Формирование прочных навыков усвоения решения задач с параметрами

F(a;)

2.На множестве {a|f(a)?0,D?0} для многочлена F(a;x)= f(a)x²+g(a)x+h(a) число располагается левее общих решений f₁(a) и f₂(a) для тех и только тех значений параметра, для которых f(a)F(a;)>0 и .

а) б) y

y

F(a;)

f₂(a) f₁(a) f₁(a) f₂(a) x

x

F(a;)

3.На множестве {a|f(a)?0,D?0} для многочлена F(a;x)= f(a)x²+g(a)x+h(a) число располагается правее общих решений f₁(a) и f₂(a) для тех и только тех значений параметра, для которых f(a)F(a;)>0 и .

а) y б) y

F(a;)

f₂(a) f₁(a)

x f₁(a) f₂(a) x

F(a;)

Пример 5. В уравнении (а-1)х2-2(а+1)х+а-3=0 найти все значения а, для которых его корни удовлетворяют одному из следующих условий:

а)имеют разные знаки;

б)принадлежат промежутку (-1;5);

в)лишь меньший из корней уравнения располагается между корнями уравнения х2-5х+6=0.

Решение. По условию для искомых значений параметра соответствующие частные уравнения являются квадратными и имеют два различных корня. Тогда а-1?0 и D=8 (3а -1) >0.

а) На множестве {а /а (;1)(1; )} корни х1 и х2 имеют разные знаки, если =0 располагается между ними. Это возможно только в случае, когда для F(a;x)= (a-1)x 2-2(a+1)x+a-3 справедливо (а-1) F(а;0)<0,или (а-1) (а-3)<0. Отсюда ,для а (1;3) соответствующие частные уравнения имеют корни разных знаков.

б) На множестве {а /а (;1)(1;)} корни х1 и х2 принадлежат промежутку (-1;5), если -1<х1<х2<5. Это означает, что 1=-1 располагается левее х1 и х2 , а 2=5- правее.

Число 1=-1 меньше х1 и х2 лишь в случае, когда

Число 2=5 больше х1 и х2 только, если

Поскольку F(a;-1)=(a-1)+2(a+1)+(a-3)=4a-2; F(a;5)=25(a-1)-10(a+1)+(a-3)=16a-38, то условие -1<х1<х2<5 выполняется при , то есть на множестве {a|a(;)}.

в) корни уравнения х2-5х+6=0 - числа 3=2 и 4=3. Тогда условие 2<х1<3<х2 выполняется для тех значений параметра из множества {а /а (;1)(1;)}, которые являются решением системы или .

Система не имеет решений, то есть условие 2<х1<3<х2 не выполняется ни в одном из частных неравенств.

II.6 Этапы работы над задачей с параметром

Как видно из рассмотренных примеров, квадратные уравнения с параметром весьма разнообразны по своему содержанию. Техника работы с квадратным трехчленом, основные идеи, связанные с квадратным трехчленом, играют важную роль при решении задач с параметрами. Поэтому очень важно в таких задачах выделять этапы решения, которые помогут прийти к какому-либо выводу. Итак, необходимо выполнить 4 этапа:

1) Знакомство с условием задачи;

2) Поиск метода решения, выбор конкретного метода и составление плана реализации;

3) Реализация плана решения;

4) Анализ решения и его улучшение.

Раскроем более подробно каждый из этапов.

1) Знакомство с условием задачи. На данном этапе должны быть задействованы чувства, воля, интеллект решателя. Некоторые из действий отражены в следующей блок-схеме.



Знакомство с условием задачи.

Выделение признаков условия. Запись задания.	Выделение различных объектов задания и выявление связи друг с другом, а так же с известными объектами.	Определение частей ситуации, которые знакомы, и возможные направления использования.

Осознание новой ситуации и переход к основному этапу поиска метода решения задачи.

На данном этапе желательно рассмотреть объекты, которые фигурируют в уравнении (здесь требуется рассмотреть одночлены, степень неизвестного и тому подобное).

Выделенной на данном этапе информации бывает недостаточно, поэтому нужна новая, поиск ее будет осуществляться на втором этапе.

2) Поиск метода решения и составление плана. Выбор метода и возможность его применения увидеть не всегда удается, ибо требуется видоизменить уравнение, получить новые следствия из условия, применить известные теоретические положения, учесть индивидуальные особенности уравнения, вспомнить аналогичные задания, проявить догадку. Действия решателя в этом случае могут быть представлены в произвольной форме. Один из вариантов отражен в следующей блок-схеме.



1

Ситуация знакома.	Получение следствий.	Введение дополнительных объектов.	Выделение индивидуальных особенностей ситуации.	Примерка методов решения задач.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

План решения задач.

2

Этап поиска метода решения и составления плана решения:

1) Группировка.

2) Добавление новых членов.

3) Представление в виде суммы.

4) Перенос из одной части в другую.

5) Преобразования.

6) Применение формул.

7) Замена.

8) Формулировка частных задач.

9) Угадывание.

10) Переформулировка.

11) Преобразование.

12) Получение следствий.

3) Этап реализации плана решения. Действия решателя могут быть представлены в следующей блок-схеме.



2

Выполнение отдельных пунктов плана

Обоснование выполнимости действий

Самоконтроль и внесение необходимых корректур
1	2	3	4	5

Запись ответа

3

Этап реализации плана решения:

1) Полная проверка корней.

2) Решение уравнения другим методом.

3) Самопроверка на основе теории.

4) Выполнение обратных действий.

5) Проверка выкладок.

