Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Московский городской педагогический университет

Кафедра математического анализа и методики его преподавания

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

По теме:

Применение метода интервалов к решению неравенств в основной и старшей школе»

Студентки 5 курса д/о

Юдиной Елены Сергеевны

Научный руководитель:

Доцент Абасов Н.М.

Москва-2011



Содержание

• Введение
• Глава 1. Психолого-педагогические обоснования
• 1.1 Закономерности обучения и дидактические принципы
• 1.1.1 Принцип сознательности и активности
• 1.1.2 Принцип наглядности обучения
• 1.1.3 Принцип систематичности и последовательности
• 1.1.4 Принцип научности
• 1.1.5 Принцип связи теории с практикой14
• 1.1.6 Принцип доступности
• 1.1.7 Принцип прочности
• 1.2 Психолого-педагогическая характеристика учащихся основной и старшей школы
• 1.2.1 Воздействие центральной нервной системы на восприятие информации
• 1.2.2 Особенности памяти и мышления
• 1.2.3 Роль способностей
• 1.2.4 Эмоции. Мотивы деятельности. Внимание
• 1.2.5 Закономерности восприятия речевой и визуальной информации
• 1.3 Методические обоснования
• 1.4 Обзор учебной литературы
• 1.4.1 Содержание нормативных документов и программно-методических материалов
• 1.4.2 Обзор учебников
• Глава 2. Ориентировочная основа учебной деятельности в процессе решения неравенств методом интервалов
• 2.1 Сущность решения неравенств
• 2.1.1 Поэтапное формирование умения решать неравенства методом интервалов
• 2.1.2 Квадратные неравенства
• 2.1.3 Рациональные неравенства
• 2.1.4 Иррациональные неравенства
• 2.1.5 Показательные и логарифмические неравенства
• 2.1.6 Неравенства, содержащие тригонометрические функции
• 2.2 Система заданий
• 2.2.1 Решение квадратных неравенств
• 2.2.2 Решение рациональных неравенств
• 2.2.3 Решение неравенств, содержащих модуль
• 2.2.4 Решение иррациональных неравенств
• 2.2.5 Решение показательных и логарифмических неравенств
• 2.2.6 Решение неравенств, содержащих тригонометрические функции

Глава 3. Обобщенный метод интервалов (решение произвольных неравенств методом интервалов)

• 3.1 Обобщенный метод интервалов
• 3.2 Неравенства с двумя неизвестными
• 3.3 Система заданий на обобщенный метод интервалов
• 3.3.1 Решение неравенств смешанного типа
• 3.3.2 Решение неравенств с параметрами
• 3.3.3 Решение неравенств с двумя неизвестными
• Заключение
• Библиография



Введение

Математика - гуманитарный предмет, который позволяет субъекту правильно ориентироваться в окружающей действительности и «ум в порядок приводит». Реальные процессы математика описывает на математическом языке в виде математических моделей, и, в частности, неравенства являются моделями многих физических явлений и процессов. Но главная сила математики состоит в том, что вместе с решением одной конкретной задачи она создает общие приемы и способы, применимые во многих ситуациях, которые даже не всегда можно предвидеть. Таким образом, актуальность выбранной темы заключается в следующем: независимо от того, по каким программам и с использованием каких учебников преподается школьный курс математики, неравенства всегда останутся важным и нужным разделом в обучении. В соответствии с этим, целесообразно поставить вопрос о возможности существования универсального способа их решения, независимо от вида неравенства.

Исходя из вышесказанного, можно сформулировать цель дипломной работы:

На методологической основе провести обобщение метода интервалов применительно к решению неравенств в школьном курсе математики средней и старшей школы и обосновать его универсальность.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

Проанализировав психолого-педагогическую литературу по теме дипломной работы, изучить психолого-педагогические особенности учащихся средней и старшей школы и дать педагогические обоснования данной теме.

Изучить методическую литературу по интересующей нас теме.

Провести анализ существующих программ и комплектов учебников с 7 по 11 класс по теме дипломной работы, и определить теоретическую базу для решения неравенств методом интервалов в основной и старшей школе.

Привести практические подтверждения универсальности метода интервалов применительно к неравенствам курса алгебры общеобразовательной школы, и создать ориентировочную основу учебной деятельности в процессе решения неравенств методом интервалов.

Провести обобщение метода интервалов для решения произвольных неравенств, представленных в виде композиции непрерывных функций, а также для неравенств с параметрами и неравенств с двумя переменными; иллюстрировать его примерами.

Для достижения поставленной цели и перечисленных выше задач мною были использованы такие методы исследования, как изучение учебной и методической литературы, интервьюирование и наблюдение.

Первая из поставленных задач находит свою реализацию в главе I дипломной работы, где рассмотрен взгляд на интересующую нас тему с точки зрения психологии, педагогики и методики обучения математике, а также проведен анализ содержания программно-методических материалов и четырех комплектов учебников 7-11 (один из которых предназначен для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики) - которые ещё раз подтверждают значимость темы в курсе алгебры основной и старшей школы.

Вторая глава охватывает содержание курса общеобразовательной школы по решению неравенств, содержащих квадратные, рациональные, иррациональные, показательные и логарифмические выражения. Причем, в первом пункте главы II описывается сущность решения неравенств и поэтапное формирование умения решения неравенств методом интервалов по типам неравенств, изучаемых в общеобразовательной школе, и для каждого типа описаны основные знания, умения и навыки, которыми должны обладать учащиеся при переходе к изучению каждой отдельной темы. Во втором - метод интервалов рассмотрен на конкретных примерах, структурированных от простого к сложному, некоторые из которых решены несколькими способами, оправдывая в каждом конкретном случае рациональность применения метода интервалов. К тому же, в этой главе демонстрируется применение метода интервалов к решению тригонометрических неравенств, суть которого остается той же, но вместо числовой прямой здесь удобнее использовать числовую окружность, которая корнями соответствующих тригонометрических уравнений разбивается на дуги, играющие ту же роль, что и интервалы на числовой оси.

