Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

Глава 1. Теоретические аспекты решения уравнений и неравенств с параметрами в школьном курсе математики

1.1 Роль параметра в школьном курсе математики

1.2 Методы решения уравнений и неравенств с параметрами

Глава 2. Методические аспекты обучения решению уравнений и неравенств с параметрами в основной школе

2.1 Анализ школьных учебников по алгебре на наличие уравнений и неравенств с параметрами

2.2 Курсы по выбору в школе

2.3 Методика обучения решению уравнений и неравенств с параметрами в ходе курсов по выбору

Глава 3. Курс по выбору «Уравнения и неравенства с параметрами» в 11 классе

3.1 Программа курса

3.2 Конспекты занятий

Заключение

Список литературы



Введение

В объяснительной записке программ по математике для общеобразовательных учреждений говорится: «Ведущая роль принадлежит математике в формировании алгоритмического мышления, воспитании умений действовать по алгоритму и конструировать новые». Задачи с параметрами имеют огромное значение в формировании логического мышления, исследовательских умений, математической культуры учащихся. Но для учащихся их решение является затруднительным, так как их изучение не является отдельной составляющей в школьном курсе математики. В основном, подробное, более глубокое изучение задач с параметрами осуществляется на факультативных занятиях, а не на самих уроках.

Для основной массы школы задачи с параметрами непривычны, а для некоторых они являются сложными. Для их решения мало обычного применения формул, в процессе их решения нужно понимать закономерности и уметь анализировать отдельные случаи с помощью общих свойств объекта. При решении задач с параметрами должны присутствовать системность и последовательность.

Объем знаний, который необходимо усвоить ученику для освоения школьного курса математики, сильно возрастает, а количество часов, отведенное для занятий по данному предмету, остается тем же. Это касается не только темы «Уравнения и неравенства с параметром», но и других различных тем по алгебре и геометрии. В связи с этим возникает необходимость введения элективных курсов (курсов по выбору) по математике. Это позволяет в более полном объеме освоить курс математики, а также способствует успешному участию учеников в олимпиадах различного уровня. Кроме того, благодаря курсам по выбору, школьники учатся решать задания, отсутствующие в учебниках, но встречающиеся на ОГЭ и ЕГЭ.

Объектом исследования является процесс обучения математике в средней общеобразовательной школе.

Предмет исследования - методические особенности обучения решению уравнений и неравенств с параметром в школе.

Актуальность выбранной темы состоит в том, что умение решать задачи с параметрами позволяет проверить истинные знания ученика, а не его натренированность в процессе решения однотипных задач. Так же большую роль играет и то, что задачи с параметрами встречаются в ОГЭ и ЕГЭ, что говорит о важности умения учеников решать такие задачи. Вместе с тем, знаний, полученных в рамках школьной программы, недостаточно для решения данного типа заданий. Поэтому целесообразно изучение заданий с параметром в рамках курса по выбору.

Цель работы состоит в разработке методики обучения решению уравнений и неравенств с параметрами в рамках курса по выбору по математике.

Гипотеза исследования заключается в том, что разработка данного элективного курса поможет обеспечить более углубленное изучение школьниками методов решения уравнений и неравенств с параметром, расширить возможности развития мыслительной деятельности учащихся.

Чтобы осуществить эту цель необходимо решить следующие задачи:

1. Рассмотреть, как в различных учебниках вводится понятие «параметр» (анализ действующих учебников).

2. Рассмотреть типы уравнений и неравенств с параметрами, которые встречаются в школьной программе.

3. Разработать методику обучения решению уравнений и неравенств, содержащих параметр.

4. Разработать элективный курс для учащихся 11-го класса по теме «Уравнения и неравенства с параметром».



Глава 1. Теоретические аспекты решения уравнений и неравенств с параметрами в школьном курсе математики

1.1 Роль параметра в школьном курсе математики

Первое знакомство с параметрами следует проводить в 7 классе, когда школьники изучают линейные уравнения. Это нужно сделать для того, чтобы в дальнейшем у учеников не было затруднений при встрече с параметрами в старших классах. Кроме того, во время изучения данной темы у учеников будут развиваться логика, внимание и память.

В применении навыков к уравнениям и неравенствам с параметрами можно выделить следующие умения к исследованию:

1) Умение отнести уравнение или неравенство с параметром к тому или иному классу задач, выразив его через параметр;

2) Умение определять в зависимости от параметров вид уравнения или неравенства и указывать вид коэффициентов;

3) Умение выражать условия наличия или отсутствия решений параметрического задания через параметры;

4) если корни присутствуют, уметь выражать условия их количества;

Уравнения и неравенства с параметрами носят развивающий характер, так как они могут реализовать различные виды мыслительной деятельности школьников. В них входят: умение выявить наличие и количество корней, выработка алгоритмов мышления, выражение одной переменной через другую, повторение большого объема формул при решении, знание различных методов решения, широкое применение не только словесной, но и графической аргументации, развитие графической культуры учащихся.

На начальных этапах изучения параметра у учеников возникает большое количество трудностей. Главная из них - неопределенность - когда параметр нужно считать переменной величиной, а когда постоянной. В связи с этим в самом начале изучения параметра очень полезно как можно чаще изображать полученные результаты графически. Это помогает не только устранить боязнь параметра у ученика, но и помогают учителю приучать учеников решать и доказывать задачи с параметрами графическим способом. Так же, не стоит забывать о том, что схематическая иллюстрация помогает навести учеников на правильный способ решения. Для некоторых типов задач даже примитивный рисунок способен, если не решить задачу, но хотя бы помочь избежать ошибки в ее решении. В процессе решения математических задач ученикам приходиться использовать те навыки, которые только начинают зарождаться в подростковом возрасте.