4) Анализ решения и его улучшение. К сожалению, в большинстве случаев школьники ограничиваются тремя этапами работы над задачей. Но если школьник действительно хочет научиться решать задачи, то требуется уделить особое внимание завершающему этапу работы над задачей. Здесь существенно осознать: в чем была основная трудность поиска метода решения, что помогло найти его, как использовать опыт решения в дальнейшем и тому подобное. Другие действия отражены в следующей блок-схеме.



3

Анализ решения.

Какие трудности встретились.	Что помогло найти решение.	Какие были допущены ошибки.	Как удалось найти и исправить.

Установление недочетов оформления.
Упрощение решения.	Более четкое изложение.

Другие методы решения задач (упущенные возможности).

Новые задачи.
1	2	3	4

Систематизация опыта.
5	6	7	8

Анализ решения:

1) Интересные частные случаи.

2) Аналогичные задачи.

3) Обобщение задачи.

4) Обратные задачи.

5) О решении уравнения в целом.

6) О методе решения (и его поиске).

7) Способ распознавания.

8) Отражение в справочнике.



III. Система упражнений для отработки навыков решения задач с параметрами

III.1 Классификация задач на решение линейных уравнений с параметром

1.1 Исследование решений линейных уравнений в зависимости от установленных значений параметра

Пример 1. Выясните, имеет ли корни уравнение при заданном значении а: 4х-а=4х+4 при а=-2.

Решение. Преобразуя данное уравнение, получим -а=4. Подставим значение а в уравнение -(-2)=4; 2=4. Получим ложное равенство. Следовательно, при а=-2 уравнение корней не имеет.

Ответ. нет корней.

Пример 2. Выясните имеет ли корни уравнение при заданном значении а: 5х+а=4х+1 при а=3.

Решение. Преобразуя данное уравнение, получим х=1-а. подставим значение а в уравнение х=1-3; х=-2. При а =3 уравнение имеет единственный корень х=-2.

Ответ. х=-2.

Пример 3. Найдите число а такое, чтобы уравнение 5х-4=3х+а имело корень х=1.

Решение. Преобразуя данное уравнение, получим 2х-4=а. подставим значение х в уравнение: 2*1-4=а; а=-2.

Ответ. а=-2.

1.2 Поиск решения линейных уравнений с параметром

Пример 1. Решить уравнение ах=1.



Решение. На первый взгляд представляется возможным сразу дать ответ:

х=. Однако при а=0 данное уравнение решений не имеет, и верный ответ выглядит так:

Ответ. если а=0, то нет решений; если а?0, то х=.

Пример 2. Решить уравнение (а-2)х=10-5х относительно х.

Решение. (а-2)х+5х=10.

х(а+3)=10.

Если а=-3, то х*0=10- неверное равенство.

Если а?-3, то х=.

Ответ. если а=-3, решений нет; если а?-3, то х=.

Пример 3. Решить уравнение (а²-1)х=а+1.

Решение. 1) а=1, уравнение не имеет решений;

2) а=-1, хR;

3) а?1, х=.

Ответ. если а=-1,то х- любое; если а=1, то нет решений; если а?1, то х=.

Пример 4. Решить уравнение ах+а+3=2а+5.

Решение. Решение этого уравнения требует вначале преобразований: ах=2а+5-а-3. ах=а+2. Если а=0, то 0=2 не верно. Следовательно, уравнение не имеет корней. Если а?0, то х=.

Ответ. если а=0, то решений нет; если а?0, то х=.

Пример 5. Решить уравнение 3х-4(х-а)=4+а.

Решение. 3х-4х+4а=4+а.

-х=-4а+4+а.

-х=-3а+4|*(-1).

х=3а-4.

аR.

Ответ. аR, х=3а-4.

Пример 6. При каждом значении а решите уравнение а(х-2)=4(х+2).

Решение. ах-2а=4х+8.

х(а-4)=2а+8.

Если а=4, то х*0=16, корней нет.

Если а?4, то х=.

Ответ. Если а=4, то корней нет; если а?4, то х=.

Пример 7. При каждом значении а решите уравнение а²х-7=7а+х.

Решение. х(а²-1)=7+7а.

Если а=1, то х*0=14, то есть корней нет.

Если а=-1, то х*0=0, то есть хR.

Если а?, то х=.

Ответ. Если а=1, то корней нет; если а=-1, то хR; если а?1, то х=.

Пример 8. Решить уравнение а²х=а(х+2)-2.

Решение. а(а-1)х=2(а-1).

Если а=1, то 0*х=2*0, то есть хR.

Если а=0, то 0*х=-2, корней нет.

Если а?0 и а?1, то х=.

Ответ. Если а=0, корней нет; если а=1, хR; если а?0 и а?1, то х=.

Пример 9. Решить уравнение а²(х-2)-3а=х+1.

Решение. (а²-1)х-2а²-3а-1=0.

(а²-1)х=2а²+3а+1.

х(а-1)(а+1)=2(а+1)(а+0,5).

Если а=1, то х*0=6, то есть корней нет.

Если а=-1, то х*0=0, то есть хR.

Если а?, то х=.

Ответ. Если а=1, то корней нет; если а=-1, то хR; если а?, то х=.

Пример 10. Решить уравнение (n²-5)x+n=n(n-4x).

Решение. (n²-5)x+4nх=n²-n.

x(n²+4n-5)=n²-n.

Если n²+4n-5=0, то D=16+20=36. n₁=1; n₂=-5.

Если n=1, то х*0=0, то есть хR.

Если n=-5, то х*0=30, то есть корней нет.

Если n?1 и n?-5, то х=.

Ответ. Если n=1, то хR; если n=-5, то корней нет; если n?1 и n?-5, то х=.

Пример 11. Решить уравнение х+=2.