В третьей главе настоящей работы обобщается метод интервалов на неравенства, выходящие за пределы курса общеобразовательной школы, но встречающиеся в сборниках заданий для абитуриентов технических вузов и сборниках олимпиадных задач; а также входящие в углубленный курс изучения математики. Это неравенства смешанного типа (представляющие собой композицию нескольких непрерывных функций), неравенства с параметрами, и без существенных изменений метод интервалов переносится с числовой оси на координатную плоскость, т.е. применим для решения неравенств с двумя переменными, где роль особых точек играют «особые» линии, а роль промежутков - области.

Эту главу можно использовать в классах общеобразовательной школы на уроках обобщения и повторения, на факультативных занятиях, для подготовки к вступительным и выпускным экзаменам, а также на уроках в классах с углубленным изучением математики.

Выбранная мною тема связана с анализом значительного количества методической и учебной литературы, в связи с чем библиография содержит 44 источника, включая: учебники; пособия для учителей; сборники задач и пособия для поступающих в вузы; методическую, психологическую и педагогическую литературу; сборники нормативных документов; статьи газет; и одну диссертацию.



Глава 1. Психолого-педагогические обоснования

1.1 Закономерности обучения и дидактические принципы

Дидактика стремится прежде всего открывать объективные законы, отражающие существенные и необходимые связи между явлениями и факторами обучения. Эти законы дают учителям понимание общей картины объективного развития дидактических процессов.

Дидактические принципы (принципы дидактики) - это основные положения, определяющие содержание, организационные формы и методы учебного процесса в соответствии с его общими целями и закономерностями. В принципах обучения выражаются нормативные основы обучения, взятого в его конкретно-историческом виде (М.А. Данилов). Выступая как категории дидактики, принципы обучения характеризуют способы использования законов и закономерностей в соответствии с намеченными целями.

История дидактики характеризуется настойчивым стремлением исследователей выявить общие принципы обучения и на их основе сформулировать те важнейшие требования, соблюдая которые учителя могли бы достигать высоких и прочных результатов в обучении школьников. Становление теоретических основ дидактики, выявление сущности дидактических категорий закономерности, принципа, правила проходили в упорной борьбе взглядов.

Однако в ходе дискуссии было доказано, что принципы обучения определяются целями воспитания и имеют исторический характер, некоторые принципы утрачивают свое значение и сходят с педагогической сцены. Происходит перестройка содержания принципов, сохранивших свое значение в новых условиях, и появляются новые принципы, в которых отражаются новые требования общества к обучению.

Принципы обучения выступают в органическом единстве, образуя некоторую концепцию дидактического процесса, которую может представить как систему, компонентами которой они являются.

Ушинский К.Д. определил необходимые условия хорошего обучения так: своевременность, постепенность, органичность, постоянство, твердость усвоения, ясность, самодеятельность учащихся, отсутствие чрезмерной напряженности и чрезмерной легкости, правильность. К дидактическим принципам он также относил: сознательность и активность обучения; наглядность; последовательность; прочность знаний и навыков.

Многочисленны попытки разработать систему дидактических принципов в работах исследователей нового времени. Их анализ позволяет выделить в качестве основополагающих, общепризнанных следующие:

сознательности и активности;

наглядности;

систематичности и последовательности;

прочности;

научности;

доступности;

связи теории с практикой.

Эти принципы составляют систему дидактических принципов, к рассмотрению которых мы и переходим, оставаясь в рамках темы данной работы.

1.1.1 Принцип сознательности и активности

В основе данного принципа лежат установленные наукой закономерные положения: подлинную сущность человеческого образования составляют глубоко и самостоятельно осмысленные знания, приобретаемые путем интенсивного напряжения собственной умственной деятельности; сознательное усвоение знаний учащимися зависит от ряда условий и факторов: мотивов обучения, уровня и характера познавательной активности учащихся, организации учебно-воспитательного процесса и управления познавательной деятельностью учащихся, применяемых учителем методов и средств обучения и др.; собственная познавательная активность школьника является важным фактором обучаемости и оказывает решающее влияние на темп, глубину и прочность овладения учебным материалом.

Практическая реализация принципа сознательности и активности обучения подразумевает под собой:

Ясное понимание целей и задач предстоящей работы - необходимое условие сознательного обучения: перед началом изучения новой темы, например, нового вида неравенств (а лучше сделать неотъемлемой частью каждого урока) в начале занятия доводить до сознания учащихся цели и задачи будущей работы.

Обучение следует построить таким образом, чтобы учащийся понимал, что, почему и как нужно делать, и никогда механически не выполнял учебных действий, предварительно и глубоко не осознав их. Каждый раз при обращении к методу интервалов следует акцентировать внимание на рациональности его применения, при возможности - рассматривать другие способы решения.

Обучая, следует использовать все виды и формы познавательной деятельности, объединять анализ с синтезом, индукцию с дедукцией, сопоставление с противопоставлением, чаще применять аналогию: чем младше учащиеся, тем чаще следует начинать с индукции. Подробнее об этом будет рассказано в п. 1. 2.

Следует обеспечивать понимание учащимися смысла каждого слова, предложения, понятия: раскрывайте их, опираясь на знания и опыт учащихся, используйте образные сравнения. Не вводите понятий, на обстоятельное раскрытие которых вы не рассчитываете. В начале каждого урока при решении неравенств, следует вспоминать основные преобразования, формулы, которые будут использоваться в дальнейшем, проговаривать алгоритм метода интервалов.

