Формирование прочных навыков усвоения решения задач с параметрами

Решение. Уравнение 1+cos x · (5 cos x+a sin x) = 0 после преобразований приводится к однородному sin2 x + a sin x cos x + 6 cos2 x = 0, которое после деления на cos 2 x и замены t = tg x превращается в квадратное: t2 +at+6 = 0. Так как t = tg x может принимать любые значения, это уравнение будет иметь решения при условии

D 0 или D = a2 ? 240.

Ответ: a ? (??;?2] ? [ 2;+?).

Пример 2. При каких значениях параметра a сумма loga (cos2 x+1) и loga(cos2 x+5) будет равна единице хотя бы при одном значении x?

Решение. Допустимыми значениями параметра являются все a > 0, a 1.

Из уравнения loga(cos2 x+1)+loga(cos2 x+5) = 1 получим, что (cos2 x + 1)(cos2 x + 5) = a.

Обозначим cos2 x = t, 0 t 1, тогда уравнение примет вид

f(t) = t2 + 6t + (5 ? a) = 0.

Условия задачи будут выполнены, если последнее уравнение будет иметь хотя бы один корень из отрезка [0; 1] (в отличие от задачи 6.1,где корень мог быть любым числом). В данном случае исследование только дискриминанта недостаточно. Ветви параболы направлены вверх, вершина находится в точке tв = ?3, следовательно, на отрезке [0; 1] функция f(t) монотонно возрастает. Для того, чтобы на [0; 1] существовал корень, в силу непрерывности необходимо и достаточно, чтобы на концах отрезка f(t) имела разные знаки f(0) · f(1)0 или (5?a)(1+6+5?a)0. Решая последнее неравенство, получаем

Ответ: a ? [5; 12].

Пример 3. Решить уравнение относительно a.

Решение. Уравнение квадратное относительно , следовательно, оно равносильно совокупности двух уравнений: и . Отсюда получим два множества корней: .

Ответ: .

Пример 4. Решить уравнение относительно a.

Решение. Приведем уравнение к виду .

При получим: или .

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: имеющему множество решений , и , равносильному уравнению , имеющему множество корней .

При получим уравнение равносильное исходному: , имеющее два решения относительно tg(0,5x): , при , то есть при |a|?1.

Итак, при уравнение имеет два множества корней: и ; при -1?a?1 ( ; при |a|>1 решений нет.

Ответ: при и ; при -1?a?1 ( ; при |a|>1 решений нет.

Пример 5. Найти все значения параметра a, при которых уравнение

log1?a (2 ? cos x + sin )= 2 имеет решение.

Решение. Область допустимых значений параметра определяется системой

, откуда a ? (??; 0) ? (0; 1).

По свойствам логарифмической функции перепишем уравнение в виде 2 ? cos x + sin = (1 ? a)2.

Заменяя cos x = 1 ? 2 sin2 и полагая t = sin , получаем квадратное уравнение: 2t2 + t + 2a ? a2 = 0.

Это уравнение имеет решения, если D = 8a2?16a+1 0, откуда с учетом ОДЗ получаем

a ? (??; 0) ? (0; 1 ?].

Найдем теперь, при каких значениях параметра a хотя бы один из корней этого уравнения будет принадлежать отрезку [?1; 1]. Так как ветви параболы f(t) = 2t2 + t + 2a ? a2 направлены вверх, вершина находится в точке tв =?, то корни располагаются симметрично относительно точки t=?. Поэтому, если меньший корень лежит в промежутке [?1; 1], то больший -- тем более. Таким образом, достаточно выяснить, при каких значениях параметра a больший корень параболы окажется в промежутке []. Это будет в том и только в том случае, если f(1)0. Вычисляя f(1),

получаем неравенство 3+2a?a2 0, которое справедливо при a ? [?1; 3]. Пересекая этот промежуток с предыдущим, получаем

Ответ: a ? [?1; 0 ) ?(0; 1 ?]

Пример 6. В зависимости от значений параметра a решите уравнение

Решение. Полагая t = sin x, приведем уравнение к виду

at2 ? 5at + 6a ? 1 = 0.

Если a = 0, то решений нет.

При a 0 и при условии a ? (??;?4] ? (0;+?) получаем корни уравнения t1,2 = . Так как вершина параболы f(t) = at2 ? 5at + 6a ? 1 находится в точке tв = ,

условие |t| 1 для меньшего из корней будет выполняться, если на концах отрезка [?1; 1] функция будет иметь разные знаки: f(?1)·f(1) 0 или (2a?1)(12a?1) 0. Решением последнего неравенства является интервал a ? .

Ответ: Если a?: x=(?1)n arcsin , n?Z, при других a решений нет.

Пример 7. Решите уравнение

относительно m.

Решение. уравнение имеет смысл при m?0. Значение х должно удовлетворять условию cos2x?0, tg2x?. Разделив числитель и знаменатель дроби, стоящей в левой части уравнения, на, а первой дроби правой части на , получим уравнение .

Пусть . Несложные преобразования приводят к уравнению , имеющему два корня: .

Выше было отмечено, что значения х должны удовлетворять условию tg2x?. Значит, необходимо исключить те значения m, при которых и равны 0,5.

. При этом .

. При этом .

Ответ: при ; при; при , , уравнение имеет два множества корней: .

Задачи для самостоятельного решения

1. В зависимости от значений параметра a решите уравнение cos4 x ? (a + 2) cos2x ? a ? 3 = 0.

2. В зависимости от значений параметра a решите уравнение sin4 x+cos4x+sin2x +a= 0.