Решение. х(1+)=2.

Если а=0, то х.

Если а?0, то х=.

Если а=-1, то корней нет.

Ответ. Если а?0 и а?-1, х=; в остальных случаях корней нет.

Пример 12. Решить уравнение .

Решение. Если х=1, то нет решений. Следовательно, х=a- единственный корень при а?1.

Ответ. Если а?1, то х=а; если а=1, то нет решений.

Пример 13. Решить уравнение .

Решение. Если а=2, то уравнение корней не имеет. Если а?2, то х=а.

Ответ. Если а=2, то корней нет; если а?2, то х=а.

Пример 14. Решить уравнение .

Решение. Если с=0, то корней нет.

Если с?0, то .

.

.

.

.

.

Ответ. Если с=0, то корней нет; если с?0, то х=с+4.

Пример 15. Решить уравнение 4=а-(bx-1).

Решение. 4=а-bx+1.

bx=a-3.

Если b=0 и а=3, то хR.

Если b=0 и а?3, то корней нет.

Если b?0 и а?3, то х=.

Если b?0 и а=3, то х=0.

Ответ. Если b=0 и а=3, то хR; если b=0 и а?3, то корней нет; если b?0 и а=3, то х=0; если b?0 и а?3, то х=.

1.3 Решение линейных уравнений с параметрами с дополнительными данными в условии задачи

Пример 1. При каких значениях параметра с корень уравнения х+с=3х-5 является неотрицательным числом?

Решение. х-3х=-с-5.

-2х=-с-5.

х=с+5.

х?0 при с+5?0.

с?-5.

Ответ. при с?-5.

Пример 2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых число -3 является единственным корнем уравнения а2х+6а=4х-12.

Решение. х(а2-4)=-6а-12.

Если а=2, то х*0=-24, то есть корней нет.

Если а=-2, то х*0=0, то есть хR.

Если а?2, то - единственный корень.

Х=-3.

-3а2+6а+24=0|(-3).

а2-2а-8=0.

D=4+32=36.

a1=4; a2=-2.

-2- не удовлетворяет условию.

Ответ. а=4.

Пример 3. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнения ах-5=х+а и а2х-3=х+а2 имеют общий корень.

Решение. (а-1)х=а+5. Уравнение имеет корень лишь при а?1. .

(а2-1)х=а2+3. Данное уравнение имеет корень лишь при а?±1. .

Осталось найти все значения параметра а?±1, при каждом из которых оба уравнения имеют общий корень, то есть х1 и х2 есть одно и то же число.

.

.

.

. При .

Пример 4. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнения ах+1=2х+а и а2х-1=4х+а2 имеют общий корень.

Решение. ах+1=2х+а.

х(а-2)=а-1. Уравнение имеет корень лишь при а?2.

.

.

. Уравнение имеет корень лишь при а?±2.

.

Уравнения имеют общий корень при .

.

.

.

.

.



Ответ. при .

Пример 5. При каких целых значениях параметра а корень уравнения лежит в промежутке [0;5]?

Решение. очевидно, при а?5 уравнение имеет корень . Найдем значения а, при которых корень уравнения лежит в промежутке [0;5]. Для этого решим двойное неравенство 0.

0

В этом отрезке находятся только два целых числа: 3 и 4, они и будут решением задачи.

Ответ. a=3, a=4.

1.4 Тренировочные упражнения

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9. 3ax-4(2+x)=6

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30. При каком значении а прямые 5х-3y=15 и ах+7y=-6 пересекаются в точке, принадлежащей оси абсцисс?

31. Графики функций y=(4-a)x+a и y=ax+2 пересекаются в точке с абсциссой, равной -2. Найдите ординату точки пересечения.

1.5 Графическая иллюстрация решения уравнений с параметрами

Как уже было отмечено, у учащихся возникают трудности на этапе систематизации полученных результатов, в том числе и при записи ответов. С целью её преодоления используется прием получения результата с одновременным изображением его на координатной плоскости. Рассмотрим суть данного приема на конкретных задачах.

Пример 1. При каждом значении а и b решите уравнение:

Паре чисел (а; b) соответствует вполне определенное частное уравнение. Упорядоченную пару чисел (а; b) мы будем интегрировать как точку на координатной плоскости с осями а и b. Таким образом, устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и всеми частными уравнениями, определенными парой (а; b). Следовательно, получили аналог развертки по параметру - плоскость параметров, позволяющую наглядно представить множество значений параметров и соответствующие им решения уравнения.

При b=±a правая часть уравнения не имеет смысла, следовательно, уравнение не имеет решений.

Отметим на плоскости параметров те ее точки, координаты (а;b) которых не являются допустимыми значениями параметров данного уравнения. То есть всем точкам прямых b=±a соответствуют частные уравнения, не имеющие решений.

Примечание: в скобках будем указывать решения, соответствующие данным точкам плоскости.



b

b=-a b=a

(решений нет) (решений нет)

0 a

При условии x?0 и b?±a исходное уравнение равносильно уравнению .

· Если b=0, a- любое число, отличное от нуля, то всем точкам прямой b=0 (а?0) соответствуют частные уравнения вида 0х=0, решениями которых являются все действительные числа, отличные от нуля.

b

b=-a b=a

(решений нет) (решений нет)

b=0, a?0

(

0 a

a?±b, b?0 (x=a2-b2)

· Если b?0 и a?±b, то x=a2-b2. Таким образом, если точка с координатами (a;b) не лежит на прямых b?±a и b=0, то частные уравнения вычисляются по формуле x=a2-b2.

При записи ответа результаты исследования считываются с плоскости параметров.

Ответ. 1.