Используйте силу взаимообучения учащихся. Обеспечивайте надлежащие условия для развития коллективных форм поиска правильного ответа. То, что говорит товарищ, нередко воспринимается лучше и легче, чем объяснение учителя, а потому не объясняйте того, что могут объяснить товарищам ваши лучшие ученики.

На воспитание активности не жалейте ни времени, ни усилий. Помните, что сегодняшний активный ученик - завтрашний активный член общества.

То, что учащимся неизвестно логически увязывайте с известным: где нет логической связи между усвоенными и усваиваемыми знаниями, там нет сознательного обучения. По этому при переходе к решению более сложного неравенства, следует решить пример уже известного типа, постепенно повышая сложность. И акцентируйте внимание на связи предыдущего задания с настоящим.

Не забывайте, что главное не предмет, которому вы обучаете а личность, которую вы формируете. Учите и воспитывайте так, чтобы учащийся не был «дополнением» к учебному предмету, но наоборот - субъектом его активного освоения. Помните, что не предмет формирует личность, а учитель своей деятельностью, связанной с изучением предмета.

Ставьте обучаемых в ситуации, требующие от них обнаружения и объяснения расхождений между наблюдаемыми фактами и имеющимся знанием. Также давайте примеры на внимательность (как пример 8 (глава2)), показывая что не надо ко всему подходить одинаково, даже к подобным заданиям. Может оказаться (как пример 8), что на вопрос о наличии решения можно ответить сразу отрицательно.

Обучение станет более успешным, если каждое правило сопровождается оптимальным количеством примеров, чтобы стало достаточно ясно, как разнообразно его применение. На интересующую нас тему во 2^ой и 3^ей главах данной работы можно подобрать необходимый материал.

Учите находить и различать главное и второстепенное в изучаемом, выделяйте главное, добивайтесь прежде всего понимания и усвоения главного. Вводите оптимальное количество примеров, но так, чтобы они не затмили сущность главного.

Ничему не следует учить, опираясь на один авторитет, но всему учить при помощи доказательств, основанных на чувствах и разуме. При решении какого-либо неравенства не надо навязывать свой способ решения. Дайте время учащимся обдумать ход решения, метод решения ученики должны выбирать самостоятельно осознанно, тек же, как при необходимости, обосновывать рациональность выбранного метода

Помогайте учащимся овладевать наиболее продуктивными методами учебно-познавательной деятельности, учите их учиться.

Контролируйте факторы, отвлекающие внимание учащихся от объекта изучения, как внутренние (рассеянность мысли, занятия посторонними делами на уроке и т.п.), так и внешние (опоздания, нарушение дисциплины и т.п.), устраняйте неблагоприятно действующие причины из учебно-воспитательного процесса. Также следует учитывать темперамент и знать возрастные особенности учащихся, т. е. воплощать в жизнь подходы личностно-ориентированного обучения.

Следует как можно чаще использовать вопрос «почему», чтобы научить учащихся мыслить причинно: понимание причинно-следственных связей - непременное условие развивающего обучения.

Успех придёт там, где всё, что преподаётся, так обосновано доказательствами и аргументами, что не остаётся места ни сомнению, ни забвению. Помните, что по настоящему знает не тот, кто пересказывает, а тот, кто применяет на практике.

Постоянно изучайте и используйте индивидуальные интересы своих учащихся, развивайте и направляйте их таким способом, чтобы они согласовывались с личными и общественными потребностями.

Шире используйте в обучении практические ситуации, требуйте от учащихся самостоятельного видения, понимания и осмысления различий между наблюдаемыми в жизни фактами и их научным объяснением. Утверждение о том, что неравенства являются моделями многих физических явлений и процессов, следует иллюстрировать примерами и давать возможность учащимся придумывать их самим. Можно решать задачи на составление неравенств.

Обучайте так, чтобы знания приобрели силу убеждения и руководства к действию.

Приучайте учащихся думать и действовать самостоятельно. Не допускайте подсказывания, пересказывания и копирования.

Творческое мышление развивайте всесторонним анализом проблем, познавательные задачи решайте несколькими логически различающимися способами, чаще практикуйте творческие задания.

Мастерство задавать вопросы и выслушивать ответы - одно из важных условий стимулирования и поддержания активности. Какой вопрос - такой ответ, как учитель слушает ученика - так ученик слушает учителя.

1.1.2 Принцип наглядности обучения

Это один из самых известных и интуитивно понятных принципов обучения, использующийся с древнейших времён. Закономерное обоснование данного принципа получено сравнительно недавно. В основе его лежат следующие строго зафиксированные научные закономерности: органы чувств человека обладают разной чувствительностью к внешним раздражителям, у подавляющего большинства людей наибольшей чувствительностью обладают органы зрения; пропускная способность каналов связи от рецепторов к Ц.Н.С. различная: оптического канала связи - 1,6 Ч 10⁶ бит/сек; акустического - 0,32 Ч 10⁶ бит/сек; тактильного - 0,13 Ч 10⁶ бит/сек; Это означает, что органы зрения «пропускают» в мозг почти в 5 раз больше информации, чем органы слуха, и почти в 13 раз больше чем тактильные органы; информация, поступающая в мозг из органов зрения (по оптическому каналу), не требует значительного перекодирования, она запечатляется в памяти человека легко, быстро и прочно.

Практика обучения выработала большое количество правил, раскрывающих применение принципа наглядности. Напомним некоторые из них.

Следует использовать в обучении тот факт, что запоминание ряда предметов, представленных в натуре (на картинках или моделях), происходит лучше, легче и быстрее, чем запоминание того же ряда, представленного в словесной форме, устной или письменной. Этот принцип активно используется при решении неравенств методом интервалов. Наглядное изображение координатной оси и корней на ней помогает осознать принцип совершаемых действий, расположение знаков и проч.

