Применение метода интервалов к решению неравенств в основной и старшей школе

Проводите повторение и закрепление изученного так, чтобы активизировать не только память, но и мышление, и чувства школьников. Работая над осознанием и закреплением знаний, расширяйте их объем, вводя новые примеры, уточняющие обобщения, яркие иллюстрации. Не следует проводить повторение изученного по той же схеме, что и изучение: предоставьте возможность учащимся рассматривать материал с разных сторон, под разными углами зрения. Имеет смысл решать один пример различными способами. Предоставьте учащимся право выбора метода решения каждого неравенства, конечно при учете того, что школьник сможет обосновать рациональность выбранного им метода.

Не давайте легких и однообразных видов работы: они мало развивают и быстро утомляют. Упражнения подбирайте так, чтобы они имели смысл. Выполнение упражнений, решение задач дают эффект, если требуют активного размышления, поиска рационального решения, проверки результатов путем сопоставления с данными условия. Перед упражнением четко укажите, что и как надо делать, какие требования будут предъявлены к результатам работы; проведите пробные упражнения. Во время упражнений предупреждайте усталость учащихся и не доводите их до переутомления.

Необходимо осуществлять контроль за факторами, связанными с оценкой труда учащихся: последовательно формируйте сознательное и ответственное отношение к любой деятельности, приучайте учащихся контролировать процесс и результаты своего труда. Важной формой упрочнения знаний является самостоятельное повторение учащимися, организуйте его и поощряйте. Не разрешайте учащимся пропускать занятия, уклоняться от уроков или бездельничать на них - это неминуемо приведет к снижению прочности знаний, умений.

Применяйте современные научно обоснованные виды, средства и методы контроля, пользуйтесь диагностическими способами выявления и измерения сдвигов в развитии учащихся: только так можно определить эффективность обучения, целенаправленно добивается его результативности.

Перейдем теперь к рассмотрению психологических особенностей учащихся, которые несомненно следует учитывать для успешного протекания учебного процесса.

1.2 Психолого-педагогическая характеристика учащихся основной и старшей школы

Психофизиологические закономерности восприятия информации

Существуют психофизиологические закономерности восприятия, усвоения и запоминания информации, обусловленные природой человека, и наша задача проанализировать их. Нельзя не согласится с К.Г. Марквардтом, сказавшим: «Надо понять, что если педагоги сами не разберутся в началах психологии, а будут ждать готовых решений от специалистов-психологов, то не будут найдены необходимые решения для совершенствования учебного процесса».

1.2.1 Воздействие центральной нервной системы на восприятие информации

Восприятие и усвоение информации зависит от функциональных особенностей центральной нервной системы. По определению Павлова И.П. существует четыре классических типа центральной нервной системы, а соответственно 4 типа темперамента.

1. Холерик - быстро возбуждающийся, горячий, энергичный человек. Его реакция мгновенна, молниеносна, не редко превышает необходимые действия. Может быстро и легко переключатся с одного вида деятельности на другой, после отдыха быстро включается в работу. Однако после работы, как и после конфликта, не в состоянии сразу успокоиться, поскольку склонность к возбуждению у него сильнее, чем к торможению. Воспитание такого человека необходимо строить так, чтобы укрепить в нем процесс торможения, выработать умение сдерживать свои реакции на окружающее.

2. Сангвиник - подвижный, жизнерадостный, живой, увлекающийся человек. В нем гармонично сочетаются тормозные и двигательные функции. Его реакция быстрая, четкая, рациональная. Сангвиник способен активно и деятельно работать, быстро переключатся с одного эмоционального состояния на другое, легко переходить от отдыха к работе, и наоборот. Он умеет найти выход из трудных положений, способен ставить перед собой и решать сложные задачи.