В ЕГЭ постоянно входят задания с параметром, которые раньше присутствовали на вступительных экзаменах в ВУЗ с высокими требованиями к математической подготовке абитуриентов. Опыт показывает, что в период с 2012 года более 80 % учащихся даже не приступают к выполнению задания с параметром. Кроме того, чаще всего, учителя даже не разбирают с учащимися эти задания, потому что считают их заданиями повышенного уровня сложности. В учебно-методических комплектах по математике, которые рекомендует использовать Министерство образования в общеобразовательной школе, уравнения и неравенства с параметрами занимают не более 1 % от всего материала. Учащиеся, которые умеют решать задания с параметрами, лучше справляются с другими задачами, поэтому в школьной математике таким задачам следует уделять больше внимания.

1.2 Методы решения уравнений и неравенств с параметрами

Рассмотрим четыре больших класса задач с параметрами:

1. Уравнения, неравенства и их системы, которые необходимо решить для каждого значения параметра, либо для его значений, которые принадлежат определенному множеству.

2. Уравнения, неравенства и их системы, для которых необходимо выявить количество решений в зависимости от значения параметра.

3. Уравнения, неравенства и их системы, для которых необходимо найти все значения параметра, при которых данные уравнения (системы, неравенства) имеют заданное число решений.

4. Уравнения, неравенства и их системы, множество решений которых (при искомых значениях параметра) удовлетворяет заданным условиям.

Методы решений задач с параметрами.

1. Аналитический метод.

Это способ прямого решения, повторяющий стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.

Пример 1. Найдите все значения параметра , при которых уравнение:

имеет не более одного корня. [9; с. 35]

Решение:

При данное уравнение квадратным не является, поэтому случай разбираем отдельно.

Если , то уравнение принимает вид , оно имеет один корень.

Если , то уравнение является квадратным; чтобы оно имело не более одного корня необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был неположителен:

Чтобы записать окончательный ответ, необходимо понять, удовлетворяет ли условию, а для этого надо сравнить числа и .

Очевидно, что .

Ответ: .

Пример 2. При каких неравенство выполняется для всех ?

1 случай.

Это значит, что

2 случай.

А это значит, что

Чтобы неравенство выполнялось при всех :

Ответ: .

Пример 3. Найдите значение параметра , при котором система уравнений

а) имеет бесконечное множество решений;

б) не имеет решений.

Из первого уравнения найдем и подставим его во второе уравнение. Получим линейное уравнение число решений которого совпадает с числом решений системы.

а) Линейное уравнение имеет бесконечное множество решений тогда и только тогда, когда оно имеет вид т.е. .

б) Линейное уравнение не имеет решений, если оно имеет вид , где Следовательно,

Ответ: а) б)

2. Графический метод.

В зависимости от задачи (с переменной и параметром ) рассматриваются графики в координатной плоскости или в плоскости .

Пример 4. Для каждого значения параметра определите количество решений уравнения . [2; с. 28]

Решение:

Заметим, что количество решений уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций и .

График функции показан на рис.1.

Рис.1

График функции на рис.2.



Рис. 2

График функции на рис.3.

Рис. 3

- это горизонтальная прямая. По графику несложно установить количество точек пересечения в зависимости от (например, при - две точки пересечения; при - восемь точек пересечения).

Ответ: при - решений нет;

при и - четыре решения;

при - восемь решений;

при - семь решений;

при - шесть решений;

при - два решения.

Пример 5. Для всех значений параметра решить неравенство

Решим неравенство методом областей, для чего в системе координат нарисуем кривую

В каждой из областей, на которые разбилась плоскость параболой и прямой , функция , как непрерывная функция двух переменных и , сохраняет знак.

В точке эта функция отрицательна, так как

Следовательно, по свойству сохранения знака, функция отрицательна во всей «верхней» области, в которой расположена точка Аналогично определяются знаки функции и в остальных областях. Они указаны на рисунке. Исходному неравенству, имеющему вид удовлетворяют точки областей, отмеченных со знаком плюс, включая их граничные точки.

Из уравнений , найдем уравнения границ областей, в которых выполняется неравенство, как функции от параметра: - уравнение правой ветви параболы; - уравнение левой ветви параболы; - уравнение прямолинейных участков границ.

При каждом конкретном значении параметра решениями исходного неравенства являются все точки проекций на ось тех частей прямой , которые принадлежат областям, отмеченным со знаком плюс, включая их границы. Например, при проекция такой части прямой на ось состоит из одного луча , где , а при она состоит из точки и луча . Если же , то на имеем отрезок и луч , и т.д. Таким образом, на основании рисунка получаем

Ответ: при

при ;

при ;

при ;

при ;

при ;

при .

Пример 6. Определите, при каких значениях параметра имеет хотя бы одно решение система неравенств .

Воспользуемся графическим методом. Заштрихуем на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств.

Неравенству удовлетворяют координаты точек, лежащих выше гиперболы при , и ниже - при . Неравенство выполняется для точек, лежащих ниже прямой .

Данная система имеет решение, если прямая пересекает заштрихованную область, то есть при .

Ответ:.

3. Метод решения относительно параметра.

При решении этим способом переменные и принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение становится более простым. После упрощений нужно вернуться к исходному смыслу переменных и a и закончить решение.

Пример 7. Найти все значения параметра , при которых уравнение имеет единственное решение. [35; c. 23]

Решение:

Будем решать это уравнение заменой переменных. Пусть , тогда и уравнение примет вид . Теперь задача состоит в том, чтобы найти все , при которых уравнение имеет единственное неотрицательное решение. Это имеет место в следующих случаях.

1) Если , то уравнение имеет единственное решение .

2) Если и , то имеем единственное неотрицательное решение, если корни разных знаков, т.е. .

(При получаем ).

3) Если и , то одно неотрицательное решение имеем при .

Ответ:



Глава 2. Методические аспекты обучения решению уравнений и неравенств с параметрами в основной школе

2.1 Анализ школьных учебников по алгебре на наличие уравнений и неравенств с параметрами

Проведем анализ действующих учебников по алгебре для выяснения того, как представлены в них задания с понятием «параметр» и методы решения уравнений и неравенств, содержащих его.