Помните - дитя мыслит формами, красками, звуками, ощущениями вообще: отсюда необходимость наглядного обучения, которое строится не на отвлеченных понятиях и словах, а на конкретных образах, непосредственно воспринимаемых ребёнком. Особо важно визуальное восприятие в начале изучения неравенств, т.е. в 7, 8 классе. Но и на дальнейших этапах формирования данного метода оно играет значительную роль.

Золотое правило учащих: всё, что только можно, представлять для восприятия чувствами, а именно: видимое - для восприятия зрением, слышимое - слухом, запахи - обонянием и т.п. Никогда не ограничивайтесь наглядностью - наглядность не цель, а средство обучения, развития мышления учащихся. При выполнении построения координатной оси, требуйте от учащихся комментирования выполняемых действий. Как уже было сказано, развивая речь «внешнюю» мы развиваем и «внутреннюю», т.е. мышление.

Обучая и воспитывая, не забывайте, что понятия и абстрактные положения доходят до сознания ученика легче, когда они подкрепляются конкретными фактами, примерами и образами. Начиная с простых примеров, добивайтесь выполнения правильных чертежей, отрабатывайте привычку их использования.

Следует использовать наглядность не только для иллюстрации, но и в качестве самостоятельного источника знаний для создания проблемных ситуаций. Современная наглядность позволяет организовывать эффективную поисковую и исследовательскую работу учащихся. Возможны задания на восстановление неравенства по множеству его решений (изображенных на числовой оси), на первых порах, в самом начале знакомства с неравенствами и нанесением их решений на числовую ось целесообразны задания на запись изображенного на числовой оси множества, т.н. «чтение чертежа», подобные задания можно найти в тематическом сборнике задач по алгебре Денищевой Л.О. [13].

Обучая и воспитывая, помните, что наглядные пособия способствуют образованию наиболее отчётливых и правильных представлений об изучаемых предметах и явлениях. Используйте различные виды наглядности, но не увлекайтесь чрезмерным количеством наглядных пособий: это рассеивает внимание учащихся и мешает воспринимать главное. Используйте наглядность, активизируйте чувственный опыт учащихся, опора на ранее сложившиеся представления конкретизирует и иллюстрирует изучаемые понятия.

Старайтесь сами изготовлять вместе с учащимися наглядные пособия: лучше всего то пособие, которое изготовлено самими учащимися. Никогда не показывайте того, чего сами хорошо не знаете; старательно готовьте наглядность к применению.

Научно обоснованно применяйте современные средства наглядности: учебное телевидение, видеозаписи, кодослайды, полиэкранную проекцию и др.; в совершенстве владейте техническими средствами обучения, методикой их использования. Применяя наглядные средства, воспитывайте у учащихся внимание, наблюдательность, культуру мышления, конструктивное творчество, интерес к учению. Используйте наглядность. как одно из средств связи с жизнью.

С возрастом учащихся предметная наглядность должна всё более уступать место символической; при этом предметом особой заботы учителя должна быть адекватность понимания сущности явления и его наглядного представления. Если на числовой оси три промежутка с чередующимися знаками - это ещё не значит, что график функции будет параболой. По этому поводу целесообразно привести пример. Например, начертить числовую ось с тремя промежутками с чередующимися знаками и задать вопрос о виде графика. Так можно проверить понимание смысла иллюстрации число (что в методе интервалов рисунок выполняется лишь для выяснения знаков функции).

Помните, что наглядность - сильнодействующее средство, которое при невнимательном или неумелом использовании может увести учащихся от решения главной задачи, подменить цель ярким средством!

При чрезмерном увлечении наглядностью она становится препятствием на пути глубокого овладения знаниями, тормозом развития абстрактного мышления, понимания сущности общих и всеобщих закономерностей.

1.1.3 Принцип систематичности и последовательности

Универсальным средством и главным способом формирования системы научных знаний является определённым образом организованное обучение; система научных знаний создаётся в той последовательности, которая определяется внутренней логикой учебного материала и познавательными возможностями учащихся; процесс обучения, состоящий из отдельных шагов, протекает тем успешнее и приносит тем большие результаты, чем меньше в нём перерывов, нарушений последовательности, неуправляемых моментов, если систематически не упражнять навыки, то они утрачиваются; если не приучать учащихся к логическому мышлению, то они постоянно будут испытывать затруднения в своей мыслительной деятельности; если не соблюдать системы и последовательности в обучении, то процесс развития учащихся замедляется. Данная работа фактически является руководством по систематичному изучению неравенств в школе.

В практической деятельности принцип систематичности и последовательности обучения реализуется путём соблюдения многих правил обучения, важными среди которых являются следующие.

Используйте схемы, планы, чтобы обеспечить усвоение учащимися системы знаний. Разделяйте содержание учебного материала на логически завершённые части (шаги), последовательно их реализуйте, приучайте к этому учащихся.

Не ставьте на уроке ни одного вопроса, не вносите в план ни одного пункта, на основательное раскрытие и рассмотрение которого не рассчитываете. Не допускайте нарушение системы как в содержании, так и в способах обучения, а если система нарушена, немедленно ликвидируйте пробелы, чтобы предупредить неуспеваемость.

Учебный предмет - уменьшенная копия науки. Покажите учащимся её систему, формируйте понятие о своём предмете как о частице науки, реальной действительности. Постоянно используйте межпредметные связи, чаще напоминайте о том, что неравенства - это явления и процессы, описанные математическим языком.

Помните, то, что является элементарным и простым исторически и логически, часто оказывается самым трудным для сознательного усвоения: поэтому с особой тщательностью внедряйте логику науки и исторического процесса в сознание учащихся.