2.b=0, a?0,

3..

Пример 2. При каждом значении m и n решите уравнение

Найдем области допустимых значений переменной и области допустимых значений параметров: отметим последние на плоскости параметров.

m

2 m=2 (решений нет)

0 n=0 (решений нет) n

При найденных ограничениях на переменную и параметры уравнение равносильно уравнению .

Если , то есть всем точкам прямой , за исключением точки (0;2), соответствуют частные уравнения вида .



m

m=2+3n

2 m=2 (решений нет)

n

0 n=0 (решений нет)

Тогда:

а) при 3n-2, то есть n=, m=4 имеем уравнение 0х=0, решениями которого являются все действительные числа х (х?1) из области определения уравнения.

m

4 n=, m=4 (x

2 m=2 (решений нет)

0 n=0 (решений нет) n

б) при уравнение решений не имеет.

Если то решения уравнения находятся по формуле .

Отметим полученные результаты на плоскости параметров: всем точкам плоскости, не лежащим на прямых m=2, n=0, m=3n+2, соответствуют решения уравнения, вычисленные по формуле . Но среди найденных решений уравнения при некотором наборе значений (m;n) могут находиться х, не входящие в область определения уравнения. Исключим их: =1, откуда m=6n.

Следовательно, если точка плоскости лежит на прямой m=6n (n?), то уравнение решений не имеет.

m

m?3n+2 n= , m=4

n?0, m?2 (xєR\{1})

m=2

(решений нет)

2

0 n=0 n

m=2+3n (решений нет)

(n?)

(решений нет)

Ответ. 1) n= и m=4, xєR\{1}

2) n=0, или m=6n (n?), или m=3n+2 (n?), или m=2,решений нет.

3) m?3n+2 и m?6n, и n?0, и m?2 .

Пример 3. При каждом значении a и b решите уравнение .

Решение. Очевидно, что при b=0 или а=0 уравнение не имеет смысла и , следовательно, не имеет решений. Кроме того, х?2. Пусть b?0, а?0, х?2. В этом случае уравнение равносильно уравнению .

а) Воспользуемся приемом понижения степени: a=b. Тогда уравнение примет вид 4bx=0 (b?0), откуда х=0. Получим, что точкам прямой b=a (b?0) соответствует решение х=0.



b

b=0

(решений нет) b=a (x=0)

0 b=0

(решений нет) а

б) Пусть а?b, тогда , где ab>0, при ab<0 решений нет.

в) Среди найденных наборов a и b исключим посторонние, то есть те, при которых х=2 (кроме b=0, a=0, b=a). Следовательно, , отсюда b=9a. Следовательно, если b=9a, то

Получили, что всем точкам, лежащим на прямой b=9a, соответствует частное решение уравнения х=, а всем остальным точкам плоскости (не лежащим на прямых b=9a, b=a) .

b

a=0 b=9a

(решений нет) (x=) b=a (x=0)

Решений нет

b=0 (решений нет)

0 a

Решений нет

Ответ: если ab?0, то решений нет; если ab>0, то при b=a, x=0; при b=9a, x=0,5; при b?9a, b?a, .



1.6 Линейные уравнения с параметром, содержащие модуль

При решении задач с параметрами умение аккуратно преобразовывать выражения, последовательно рассматривая «особые случаи», должно быть дополнено способностью «чувствовать» выражения, интуитивно понимая, какие значения может принимать выражение в целом или отдельные его части. Одним из классов задач, способствующих развитию подобных навыков, являются задачи с модулями. Именно такие примеры можно предложить после вводных уроков.

Пример 1. Решите уравнение .

Решение. Это уравнение опирается на знание определения модуля. Так, . Следовательно, a?0.

Ответ. а?0.

Пример 2. Решите уравнение .

Решение. Так как каждое слагаемое неотрицательное, то можно перейти к системе:

Ответ. Если а=-2, то х=2; если а?-2, то решений нет.

Пример 3. Решите уравнение .

Решение. Так как каждое слагаемое неотрицательное, то можно перейти к системе:

Ответ. Если а=0, то х=-2; если а?0, то решений нет.

Пример 4. Решите уравнение .

Решение. Так как каждое слагаемое неотрицательное, то можно перейти к системе:

Ответ. Если а=0, то х=-2; если а?0, то решений нет.

Пример 5. Решите уравнение .

Решение. Так как каждое слагаемое неотрицательное, то можно перейти к системе:

Ответ. Если а=0, то х=3; если а?0, то решений нет.

Пример 6. Решите уравнение .

Решение. Так как и при всех значениях х, то их сумма может оказаться равной нулю лишь при условии, что оба слагаемых равны нулю:

Рассмотрим два случая:

1) . Тогда решением совокупности является при всех значениях b.

2) . Тогда первая система совокупности не имеет решений, а вторая система имеет решение лишь при b=1. Следовательно, при b=1 уравнение имеет единственное решение , при b?1 не имеет решений.

Ответ: при и b?1 нет решений, в остальных случаях (то есть при или b=1) уравнение имеет единственное решение .

Глядя на правильный ответ, можно предложить учащимся решение-рассуждение, не требующее никаких выкладок: сумма двух модулей может оказаться равной нулю лишь в том случае, если оба слагаемых равны нулю. Второе слагаемое определяет единственный возможный корень , а первое равно нулю лишь в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю: либо , либо b=x, что при единственном возможном решении x=1 эквивалентно условию b=1. Во всех остальных случаях уравнение не имеет корней.

Пример 7. Решить уравнение .

Решение. При второе уравнение системы, а значит, и сама система имеет единственное решение x=1. Если же a=0, то из второго уравнения получаем x - любое. Следовательно, в этом случае система имеет два решения: x=1 или x=-1.