1. Макарычев Ю. Н. и др.

а) «Алгебра. 7 класс»

При изучении уравнений предложено 2 задания с параметром (№№538, 546). Автор рассматривает простейшие линейные уравнения, однако коэффициент при является параметром и необходимо исследовать уравнение на количество корней или их принадлежность к целым числам.

№ 546. При каком значении корни уравнений и являются противоположными числами?

№ 538. Найдите натуральные значения , при которых является натуральным числом корень уравнения:

а)

б)

Также в этом учебнике в §15 «Линейная функция» в главе 7 «Функции» рассматривается прямая пропорциональность, где автор использует понятие «параметр»,не вводя понятие его. Здесь исследуется расположение графика функции в зависимости от коэффициента, который является параметром.

Далее задания с параметром предлагаются уже только в дополнительных заданиях к главе 8 «Системы линейных уравнений» (№№1214-1216), в которых требуется найти значение параметра, если известна точка пересечения графиков.

№ 1214*. При каком значении прямые и пересекаются в точке, принадлежащей оси , оси ?

№ 1344. При каком значении прямая проходит через точку пересечения прямых и ? [22]

б) «Алгебра. 8 класс»

В данном учебнике есть пункт 27 «Уравнения с параметром». Перед ним есть пометка «Для тех, кто хочет знать больше», т. е. он не разбирается на уроках. Здесь предлагаются два примера на решение уравнений с параметром.

Пример 1. Решить уравнение с параметром .

Пример 2. Решить уравнение с параметром .

За приведенными примерами следуют упражнения (№№ 640 - 649), в которых требуется решить уравнения с параметром. Рассмотрим некоторые из них.

№ 640. Какие случаи надо выделять при решении уравнения с параметром ? Найдите корни уравнения в каждом из этих случаев.

№ 645. При каких значениях параметра имеет единственный корень уравнение:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ?

№ 649. Выясните, при каких значениях параметра равна 7 сумма корней уравнения .

в) «Алгебра. 9 класс»

В данном учебнике, как и в учебнике для 7 класса, теория по задачам с параметрами отсутствует, а задания с параметрами отмечены знаком «Трудная задача». Среди них №№ 379 - 382 на решение квадратных уравнений с параметром.

№ 379. При каких значениях уравнение имеет два корня?

№ 382. При каких значениях уравнение имеет:

а) четыре корня;

б) два корня?

№№ 525, 526 - задания на решение систем уравнений с параметром.

№ 525. Сколько решений может иметь система уравнений где - положительное число?

№526. При каких значениях система уравнений имеет:

а) одно решение;

б) два решения?

Заданий на решение неравенств и их систем с параметром в данном учебнике не встречается.

2. Мордкович А. Г.

Стоит отметить, что данное учебное пособие состоит из 2-х частей: учебника и задачника.

а) «Алгебра. 7 класс».

При изучении линейной функции во второй главе в §7 рассматривается линейное уравнение с двумя переменными и его график, где обучающихся знакомят с параметром в неявном виде. То есть при нахождении корня линейного уравнения с одной переменной накладывается ограничение на переменную . Такие значения переменной, для которых будут соответствовать частные решения, будем называть особыми при изучении параметра.

Номера 10.18-10.20 задачника содержат задания, в которых требуется нахождение коэффициента уравнения если известно решение уравнения, то есть говорится о нахождении значения параметра, если известно решение уравнения. Также содержится ряд заданий, (например, №7.25-7.29) в которых необходимо найти значения переменной, если известно, что график функции проходит через данную точку.

№10.18. Даны две возрастающие линейные функции , . Подберите такие коэффициенты , , , , чтобы их графики были параллельны.

№7.26. Найдите значения коэффициента в уравнении , если известно, что решением этого уравнения является пара чисел: а) (2;1); б) (-3;-2). [24]

б) «Алгебра. 8 класс»

В учебнике для учащихся, которые выбрали повышенный уровень математической подготовки в 8 классе в общеобразовательных школах в главе 6 «Алгебраические уравнения» есть § 39 «Задачи с параметрами», на изучение которого отводится 6 часов. В нем разобрано пять примеров и приведены замечания, также дано определение параметра: «Если дано уравнение , которое надо решить относительно переменной и в котором буквой обозначено произвольное действительное число, то говорят, что задано уравнение с параметром».

Пример 1. Решить уравнение .

Пример 2. Решить уравнение .

Пример 3. Решить уравнение с параметром

.

Пример 4. Сколько корней имеет уравнение при различных значениях параметра ?

Пример 5. Решить уравнение .

В задачнике №№ 39.1 - 39.56 относятся к этому параграфу.

№ 39.2. При каких значениях параметра данное число является корнем уравнения:

а)

б)

в)

г)

№ 39.10. При каких значениях и пара чисел является решением системы уравнений:

а)

б)

№ 39.21. а) При каких значениях параметра системе уравнений удовлетворяет пара равных чисел? Для каждого такого найдите решение системы.

б) При каких значениях системе уравнений удовлетворяет пара противоположных друг другу чисел? Для каждого такого найдите решение системы.

№ 39.38. При каких значениях параметра число является единственным корнем уравнения

№ 39.56. Найдите все пары чисел и , при которых уравнение имеет хотя бы одно решение.

в) «Алгебра. 9 класс»

В учебнике для учащихся, которые выбрали повышенный уровень математической подготовки в 9 классе в общеобразовательной школе в первой главе «Неравенства с одной переменной. Системы и совокупности неравенств» § 7 также присутствует параграф с названием «Задачи с параметрами». На его изучение отводится 6 академических часов. В параграфе разобрано три примера.

Пример 1. Известно, что уравнение имеет действительные корни (один или два). При каких значениях параметра :

а) каждый из корней больше 1;

б) каждый из корней меньше 1;

в) один корень больше, а другой меньше 1?