3. Флегматику свойственна невозмутимость, граничащая с хладнокровием. Человек с медленной восприимчивостью и слабой активностью, трудно раздражающийся, терпеливый и хладнокровный. У флегматика процесс возбуждения ослаблен, а процесс торможения усилен. Его реакции замедлены. Характерной его особенностью является основательность и неторопливость. «Флегматик медленно входит в начатое дело, но обязательно доводит его до конца. Оказавшись в роли начальника, он будет руководить спокойно и равномерно. Но без соответствующего воспитания флегматика будет многое раздражать: например, быстрота, с какой его коллеги принимают решения» (Васильева З.А., Люблинская С.М. Резервы здоровья. Л.: Медицина, 1980, с. 54), требования срочных перестроек, пересмотров, отчётов и т.п. для него могут оказаться непосильными и темпы, которых требуют обстоятельства. «В домашней обстановке флегматика может огорчить самое безобидное предложение жены, требующее быстрой перемены планов: например, сразу после прихода с работы пойти в кино или театр. В этих случаях, зная особенности темперамента мужа, жене следовало бы заранее предупредить его о своих планах. Если флегматик после работы собрался читать газету, то его будет раздражать возня детей, их просьба погулять или поиграть с ними» (см. там же).

Исследуя влияние темперамента на процесс адаптации и изучая причины отсева, в каунасских вузах пришли к выводу, что студенты с флегматическим темпераментом адаптируются хуже всего (по данным республиканской научной - методической конференции в Каунасе «Социально-педагогические и психологические проблемы адаптации студентов». Октябрь - ноябрь 1977).

4. Меланхолик - человек, склонный к угнетённому настроению и мрачным мыслям. У меланхолика - слабые нервные процессы, т.е. процесс возбуждения и процесс торможения снижены. Он теряется в сложных ситуациях и не всегда может найти выход из трудного положения. Крайне неохотно принимают ответственные решения, быстро устаёт от физической и умственной работы. Ему нужен более длительный отдых после дневных трудов. Меланхолик тяжелее переносит различные неприятности и заболевания, он легко раним. Для него нужны более упорядоченные условия жизни. Он может удачно вписываться в социальную среду при условии грамотной оценки и правильного отношения к нему со стороны окружающих.

Естественно, в жизни указанные типы темпераментов в чистом виде встречаются крайне редко. Речь идёт о преобладании тех или иных типологических особенностей, которые являются ведущими и основными при восприятии, усвоении и запоминании информации.

Организуя процесс обучения, используя, работу учащихся в парах мы должны помнить, что сангвиники проще общаться с холериком, флегматику и холерику ужиться друг с другом очень трудно. С холериком лучше вести занятия в быстром темпе, оперировать крупными, блоками, быстро переключаться с одного вида работы на другой. При этом необходимо помнить о разумно распределённом повторении, так как быстро усвоенное так же легко уходит из памяти.

Лицам с выраженными тормозными процессами лучше вводить материал неторопливо, основательно, на глубину. У таких людей однажды усвоенный материал, как правило не забывается или процесс забывания идёт медленно. По данным Теплова Б.М., медленность возникновения и прекращения нервных процессов, свойственная флегматикам, является основой прочности запоминания.

Зная типы нервной системы, преподаватель имеет возможность учитывать особенности личности ученика при опросе.

Стрессовые обстоятельства усиливают те или иные типологические проявления, т.е. холерик может стать еще более безудержным, флегматик еще более заторможенным. Резкое противодействие не вызывает их коррекцию, а наоборот, усиливает стрессовое проявление их характера. Лучше в подобных случаях не замечать избыточных проявлений темперамента, а доброжелательно и спокойно помогать ученику придти в себя.

Таким образом, на восприятие, усвоение и запоминание в значительной степени влияют тип центральной нервной системы и учет ее особенностей преподавателем. Не стоит обижаться, если кое-кто из учеников воспринимает вашу информацию не так, как бы вам хотелось. Он не виноват, многое зависит от его типа нервной системы.

1.2.2 Особенности памяти и мышления

Восприятие и усвоение информации зависит от особенностей памяти и мышления.

«Наблюдается любопытный парадокс, с одной стороны, и стар и млад жалуются на нехватку памяти, а с другой, это установили многие психологи, мы все пользуемся только небольшой частью своей памяти. В среднем у человека на службе лишь 3-8% памяти, а остальные не используются. Да, не используются при ее острой нехватке» (Шишаков В. Что я могу? Работница 1976, №1, стр.8-9). Память у нас огромная. Какие неисчерпаемые возможности таятся в этой кладовой, показывают случаи выдающейся памяти. Некоторые музыканты запоминают большие произведения, услышав их лишь раз. Некоторые организаторы знают по именам и в лицо тысячи людей (говорят, Цицерон знал каждого из своих трех тысяч воинов). Психологам известны сотни и сотни примеров выдающейся памяти, и в основе этого феномена часто лежат не только природные задатки, но и постоянные тренировки, произвольные и непроизвольные, большие нагрузки на память.

