференціальне рівняння. Розділимо обидві частини рівняння на ; виразимо , отримаємо:

.

20. Права частина перетвореного диференціального рівняння

є функцією нульового порядку однорідності так, як

,

то диференціальне рівняння є однорідним.

г) .

10. Перетворюємо диференціальне рівняння. Розділимо обидві частини рівняння на ; виразимо , отримаємо:

, ,

20. Права частина перетвореного диференціального рівняння

не є функцією нульового порядку однорідності так, як

,

то диференціальне рівняння не є однорідним.

Так отримали відповідь: а), б), в).

Цим самим студенти не лише актуалізують знання, але й вироблять алгоритм зведення рівняння до однорідного.

III. Мета етапу: вироблення вмінь та удосконалення навичок розв'язувати загальні однорідні диференціальні рівняння та рівняння, що зводяться до них.

Розв'язування задач та вправ.

Задача 1 (розв'язують всі разом): розв'язати рівняння

Розв'язування. Перевіряємо чи є дане рівняння однорідним:

Як бачимо, дане рівняння - однорідне.

тоді

- загальний розв'язок.

Особливих розв'язків не має.

Далі викладач розділяє студентів на дві групи, кожна з яких розв'язує одне рівняння, але розв'язує досить детально, розписуючи кожен крок. Після чого викладач навмання викликає одного студента з підгрупи, який доповідає по розв'язуванню. Оцінюється робота за виступом доповідача та зробленою роботою кожного учасника.

Завдання і розв'язання першої групи	Завдання і розв'язання другої групи
	Робимо заміну:

IV. Мета етапу: перевірка вмінь та навичок студентів розв'язувати рівняння з відокремлюючими змінними.

Самостійна робота (за варіантами). Перевіряється викладачем, результати оголошуються на наступному занятті.

Перший варіант 1.Розв'язати диференціальне рівняння: 2. Знайти загальний інтеграл рівняння: при .	Другий варіант 1.Розв'язати диференціальне рівняння: 2. Знайти загальний інтеграл рівняння:

Домашнє завдання: за підручником [1] розв'язати на ст. 27 (P.L.1.3) №1(13-20).

Практичне заняття 3

Тема: «Рівняння, що зводяться до лінійних»

Мета:

– вироблення вмінь та удосконалення навичок на основі лінійних рівнянь розв'язувати загальні диференціальні рівняння, що зводяться до лінійних (рівняння Бернуллі, Ріккаті, Міндінг-Дарбу);

– вироблення вмінь зводити диференціальне рівняння до лінійного рівняння;

– розвиток продуктивного мислення;

– виховання математичної культури.

При вивченні теми студенти повинні:

знати: означення диференціального лінійного рівняння та рівняння, що зводиться до нього, методи їх розв'язування;

уміти: застосовувати знання для розв'язування лінійних рівнянь та рівнянь, що до них зводяться;

здатні: розв'язувати загальні рівняння, що зводяться до лінійних.

Обладнання: підручники, дидактичний матеріал (таблиці), креслярські матеріали, мультимедійний проектор, комп'ютер.

Час: 2 год.

План заняття

I. Організаційний момент.

II. Вироблення вмінь та навичок (виступи із заздалегідь підготовлені доповідями).

III. Контроль.

Список літератури

1. Pudy A.E., Rakov S.A. Mathematical Analysis. Differential Equations.

2. Давидов М.О. Курс математичного аналізу: Підручник: У 3 ч. Ч. 2. Функції багатьох змінних і диференціальні рівняння. - 2-ге вид., перероб. і допов. - К.: Вища школа, 1991 - 336 с.

3. Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям.

4. Самойленко Ф.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения, примеры и задачи.

5. Филиппов А.Ф. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям.

Хід заняття

I. Привітання із студентами, повідомлення мети й завдань заняття, перевірка присутніх, оголошення й аналіз результатів самостійної роботи.

II. Мета етапу: вироблення вмінь та удосконалення навичок розв'язувати загальні диференціальні рівняння, що зводяться до лінійних.