Ответ. если , то , если a=0, то x=±1.

1.7 Линейные уравнения с параметром, содержащие квадратные корни

Обратим внимание, что во всех решенных примерах областью допустимых значений как для переменной, так и для параметра являлось все множество действительных чисел. Разумеется, следует познакомиться с задачами иного рода.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. легко увидеть, что x=a - единственный корень данного уравнения. Однако, этот результат - еще не ответ. специфика уравнений с параметрами предполагает даже в таком тривиальном уравнении, как x-a=0, отмечать, что x=a - корень при любом a.

Ответ. Если a?0, то x=a, если a<0, то нет решений.

Пример 2. Решить уравнение .



Решение. .

Отсюда x=a - корень исходного уравнения при любом a, а x=1 - корень лишь при a?1.

Ответ. Если a<1, то x=0 илиx=1, если a=1, то x=1, если a>1, то x=a.

Пример 3. Выясните, при каких значениях параметра a данные уравнения имеют ровно один корень:

а) ;

б) .

а) .

Решение.

Отсюда x=5 - корень исходного уравнения при любом a?5.

Ответ. x=5 при a?5 - единственный корень.

б) .

Решение.

Отсюда , если a>0. И x=-2a, если a<0. Уравнение имеет единственный корень лишь при а<0.

Ответ. При а<0 x=-2a - единственный корень.

Пример 4. При каких а уравнение имеет единственное решение?

Решение. При любом а x=1 - корень данного уравнения, и требование единственности решения сводит задачу к поиску условий, при которых уравнению «запрещено» иметь корни, отличные от единицы. В то же время множитель x-a как бы предлагает еще один корень, и, на первый взгляд, значение a=1 представляется достаточным для ответа. Но более внимательный анализ позволяет «отмести» x=a за счет области определения уравнения: при a<0 x=a не является корнем.

Ответ. a=1 или a<0.

Пример 5. Решить уравнение .

Решение.

Если a=1, то корней нет.

Ответ. Если a?1, то x=a, если a=1, то корней нет.

Пример 6. Решить уравнение .

Решение. x=0 или x-a=0. Откуда x=a. Причем, x-a?0. Следовательно, x?a.

Ответ. Если a<x, то x=0, если a=x, то xєR, если a>x, то решений нет.

Пример 7. Решить уравнение .

Решение. .

Ответ. Если

Пример 8. Решить уравнение .

Решение. Сумма двух корней может оказаться равной нулю лишь в том случае, если оба слагаемых равны нулю.

.

Ответ. Если a=0, то x=0, если a?0, то решений нет.

Пример 9. Решить уравнение .

Решение. . Следовательно, .

.

Ответ. Если a=0, то x=1, если a?0, то решений нет.

III.2 Классификация задач на решение квадратных уравнений с параметром

Выделим класс задач, где за счет параметра на переменную накладываются какие- либо искусственные ограничения. Для таких задач характерны следующие формулировки: при каком значении параметра уравнение имеет одно решение, два, бесконечно много, ни одного; решением уравнения является какое-то подмножество множества действительных чисел и другие.

Прежде всего сюда относятся уравнения второй степени. Поэтому, прежде всего, обратим внимание на распространенную ошибку: считать такое уравнение квадратным. На самом деле это уравнение степени не выше второй. Пользуясь этим соображением, естественно начать решение, рассмотрев случай, когда коэффициент перед x2 равен нулю. Итак, если параметр равен нулю, то, очевидно, данное уравнение имеет единственное решение. если же a?0, то имеем дело с квадратным уравнением.

2.1 Уравнения с ограничениями для решения

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Данное уравнение имеет один параметр а. если a=0, то пишем линейное уравнение -4x+3=0, которое имеет один корень . При a?0 уравнение является квадратным, и его корни выражаются через параметр а формулами . Эти формулы имеют числовые значения, если: . Решая это неравенство, находим:

-при

-при

-при

Ответ. При ; при , ; при корней нет.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. рассмотрим два случая: a=2 и a?2. В первом случае исходное уравнение принимает вид -4x+1=0. Это линейное уравнение с единственным корнем . Во втором случае получим квадратное уравнение с дискриминантом .

Найдем промежутки знакопостоянства дискриминанта.

При a=1 или a=6 дискриминант квадратного уравнения равен нулю, и оно имеет один корень , то есть при a=1 получаем корень .

При дискриминант положительный, и квадратное уравнение имеет два корня:

.

При дискриминант оказывается отрицательным. Следовательно, квадратное уравнение не имеет корней.

Ответ. При .

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. . Наличие квадратного уравнения приведет к поиску корней дискриминанта. Вместе с тем условие должно привлечь внимание.

.

Если D>0, то есть , то уравнение имеет два корня . Если то корней нет.

Ответ. Если то , если , если , если то корней нет.

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Если a=-6, то решаем линейное уравнение -8x-6=0. .

Если a?-6, то решаем квадратное уравнение.

.

.

.

.

.

Если

Если .

Если a=-8, то x=-2.

Если a=2, то x=0,5.

Ответ. Если , если , если , то корней нет, если , то .

Пример 5. Найти все значения параметра b, при каждом из которых уравнение имеет два различных корня.

Решение. рассматриваемое квадратное уравнение имеет два различных корня, если дискриминант его положительный. Запишем это условие: . Из последнего неравенства получим , откуда b>1.

Ответ. b>1.

Пример 6. Найти все значения параметра p, при каждом из которых уравнение имеет два различных корня.

Решение. Выпишем условие положительности дискриминанта данного квадратного трехчлена.