Различают четыре вида памяти: оперативную, кратковременную, переходную и долговременную. Оперативная память обеспечивает удержание в памяти части сообщения в течение 6-12 с. Ею пользуются, например, при слушании и конспектировании лекции. Кратковременная память (15-20 с) обеспечивает узнавание (вот почему тесты, основанные на принципе выбора, не получили широкого распространения и высокой оценки преподавателей, в их основе лежит проверка кратковременной памяти). Переходная (промежуточная) память длится от 5 мин до 24 ч. Индивидуальная, пожизненная, долговременная память обеспечивает общий культурный уровень человека. Эти четыре вида памяти являются показателями прочности памяти.

Структура памяти по К.Г. Марквардту, складывается из следующих звеньев: поступление информации, запечатление, хранение, воспроизведение, использование полученной информации. Психологи различают три типа памяти: зрительную, слуховую, моторную и два способа запоминания: произвольное и непроизвольное.

Экспериментально - психологические исследования памяти ведущими советскими психологами В.А. Артемьевым, А.А. Смирновым и др. показали, что осмысленное запоминание значительно экономичнее неосмысленного.

Из общей психологии и физиологии высшей нервной деятельности известно, что непроизвольное в нашем поведении характеризуется следующими признаками:

отсутствием заранее поставленной цели;

отсутствием волевого усилия;

отсутствием осознания правила действия;

непосредственной целостностью, синтетическим планом действия;

малой утомляемостью;

повышением интереса;

увеличением объёма внимания;

усилением способности удержания;

обострением способности подражания;

своеобразием воспроизведения;

Всё это приводит к мысли, что непроизвольность действия положительна, так как улучшает ряд психических процессов. Однако «на самом деле учащемуся, переведённому на непроизвольные действия, нанесён серьёзный ущерб, так как он лишился возможности действовать как подлинно человеческое существо, всегда ставящее цель, напрягающее волю для её достижения и осознающее производимые им действия. Именно поэтому организм учащегося мобилизовал более простые процессы: интерес, внимание, запоминание, и воспроизведение» (Артёмов В.А. психология обучения иностранным языкам. М.: Просвещение, 1969)

«Современный человек всё делает главным образом произвольно. Начиная с перехода улицы в Москве и кончая поведением в кабине космонавта. Если и имеется у человека что-то непроизвольное, то оно или имеет биологический, а не общественный характер, или же является следствием длительного производственного труда, в результате чего произвольное действие стало автоматическим, привычным и в этом смысле непроизвольным» (Артёмов В.А. Психология обучения иностранным языкам. М.: Просвещение, 1969)

1.2.3 Роль способностей

На восприятии информации сказываются, естественно, способности человека, т.е. психические особенности человека. В психологии идут разногласия по поводу человеческих способностей. Одни считают, что со способностями рождаются, что они не изменяются. Советские психологи считали, что способности во многом зависят от окружения, обучения, воспитания и самовоспитания. Сейчас в психологии доказано, что и профессиональные способности развиваются, как и всякие другие. Для этого нужны три момента: интерес, поле деятельности, т.е. совокупность условий для развития профессиональных способностей, и активность. В современной психологии способность понимается как сформированная познавательная деятельность.

Что касается способностей учащихся, то они бывают минимальные, средние и максимальные. Хорошо, если преподаватель знаком с данными психологии (или возрастной психологии) относительно способностей и их развития в каждом возрасте.

Скрытые возможности таятся во всех областях нашей психики - во внимании, мышлении, в способности к какому-то конкретному занятию: рисованию, пению, искусству. Это подтвердили специальные исследования, специальные опыты учёных. Конечно, далеко не каждый сможет стать Пифагором, но научиться решать задачи способен каждый.

Наши ощущения и восприятия тоже могут служить нам лучше, чем служат. Известно, например, что человеческий глаз различает в среднем 2-3 оттенка черного цвета. У работниц, которые окрашивают ткани в черный цвет, эта различительная способность развита несколько сильнее: они улавливают 3-4 оттенка. Но вот психологи начали заниматься с группой работниц по особой программе и добились, чтобы они стали разделять до 20 оттенков черного цвета. Как видим, способности развиваются. Возможности зрительной памяти следует не только учитывать, но и активно использовать. Метод интервалов в этом плане является хорошей иллюстрацией.