Заздалегідь студенти були розділені на три групи, кожна з яких готувала доповіді про види рівнянь, які зводяться до лінійних.

Виступ повинен містити: загальний вид рівняння та приклади розв'язування.

Оцінювання включає в себе: зміст виступу (оцінка - «4») та відповіді на додаткові запитання групи та викладача (оцінка - «5»).

Виступ групи №1. «Рівняння Бернуллі»

Рівняння Бернуллі має вид

Розв'язування задач.

Задача 1.

При розв'язуванні рівняння Бернуллі краще зразу використати підстановку Бернуллі:

Отож,



Задача 2.

Застосовуємо підстановку Бернуллі

Виступ групи №2. «Рівняння Міндінг-Дарбу»

Рівняння Міндінг-Дарбу має вид де виміру , виміру . При розв'язуванні роблять заміну і розв'язують як однорідне диференціальне рівняння.

Розв'язування задач.

Задача 1.

Робимо заміну: . Звідки ,

Методом невизначених коефіцієнтів знайшли невідомі:

Задача 2.

Робимо заміну: . Звідки ,

або

1. Виступ групи №2. «Рівняння Ріккаті»

Рівняння Ріккаті має загальний вид .

Звернути увагу!!!! - обов'язковий елемент рівняння.

Для кожного виду рівняння Ріккаті існує своя підстановка:

або , або

Щоб визначити, яку підстановку вибирати - треба перевіряти.

Розв'язування задач.

Задача 1.

Вибираємо підстановку: .

Тоді .

Тому звідки:

Підставляємо:

III. Мета етапу: перевірка вмінь та навичок студентів розв'язувати однорідні диференціальні рівняння та рівняння з відокремлюючими змінними.

Самостійна робота (за варіантами). Перевіряється викладачем, результати оголошуються на наступному занятті.

Перший варіант 1.Розв'язати диференціальне рівняння: 2. Знайти загальний інтеграл рівняння:	Другий варіант 1.Розв'язати диференціальне рівняння: 2. Знайти загальний інтеграл рівняння:

Домашнє завдання: за підручником [1] розв'язати на ст. 35 (P.L.1.4.) №1(15-21)

Практичне заняття 4

Тема: «Рівняння в повних диференціалах»

Мета:

– вироблення вмінь та удосконалення навичок розв'язувати рівняння в повних диференціалах та рівняння, що зводяться до них;

– вироблення вмінь зводити диференціальне рівняння до рівняння в повних диференціалах за допомогою інтегруючого множника;

– розвиток продуктивного мислення;

– виховання математичної культури.

При вивченні теми студенти повинні:

знати: означення інтегруючого множника, означення рівняння в повних диференціалах, методи його розв'язування;

уміти: застосовувати знання для розв'язування рівняння в повних диференціалах та рівняння, що зводиться до нього за допомогою інтегруючого множника;

здатні: розв'язувати рівняння в повних диференціалах.

Обладнання: підручники, дидактичний матеріал (таблиці), картки із самостійною роботою, мультимедійний проектор, комп'ютер.

Час: 2 год.

План заняття

I. Організаційний момент.

II. Вироблення вмінь та навичок.

III. Контроль.

Список літератури

1. Pudy A.E., Rakov S.A. Mathematical Analysis. Differential Equations.

2. Давидов М.О. Курс математичного аналізу: Підручник: У 3 ч. Ч. 2. Функції багатьох змінних і диференціальні рівняння. - 2-ге вид., перероб. і допов. - К.: Вища школа, 1991 - 336 с.

3. Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям.

4. Самойленко Ф.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения, примеры и задачи.

5. Филиппов А.Ф. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям.

Хід заняття

I. Привітання із студентами, повідомлення мети й завдань заняття, перевірка присутніх, оголошення й аналіз результатів самостійної роботи.

II. Мета етапу: вироблення вмінь та удосконалення навичок розв'язувати рівняння в повних диференціалах та рівняння, що зводяться до них.

Розв'язування вправ.

Задача 1. Знайти загальний інтеграл диференціального рівняння першого порядку:



а) Перевіримо чи є це рівняння рівнянням в повних диференціалах вигляду P(x; y)dx + Q(x; y)dy = 0.