3. При каких значениях параметра a уравнение(a2+8a+16)(2?2cos x?sin2 x)+(32+2a2+16a)(cos x?1)+3a+10=0 не имеет решений?

4. При каких значениях параметра a уравнение loga?2 имеет решение?

5. При каких значениях параметра a уравнение loga+1 имеет решение?

6. При каких значениях параметра a значение выражения 2+cos x·(3 cos x+a sin x) не равно нулю ни при каких значениях x?

7. При каких значениях параметра a значение выражения 3+sin x · (2 sin x+a cos x) будет равно ?1 хотя бы при одном значении x?

8. При каких значениях параметра a сумма loga(sin x + 2) и loga(sin x + 3) будет равна единице хотя бы при одном значении x?

9. При каких значениях параметра a уравнение(a + 1) tg2 x - 2 не имеет решений?

III.4 Примеры решения показательных и логарифмических уравнений с параметрами

Пример 1. При каких значениях параметра a сумма квадратов корней уравнения

2 log4(2x2?x+2a?4a2)+log0,5(x2+ax?2a2) = 0 больше 1?

Решение. На основании свойств логарифмов исходное уравнение равносильно уравнению

log2(2x2 ? x + 2a ? 4a2) = log2(x2 + ax ? 2a2),

которое, в свою очередь, равносильно системе

Уравнение записанной системы имеет корни x1= 1?a и x2= 2a.

Подставляя поочередно полученные значения x в неравенство системы, получим систему , из которой находим, что a ? (?1; 0) ? (0;

Учитывая теперь, что , из неравенства 5a2 ? 2a + 1 > 1 получаем значения a ? (??; 0) ?..

Ответ: a ? (?1; 0) ?.

Пример 2. При каких значениях параметра a уравнение

имеет по крайней мере два корня, один из которых неотрицателен, а другой не больше ?1?

Решение. Допустимые значения параметра a определяются системой

решением которой являются все a ? [; 4).

Рассмотрим сначала случай, когда , откуда a1 = ; a2 = . При этих значениях параметра a любое значение x удовлетворяет исходному уравнению, и, значит, последнее всегда имеет корни, о которых идет речь в задаче.

Пусть теперь первая скобка исходного уравнения равна нулю, что равносильно равенству



Из ОДЗ a ? следует, что ветви квадратного трехчлена направлены вниз, поэтому требования задачи будут выполнены только при условии

,

откуда получаем с учетом ОДЗ a ? [ 2; 4 ) ? .

Объединяя полученные результаты, запишем

Ответ: a = , a = ; a ? [ 2; 4 ).

Пример 3. При каких значениях параметра a уравнение имеет решения?

Решение. Допустимые значения переменной определяются системой

Перейдем в уравнении к логарифмам по основанию

откуда получим квадратное уравнение x2 ? 2 lg a · x + 5 = 0.

Если его дискриминант D = 4 lg2a ? 20 0 или | lg a| , то исходное уравнение будет иметь решения.

С учетом ОДЗ 0<x<2 lg a получаем, что lg a>0, и, следовательно, условиям задачи удовлетворяют все или.

Ответ:

Пример 4. При каких значениях параметра a уравнение имеет два корня, расстояние между которыми больше ?

Решение. Допустимыми значениями переменной являются все x>0; x.

На основании свойств логарифмов преобразуем уравнение к виду

(log5 x ? 2)(log5 x + 2) + 4(1 ? a2) = 0, откуда log5 x = ±2a. Таким образом, исходное уравнение имеет два корня вида x1= 52a и x2= 5?2a. Оба эти корня удовлетворяют первому условию ОДЗ x > 0, а второе условие xбудет выполняться при .

Перейдем теперь к решению задачи. Очевидно, что при a = 0 условие задачи не выполняется. Рассмотрим два случая:

1) a > 0, тогда 52a > 5?2a и условие задачи равносильно неравенству 52a ? 5?2a > . Выполняя замену 52a = t > 0; 5?2a = , получим, что t > 5 или a > .

2) a < 0, тогда наоборот, 5?2a >52a и неравенство имеет вид

5?2a?52a > , откуда после аналогичной замены имеем a<? .

Ответ: a ? (??;?1) ? (?1;? ) ? (; 1) ? (1;+?).

Пример 5. При каких значениях параметра a сумма и больше единицы при всех x?

Решение. Рассмотрим сумму логарифмов:

эта сумма имеет смысл при любых x. Заменим t = , тогда

очевидно, что 0 < t 1.

Составим неравенство и найдем значения параметра a, при которых неравенство выполняется при всех t ? (0; 1].

1) Если a > 1, то логарифмическая функция возрастает. Запишем равносильное неравенство

(2 + t)(4 + t) > a или t2 + 6t + 8 ? a > 0.

Абсцисса вершины параболы f(t)=t2+6t+8?a равна tв=?3, ветви направлены вверх, следовательно, на интервале (0; 1] функция f(t) монотонно возрастает. Неравенство f(t) > 0 выполняется тогда и только тогда, когда f(0) 0, откуда 1 < a 8.

2) При 0 < a < 1 исходное неравенство равносильно следующему:

f(t) = t2 + 6t + 8 ? a < 0.

Аналогично первому случаю, функция f(t) монотонно возрастает на (0; 1], поэтому необходимо и достаточно выполнения условия f(1) < 0, т.е. 1+6+8?a < 0, a > 15. Полученный ответ не имеет пересечений с условием 0 < a < 1.

Ответ: a ? ( 1; 8 ].