Пример 2 представляет уравнение с параметром и модулем:

Сколько корней имеет уравнение при различных значениях параметра ?

Пример 3 -- система неравенств с параметром:

При каких значениях параметра системе неравенств удовлетворяет только одно значение переменной ?

В задачнике представлено 76 заданий к этому параграфу (№№ 7.01 - 7.76).

№ 7.01. Для каждого значения параметра решите систему неравенств:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

№ 7.10. Дано неравенство . При каких значениях параметра :

а) решением неравенства является отрезок ;

б) для всех точек отрезка выполняется данное неравенство;

в) данное неравенство выполняется хотя бы для одной точки отрезка ;

г) на отрезке находятся все решения данного неравенства?

№ 7.30. Найдите все значения параметра , при которых система

а) имеет ровно два решения;

б) имеет единственное решение;

в) не имеет решений;

г) имеет хотя бы одно решение.

№ 7.39. Для каждого значения параметра решите неравенство:

а)

б) ;

в) ;

г) .

№ 7.56. Решите неравенство для каждого значения параметра :

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

№ 7.76. При каких значениях параметра все числа, не удовлетворяющие неравенству , не удовлетворяют и неравенству ?

В учебниках 8 и 9 класса базового уровня задач с параметрами не представлено.

г) «Алгебра и начала математического анализа. 10-11 класс»

В главе 10 данного учебника встречается параграф 60, который называется «Уравнения и неравенства с параметрами». На изучение данного параграфа отводится 2 часа. При изучении этой темы в учебнике подробно разбирается решение четырех примеров.

Пример 1. Решить относительно :

а) уравнение ;

б) неравенство .

Пример 2. Решить уравнение .

Пример 3. Решить уравнение .

Пример 4. При каких значениях параметра корни уравнения меньше 1?

В задачнике к этому параграфу приводятся №№ 60.1 - 60.19.

№ 60.2. При каких значения параметра уравнение :

а) имеет ровно один корень;

б) не имеет корней;

в) имеет более одного корня?

№ 60.9. При каких значениях система уравнений имеет решения:

а)

б)

№ 60.14. При каких значениях :

а) вершина параболы лежит внутри четвертой координатной четверти;

б) вершин параболы лежит внутри первой координатной четверти?

№ 60.15. При каких значениях :

а) уравнение имеет единственный корень;

б) уравнение не имеет корней?

№ 60.16. Найдите, при каких значениях параметра не имеет корней уравнение:

а) ;

б) .

3. Алимов Ш.А. и др.

а) «Алгебра 7 класс».

При изучении уравнений с одним неизвестным предложены задания, которые содержат задачи с параметром (№№ 99-125), в которых нужно решить простейшие линейные уравнения и указать значения параметра, при которых уравнение имеет или не имеет корни (№123,124).

№ 99. Решить уравнение, если и - заданные числа, отличные от нуля:

а) ; б) ; в) ; г) ;



№123. Подобрать число такое, чтобы уравнение имело корни:

а) ; б) ;

Стоит выделить № 125, который является задачей повышенного уровня. Их особенность состоит в том, что в них предлагаются линейные, дробно-рациональные и квадратные уравнения с параметром при старшем коэффициенте.

№125*. Решить уравнение, принимая за неизвестное , выяснить при каких значениях это уравнение имеет корни.

a)

б)

в)

После изучения различных способов решения систем уравнений с двумя переменными предлагаются задания, одно из которых содержит систему с двумя параметрами, где необходимо найти их, если система имеет единственное решение; бесконечное множество решений; не имеет решений.

№732. Дана функция . При каких значениях и график функции проходит через точки (-1; 1) и (2;3). Найдите значение , если известно, что график функции проходит через точку (-3;2). [2]

б) «Алгебра. 8 класс»

При изучении квадратных уравнений в главе 4 п. 25 встречается задание № 414:

Найти такое положительное число , чтобы левая часть уравнения оказалась квадратом суммы или разности, и решить полученное уравнение:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

В параграфе 28 «Решение квадратных уравнений» есть задания (№ 442, № 443), в которых нужно решить квадратные уравнения с параметром.

№ 442. Найти все значения , при которых уравнение , где :

1) имеет два различных корня;

2) не имеет корней;

3) имеет один корень.

При изучении квадратичной функции так же встречаются задания с параметром.

№ 603. Найти значение , при котором парабола и прямая пересекаются в точке с абсциссой . Имеются ли другие точки пересечения графиков?

В параграфе 38 «Функция » автор предлагает задание № 616: Найти значение , если точка принадлежит параболе:

1) ;

2) .

При обучении решению квадратных неравенств автор предлагает следующие задания:

№ 671. Показать, что при решениями неравенства являются все действительные значения .

№ 672. Найти все значения , при которых неравенство выполняется при всех действительных значениях .

№ 673. Найти все значения , для которых при всех действительных значениях выполняется неравенство .

в) «Алгебра. 9 класс»

В данном учебнике нет отдельно выделенной главы или параграфа, посвященных решению уравнений и неравенств с параметром.

В главе I «Алгебраические уравнения. Системы нелинейных уравнений» в параграфе 3 «Уравнения, сводящиеся к алгебраическим» автор предлагает девятиклассникам решить задания № 23, № 24 с параметром.

№ 23. Выяснить, при каких действительных значениях уравнение имеет два действительных различных корня.

№ 24. Выяснить, при каких действительных значениях уравнение имеет три различных действительных корня.

В параграфе 5 «Различные способы решения систем уравнений» автор рассматривает задачу, в которой нужно решить систему уравнений с параметром. уравнение неравенство школьный математика

Задача 7*. При каких значениях система уравнений имеет решение , где ?

Для самостоятельного решения предлагается одно задание:

№ 36. Решить систему уравнений относительно и :

1)

2)

г) «Алгебра и начала математического анализа. 10 - 11 класс»

Так же как и в учебниках 7 - 9 классов главы и параграфы, связанные с изучением задач с параметрами, в данном учебнике отсутствуют.