. При p=0 единственное решение.

Ответ. .

Пример 7. Найти все значения параметра p, при каждом из которых уравнение имеет ровно одно решение.

Решение. Пусть p=0. Тогда исходное уравнение принимает вид x+2=0 и имеет единственное решение x=-2.

Пусть теперь p?0. В этом случае исходное уравнение имеет одно решение, если его дискриминант равен нулю. Получаем D=1-8p=0, откуда .

Ответ. }.

Пример 8. Найти все значения параметра p, при каждом из которых уравнение имеет одно решение.

Решение. Исходное уравнение имеет одно решение при D?0, при этом, если D=0, то уравнение имеет ровно одно решение, а при D>0 - два решения (а если есть два решения, то есть и одно). Решая неравенство .

Ответ. .

Пример 9. При каких a уравнение имеет единственное решение ?

Решение. Понятно, что нужно начинать со случая a=2. Но при a=2 исходное уравнение вообще не имеет решений. Если a?2, то данное уравнение квадратное, и казалось бы, искомые значения параметра - это корни дискриминанта. Однако дискриминант обращается в нуль при a=2 или a=5. Поскольку мы установили, что a=2 не подходит, то a=5.

Ответ. a=5.

Пример 10. При каких a уравнение имеет более одного корня?

Решение. При a=0 уравнение имеет единственный корень, что не удовлетворяет условию. При a?0 исходное уравнение, будучи квадратным, имеет два корня, если его дискриминант - положителен. Отсюда получаем -4<a<1. Однако в полученный промежуток (-4;1) входит число 0, которое, как мы уже проверили, неприемлемо.

Ответ. -4<a<0 или 0<a<1.

Пример 11. При каких a уравнение имеет более одного корня?

Решение. Стандартный шаг начать со случаев a=0 и a=-3. При a=0 уравнение имеет единственное решение. Любопытно, что при a=-3 решением уравнения служит любое действительное число. При a?-3 и a?0, разделив обе части данного уравнения на a+3, получим квадратное уравнение , дискриминант которого 4(1+3a) положителен при . Опыт предыдущих промежутков показывает, что из промежутка (; надо исключить точку a=0, а в ответ не забыть включить a=-3.

Ответ. a=-3 или <a<0, или a>0.

2.2 Задачи на использование теоремы Виета

Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение имеет корни, сумма которых равна нулю?

Решение. Это уравнение квадратное, его дискриминант .

Сумма корней уравнения равна - и по условию задачи она равна нулю, то есть , что возможно при . Теперь необходимо осуществить контроль неотрицательности дискриминанта при этих значениях а. при а=-2 дискриминант D=0+4*2=8 положителен, тогда как при а=1 дискриминант D=0-4=-4 оказывается отрицательным.

Ответ. а=-2.

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение имеет хотя бы один положительный корень?

Решение. Данное уравнение квадратное, значит имеет корни при неотрицательном дискриминанте.

+ - +

-1 4 a

То есть при . Значение большего (или единственного, в случае нулевого дискриминанта) корня должно быть положительным: , что равносильно (при D?0) следующей совокупности условий:

То есть а<1.

С учетом того, что при .

-1 1 4 а

Ответ. .

Пример 3. При каких значениях параметра а квадратное уравнение имеет корни одного знака?

Решение. Так как по условию задачи рассматриваемое уравнение- квадратное, то а?1 (иначе формулировка задачи не имеет смысла). Очевидно, условие задачи предполагает также существование корней квадратного уравнения, что означает неотрицательность дискриминанта.

.

Так как по условию корни должны быть одинаковых знаков, то . Решением последнего неравенства является . С учетом условий D?0 () и а?1 получим .

Ответ. .

Пример 4. Сумма квадратов двух различных корней уравнения больше 10. Найти значения параметра а, при которых выполняется данное условие.

Решение. Уравнение имеет два различных корня, если дискриминант положителен и а?0.

D=16+12a.

Сумму квадратов корней данного уравнения выразим через его коэффициенты при помощи теоремы Виета следующим образом:

Решаем систему:

- + -

2 a

.

- 0 2 а

Ответ. .

Пример 5. Найти все значения параметра p, при каждом из которых сумма квадратов корней уравнения принимает наименьшее значение.

Решение. Выразим сумму квадратов корней данного уравнения через его коэффициенты при помощи теоремы Виета следующим образом: . Выражение принимает наименьшее значение при p=0.

Ответ. p=0.

Пример 6. Найти все значения параметра p, при каждом из которых сумма квадратов корней уравнения принимает значение, равное нулю.

Решение. Выразим сумму квадратов корней данного уравнения через его коэффициенты при помощи теоремы Виета следующим образом: . Поскольку сумма квадратов корней равна нулю, то решаем уравнение . Находим .

Ответ. .

2.3 Задачи, в которых указан промежуток для решения

Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение имеет два корня, один из которых меньше 2, а другой больше 3?

Решение. Так как идет речь о двух корнях, то рассматриваемое уравнение должно быть квадратным, то есть а?2.

Рассмотрим функцию (а?2). Ее графиком является парабола, которая по условию задачи пересекает ось Ох один раз на интервале ( и один раз на интервале (3;.

Рассмотрим два случая: а>2 и а<2.

В первом случае получим следующую систему неравенств:

2<a<5.

Во втором случае получим систему:

,

Которая не имеет решений.

Ответ: .

Пример 2. При каких значениях параметра а один из корней уравнения больше числа а ,а другой меньше числа а?

Решение. Задача равносильна следующей: при каких значениях параметра а корни квадратного трехчлена лежат на вещественной оси по разные стороны от точки х=а?