Пример 6. При каких значениях параметра a сумма и равна единице ровно при одном x?

Решение. Допустимыми значениями параметра являются все a > 0, a 1.

Составим уравнение .

Обозначая t = 2x > 0, запишем систему, равносильную данному уравнению:

или

Парабола f(t) = t2?8t+7?a имеет вершину в точке tв = 4, ветви направлены вверх, корни расположены симметрично относительно вершины, поэтому условию t > 7 может удовлетворять только больший корень, которому и будет соответствовать единственное решение уравнения. Необходимым и достаточным условием того, чтобы больший корень был больше 7 является неравенство f(7) < 0

или 49 ? 56 + 7 ? a < 0, откуда a > 0.

Ответ: a ? (0; 1) ? (1;+?).

Задачи для самостоятельного решения

1. В зависимости от значений параметра a решите уравнения.

а) 4x ? (2a + 1) 2x + a2 + a = 0.

б) 9lg(x?a)?lg 2 = 3lg(x?1)

в)

г)

2. При каких допустимых значениях параметра a уравнение имеет решение?

3. При каких значениях параметра a уравнениеимеет по крайней мере два корня, один из которых неположителен, а другой не меньше двух.

4. При каких значениях параметра a уравнение log3 x+(a2?4)·log3x ?3 = 0 имеет два корня, расстояние между которыми больше 8?

5. При каких значениях параметра a уравнение имеет два корня, расстояние между которыми меньше ?

6. При каких значениях параметра a сумма и равна единице ни при каких значениях x?

7. При каких значениях параметра a сумма и будет меньше единицы при всех допустимых значениях x?



IV. Приложение

IV.1 Разработка курса по выбору для 9 класса

Пояснительная записка.

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. В школе же это один из наиболее трудных разделов школьного курса математики. Задачи с параметром являются наиболее сложными задачами ЕГЭ, поэтому познакомиться с некоторыми идеями их решения, освоить способы решения задач с параметром желательно как можно раньше.

Очень важно подготовить учащихся к преодолению трудностей, связанных с решением задач с параметрами. К сожалению, в школьном курсе не уделяется достаточно времени и внимания на изучение данного раздела. Поэтому возникает необходимость создания курса для ознакомления с основными видами уравнений, содержащих параметры.

Материал рассчитан на 9 класс с дальнейшим продолжением в 10 и 11 классах. В ходе учебно-познавательной деятельности учащимся будут предложены контрольные работы и тренировочные упражнения в конце каждого раздела, что позволит определить качество усвоения материала и уровень подготовки к экзаменам.

Курс рассчитан на 20 часов для 9 класса. Он включает в себя знакомство с самим понятием параметра и с системой упражнений, предназначенных для отработки навыков решения задач с параметрами, для самостоятельного решения типовых задач, для подготовки учащихся к итоговой аттестации. По инициативе учителя курс может быть продолжен решением неравенств с параметрами, а также решением систем уравнений и неравенств с параметром.

Цель курса: развить представления о параметре, выделять параметр из текста задачи; научить решать задачи в общем виде, выделять частные случаи решения задач из общего решения; научить оформлять решение задачи с параметром; изучить различные виды задач и способы их решения; развить пространственные представления, логическое мышление и речь; сформировать представления об изучаемых понятиях и методах как важнейших средствах математического моделирования реальных процессов и явлений.

Задачи курса: овладение системой знаний и умений, необходимых для решения задач с параметрами, для дальнейшего их применения в практической деятельности, продолжения образования; интеллектуальное развитие, формирование таких качеств личности, как ясность и точность мысли, критичность мышления, логического мышления, способности к преодолению трудностей; формирование представлений об методах решения задач с параметрами; воспитание отношения к математике как к части общечеловеческой культуры.

Обучающиеся по окончании курса должны знать: существо понятия параметра, задачи с параметром; приводить примеры задач с параметром; как уравнения с параметрами могут описывать реальные зависимости; каким образом уравнения с параметрами применяются на практике.

Обучающиеся по окончании курса должны уметь: находить параметр в задаче с параметрическими данными; отличать переменную от параметра; определять вид задачи с параметром; находить решение задачи с параметром; записывать развернутый ответ к задаче; строить график, описывающий решение задачи с параметром.

Обучающиеся по окончании курса должны уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для: решения несложных практических задач; устной прикидки и оценки результата решения; интерпретации результатов решения задач с учетом ограничений, связанных с реальными свойствами рассматриваемых процессов и явлений.



Учебный план.

№ п/п	Темы занятий	Количество часов
		всего	теория	практика
1	Линейные уравнения с параметром.	5	2	3
2	Классификация задач по их содержанию на материале квадратных уравнений.	9	4	5
3	Графическая иллюстрация решения уравнений с параметрами.	3	1	2
4	Иррациональные уравнения с параметром.	3	1	2
5	Уравнения с параметром, содержащие знак модуля.	3	1	2
	Итого.	23	9	14

Содержание курса.

Тема 1. Линейные уравнения с параметром. (4 ч).

Введение понятия параметра. Исследование количества корней линейного уравнения. Знакомство с видами линейных уравнений с параметрами и их характеристиками. Определение области допустимых значений уравнения с параметром.

Практическая работа. Решение линейных уравнений, в которых указано некоторое значение параметра. Поиск решения линейных уравнений в зависимости от установленных значений параметра. Решение линейных уравнений с параметрами с дополнительными данными в условии задачи. Проведение контрольной работы.

Тема 2. Классификация задач по их содержанию на материале квадратных уравнений. (8 ч).