В упражнениях главе II «Степенная функция» встречается одно задание, в котором нужно решить неравенство с параметром.

№ 191. При различных значениях решить неравенство:

1) ;

2) .

При обучении решению логарифмических уравнений предлагается одно упражнение:

№ 353. Найти все значения параметра , при которых уравнение имеет корни.

В параграфе 36 «Решение тригонометрических уравнений» встречаются упражнения с параметром.

№ 646. Найти все значения , при которых уравнение имеет корни, и решить это уравнение.

№ 647. Найти все значения , при которых уравнение не имеет корней.

В упражнениях к главе VI так же встречаются задания с параметром.

№ 687. При каких значениях уравнение имеет корни? Найти эти корни.

№ 688. Найти все значения , при которых уравнение имеет корни.

№ 689. Найти все значения , при которых уравнение имеет корни, и решить это уравнение.

Вывод. В рассмотренных учебниках задачам с параметрами уделяется мало внимания, так как решение таких уравнений и неравенств является одним из самых трудных разделов элементарной математики для понимания школьниками. Такое положение является минусом школьного обучения - хотя известно, что такие задания необходимо включать в учебники для развития логического мышления школьников. Содержание материала и требования к учащимся по теме: «Задачи с параметрами» должны определяться, конечно, уровнем математической подготовки всего класса в целом и каждого в отдельности. По интересующим учащихся вопросам можно организовать дополнительные занятия, кружки и факультативы.

2.2 Курсы по выбору в школе

Курсы по выбору (элективные курсы) - курсы, которые обязательны для посещения учениками. Они являются важной составной частью предпрофильной и профильной подготовки учащихся.

Функции, которые выполняют курсы по выбору:

1. удовлетворение различных познавательных интересов обучающихся, которые выходят за рамки выбранного предмета;

2. развитие содержания одного из базовых курсов;

3. дополнение содержания базовых курсов.

Задачи элективных курсов:

1. дать школьнику возможность реализации личных познавательных интересов в разных областях знаний;

2. создать условия для формирования индивидуальной образовательной траектории учащихся;

3. уточнить готовность и способность ученика осваивать выбранный предмет;

4. создать условия для качественной подготовки к ОГЭ и ЕГЭ;

5. формировать у учащихся умения и навыки исследовательской деятельности;

6. постоянно мотивировать ученика, способствуя развитию его умений и интересов, его профессионального самоопределения. [19]

Элективные курсы бывают:

а) предметными;

б) межпредметными;

в) не входящими в базовый учебный план.

Предметные курсы по выбору являются вспомогательными для учащихся, которые находятся на этапе предпрофильной подготовки. Данные элективные курсы помогают ученикам сделать выбор профиля обучения в старших классах и ВУЗах. Предметные элективные курсы должны расширять и углублять знания учеников по выбранному предмету.

Элективные межпредметные курсы выходят за рамки традиционных учебных предметов. Они знакомят учеников с проблемами и задачами, для решения которых требуются знания в различных научных областях.

Для проведения курсов по выбору производится деление класса на группы. Элективные курсы могут проводить не только школьные учителя, но и преподаватели из ССУЗов и ВУЗов. Их программы разрабатываются учителем, ведущим данный курс. Программа должна включать в себя пояснительную записку, календарно-тематическое планирование, список использованной учебной литературы.

Требования, предъявляемые к программе курсов по выбору:

1. учет особенностей учащихся, интересующихся профилями школы;

2. знакомство с методами научных исследований;

3. опора на школьную программу (но не ее дублирование);

4. нацеливание на подготовку к олимпиадам, ОГЭ и ЕГЭ;

5. формирование таких умений, как анализ, обобщение, систематизация, рефлексия.

Расписание элективных курсов включается в общее расписание уроков класса. Так же как и на обычных уроках ведется учет посещаемости и успеваемости учеников, выбравших данный курс по выбору.

При проведении элективных курсов учителю потребуется проводить больше индивидуальной работы с каждым из учеников. Лучше всего осуществлять проектную деятельность, а защиту каждого проекта осуществлять во время школьных мероприятий.



2.3 Методика обучения решению уравнений и неравенств с параметрами в ходе курсов по выбору

Для наиболее успешного усвоения материала следует проводить занятия в различных формах: лекция, семинар, практикум по решению задач, доклады, практические работы. Кроме этого желательно использовать такие традиционные формы, как доклады или содоклады, которые дополняют лекционные выступления учителя, рефератами, выполнение индивидуального домашнего задания. Возможны и различные формы индивидуальной или групповой деятельности учащихся, такие как «Для тех, кто хочет больше знать», «За страницами учебника». При изучении материала курса для обучающихся следует организовывать большие возможности для самостоятельной работы, творческого подхода, исследовательской деятельности. Ряд разделов курса, должен позволять выделять темы для индивидуальной и коллективной исследовательской работы учащихся.

Основными результатами освоения содержания курса по выбору учениками может быть определенный набор общеучебных умений, а также опыт внеурочной деятельности, содержательно связанной с математикой. При этом должна использоваться преимущественно качественная оценка выполнения заданий, а также итоговое тестирование учащихся. Образовательные результаты изучения данного курса могут быть выявлены в рамках контроля.

Для текущего контроля на каждом занятии учащимся рекомендуется серия заданий, часть которых выполняется в классе, а часть - дома. Домашнее задание может быть как индивидуальным, так и групповым. Оно должно содержать элементы исследовательской работы и задания для самостоятельного решения.

Обобщающий контроль может проходить в форме представления достижений учащегося. Это могут быть устные и письменные сообщения, практическая работа, рефераты или доклады. Так же выявить достижения учеников можно с помощью итогового теста, который включает в себя задания с параметрами из единого государственного экзамена.

Критерии для выставления оценок могут быть следующими.