Для решения этой задачи воспользуемся тем общим фактом, что для того, чтобы корни квадратного трехчлена лежали на вещественной оси по разные стороны от числа d, необходимо и достаточно выполнение условия .

линейный уравнение задача параметр

x1 d x2 x

В нашем случае это условие принимает вид . Следовательно, требованию задачи удовлетворяют решения неравенства , где требованию задачи не удовлетворяют).

Решая полученное неравенство, находим, что .

Ответ. .

Пример 3. При каких значениях параметра а корни х1 и х2 уравнения удовлетворяют условиям х1<-1 и -1<х2<1?

Решение. Задача равносильна следующей: при каких значениях параметра а только один, а именно- больший корень квадратного трехчлена , где 3а+2?0, принадлежит интервалу (-1;1), а другой меньше -1?

x1 -1 x2 1 x

Требования приведенной задачи выполняются только при условиях

.

Таким образом, в нашем случае приходим к рассмотрению системы

.

Решая эту систему, получаем, что .

Ответ. .

Пример 4. При каких значениях параметра а корни уравнения имеют разные знаки, и оба по абсолютной величине меньше 4?

Решение. Обозначим квадратный трехчлен в левой части исходного уравнения через f(x). Тогда требования задачи выполняются, если совместна система:

, которую подробнее можно переписать в виде , и которой удовлетворяют все .

Ответ. .

Пример 5. При каких значениях параметра а один из корней уравнения по абсолютной величине больше 1, а другой меньше 1?

Решение. Задача равносильна следующей: при каких значениях параметра а один из двух корней квадратного трехчлена f(x) принадлежит на вещественной оси интервалу (-1;1), а второй расположен вне этого интервала и по модулю не равен 1?

А тогда, замечая, что ровно один корень трехчлена f(x) принадлежит интервалу (-1;1) только в том случае, когда числа f(-1) и f(1) имеют разные знаки (корни по модулю не равны 1), приходим к выводу, что требование задачи выполняется только при условии f(-1)*f(1)<0, которое в нашем случае записывается в виде (.

Решая это неравенство, находим, что .

Ответ. .

Пример 6. Найти все значения m, при которых один из корней уравнения находится между числами 0 и 2, а второй между числами 3 и5.

Решение. Данное квадратное уравнение имеет корни . Очевидно, . Тогда искомые значения параметра найдем, решив систему:



Ответ. 1<m<3.

Пример 7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1;1].

Решение. Данная функция возрастает на луче и убывает на луче , где - абсцисса вершины параболы. Этих соображений вполне достаточно для выяснения вопроса.

В данной задаче результат фактически зависит от положения абсциссы x0 относительно отрезка [-1;1], а не от знака дискриминанта.

1) 2) 3)

-1 1 х₀ х -1 0 х₀ 1 х -1 х₀ 0 1 х

4)

х₀ -1 1 х

Если 1, то есть a<-6, то max[-1;1]y=y(1)=-a-1, min[-1;1]y=y(-1)=a-1. (рис.1).

Если 0, то есть -6?а<0, то max y=y(x0)= 2+, min y=y(-1)=a-1. (рис.2).

Если -1, то есть 0?а<6, то max y=y(x0)= 2+, min y=y(1)=-a-1. (рис.3).

Если , то есть а?6, то max y=y(-1)=a-1, min y=y(1)=-a-1. (рис.4).



2.4 Дополнительные задания

1) Решите уравнение , если х-параметр.

2) Решить уравнение , а-параметр.

3) При каких а уравнение имеет единственное решение?

4) При каких а уравнение имеет единственное решение?

5) При каких а уравнение а) имеет более одного решения?

6) Найти все значения параметра а, при которых графики функций не имеют общих точек.

7) Найти все значения а, при которых уравнение имеет два различных корня.

8) Найти все значения а, при которых квадратные уравнения: а) имеют корни и определить знаки этих корней.

9) Найти все значения а, при которых квадратный трехчлен положителен для любого х.

10) Найти все значения а, при которых корни уравнения заключены между числами 2 и 4.

11) Найти все значения а, при которых корни уравнения больше 1.

12) Найти все значения а, при которых уравнение имеет два корня, причем один из них больше а, а другой меньше а.

13) Найти все значения а, при которых уравнение имеет два корня, каждый из которых принадлежит интервалу (-1;1).

2.5. Графическая иллюстрация решения квадратных уравнений с параметром.

Также, как и с линейными уравнениями, содержащими параметр, поступают и с квадратными уравнениями, содержащими параметр, то есть решают их графически для упрощения систематизации знаний. Часто такие уравнения имеют модуль или корень.

Пример 1. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет единственное решение.

Решение. Данное уравнение можно переписать так: и . Посмотрим графики функций. Графики функций рассмотрим в случаях, когда а<0, а=0, а>0.

y y y

y=x|x+2a| y=x|x| y=x|x+2a|

0 0 -2a 0

-2a x x x

y=-1

y=a-1 y=a-1

Ясно, что при любом значении a<0 решение исходного уравнения единственно. При a=0 решение исходного уравнения так же единственно. Наконец, при a>0 графики выглядят так, как показано на третьем рисунке. Значит, исходное уравнение имеет единственное решение при a-1>0 (то есть, при a>1); или при -a2>a-1 (и при a>0). В последнем случае решим квадратное неравенство: -a2>a-1; a2+1-1<0. Соответствующее квадратное уравнение имеет корни: и , значит решение неравенства таково: ). Отсюда получаем ответ: ).

Ответ.

Пример 2. Найти все значения параметра a, при которых уравнение |x2-6x|=m имеет ровно три решения.