Исследование условия существования корней квадратного уравнения и их количества. Знакомство с классификацией квадратных уравнений по их содержанию и алгоритмом их решений. Обобщение классификаций задач с параметрами по их типу.

Практическая работа. Решение квадратных уравнений с «ограничениями» для решения. Решение задач на использование теоремы Виета. Решение задач, в которых указан промежуток для решения. Решение задач на расположение корней квадратного уравнения. Проведение контрольной работы.

Тема 3. Графическая иллюстрация решения уравнений с параметрами. (3 ч).

Знакомство с уравнениями, содержащими два параметра. Исследование существования корней таких уравнений. Графическая интерпретация решения уравнений с параметрами. Чтение графической модели решения уравнения.

Практическая работа. Решение уравнений с параметром графическим методом. Исследование каждого этапа решения уравнения на графике. Выявление взаимосвязи между параметрами и переменной.

Тема 4. Иррациональные уравнения с параметром. (3 ч).

Обобщение знаний об иррациональных уравнениях. Исследование существования корней иррационального уравнения.

Практическая работа. Решение иррациональных уравнений с параметром. Нахождение области допустимых значений решения и его зависимость на параметр.

Тема 5. Уравнения с параметром, содержащие знак модуля. (2 ч).

Обобщение знаний по теме «Модуль». Использование определения модуля для решения уравнений, содержащих знак модуля.

Практическая работа. Способы решения уравнений с параметром, содержащих знак модуля. Итоговый контроль полученных знаний.

Тезаурус.

Параметр- фиксированная, заданная величина, обозначенная буквой.

Задача с параметром- задача, в которой какая-нибудь данная или несколько из данных величин обозначены буквами (параметрами).

Литература

Амелькин В.В., Рабцевич В.Л. Задачи с параметрами: справочное пособие по математике.- 2 изд.- Минск: Асар,2002.

Вавилов В.В. и др. Задачи по математике. Алгебра: справочное пособие.- М.: Наука, 1987.

Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами.

Журнал «Математика в школе» № 2, 2000г.

Газета «Математика» № 13, 2007г.

Приложение 1

Контрольная работа.

Вариант 1.

1. Решите уравнение: а) ; б) ; в) .

2. При каком значении а прямые пересекаются в точке, принадлежащей оси абсцисс?

Вариант 2.

1. Решите уравнение: а) ; б) ; в) .

2. Графики функций пересекаются в точке с абсциссой, равной -2. Найдите ординату точки пересечения.

Ответы.

В-1. 1.а) Если а?0, а?3, то ; если а=3, то х - любое число; если а=0, то решений нет; б) если t?-3, t?-2, t?-1, то ; если t=-3, или t=-2, или t=-1, то решений нет; в) если а?0, b?0, то , если а=0, b=0, то решений нет. 2. При а=-2.

В-2. 1. а) Если m?0, m?1, то ; если m=1, то х - любое число; если m=0, то решений нет; б) если m?1, m?2, m?3, то ; если m=1, или m=2, или m=3, то решений нет; в) если b?0, то ; если b=0, то решений нет. 2. y=-2.



Приложение 2

Контрольная работа.

Вариант 1.

1. Решите уравнение , если x- параметр.

2. При каких а уравнение имеет единственное решение?

3. Найти все значения а, при которых корни уравнения заключены между числами 2 и 4.

4. При каких а уравнение имеет более одного решения?

Вариант 2.

1. Решите уравнение , если а - параметр.

2. При каких а уравнение имеет единственное решение?

3. Найти все значения а, при которых уравнение имеет два корня, каждый из которых принадлежит интервалу (-1;1).

4. При каких а уравнение имеет более одного решения?

Ответы.

В-1. 1. При х=2,, то а=-1; 2. При а=-13 и а=-4; 3. При а=3; 4. При ає(-8;-6)u(-6;2).

В-2. 1. При а=2, х=1/4; при а=1, х=-1; при а=6, х=3 и х=1; 2. При а=20 и а=-4; 3. При а<1/4; 4. При а=-2 и ає(-1/20; ).

Приложение 3

Контрольная работа. (итоговая)

Вариант 1.

1. Решить уравнение .

2. Найти все значения параметра p, при каждом из которых квадратное уравнение имеет одно решение.

3. Решите уравнение .

4. Выясните, при каких значениях параметра а уравнение имеет ровно один корень.

Вариант 2.

1. Решить уравнение .

2. Найти все значения параметра p, при каждом из которых квадратное уравнение имеет ровно одно решение.

3. Решить уравнение .

4. Выясните, при каких значениях параметра а уравнение имеет ровно один корень.

Ответы.

В-1. 1. При а?0, ; 2. ; 3. При а?0 и b?1 решений нет; в остальных случаях уравнение имеет единственное решение х=1; 4. х=5 при а?5 - единственный корень.

В-2. 1. При p?0, p?5 . 2. ; 3. Если а?0, то х=1; если а=0, то х=1, х=-1. 4. При а<0 х=-2а - единственный корень.

IV.2 Элективный курс по решению уравнений с параметрами для 10-11 классов

Пояснительная записка.

Практика экзаменов по математике показывает, что задачи с параметрами представляют для учащихся наибольшую сложность. Именно поэтому необходимо введение элективного курса для 10 и 11 классов. Основная цель такого курса - повысить математическую подготовку учащихся к ЕГЭ.