«Отлично» ставится, если:

o обучающийся освоил теоретический материал элективного курса, получил навыки его применения при решении конкретных заданий;

o при работе с индивидуальными домашними заданиями, в процессе написания и защиты рефератов, выполнения докладов, учащийся продемонстрировал умение работать самостоятельно с литературными источниками, ресурсами Интернета;

o учащийся отличился творческим подходом и большой заинтересованностью при освоении курса и при выполнении заданий, которые ему предложил учитель;

o ученик научился работать в малых группах, показал свой интеллектуальный рост и рост общих умений.

«Хорошо» ставится, если:

o обучающийся освоил идеи и методы данного элективного курса в такой степени, что может справиться со стандартными задачами и написанием рефератов, но без проявления явных творческих способностей;

o он выполняет домашние задания прилежно;

o у учащегося наблюдаются определенные положительные результаты, которые говорят о его интеллектуальном росте и о возрастании общих умений.

«Удовлетворительно» ставится, если:

o обучающийся освоил наиболее простые идеи и методы решений, которые позволяют ему успешно решать простые задачи, выполнить написание рефератов, в итоговом тесте ученик справился с 3 - 4 задачами.



Глава 3. Курс по выбору «Уравнения и неравенства с параметрами» в 11 классе

3.1 Программа курса

1.ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Рабочая программа составлена на основе Примерной программы среднего полного общего образования по математике и авторской программы по алгебре общеобразовательных школ с профильным изучением математики авторов А.Г. Мордкович, И.И. Зубарева.

Данный элективный курс «Уравнения и неравенства с параметрами» предназначен для реализации в 11 классе общеобразовательной школы для расширения теоретических и практических знаний учащихся по математике. Курс рассчитан на 34 часа (1 час в неделю) и изучается в течение одного учебного года.

Общая характеристика курса.

Программа данного курса по выбору ориентирована на приобретение опыта решения задач с параметрами. Объем знаний, который в ходе элективного курса должны усвоить учащиеся, расширяет и систематизирует их знания, а также обеспечивает углубленное изучение предмета и подготовку учащихся к продолжению образования.

Данный элективный курс имеет общеобразовательное значение, помогает развитию логического мышления обучающихся. Его изучение тесно связано с такими дисциплинами, как алгебра, алгебра и начала анализа, геометрия.

Основным направлением модернизации математического школьного образования является отработка механизмов итоговой аттестации через введение единого государственного экзамена. В ЕГЭ по математике встречаются задачи с параметрами, решение которых вызывает у большей части учащихся трудность. Актуальность введения этого курса по выбору состоит в том, что в настоящее время присутствует противоречие между наличием в контрольно-измерительных материалах едином государственном экзамене заданий с параметрами и отсутствием в школьном курсе алгебры системы заданий по этой теме. Как мы выяснили, уравнения и неравенства с параметрами рассматриваются редко.

Решение задач, содержащих параметры, является одним из труднейших разделов школьного курса математики. Наличие заданий данного типа на экзаменах далеко не случайно, т.к. с их помощью проверяется:

1. умение использовать формулы элементарной математики, методы решения уравнений и неравенств;

2. способность выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления обучающегося и его математической культуры.

Решению уравнений и неравенств с параметрами в программе школьного курса математики уделяется мало внимания. Большая часть учащихся либо не справляются с такими задачами, либо решают громоздко. Это обусловлено тем, что в школьных учебниках отсутствует система заданий по данной теме. Поэтому возникает необходимость разработать и провести курса по выбору для старшеклассников по теме «Уравнения и неравенства с параметрами».

При решении задач с параметрами используются не только привычные алгоритмы, но и нестандартные методы, которые упрощают решение. Выбор метода решения и сам процесс требует определенных навыков таких, как умение наблюдать, сравнивать, анализировать, выдвигать и проверять гипотезу, а так же обобщать полученные результаты. В связи с этим, решение задач данного типа можно считать исследовательской деятельностью.

Владение приемами решения заданий с параметрами можно принять за критерий знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления. Параметрические уравнения и неравенства дают хороший материал для настоящей учебно-исследовательской работы.

Цель изучения данного курса по выбору - научить старшеклассников решать уравнения и неравенства с параметрами, анализировать, сопоставлять, устанавливать зависимости между величинами, находить рациональные решения, а также формирование интереса к предмету.

Чтобы ученики лучше усвоили материал, планируются различные формы занятий такие, как лекция, семинар, практикум по решению задач, доклады, практические работы. Кроме этого желательно использовать традиционные формы занятий (доклады или содоклады, рефераты, выполнение индивидуального домашнего задания). Также возможны различные формы индивидуальной или групповой деятельности учеников, такие как «Для тех, кто хочет больше знать», «За страницами учебника». При изучении данного элективного курса для учащихся предусмотрены большие возможности для самостоятельной работы, творческого подхода, исследовательской деятельности. Ряд разделов курса, безусловно, позволяет выделить темы для индивидуальной и коллективной исследовательской работы учащихся.

Результаты изучения курса

В результате прохождения курса обучающиеся должны научиться:

1. применять теоретические знания при решении задач с параметрами;

2. знать некоторые методы решения параметрических заданий .

Он ориентирован на категорию учащихся, обладающих достаточной математической подготовкой, проявляющих интерес к предмету, и желающих овладеть различными умениями, навыками и приемами для решения математических задач, содержащих модуль, параметр.

Представленный курс по выбору может иметь существенное образовательное значение в изучении математики. Он обеспечивает условия для самостоятельной творческой работы и направлен на способствование решению следующих задач:

1. овладение системой знаний о задачах с параметром как о семействе уравнений и неравенств, что исключительно важно для осмысления свойств уравнений и неравенств, их особенностей;

2. формирование логического и творческого мышления и математической культуры учащихся;

3. развитие исследовательской и познавательной деятельности учащихся;

4. вооружение учащихся знаниями, позволяющими им самостоятельно добывать информацию по данному курсу.