Однако одних способностей для достижения положительных результатов ещё мало. Преподавателям известно, что встречаются способные ученики, но лодыри. Вот им-то и необходимо показать, что огромную роль в получении знаний, формировании умений играют не только способности, но и труд, т.е. то, чего им так не хватает. Об этом свидетельствует анкетирование учащихся. Среди прочих в анкете был вопрос, что они считают главными качествами человека. Ответы были разными: честность, доброта, порядочность и прочее, но ни один из школьников не назвал трудолюбие. А между тем, не всё человеческое дано нам с рождения. Его приобретают в деле, в действии, в труде.

Гениальные, талантливые люди отличаются тем, что постоянно погружены в предмет своей деятельности. Они не выходят из этого состояния. Например, Э. Грига удаляли из класса за то, что он постоянно выстукивал на парте такты какой-то мелодии; в 15 лет он стал учеником Лейпцигской консерватории, а впоследствии стал всемирно известным норвежским композитором. Талантливые люди сами утверждают, что талант - это способности плюс труд. Но не только это. Т. Эдисон утверждал, что талант - это 98 потения и 2 вдохновения. А вдохновение, как известно, связано с эмоциями. Рассмотрим их.

1.2.4 Эмоции. Мотивы деятельности. Внимание

Сигналом о том, насколько человек продвинулся вперед в приобретении знаний и формировании умений, являются эмоции. Неслучайно психологи говорят, что чувство неудовлетворенности собой - это стимул к совершенствованию. Чувства нельзя тренировать, как память или волю. Их можно развивать.

Мы, преподаватели, не всегда осознаем, что сами формируем у наших учеников многообразие чувств и выражений: улыбкой, покачиванием головы, насупливанием бровей, лукавой или иронической улыбкой, всем своим видом. Антон Семенович Макаренко не случайно акцентировал внимание на внешности педагога, выражении его лица, интонации голоса, походке, одежде. Но, кроме проявления своих чувств, важно сознавать условия и для проявления чувств учащихся, только в их проявлении они могут развиваться. Развиваясь, они становятся мотивами поступков, побудителями действий, т.е. потребностью, а она возникает при ощущении недостатка чего-либо. Различают биологические и духовные потребности. Мотивы, как известно, бывают внутренними и внешними. Наиболее продуктивны внутренние мотивы, так как они основаны на интересе, на чем-то важном и необходимом для человека. Избирательность интересов во многом определяет установки, мотивы и цели обучения и учения. Школьники поступают в институт, побуждаемые мотивами обретения товарищей, друзей, поиска знаний, смысла труда (жизни).

Внешние мотивы имеют обычно малую перспективу, например, что-то выучить, чтобы просто сдать экзамен, не выглядеть хуже других и т.п. Иногда внешний мотив (например, сдача экзаменов) может рассматриваться учениками как препятствие к достижению своей цели (например, родители согласны на приобретение чего-либо при условии отсутствия трок в четверти). Осознание нужности предстоящей темы также положительно сказывается на возникновении внутренней мотивации.

Задача преподавателя - развивать внутренние мотивы познавательной деятельности учащихся. Но как Наблюдение показывает, что тут помогает следующая психофизиологическая закономерность: механизм восприятия, усвоения, запоминания и развития познавательной деятельности студентов строится по принципу действия рекламы: внимание интерес желание действие.

Психологами установлено, что внимание - это концентрация психической деятельности на определенном объекте и отвлечение от всего постороннего. Как известно, существует непроизвольное, произвольное и послепроизвольное внимание. Как привлечь внимание?

Непроизвольное внимание возникает само собой под действием сильных раздражителей (резкий или слабый свет, запах; громкий или тихий звук) и новых впечатлений (не так, как в школе; новая форма, структура, содержание информации). Поэтому следует использовать различные виды деятельности на уроках, приводить интересные примеры. Но не стоит ориентироваться только на него. Большое значение в процессе обучения также играет произвольное внимание.