Решение. Построим графики функций y=|x2-6x| и y=m на одном чертеже.

y

9 y=m

0 6 x

Очевидно, что исходное уравнение имеет ровно три решения тогда и только тогда, когда графики двух вышеуказанных функций пересекаются ровно в трех точках, то есть при m=9.

Ответ. m=9.

Пример 3. Найти все значения параметра a, при которых уравнение имеет решение.

Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат и перенесем все слагаемые в правую часть, получим квадратное уравнение . Найдем дискриминант . Так как D?0 при все значениях , то при каждом таком значении a имеется хотя бы одно решение у уравнения , а значит, и у уравнения .

y

y=

-2 0 x

y=2x+a y=



y=2x+a y=

Ответ.

Пример 4. Найти все значения параметра, при которых уравнение имеет решение.

Решение. Сделаем замену . Тогда , и для решения задачи надо найти, при каких значениях параметра a имеет решение уравнение , причем . Возведем обе части последнего уравнения в квадрат, получим уравнение . График функции y= - верхняя часть параболы (I) с вершиной (-3a;0) и ветвями, направленными вправо (рис.1), а график функции y=- парабола (II) с вершиной (0;-3a) и ветвями, направленными вверх (рис.2).

I y II y

a>0

a>0 a=0 a<0 a=0

a<0

0 t 0 t

рис.1 рис.2

Очевидно, что части парабол (I) и (II) (соответственно верхняя и правая половина) симметричны относительно прямой y=t, и точки пересечения парабол лежат на этой прямой. Построим графики (I) и (II) при a=0 (рис.3). Очевидно, что уравнение имеет два корня t1=0 и t2=1.



y y y

y=t²

y=t

y= y=t²-3a y=

t₁ t₂ t t₁ t t

рис.3 рис.4 рис.5

Если теперь увеличить значение a, то часть параболы (I) сдвинется влево, а часть параболы (II)- вниз (рис.4). Уравнение по-прежнему имеет положительное решение, но оно, очевидно, больше единицы. Если же сделать значение a немного меньше нуля, то часть параболы (I) сдвинется вправо, а часть параболы (II) сдвинется вверх, и точки их пересечения начнут сближаться, причем 0<t1<t2<1. При некотором значении a=a0 достигается крайнее положение, при котором кривые еще имеют общую точку, лежащую на прямой y=t (рис.5).

Решим уравнение t2-3a=t, то есть t2-t-3a=0. Найдем дискриминант D=1+12a, он не отрицателен при . При уравнение имеет единственный корень, а при все точки на параболе y= лежат выше прямой y=t.

Ответ. .

Пример 5. Найти наименьшее значение выражения a2+(b-1)2 среди тех a и b, для которых уравнение ||x-4|-2|-ax+4a-b=0 имеет ровно три различных решения. Указать, при каких a и b достигается наименьшее значение.

Решение. Сделаем замену z=x-4 и преобразуем уравнение к виду ||z|-2|=az+b. Построим график функции y=||z|-2| и y= az+b.



y y

y= az+b

y=||z|-2|

2b b

z

-2 0 2 z

Очевидно, эти графики могут пересекаться ровно в трех точках только в следующих случаях:

1) y 2) y 3) y

2b

z z z

В случае 1) будет b=2, -1<a<1, в случае 2) будет =-2, 0<a<1, в случае 3) будет =2, -1<a<0. В случае 1) подстановка значения b=2 в выражение a2+(b-1)2 дает выражение a2+1, минимум которого равен 1 при значении a=0. В случае 2) будет b=2a; подставляя это значение в выражение a2+(b-1)2 имеем a2+(2a-1)2=5a2-4a+1; минимум достигается при и равен (). В случае 3) будет b=-2a, и подставляя это значение в выражение a2+(b-1)2, получаем a2+(-2a-1)2=5a2+4a+1; минимум достигается при и равен ().

Ответ. .

2.6 Иррациональные квадратные уравнения с параметром

Пример 1. Для каждого значения а решить уравнение .

Решение. .

Ответ. при ; при решений нет.

Пример 2. Выясните при каких значениях параметра а уравнение не имеет решений.

Решение. Уравнение не имеет решения при или .

.

D=

.

.

.

.

Ответ. Уравнение не имеет решения при и .

Пример 3. Для каждого значения а решить уравнение .

Решение. .

Пусть х=0.

Пусть х>0.

,

но 2х>0, следовательно, х не может быть.

Пусть х<0.

, 2x<0,

следовательно, х<0 не может быть.

Ответ. х=0 при , при а<0 решений нет.

Пример 4. Для каждого значения а определить число решений уравнения .

Решение. 1)

2)

при всех а.

при всех а.

При а=1 одно решение; при а>1 нет решений, так как ; при а<1 два решения.

.

при всех а.

при всех а, кроме а=0.

При а=0 и а=1 одно решение; при а а>1 нет решений; при 0< а<1 два решения.

Ответ.

Пример 5. Найти все значения а, удовлетворяющие условию -1<а<1, при которых выражение принимает минимальное значение точно для одной пары (x;y).

Решение. Выражение минимально, когда . Решим это уравнение относительно х.

,

но х должен быть единственным. Следовательно, .

.

Из условия .

Чтобы y был единственным, соответствующая парабола должна снизу касаться оси Ох.

.

Ответ. .

Пример 6. Число а подобрано так, что уравнение имеет решение. Найти это решение и значение а.

Решение.

.

.

.

.

Ответ. , .

III.3 Примеры решения тригонометрических уравнений с параметрами

Пример 1. При каких значениях параметра a значение выражения 1+cos x· (5 cos x+a sin x) будет равно нулю хотя бы при одном значении x?