Следует обеспечивать преемственность как в содержании, так и в методах обучения между начальными и средними, средними и старшими классами. Используйте передовые достижения методики обучения: составляйте со своими учащимися опорные конспекты, структурно-логические схемы учебного материала, облегчающий процесс усвоения знаний.

Чаще повторяйте и совершенствуйте ранее усвоенное, чтобы обеспечить систематичность и последовательность в обучении. Переходя к новым видам неравенств, опирайтесь на уже изученные, перед началом решения нового материала, решите один из изученных. Напомните учащимся, что они что-то подобное уже делали.

Ничего не следует добавлять к объяснению нового материала, кроме того, что вступает в ассоциативные связи легко, просто, естественно. Идеи, искусственно вплетённые в тему урока (образовательные, развивающие, воспитательные), снижают его ценность. Учитывая это, планируйте усвоение важнейших идей на весь период учебно-воспитательного процесса в соответствии с содержанием обучения и возможностями учащихся.

К кратким и обобщающим повторениям нужно прибегать не только в начале урока, когда обычно обобщают ранее изученный материал, и не только при его окончании - но и после изложения отдельных частных вопросов.

Проводить повторение изученного следует не только в начале урока для проверки уровня усвоения и не только в конце урока с целью закрепления полученной информации, но также и по завершении каждого логически законченного отрезка обучения в ходе урока. При переходе к решению каждого следующего примера не надо жалеть времени на вспоминание и проговаривание используемых правил, формул и т.п. Также, следует можно проводить сравнение однотипных примеров, обсуждать в чем их отличие и схожесть.

Учитель любого предмета должен следить за способом и формой выражения мысли учащимися, педагог в независимости от специальности должен способствовать развитию речи. Развивая речь «внешнюю», мы развиваем и «внутреннюю», упорядочивая мысли, и мыслительный процесс в целом.

Не жалея времени и сил, необходимо приучать учащихся к самостоятельному труду, постепенно усложняя его и создавая возможности для самостоятельного решения все более трудных задач. Лучше помочь ученику, а не решить за него. Задавая наводящие вопросы, постепенно подводя его к ответу, следует указать ему на его успех, на возможности и перспективы в дальнейшем, конечно, при условии работы.

Не стоит забывать, что понимание системы требует логики, а формирование её - также чувств и эмоций. Обучайте энергично, с подъемом, используя различные яркие факты из жизни: понятия объясняют, образы влекут, стимулы побуждают к действию.

В конце каждого раздела необходимо проводить уроки обобщения и систематизации, связывая, и обращая внимание ещё раз на общие моменты для только пройденных типов неравенств и для изучавшихся ранее. Требуйте от учащихся усвоения системы знаний, умений и навыков по каждому разделу и по всей программе. Будьте наблюдательным, приучайте своих учащихся постоянно систематически и целенаправленно наблюдать и видеть существенное в явлениях, предметах, человеческих отношениях.

Помните, что сформировавшаяся система знаний - важнейшее средство предотвращения их забывания. Забытые знания быстро восстанавливаются в системе, без неё - с большим трудом. Не забывайте совет Я.А. Каменского: все должно вестись в неразрывной последовательности, так, чтобы все сегодняшнее закрепляло вчерашнее и пролагало дорогу для завтрашнего.

1.1.4 Принцип научности

Принцип научности обучения, как известно, требует, чтобы учащимся на каждом шагу их обучения предлагались для усвоения подлинные, прочно установленные наукой знания и при этом использовались методы обучения, по своему характеру приближающиеся к методам изучаемой науки. В основе принципа научности лежит ряд положений, играющих роль закономерных начал: мир познаваем, и человеческие знания, проверенные практикой, дают объективно верную картину развития мира; наука в жизни человека играет все более важную роль, поэтому школьное образование направлено на усвоение научных знаний, вооружение подрастающих поколений системой знаний об объективной действительности; научность обучения обеспечивается прежде всего содержанием школьного образования, строгим соблюдением принципов его формирования; научность обучения, действенность приобретенных знаний зависят от соответствия учебных планов и программ уровню социального и научно-технического прогресса, подкрепления приобретенных знаний практикой, от межпредметных связей.

Практика прогрессивных дидактических систем выработала ряд правил реализации данного принципа:

Реализуя принцип научности, следует в процессе обучения руководствоваться новейшими достижениями педагогики, психологии, методики преподавания математики, передового педагогического опыта. Настойчиво внедряйте в практику рекомендации по научной организации педагогического труда. Учитывая новейшие достижения, разумно используйте логику не только индуктивного, но и дедуктивного обучения, даже в начальной школе смелее вводите абстракции, позволяющие глубже понять конкретное. Старайтесь, однако, избегать абстракций, которые не получают полного определения в рамках школьного курса. Не следует, например, абстрагироваться до уровня высшей математики, рассказывая о квадратных неравенствах.

Необходимо воспитывать у учащихся диалектический подход к изучаемым предметам, явлениям, формировать элементы научного диалектического мышления. Раскрывайте логику учебного предмета, обеспечивающую с первых шагов его изучения надежную основу для подведения к новым научным понятиям. Каждое нововведенное научное понятие систематически повторяйте, применяйте и используйте на всем протяжении учебного курса, ибо что не упражняется, то забывается.

При любом подходящем случае проводите ознакомление с биографиями выдающихся ученых, их вкладом в развитие науки. Применяйте новейшую научную терминологию, не пользуйтесь устаревшими терминами, будьте в курсе самых последних научных достижений в области математики. В связи с все увеличивающимся потоком научной информации главное внимание уделяйте ключевым проблемам науки, раскрывайте перед учащимися основные идеи научных достижений, приучайте их следить за научной информацией, поощряйте коллективное обсуждение научно-технических и социальных проблем.