Спецификой задач с параметрами является то, что наряду с неизвестными величинами в них фигурируют параметры, численные значения которых не указаны конкретно, но считаются конкретными и заданными на некотором числовом множестве. При этом значения параметров существенно влияют на логический и технический ход решения задачи и форму ответа. Ответ в задачах с параметрами, как правило, имеет развернутый вид: при конкретных значениях параметра ответы могут значительно различаться.

Трудности решения задач такого рода вызваны прежде всего тем, что в любом случае, даже при решении простейших уравнений или неравенств, содержащих параметры, приходится производить ветвление всех значений параметров на отдельные классы, при каждом из которых задача имеет решение. При этом следует четко и последовательно следить за сохранением равносильности решаемых уравнений или неравенств с учетом области определения выражений, входящих в уравнение или неравенство, а также учитывать выполнимость производимых операций.

Некоторое представление о решении уравнений и неравенств с параметрами и о разветвленной записи ответа учащиеся получают уже в курсе алгебры 6-7 классов при рассмотрении в общем виде линейных, а затем квадратных уравнений.

На таком же уровне в школьном курсе рассматриваются линейные и квадратные неравенства. Этих знаний вместе с элементарными представлениями о равносильности уравнений ил неравенств вполне достаточно, чтобы на их основе положить начало выработке навыков решения стандартных линейных или квадратных уравнений и неравенств или приводимых к ним уравнений и неравенств. Однако школьная программа не предусматривает выработки прочных навыков решения таких задач всеми учащимися, и углубленное изучение соответствующих методов может быть достигнуто только на курсах по выбору в 9 классе и элективных курсах в 10 и 11 классах.

Овладение же методикой решения уравнений с параметрами очень полезно: оно существенно повышает уровень математической подготовки учащихся, позволяет чуть по-новому, как бы изнутри взглянуть на такие «банальные» функциональные зависимости, подробно анализируемые школьной программой, как, к примеру, различные виды уравнений.

В данном курсе рассматриваются основные методы и идеи решения задач с параметрами. Разбираемые и предлагаемые для самостоятельного решения задачи подобранны в соответствии с действующими программами экзаменов по математике.

Актуальность элективного курса заключается в том, что он способствует расширению знаний для успешной сдачи экзаменов и дальнейшего обучения в высших учебных заведениях.

Данный курс предполагает рассмотрение встречающихся в 10 и 11 классах уравнений глубже и шире. Для 10 класса курс рассчитывает 35 часов, для 11 - 35 часов. Занятия на элективных курсах проводятся в виде лекций и практических занятий. Освоение учащимися материала проверяется с помощью выполнения ими задач для самостоятельного решения. В конце курса предусмотрено проведение тестовой работы.

Цели курса:

· познакомить с алгоритмом решения уравнений, систем уравнений, неравенств с параметром;

· научить выделять параметр из текста задачи;

· научить решать задачи в общем виде, выделять частные случаи решения задач из общего решения;

· научить оформлять решение задачи с параметром;

· изучить различные виды задач и способы их решения;

· развить пространственные представления, логическое мышление и речь;

· сформировать представления об изучаемых понятиях и методах как важнейших средствах математического моделирования реальных процессов и явлений.

Задачи курса:

Образовательные:

· овладение системой знаний и умений, необходимых для решения задач с параметрами, для дальнейшего их применения в практической деятельности, продолжения образования;

· формирование представлений о методах решения задач с параметрами;

Развивающие:

· интеллектуальное развитие, формирование таких качеств личности, как ясность и точность мысли, критичность мышления, логического мышления, способности к преодолению трудностей;

· формирование грамотной математической речи учащихся с применением математических терминов;

Воспитательные:

· воспитание отношения к математике как к части общечеловеческой культуры.

Методы работы.

Для достижения поставленных целей и задач особое место в программе занимают следующие формы работы:

ь Лекции.

ь Практические занятия.

ь Самостоятельные работы.

Методы обучения:

Ш Частично-поисковый.

Ш Репродуктивный.

Ш Лекция.

Формы обучения:

v Индивидуальная.

v Групповая.

Планируемый результат.

Обучающиеся по окончании курса должны знать: существо понятия параметра, задачи с параметром, алгоритма решения задачи с параметром; приводить примеры задач с параметром; как уравнения с параметрами могут описывать реальные зависимости; каким образом уравнения с параметрами применяются на практике.

Обучающиеся по окончании курса должны уметь: находить параметр в задаче с параметрическими данными; отличать переменную от параметра; определять вид задачи с параметром; находить решение задачи с параметром; записывать развернутый ответ к задаче.

Обучающиеся по окончании курса должны уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для: решения несложных практических задач; устной прикидки и оценки результата решения; интерпретации результатов решения задач с учетом ограничений, связанных с реальными свойствами рассматриваемых процессов и явлений.

Оценка качества знаний.

При оценке качества знаний будут использованы задания для самостоятельного решения, итоговый тест. Причем будет учитываться не только правильность ответа, но и сам ход решения, выбор метода решения, умение объяснить свой ход мыслей, полнота решения.

Тезаурус.

Переменные a,b,c,…,k, которые при решении уравнения или неравенства считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение - уравнением, содержащим параметры.

Решить уравнение с параметром - значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.

Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:

1) Они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

2) Каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.

Неравенство , где - параметры, а x - действительная переменная величина, называется неравенством с одним неизвестным, содержащим параметры.

Действительное число x0 называется частным решением неравенства, если это неравенство верно при любой системе допустимых значений параметров.

Множество всех частных решений неравенства называется общим решением этого неравенства.

Два неравенства называются равносильными, если они имеют одинаковые общие решения при одном и том же множестве систем допустимых значений параметров.