Планируемые результаты

В результате изучения данного курса по выбору учащийся должен:

o усвоить основные приемы и методы решения задач с параметрами;

o применять алгоритм для решения уравнений, неравенств и их систем, содержащих параметр;

o проводить полное обоснование решения задач с параметрами;

o овладеть деятельностью исследования;

o решать задания, по типу приближенных к заданиям ЕГЭ;

o уметь работать в группе, как на занятиях, так и вне них;

o работать с информацией, полученной не только на занятиях, но и посредством сети Интернет.

Умение учащихся решать уравнения и неравенства с параметрами аналитическим и графическим способами является одним из показателей уровня математического развития, глубины усвоения учебного материала. Владение приёмами решения таких задач можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня логического мышления обучающихся.

Оценка достижений учеников.

Основными результатами освоения материала данного курса по выбору старшеклассниками может являться определенный набор умений и опыт внеурочной деятельности, которая содержательно связана с предметом - математикой. При этом должна использоваться качественная оценка выполнения заданий учащимися, а также их итоговое тестирование. Образовательные результаты изучения данного элективного курса могут быть выявлены в рамках контроля.

Для текущего контроля (активность и качество работы ученика на занятии) на каждом занятии для учащихся рекомендуется серия заданий, часть которых выполняется в классе, а часть является индивидуальным или групповым домашним заданием, содержащим элементы исследовательской деятельности и задачи, которые нужно решить самостоятельно.

Обобщающий контроль может проходить в форме представления достижений учащегося. Это могут быть устные и письменные сообщения, практическая работа, рефераты или доклады. Так же выявить достижения учеников можно с помощью итогового теста, который включает в себя задания с параметрами из единого государственного экзамена.

Возможные критерии оценок.

«Отлично» ставится, если:

o обучающийся освоил теоретический материал элективного курса, получил навыки его применения при решении конкретных заданий;

o при работе с индивидуальными домашними заданиями, в процессе написания и защиты рефератов, выполнения докладов, учащийся продемонстрировал умение работать самостоятельно с литературными источниками, ресурсами Интернета;

o учащийся отличился творческим подходом и большой заинтересованностью при освоении курса и при выполнении заданий, которые ему предложил учитель;

o ученик научился работать в малых группах, показал свой интеллектуальный рост и рост общих умений.

«Хорошо» ставится, если:

o обучающийся освоил идеи и методы данного элективного курса в такой степени, что может справиться со стандартными задачами и написанием рефератов, но без проявления явных творческих способностей;

o он выполняет домашние задания прилежно;

o у учащегося наблюдаются определенные положительные результаты, которые говорят о его интеллектуальном росте и о возрастании общих умений.

«Удовлетворительно» ставится, если:

обучающийся освоил наиболее простые идеи и методы решений, которые позволяют ему успешно решать простые задачи, выполнить написание рефератов, в итоговом тесте ученик справился с 3 - 4 задачами.

2. УЧЕБНО - ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

№ п/п	Темы курса	Количество часов	Форма контроля
		Всего	Лекция	Практикум	Семинар
1.	Понятие уравнений с параметрами. Основные методы решения задач с параметрами.	6	1	4	1	Проверочная работа
2.	Линейные уравнения, неравенства и их системы.	6	2	4	0	Тест
3.	Квадратные уравнения.	9	0	8	1	Проверочная работа
4.	Квадратные неравенства.	6	0	6	0	Самостоятельная работа
5.	Аналитические и геометрические приемы решения задач с параметрами.	3	0	3	0	Реферат
6.	ЕГЭ на 100 баллов.	4	0	4	0	Итоговый тест

3. СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ

Тема 1. Понятие уравнений с параметрами. Основные методы решения задач с параметрами

Задачи с параметром. Первое знакомство. Типы задач с параметрами. Параметр и поиск решений уравнений, неравенств и их систем (ветвление). Аналитический метод решения задач с параметрами. Геометрический метод решения задач с параметрами. Метод решения относительно параметра.

Тема 2. Линейные уравнения, неравенства и их системы

Алгоритм решения линейных уравнений с параметром. Решение линейных уравнений с параметром. Решение линейных неравенств с параметром. Параметр и количество решений системы линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений с параметром. Решение систем линейных неравенств с параметром.

Тема 3. Квадратные уравнения

Свойство квадратного трехчлена. Алгоритмическое предписание решения квадратных уравнений с параметром. Применение теоремы Виета при решении квадратных уравнений с параметром. Расположение корней квадратичной функции относительно заданной точки. Задачи, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратичной функции. Решение квадратных уравнений с параметром первого типа (“для каждого значения параметра найти все решения уравнения”). Решение квадратных уравнений второго типа (“найти все значения параметра при каждом из которых уравнение удовлетворяет заданным условиям”).

Тема 4. Квадратные неравенства

Решение квадратных неравенств с параметром первого типа. Решение квадратных неравенств с параметром второго типа. Решение квадратных неравенств с модулем и параметром.

Тема 5. Аналитические и геометрические приемы решения задач с параметрами

Использование графических иллюстраций в задачах с параметрами. Использование ограниченности функций, входящих в левую и правую части уравнений и неравенств. Использование симметрии аналитических выражений.

Тема 6. ЕГЭ на 100 баллов

Решение тригонометрических уравнений, неравенств с параметром. Решение логарифмических уравнений, неравенств с параметром. Решение задач на нахождение области определения функции с параметром.