Произвольное внимание возникает на основе усилия воли. Оно требует высокого сознания, осознанности. Поскольку оно требует усилий от человека, то является утомительным. Трудно заставить человека быть внимательным более 20 минут. Это важно знать преподавателю и не злоупотреблять произвольным вниманием, а использовать и непроизвольное, если это возможно. Оно будет более устойчивым, если вызвано всем тем, что находится в области интересов учащихся или обещает принести им практическую пользу. Обучение без интереса практически не происходит. Анатоль Франс сказал: «Искусство преподавания не что иное, как искусство пробуждать любопытство юных душ и затем удовлетворять его. А любопытство живет лишь в счастливых. Знания, которые навязывают силой, душат разум. Для того чтобы переварить знания, их надо проглотить с интересом».

Послепроизвольное внимание идет от произвольного. Сначала человек принуждает себя слушать, а потом у него пробуждаются интерес и желание самому заниматься делом. Успех возможен тогда, когда ученик хочет заниматься. По доброй воле человек работает лучше, чем из-под палки. «Охота - пуще неволи». Надо пробудить желание работы. Только успех возбуждает желание работать. Но чтобы он захотел, нужен психологически благоприятный климат на уроке, т.е. такие условия, когда ему хочется слушать, нравится выполнять задания, когда он чувствует внимание преподавателя и товарищей к себе, не ощущает дискомфорта из-за плохой подготовки (чувство неловкости или стыда за свои плохие знания, хотя он, например, взрослее всех в классе и т.д.). Дискомфортные условия не способствуют продвижению вперед. Только будучи уверенным, что ученик сможет ответить хорошо, можно опрашивать его при участии и внимании всего класса.

Поскольку на внимание влияют эмоции, надо заботится о возникновении положительных эмоций у учащихся. Этому должен способствовать и внешний вид, и содержание учебного материала. Замечено, что школьники испытывают внутреннее сопротивление при необходимости работать по учебнику и вообще противятся слову «надо». Это тоже одна из психофизиологических закономерностей восприятия информации, существующая объективно независимо от человека. Вот почему необходима педагогика сотрудничества, а не авторитарная, построенная на императиве, командах, приказах. Советы и рекомендации больше способствуют развитию познавательной деятельности студентов, чем обязательные задания со строгим и неуклонным контролем их выполнения. Подход: «хочет - может - должен» лучше «срабатывает», чем «должен - может - хочет».

1.2.5 Закономерности восприятия речевой и визуальной информации.

В конце 50-х на Западе возникла теория Inteligent eye - «разумный глаз», представители которой утверждают, что глаз развил мозг. В основе этой теории лежат наблюдения, результаты исследования, полученные психологами.

Психолог Б.Г. Ананьев подчеркивает, что восприятие через зрительную систему идет на трех уровнях: ощущение, восприятие и представление, а через слуховую систему - только на уровне представления. Это значит, что при чтении информация воспринимается лучше, чем «со слуха». 20% поступающей слуховой информации может потеряться, так как, во-первых, мысли текут в 8-10 раз быстрее, чем речь; во-вторых, есть отвлекающие факторы (реакция на внешние раздражители) и через каждые 5-10 с мозг «отключается», так как срабатывают защитные свойства мозга. Именно поэтому требуется повторение одной и той же информации разными способами и лексическими средствами. В.Ф. Шаталов, как помните, повторял одно и то же не менее трех раз, широко используя наглядность. Более 400 лет существует педагогика, а в ней дидактический принцип наглядности обучения, но теперь он получил теоретическое, научное обоснование.

Комбинированное же воздействие визуальной и аудиоинформации дает наилучшие результаты, так как органы зрения и слуха увеличивают коэффициенты раздражителей, воздействуют на долговременную память.

В визуальной информации есть свои закономерности. Например, вертикальная линия считывается дольше, чем горизонтальная, хотя они одинаковы по длине. Отсюда следует, что текст, напечатанный в столбик, считывается медленнее, чем тот же текст, напечатанный в строчку более широким планом. Поле чтения при горизонтальном варианте увеличивается, текст читается быстрее. Хотя существует и противоположная точка зрения: при широком поле чтения, глаз делает больше регрессий, а это замедляет чтение. Психологи утверждают, что для быстрого и четкого считывания информации нужно, чтобы промежутки между ними равнялись единице информации. Это стоит учитывать, делая записи на доске.