Учебный план (10 класс)

№ п/п	Темы занятий	Количество часов
		всего	теория	практика
1	Основные понятия. Алгоритм решения.	3	2	1
2	Тригонометрические уравнения с параметрами, сводящиеся к однородным.	5	1	4
3	Тригонометрические уравнения с параметрами, решаемые введением новой переменной.	5	1	4
4	Тригонометрические уравнения с параметрами, решаемые заменой переменной.	6	1	5
5	Решение систем тригонометрических уравнений с параметром.	7	2	5
6	Решение тригонометрических неравенств с параметром.	7	2	5
7	Итоговая проверка знаний.	1	-	1
8	Итоговый урок.	1		1
	Итого.	35	9	26

Содержание курса.

Тема 1. Основные понятия. Алгоритм решения (3 ч).

Знакомство с основными понятиями, встречающимися в ходе изучения элективного курса. Знакомство с алгоритмом решения уравнений и неравенств с параметрами. Исследование области допустимых значений функций.

Тема 2. Тригонометрические уравнения с параметрами, сводящиеся к однородным (5 ч).

Обобщение методов решения однородных тригонометрических уравнений и их применение при решении похожих задач с параметрами. Исследование области допустимых значений параметра и переменной.

Тема 3. Тригонометрические уравнения с параметрами, решаемые введением новой переменной (5 ч).

Обобщение методов решения тригонометрических уравнений введением новой переменной и применение этих методов при решении подобных задач с параметрами. Нахождение области допустимых значений параметра.

Тема 4. Тригонометрические уравнения с параметрами, решаемые заменой переменной (6 ч).

Обобщение методов решение тригонометрических уравнений заменой переменной и применение этих методов при решении задач с параметрами. Выявление различия между методом введения переменной и метода замены переменной. Исследование области допустимых значений параметра и переменной. Выполнение задач для самостоятельного решения.

Тема 5. Решение систем тригонометрических уравнений с параметром (7 ч).

Разбор методов решения систем уравнений. Выбор подходящего метода решения конкретной системы уравнений с параметрами. Выявление влияния параметра на ход решения системы уравнений. Исследование условий существования решения системы. Проверка решения системы с областью допустимых значений.

Тема 6. Решение тригонометрических неравенств с параметром (7 ч).

Рассмотрение методов решения тригонометрических неравенств. Решение с помощью этих методов неравенств с параметрами. Связь решения неравенства с областью допустимых значений параметра и переменной. Зависимость свойств функций на значение параметра. Выполнение задач для самостоятельного решения.

Тема 7. Итоговая проверка знаний (1 ч).

Проведение тестового контроля.

Тема 8. Итоговый урок (1 ч).

Подведение итогов. Анализ результатов.

Учебный план (11 класс)

№ п/п	Темы занятий	Количество часов
		всего	теория	практика
1	Показательные уравнения с параметрами.	5	2	4
2	Показательные неравенства с параметрами.	6	1	5
3	Логарифмические уравнения с параметрами.	5	2	4
4	Логарифмические неравенства с параметрами.	6	1	5
5	Другие уравнения с параметрами.	9	2	7
6	Итоговая проверка знаний.	1	-	1
7	Итоговый урок.	1		1
	Итого.	35	8	27

Содержание курса.

Тема 1. Показательные уравнения с параметрами (5 ч).

Обобщение методов решения показательных уравнений и их применение при решении показательных уравнений с параметрами. Исследование области допустимых значений параметра и переменной. Определение количества корней в зависимости от параметра. Влияние свойств функции на решение уравнения.

Тема 2. Показательные неравенства с параметрами (6 ч).

Обобщение методов решения показательных неравенств и их применение при решении показательных неравенств с параметрами. Исследование области допустимых значений параметра и переменной. Влияние свойств функции на решение неравенства. Выполнение задач для самостоятельного решения.

Тема 3. Логарифмические уравнения с параметрами (5 ч).

Обобщение методов решения логарифмических уравнений и их применение при решении логарифмических уравнений с параметрами. Исследование области допустимых значений параметра и переменной. Определение количества корней в зависимости от параметра. Влияние свойств функции на решение уравнения.

Тема 4. Логарифмические неравенства с параметрами (6 ч).

Обобщение методов решения логарифмических неравенств и их применение при решении логарифмических неравенств с параметрами. Исследование области допустимых значений параметра и переменной. Влияние свойств функции на решение неравенств. Выполнение задач для самостоятельного решения.

Тема 5. Другие уравнения с параметрами (9 ч).

Решение уравнений с параметрами, в которых встречается несколько различных функций: тригонометрическая и логарифмическая; логарифмическая и показательная. Методы перехода к функции одного вида. Выполнение задач для самостоятельного решения.

Тема 6. Итоговая проверка знаний (1 ч).

Проведение тестового контроля.

Тема 7. Итоговый урок (1 ч).

Подведение итогов. Анализ результатов.

Литература для учителя.

1. Е.Ю. Никонов. Параметр. Самара - 1998.

2. Еженедельная учебно-методическая газета "Математика" №36/2001; №4/2002; №22/2002; №23/2002; №33/2002.

3. Ефимов Е.А., Коломиец Л.В. Задачи с параметрами. Учебное пособие. Самара - 2002.

4. Амелькин В. В. и Рабцевич В. Л. “Задачи с параметрами” . Издательство “Асар”. Минск 1996 г.

5. Вавилов В.В. и др. Задачи по математике. Алгебра: справочное пособие.- М.: Наука, 1987.

6. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами.

Литература для учащихся.

1. Л. Солуковцева « Уравнения и неравенства с параметрами», Москва, Чистые пруды,2007.

2. Сборники заданий для подготовки к ЕГЭ.

3. Г.А. Ястребинецкий, «Задачи с параметрами», М. Просвещение,1986

Приложение 1

Задачи для самостоятельного решения.

Вариант 1.

1. В зависимости от значений параметра а решите уравнение .

2. При каких значениях параметра а уравнение не имеет решений?

3. При каких значениях параметра а значение выражения будет равно -1 хотя бы при одном значении х?

4. Решить уравнение: cos =2а.

5. Решить уравнение: tg ax2 =

Ответы.

В-1. 1. Если в остальных случаях решений нет; 2. ; 3. ; 4. если |a| > 0,5, решений нет; если |a| ?0,5 , х = 1+(2?n+аrссоs2а)2при n = 0, 1, 2,... и х=1+(2?n-arccos2a)2 при n N; 5. при а = 0 решений нет; при а > 0 и n = 1,2,3,… или а < 0 и n Z х = ± .

Вариант 2.

1. В зависимости от значений параметра а решите уравнение .

2. При каких значениях параметра а значение выражения не равно нулю ни при каких значениях х?

3. При каких значениях параметра а уравнение не имеет решений.

4. Решите уравнение: а sin bx = 1

5. Решить уравнение: tg ax2 =

Ответы.

В-2. 1. Если , в остальных случаях корней нет; 2. ; 3. ; 4. при а = 0 или > 1 и а 0 или а 0 b = 0 решений нет, при а 0 и ? 1 и b 0 х = ; 5. при а = 0 решений нет; при а > 0 и n = 1,2,3,… или а < 0 и n Z х = ± .

Приложение 2.

Задачи для самостоятельного решения.

Вариант 1.

1. При каких значениях параметра а система имеет решения? Найти эти решения в зависимости от значений параметра а.

2. Решить неравенство на в зависимости от значений параметра а.

3. При каких значениях параметра а решением данного неравенства служит любое действительное число: ?

4. При каких значениях параметра а система уравнений , имеет единственное решение?

Ответы.

В-1. 1. Если 2. ; 3. ; 4. а=2.

Вариант 2.

1. При каких значениях параметра а система имеет решения? Найти эти решения в зависимости от значений параметра а.

2. В зависимости от значений параметра а решите неравенство .

3. При каких значениях параметра а решением данного неравенства служит любое действительное число: .

4. При каких значениях параметра а система уравнений , имеет единственное решение?

Ответы.

В-1. 1. Если , если ; 2. 3. ; 4. а=2.

Приложение 3.

Тест.

Вариант 1.

1. Решите уравнение 3 cos x = 4b + 1 для всех значений параметра.

а) при b ( -1; 0,5 ) х = ± arcos ; при b(-?;-1]U[0,5;+?) реш.нет;

б) при b [ -1; 0,5 ] х = ± arcos ; при b(-?;-1)U(0,5;+?) реш.нет;

в) b(-?;-1]U[0,5;+?) х = ± arcos ; b ( -1; 0,5 ) при реш.нет;

2. Найдите все действительные значения параметра а, при которых уравнение sin2 x - 3sin x + a =0.

а) a [ -4; 2 ] ; б) а ( -4 ; 2) ; в) а [ - 4; 2 ).

3. При каких значениях а уравнение cos4 x + sin4 x = a имеет корни?

а) a [ 0,5; 1 ] ; б) а [ -1 ; 0,5 ] ; в) а [ - 0,5; 1 ).

Вариант 2.

1. Решите уравнение cos (3x +1 ) = b для всех значений параметра.

а) при |b| ? 1 х = ; при |b| > 1 реш.нет;

б) при |b| ? 1 и b=0 х = ; при |b| > 1 реш.нет;

в) при |b| > 1 х = ; при |b| < 1 реш.нет;

2. Найдите все действительные значения параметра а, при которых уравнение cos2 x + asin x =2 a -7.

а) a ( 2 ; 6 ) ; б) а ( 2 ; 4 ] ; в) а [ 2 ; 6 ].

3. При каких значениях а уравнение cos6 x + sin6 x = a имеет корни?

а) a [ 0,25; 0,5 ] ; б) а [ 0,25 ; 1 ] ; в) а [ - 0,25; 1 ].

Приложение 4.

Задачи для самостоятельного решения.

Вариант 1.

В зависимости от значений параметра а решите уравнение или неравенство:

1.

2.

3.

4.

5.

Ответы.

В-1. 1. Если а?-1, то решений нет; если -1?а<0, то , если а>0, то ; 2. 3. Если 0<а<1, то , если а=1, то , если а>1, то ; 4. Если а?0, то , если а>0, то ; 5. Если а, если -4<а<-2, то , если а=-2, то решений нет, если -2<а<0, то , если а?0, то .

Вариант 2.

В зависимости от значений параметра а решите уравнение или неравенство:

1.

2.

3.

4.

5.

Ответы.

В-2. 1. ; 2. ; 3. Если а<0, то, если а=0, то решений нет, если а>0, то ; 4. Если а?-1, то , если -1<а<-1/2, то , если а=-1/2, то , если -1/2<а<0, то , если а?0, то ; 5. Если а, если -4<а<-2, то , если а=-2, то решений нет, если -2<а<0, то , если а?0, то .

Приложение 5.

Задачи для самостоятельного решения.

Вариант 1.