4.КАЛЕНДАРНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

№ урока	Раздел курса	Тема урока	Кол-во часов	Элементы содержания	Тип занятия
1.	Понятие уравнений с параметрами. Основные методы решения задач с параметрами (6 часов).	Задачи с параметром. Первое знакомство.	1	Понятие уравнений с параметрами. Различные виды уравнений, способы решения уравнений.	Лекция
2.		Типы задач с параметрами.	1	Различные типы задач с параметрами.	Лекция
3.		Параметр и поиск решений уравнений, неравенств и их систем.	1	Основные приемы и пути поиска решений уравнений, неравенств и их систем (ветвление).	Практикум
4.		Аналитический метод решения задач с параметрами.	1	Применение равносильных переходов при решении уравнений и неравенств с параметром. Использование ограниченности функций, входящих в левую и правую части уравнений и неравенств.	Практикум
5.		Графический метод решения задач с параметрами.	1	Использование графических иллюстраций в задачах с параметрами. Использование симметрии аналитических выражений.	Практикум
6.		Метод решения относительно параметра.	1	Метод решения относительно параметра.	Семинар
7.	Линейные уравнения, неравенства и их системы (6 часов)	Алгоритм решения линейных уравнений с параметром.	1	Линейные уравнения с параметром. Алгоритм решения линейных уравнений с параметром.	Лекция
8.		Решение линейных уравнений с параметром.	1	Решение линейных уравнений с параметрами при наличии дополнительных условий к корням уравнений.	Практикум
9.		Решение линейных неравенств с параметром.	1	Решение линейных неравенств с параметрами. Алгоритм решения линейных неравенств с параметром.	Практикум
10.		Решение систем линейных уравнений с параметром.	1	Понятие системы линейных уравнений с параметрами. Алгоритм решения систем линейных уравнений с параметрами.	Лекция
11.		Параметр и количество решений системы линейных уравнений	1	Зависимость количества корней от значения коэффициентов и . Решение систем линейных уравнений с параметрами.	Практикум
12.		Решение систем линейных неравенств с параметром.	1	Линейные неравенства с параметрами. Решение систем линейных неравенств с параметром.	Практикум
13.	Квадратные уравнения (9 часов)	Свойство квадратного трехчлена.	1	Применение свойств квадратного трехчлена к решению квадратных уравнений.	Семинар
14.		Алгоритмическое предписание решения квадратных уравнений с параметром.	1	Понятие квадратного уравнения с параметром. Алгоритмическое предписание решения квадратных уравнений с параметром. Решение квадратных уравнений с параметрами.	Практикум
15.		Применение теоремы Виета при решении квадратных уравнений с параметром.	1	Применение теоремы Виета при решении квадратных уравнений с параметром.	Практикум
16.		Расположение корней квадратичной функции относительно заданной точки.	1	Расположение корней квадратичной функции относительно заданной точки. Зависимость количества корней уравнения от коэффициента и дискриминанта.	Практикум
17.		Задачи, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратичной функции.	1	Решение квадратных уравнение с параметрами при наличии дополнительных условий к корням уравнения.	Практикум
18 - 19.		Решение квадратных уравнений с параметром первого типа.	2	Решение квадратных уравнений с параметром первого типа («для каждого значения параметра найти все решения уравнения»).	Практикум
20 - 21.		Решение квадратных уравнений с параметром второго типа.	2	Решение квадратных уравнений с параметром второго типа («найти все значения параметра, при каждом из которых уравнение удовлетворяет заданным условиям»)	Практикум
22 - 23.	Квадратные неравенства (6 часов)	Решение квадратных неравенств с параметром первого типа.	2	Понятие квадратного неравенства с параметром. Решение квадратных неравенств с параметром первого типа.	Практикум
24 - 25.		Решение квадратных неравенств с параметром второго типа.	2	Решение квадратных неравенств с параметром второго типа.	Практикум
26 - 27.		Решение квадратных неравенств с модулем и параметром.	2	Решение квадратных неравенств с модулем и параметром.	Практикум
28.	Аналитические и геометрические приемы решения задач с параметрами (3 часа)	Графический метод решения задач с параметрами.	1	Использование графических иллюстраций в задачах с параметрами.	Практикум
29.		Область определения в задачах с параметрами.	1	Использование ограниченности функций, входящих в левую и правую части уравнений и неравенств.	Практикум
30.		Использование симметрии аналитических выражений.	1	Использование симметрии аналитических выражений.	Практикум
31.	ЕГЭ на 100 баллов (4 часа)	Решение тригонометрических уравнений и неравенств с параметром.	1	Решение тригонометрических уравнений и неравенств с параметром.	Семинар-практикум
32.		Решение логарифмических уравнений и неравенств с параметром.	1	Решение логарифмических уравнений и неравенств с параметром.	Семинар-практикум
33.		Решение задач на нахождение области определения функции с параметром.	1	Решение задач на нахождение области определения функции с параметром.	Семинар-практикум
34.		Заключительное повторение.	1		Итоговый тест

3.2 Конспекты занятий

Урок по элективному курсу

по теме: «Решение линейных уравнений с параметрами»

Цели урока:

1. повторить и обобщить знания учащихся методов решения уравнений с параметрами;

2. закрепить умения применять знания при решении конкретных заданий;

3. развивать логическое мышление;

4. воспитывать внимание и аккуратность.

Задачи:

1. Образовательные:

o преодоление барьера перед необходимостью решения нестандартных задач;

o формирование базы способов алгоритмизации решения линейных уравнений и неравенств с параметром;

o отбор методов решения уравнений с параметрами на основе обобщения ранее изученного материала;

o оценка своих достижений на данном этапе и формирование планов по дальнейшему самообразованию.

2. Развивающие:

o развитие логического мышления, памяти, наблюдательности, умения правильно обобщать данные и делать выводы;

o содействие развитию умений применять полученные знания в нестандартных условиях;

o развитие умений устанавливать причинно-следственные связи;

o развитие критического мышления.

3. Воспитательные:

o воспитание положительного интереса к изучаемому предмету;

o обеспечение условий для овладения учащимися алгоритмом решения проблемных и исследовательских задач;

o укрепление коллективно-творческой среды;

o обеспечение условий для развития высказывать свою точку зрения.

Ход урока:

I. Организационный момент.

Учитель: - Здравствуйте, ребята. Приятно вас всех видеть, мы начинаем наш урок.