Поощряйте исследовательскую работу школьников. Найдите возможность ознакомить их с техникой экспериментальной и опытнической работы, алгоритмами решения изобретательских задач, обработкой справочных материалов, архивных документов. Дайте учащемуся возможность пережить радость открытия, чувство успеха, удовлетворенности от познавательного напряжения.

Добивайтесь, чтобы учащиеся усваивали новые понятия и термины в единстве с научными теориями, законами. Остерегайтесь неоднозначных и фальшивых фраз, которые могут стать причиной нездоровых представлений. В школе, особенно второй ступени, нельзя допускать произвольного, искаженного толкования учащимися сказанного учителем. Это, конечно, не значит, что не следует развивать детскую фантазию, остроту мыслей. Но серьёзные вещи должны восприниматься серьезно и однозначно.

1.1.5 Принцип связи теории с практикой

Основой данного принципа является центральное положение классической философии и современной гносеологии, согласно которому точка зрения жизни, практики - первая и основная точка зрения познания.

Рассматриваемый принцип опирается на многие философские, педагогические и психологические положения, играющие роль закономерных начал: эффективность и качество обучения проверяются, подтверждаются и направляются практикой; практика - критерий истины, источник познавательной деятельности и область приложения результатов обучения; правильно поставленное воспитание вытекает из самой жизни, практики, неразрывно с ней связано, готовит подрастающее поколение к активной преобразующей деятельности; эффективность формирования личности зависит от включения ее в трудовую деятельность и определяется содержанием, видами,. формами и направленностью последней; эффективность связи обучения с жизнью, теории с практикой зависит от содержания образования, организации учебно-воспитательного процесса, применяемых форм и методов обучения, времени, отводимого на трудовую и политехническую подготовку, а также от возрастных особенностей учащихся; чем совершеннее система трудовой и производительной деятельности учащихся, в которой реализуется связь теории с практикой, тем выше качество их подготовки; чем лучше поставлены производительный труд и профориентация школьников, тем успешнее идет их адаптация к условиям современного производства; чем выше уровень политехнизма на школьных уроках, тем действеннее знания учащихся; чем больше приобретаемые учащимися знания в своих узловых моментах воздействуют с жизнью, применяются в практике, используются для преобразования окружающих процессов и явлений, тем выше сознательность обучения и интерес к нему.

Практическая реализация принципа связи обучения с жизнью основана на творческом соблюдении ряда правил, впитывающих в себя теоретические выводы и опыт лучших школьных коллективов.

Общественно-исторической практикой доказывайте необходимость научных знаний, изучаемых в школе. Обучайте так, чтобы учащийся и понимал, и чувствовал , что обучение является для него жизненной необходимостью. Приводите примеры из личного опыта, когда вам понадобились знания, полученные в школе, так же приводите обратные примеры - когда могли бы помочь вам какие-либо сведения из школьного курса, и вы жалели об обнаружившихся пробелах. Обучая, идите от знаний к жизни и от жизни к знаниям: связь «знания - жизнь» необходима. Помните, что ваша задача состоит не только в передаче знаний по своему учебному предмету, а всесторонняя подготовка школьников к будущей самостоятельной жизни и формирование их как развитых личностей и полноценных членов общества.

Постоянно, глубоко и убедительно раскрывайте перед учащимися диалектическую связь теории с практикой. Покажите, что наука развивается под влиянием практических потребностей, приводите конкретные примеры, раскрывайте перед учащимися страницы борьбы человечества за облегчение труда, роль научных знаний в этом процессе.

Настойчиво приучайте учащихся проверять и применять свои знания на практике. Используйте окружающую действительность и как источник знаний, и как область их практического применения. Не должно быть ни одного урока, ни одного занятия, на которых бы учащийся не знал жизненного значения своей работы. Всемерно используйте связь школы и производства. Особенно полезным это будет в классах с профориентацией, когда дети уже определились с выбором будущей профессии. Составляйте и решайте со своими учащимися задачи и упражнения на основе производственных достижений, привлекайте к их анализу и проверке производственников. Связывайте сами обучение с перспективами развития народного хозяйства своего города, области, станы. Осуществляйте профориентацию, основываясь на перспективных разработках.

Проблемно-поисковые и исследовательские задания - лучшее средство связи теории с практикой: широко используйте их в различных сочетаниях. Воспитывайте у учащихся положительное и сознательное отношение к труду, показывайте личный пример такого отношения. Общественно полезный труд учащихся организуйте так, чтобы он сопровождался самостоятельными наблюдениями и размышлениями, возбуждал вопросы, стимулировал потребность больше узнать, стремление разобраться в непонятном. В обучении используйте материалы и примеры общественно полезного труда учащихся, их опытнической деятельности, работы лагерей труда и отдыха и т.д. не забывайте, что труд учащихся должен быть подчинен учебным и воспитательным целям.

Помогайте учащимся овладеть теорией и практикой научно организованного труда, учите их применять наиболее продуктивные и экономичные методы, анализировать, программировать и прогнозировать свою деятельность. Решение неравенств методом интервалов является здесь иллюстрацией выполнения работы по алгоритму. Учите подходить к жизненным задачам не хаотично, а организовывать свою деятельность, пошагово планировать. Развивайте, закрепляйте и переносите на другие виды деятельности успехи учащихся в одном виде деятельности: через эпизодический успех - к постоянным достижениям.

Воспитывайте стремление к постоянному улучшению своих результатов, развивайте соревновательность. В учебно-воспитательном процессе следует соединить умственную деятельность с практической, в процессе которой усваивается 80-85% знаний. Находите возможности знакомить школьников с рационализаторским движением. Поощряйте их попытки что-то усовершенствовать, улучшить, изменить: если позволяют условия, проведите конкурсы юных изобретателей, непременно внедрите в школе хотя бы одну идею, предложенную учащимися, воспитывайте на этом примере других. Используйте связь обучения с жизнью как стимул для самообразования.