Якщо , а , то

, тобто

Таким чином, рівняння є рівнянням в повних диференціалах, де ліва частина представляє собою повний диференціал деякої функції F(х;у): dF(х;

у) = dx + dy. Тобто , то

.

Із першого рівняння знайдемо: .

Диференціюємо по y та підставляємо в друге рівняння:

Тоді остаточно отримаємо:

Задача 2. Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння.

Задача 3. Розв'язати методом інтегрувального множника.

, коли функція залежить від , то навпаки.

Умова не виконується. Робимо припущення, що існує множник .



Множимо на ліву та праву частини

III. Мета етапу: перевірка вмінь та навичок студентів розв'язувати диференціальні однорідні та лінійні рівняння, рівняння з відокремлюючими змінними. Самостійна робота (за варіантами). Перевіряється викладачем, результати оголошуються на здачі модуля (практичної частини).

Перший варіант 1.Розв'язати диференціальні рівняння: А) ; Б) , 2. Знайти загальний інтеграл рівняння:	Другий варіант 1.Розв'язати диференціальні рівняння: А) ; Б) , 2. Знайти загальний інтеграл рівняння:

Домашнє завдання: за підручником [1] розв'язати на ст. 43 (P.L.1.5.) №1 (16-26)

Семантичний конспект до змістовного модуля I

Диференціальні рівняння, основні визначення

ь рівняння, в яких невідома функція входить під знаком похідної або диференціала, називаються диференціальними рівняннями;

ь якщо в диференціальному рівнянні невідома функція є функцією однієї незалежної змінної, то таке диференціальне рівняння називається звичайним;

ь якщо невідома функція, яка входить у диференціальне рівняння, є функцією двох і більшого числа незалежних змінних, то таке диференціальне рівняння називається рівнянням у частинних похідних;

ь порядком диференціального рівняння називається максимальний порядок похідної (або диференціала), що входить у нього;

ь розв'язком диференціального рівняння називається разів диференційована функція в інтервалі , яка, будучи підставленою в це рівняння, перетворює його в інтервалі в тотожність ;

ь розв'язати диференціальне рівняння - означає знайти всі його розв'язки;

ь операція знаходження розв'язків диференціального рівняння називається інтегруванням цього рівняння;

ь задача інтегрування диференціального рівняння вважається розв'язаною, якщо цю задачу звести до більш простої і вже вивченої в курсі інтегрального числення задачі обчислення невизначених інтегралів.

Диференціальні рівняння першого порядку

ь диференціальне рівняння першого порядку має вигляд;

ь якщо в рівнянні функція і її частинна похідна по у неперервні в деякій області D на площині 0ху, яка містить деяку точку , то існує єдиний розв'язок цього рівняння ,
який задовольняє умові при ;

ь умова, що при функція у повинна дорівнюватися заданому числу , називається початковою умовою, або умовою Коші: або ;

ь задача, у якій потрібно знайти частинний розв'язок рівняння , який задовольняє початковій умові , називається задачею Коші;

ь загальним розв'язком диференціального рівняння першого порядку називається функція ;

ь рівність вигляду , яка неявно задає загальний розв'язок, називається загальним інтегралом диференціального рівняння;

ь частинним розв'язком називається будь-яка функція , яка утворюється з загального розв'язку , якщо в останньому довільної сталої С придати визначене значення ;

ь співвідношення називається в цьому випадку частинним інтегралом рівняння;

ь вирішити або проінтегрувати диференціальне рівняння - значить:

а) знайти його загальний розв'язок або загальний інтеграл (якщо початкові умови не задані) або

б) знайти той частинний розв'язок рівняння, який задовольняє заданим початковим умовам (якщо такі є);

ь особливим розв'язком називається такий розв'язок, у всіх точках якого умова одиничності не виконується, тобто в будь-якому околі кожної точки особливого розв'язку існують принаймні дві інтегральні криві, які проходять через цю точку.

Диференціальні рівняння із відокремлюючими змінними

ь диференціальне рівняння типу