1. В зависимости от значений параметра а решите уравнение .

2. При каких значениях параметра а уравнение имеет два корня, расстояние между которыми больше 8?

3. В зависимости от значений параметра а решите неравенство .

4. При каких значениях параметра а для любого х<0 выполняется неравенство ?

5. При каких допустимых значениях параметра а неравенство не выполняется ни при каких х?

Ответы.

В-1. 1. Если , ; если , то решений нет; если ; 2. ; 3. Если ; 4. ; 5. ; .

Вариант 2.

1. В зависимости от значений параметра а решите уравнение .

2. При каких значениях параметра а уравнение имеет два корня, расстояние между которыми меньше ?

3. В зависимости от значений параметра а решите неравенство .

4. При каких допустимых значениях параметра а неравенство выполняется при любых х?

5. При каких значениях параметра а неравенство имеет 2 целых решения?

Ответы.

В-2. 1. Если ; 2. ; 3. Если если то ; 4. ; 5. .

Приложение 6.

Задания для самостоятельного решения.

Вариант 1.

1. При каких значениях параметра а значение выражения больше значения выражения при всех допустимых значениях х?

2. При каких значениях параметра а сумма равна единице ровно при одном х?

3. Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение имеет единственное решение.

4. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение имеет три различных корня; найдите эти корни:

Ответы.

В-1. 1. ; 2. ; 3. , ; 4. При ; при

Вариант 2.

1. При каких значениях параметра а значение выражения больше значения выражения при всех допустимых значениях х?

2. При каких значениях параметра а сумма , больше единицы при всех х?

3. Найдите все значения параметра a из промежутка при каждом из которых больший из корней уравнения принимает наибольшее значение.

4. Для каждого значения параметра a определите число решений уравнения

Ответы.

В-2. 1. ; 2. ; 3. при a = 1; 4. Если тогда уравнение не имеет корней, если и тогда уравнение имеет два корня, если тогда уравнение имеет три корня, если тогда уравнение имеет четыре корня.

Приложение 7.

Тест.

Вариант 1.

1. Решите уравнение

а) при а ? 0 х R ; при а > 0, а1 х = 2; при а = 1 не имеет смысла.

б) при а > 0 х R ; при а = 1 х = 2; при а ? 0 не имеет смысла.

в) при а = 1 х R ; при а > 0, а1 х = 2; при а ? 0 не имеет смысла.

2. При каких значениях параметра уравнение 4х - а2 х+1 - 3а2 + 4а = 0 имеет единственное решение?

а) 2; б) 1 ; в) -1.

3. Решите уравнение log a x 2 + 2 log a ( x + 2) = 1.

а) при а ? 1 х = 0,5( 2+ ) ; при а =100 х = 1.

б) при а > 100 реш. нет; при 1<a<100 х = 0,5( 2+ ); при а =100 х = 1;

при а ? 1 не имеет смысла .

в) при а > 100 реш.нет ; при 1<a<100 х = 0,5( 2+ ) ;

при а ? 1 не имеет смысла .

4. Найдите все значения параметра, для которых данное уравнение имеет только один корень 1+ log 2 (ax) = 2 log 2 (1 - x)

а) а > 0, а = 2 ; б) а > 0, а = - 2 ; в) а < 0, а = - 2 .

5. Решите уравнение а > 0, а1

а) а ; ; б) а2 ; - ; в ) а2 ;

Вариант 2.

1. Решите уравнение

а) при а ? 0 х R ; при а > 0, х = 1; при а = 1 не имеет смысла.

б) при а = 1 х R ; при а > 0, а1 х = 1; при а ? 0 не имеет смысла.

в) при а > 0х R ; при а = 1 , х = 1; при а ? 0 не имеет смысла.

2. При каких значениях параметра уравнение а( 2 х + 2-х ) = 5 имеет единственное решение?

а) -2,5; 2,5 ; б) 2; 2,5 ; в) -2,5.

3. Решите уравнение 3 lg (x - а) - 10 lg ( x - а)+1 = 0.

а) х = а + 1000, х = а + 3v10 ;

б) х = а - 3v10 , х = а -1000 ;

в) х = а - 3v10 , х = а + 1000 .

4. Найдите все значения параметра, для которых данное уравнение имеет только один корень

а) 4 ; б) -4 ; в) - 2

5. Решите уравнение а > 0, а1

а) -1 ; а ; б) 1 ; - а; в ) 1 ; а



V. Заключение

Данная работа показывает, прежде всего, что так называемая элементарная математика даже в ограниченном контексте - задачи с параметрами - представляет собой весьма широкое поле для полноценной математической деятельности - во всяком случае более широкое, чем многочисленные зачастую вполне алгоритмические задачи на вычисление пределов, производных и интегралов, которыми наполнены практические занятия студентов по «высшей математике».

Решение задач, а точнее, уравнений с параметрами, открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применимых в исследованиях и на любом другом математическом материале.

Исследование показало, насколько далеко практика выпускных экзаменов оторвалась от школы, насколько велики «ножницы» между требованиями, которые предъявляет к своему выпускнику школа, и требованиями, которые предъявляет к своему поступающему вуз.

Поэтому я высказала в своей работе необходимость издания массовой литературы, посвященной трудным вопросам школьной математики, важным для подготовки к ЕГЭ, но не рассматривающимся, по разным причинам, в школьном курсе. Также большую роль играет сам учитель, которому необходимо создавать различные программы для курсов по выбору, элективных курсов, факультативных занятий. Учитель, все в твоих руках.

Размещено на Allbest.ru