Внеклассную работу по своему предмету вы сделаете тем привлекательней для учащихся, чем теснее свяжете ее с решением интересных для школьников практических задач. Принципиальная критика, объективность перед самим собой, требовательность к себе, критический анализ своих поступков - путь к самосовершенствованию. Когда учитель говорит: «Сегодня весь класс работал плохо», он должен добавить «и я - тоже».

1.1.6 Принцип доступности

Принцип доступности обучения вытекает из требований, выработанных многовековой практикой обучения, с одной стороны, закономерностей возрастного развития учащихся, организации и осуществления дидактического процесса в соответствии с уровнем развития учащихся, с другой.

В основе принципа доступности лежит закон тезауруса: доступным для человека является лишь о, что соответствует его тезаурусу. Латинское слово tesaurus означает «сокровище». В переносном значении под этим понимается объем накопленных человеком знаний, умений, способов мышления.

Можно указать, и на другие закономерности, лежащие в основе принципа доступности: доступность обучения определяется возрастными особенностями школьников и зависит от их индивидуальных особенностей, которые подробнее будут рассмотрены в следующем пункте; доступность обучения зависит и от организации учебного процесса, применяемых учителем методов обучения и связана с условиями протекания процесса обучения; доступность обучения определяется его предысторией; чем выше уровень умственного развития школьников и имеющийся у них запас представлений и понятий, тем успешнее они могут продвинуться вперед при изучении новых знаний; постепенное нарастание трудностей обучения и приучение к их преодолению положительно влияют на развитие учащихся и формирование их моральных качеств; обучение на оптимальном уровне трудности положительно влияет на темпы и эффективность обучения, качество знаний.

Известны классические правила, относящиеся к практической реализации принципа доступности, сформулированные ещё Я.А. Каменским: от легкого к трудному, от известного к неизвестному, от простого к сложному. Теория и практика современного обучения расширяют перечень обязательных для реализации правил доступного обучения.

Не забывайте наставления Я.А. Коменского: всё, подлежащее изучению, должно быть распределено сообразно ступеням возраста так, чтобы предполагалось для изучения только то, что доступно восприятию в каждом возрасте. В седьмом классе едва ли будет иметь смысл демонстрация решения показательного неравенства. Помните также, что умы учащихся должны быть подготовлены к изучению какого-либо предмета. Необходимо учитывать возрастные особенности учащихся, но так, чтобы содержание и способы обучения несколько опережали их развитие.

В процессе обучения обязательно учитывайте индивидуальную обучаемость каждого учащегося, объединяйте в дифференцированные подгруппы учащихся с одинаковой успеваемостью. Учебный процесс следует вести в оптимальном темпе, но так, чтобы не задерживать сильных и развивать быстроту действия у средних и слабых.

Обучая, следует исходить из уровня подготовленности и развития учащихся, учтите, опираясь на их возможности. Изучайте и учитывайте их жизненный опыт, интересы, особенности развития. Например, в классах с углубленным изучением химии, целесообразно приводить неравенства, являющиеся моделями химических процессов.

Обучение требует известной напряженности. Когда она отсутствует, учащиеся отвыкают работать в полную силу. Темпы обучения, установленные самими учащимися, как правило, ниже возможных и посильных для них. В соответствии с конкретными условиями устанавливайте оптимальные темпы, при необходимости изменяйте их.

Используйте новейшие достижения педагогики и психологии: конкретные знания, умения формируйте с помощью маленьких шагов, обобщение - с помощью увеличенных шагов. Для доступности широко используйте аналогию, сравнение, сопоставление, противопоставление (подробнее об этом будет сказано в пункте методических обоснований): дайте толчок мысли учащихся, покажите им, что даже самые сложные знания доступны для понимания.

Облегчайте учащимся усвоение понятий, сопоставляя их с противоположными или им противоречащими. Введение каждого нового понятия должно не только логически вытекать из поставленной задачи, но быть подготовлено всем предшествующим ходом обучения. При изучении нового и сложного материала привлекайте сильных учащихся, а при закреплении - средних и слабых.

Наиболее трудными для понимания и усвоения учащимися являются закономерности развития общества, фундаментальные законы природы. Учителя всех учебных предметов должны вносить посильный вклад в процесс формирования методологических знаний: для этого иллюстрируйте примерами своего учебного предмета многообразное проявление общих и всеобщих закономерностей.

Торопитесь медленно! Не форсируйте без нужды процесс обучения, не стремитесь к быстрому успеху: педагогические возможности снижения барьера доступности не безграничны. Не принимайте мимолетный проблеск мысли учащегося за свершившийся акт познания, используйте его как начало познания.

Доступность так же, как и убедительность, и эмоциональность, зависят от ясности изложения и речи учителя: четко и однозначно формулируйте понятия, избегайте монотонности, обучайте образно, используя яркие факты, примеры из жизни, литературы, особенно эффективным это будет в классах с гуманитарным уклоном.

Не увеличивайте длительность монологов: тонко чувствуйте, что необходимо объяснить, а что учащиеся поймут самостоятельно, не объясняйте того, что может быть легко усвоено самими учащимися. На первом этапе обучения изучайте не весь объем знаний, а лишь основное, чтобы учащиеся основательно усвоили главное, затем при закреплении вводите новые примеры, факты, уточняющие изученное.

Доступность связана с работоспособностью: развивая и тренируя работоспособность, приучайте школьников осуществлять все более длительную и интенсивную мыслительную деятельность. Повышая работоспособность - снижаем барьер доступности обучения.

Реализуя принцип доступности, главное внимание уделяйте управлению познавательной деятельностью учащихся: плохой учитель сообщает истину, оставляя ее недоступной для понимания, хороший учитель ее находит, делая доступным процесс нахождения. Но доступность не означает легкость обучения, и функция учителя вовсе не в том, чтобы бесконечно облегчать труд учащихся по самостоятельному добыванию, осмыслению и усвоению знаний: помочь, направить, непонятное раскрыть через понятное, дать кончик нити для самостоятельного анализа, ободрить - это и есть будни доступного обучения.

Принцип прочности

Данный принцип подытоживает теоретические поиски ученых и практический опыт многих поколений учителей по обеспечению прочного усвоения знаний. В нем закреплены эмпирические и теоретические закономерности: усвоение содержания образования и развитие познавательных сил учащихся - две взаимосвязанные стороны процесса обучения; прочность усвоения учащимися учебного материала зависит не только от объективных факторов: содержания и структуры этого материала, но также и от субъективного отношения учащихся к данному учебному материалу, обучению, учителю.

Прочность усвоения знаний учащимися обуславливается организацией обучения; память учащихся носит избирательный характер: чем важнее и интереснее для них тот или иной учебный материал, тем прочнее этот материал закрепляется и дольше сохраняется.

Процесс прочного усвоения знаний является очень сложным. В последнее время его изучение принесло новые результаты. В ряде исследований показано, например, что во многих случаях непроизвольное запоминание является даже более продуктивным, чем произвольное. Это вносит определенные изменения в практику обучения, поскольку традиционно считалось (и не без оснований) что обучение должно основываться на произвольном запоминании, и в соответствии с этим были с формулированы практические правила обучения. Современное понимание механизмов учебной деятельности, приводящих к прочному усвоению знаний, позволяет добавить к традиционным и некоторые новые правила обучения.

В современном обучении мышление главенствует над памятью. Следует экономить силы учащихся не растрачивать их на запоминание малоценных знаний, не допускать перегрузки памяти в ущерб мышлению. Препятствуйте закреплению в памяти неправильно воспринятого или того, что учащийся не понял. Запоминать учащийся должен сознательно усвоенное, хорошо осмысленное. Чтобы освободить учащихся от заучивания материала имеющего вспомогательный характер, приучайте их пользоваться различными справочниками- словарями, энциклопедиями и проч.

Интенсифицируя непроизвольное запоминание учащихся, не давайте прямых заданий или прямых указаний: лучше заинтересуйте учащихся, время от времени “подогревайте” возникший интерес. Материал, требующий запоминания, должен быть заключен в короткие ряды: то, что мы должны носить в своей памяти, не должно иметь обширных размеров. Из подлежащих запоминанию рядов исключайте все, что учащийся сам легко может прибавить.

Помните, что забывание изученного наиболее интенсивно идет сразу после обучения, поэтому время и частота повторений должны быть согласованы с психологическими закономерностями забывания. Частота повторения должна соответствовать ходу кривой забывания. Наибольшее количество повторений требуется сразу же после ознакомления учащихся с новым материалом, т.е. в момент максимальной потери информации, после чего это количество повторений должно постепенно снижаться, но не исчезать полностью.

Не приступайте к изучению нового, предварительно не сформировав двух важнейших качеств: интереса и положительного отношения к нему. Следите за логикой подачи учебного материала. Знания и убеждения, логически связанные между собой, усваиваются прочнее, чем разрозненные сведения.

Следует контролировать внутренние факторы (рассеянность, занятия посторонней деятельностью и т.д.), отвлекающие внимание учащихся. Приручайте каждого ученика работать в соответствии с его возможностями, но в то же время в полную силу. Боритесь с ленью, формируйте оптимальный темпо-ритм деятельности. Если выяснится, что темпы обучения снизились, следует немедленно установить причину. Наиболее распространенные причины: потеря (или отсутствие) интереса к учебному процессу и усталость, ищите пути к их восстановлению. Не интенсифицируйте обучение искусственно. Не злоупотребляйте произвольным вниманием учащихся, без необходимости не перегружайте его, не увлекайтесь прямыми заданиями и указаниями. Как будет указано в психологических обоснованиях данной работы, старайтесь использовать непроизвольное внимание. Приучайте учащихся прислушиваться к вашим словам. О наиболее интересных для них вещах говорите сдержанно. Практикуйте на уроках увлекательные «отклонения», «домашние заготовки», экспромты. Знайте меру. Вместо очередной «нотации» - притча, легенда, басня, шутка - учащиеся вас поймут.

Опирайтесь на установленный наукой факт: важной формой упрочнения знаний является их самостоятельное повторение учащимися. Поэтому шире используйте, умело направляйте процессы взаимообучения. Часто те качества, которые длительное время не может сформировать учитель, легко и быстро формируются путем взаимообучения.

Развивайте память учащихся: учите их пользоваться различными приемами, облегчающими запоминание. Используйте дифференцированный подход к учебному материалу. Постоянно заботьтесь о сознательном, глубоком и прочном усвоении каждым учащимся не всего, что изучается, а главного: прочно усвоенное, оно станет надежной основой дальнейшего обучения.

Не приступайте к изучению нового, предварительно не обеспечив наличия положительных мотивов и стимулов. Помните: знание, насильственно внедренное в душу ребенка, непрочно. Следует следить за логикой обучения, ибо прочность знаний, логически увязанных между собой, всегда превышает прочность усвоения разрозненных, малосвязанных между собой знаний. Переходя к изучению нового вида неравенств, следует обращать внимание учащихся на связь с пройденными темами: со свойствами изучаемой функции, с алгоритмом, применявшимся для решения изученных типов неравенств.

Для прочного усвоения применяйте яркое, эмоциональное изложение; наглядные пособия, технические средства, дидактические игры, учебные дискуссии, проблемно-поисковое обучение. Так как прочность запоминания информации, приобретенной в форме логических структур выше, чем прочность разрозненных знаний, закреплять следует знания, представленные в логически целостных структурах.