Зрение требует группировки информации. Психологи утверждают, что вертикально нужно давать нечетное число перечислений, которое запоминает человек. Это приблизительно 7 наименований. Четное число вертикально записанных перечислений запоминается хуже.

Величина букв играет немаловажную роль в визуальной информации. Психологи определили величину букв для комфортного и предельного зрения. Чтобы установить размер букв, которыми нужно писать на доске в данном классе, можно измерить длину аудитории шагами и разделить это число на 4, т.е. буква высотой в 1 см будет видна на расстоянии 4 шагов.

Американские исследователи определили, что лучше всего запоминается информация, расположенная на доске в правом верхнем углу. Ей принадлежит 33% нашего внимания. Одной из важных психофизиологических закономерностей является закономерность запоминания по теории ряда: начало и конец запоминаются лучше, чем середина.

На восприятии информации сказывается и сама организация учебного процесса, занятия, индивидуальное и коллективное творчество. Часто ученик поймет материал лучше, если объяснит его другому.

Чрезвычайно важно проанализировать весь учебный материал в плане выявления возможных связей между его частями, о чем уже много говорилось в предыдущем пункте. Схема организации и предъявления материала включает в себя три звена, взаимообусловленных и тесно связанных между собой: набор изученных ранее элементов материала; главное содержание целенаправленной деятельности школьника на занятии; и элементы учебного материала, который лишь впоследствии должен стать основным, а пока как бы предвосхищает часть будущего материала. В методике это называется пропедевтикой. Перейдем теперь к более глубокому изучению методики преподавания интересующей нас темы.

1.3 Методические обоснования

К общенаучным методам познания относятся аналогия, наблюдение и опыт, анализ и синтез, индукция и индукция, обобщение, абстрагирование, конкретизация. Методы познания выступают как элементы содержания образования - с одной стороны, и как приёмы мышления - с другой. Обладая высокой эвристичностью, методы научного познания широко используются в обучении математике.

Аналогия. Под аналогией понимают сходство предметов в каких либо свойствах, признаках или отношениях. Умозаключение по аналогии - это такое умозаключение, в результате которого делается вывод о том, что исследуемый предмет, возможно, имеет ещё один признак Х, поскольку остальные известные нам признаки этого предмета сходны с признаками другого предмета, обладающего, кроме того, и признаком Х. В качестве предмета могут выступать объекты, явления, процессы и т.д.

Анализ деятельности применения аналогии в различных конкретных ситуациях позволил выделить следующие действия:

1) составлять аналоги различных заданных объектов и отношений;

2) находить соответственные элементы в заданных аналогичных ситуациях;

3) составлять задачу, аналогичную заданной, т.е. задачу, имеющую с данной сходное условие или заключение;

4) проводить рассуждение при решении задачи по аналогии с решением сходной задачи.

Анализ и синтез. Широкое применение при формировании понятий и решении задач находит анализ и синтез. Анализ - логический приём состоящий в том, что изучаемый предмет мысленно расчленяется на составные элементы, каждый из которых затем исследуется в отдельности. Синтез - мысленное соединение частей предмета, расчлененного в процессе анализа, установление взаимодействия и связей частей и познание этого предмета как единого целого. Синтез всегда связан с анализом. В нашем мышлении существует аналитико - синтетический метод, в котором анализ и синтез взаимно проникают друг в друга, сочетаясь в диалектическом единстве. В процессе формирования понятия анализ используется при выделении существенных признаков понятия, которые затем объединяются и образуют содержание понятия.

Особенно велика роль анализа при решении нетривиальных неравенств методом интервалов. Например, требуется решить неравенство (его решение будет рассмотрено во второй главе данной работы). Оно является показательным и метод интервалов к нему применить на прямую нельзя. Но замечаем что и, сделав замену переменных, получаем квадратное неравенство, которое уже можно решать методом интервалов.

Рассуждения можно вести по-разному: отправляясь от данных, устанавливая связи между ними, идти к искомым (синтетический путь) или, отправляясь от искомых, устанавливая связи между искомыми и данными, идти к данным (аналитический путь).

Наблюдение и опыт. Индукция и дедукция. В обучении математике существенная роль принадлежит и таким методам познания, как наблюдение и опыт, индукция и дедукция. В процессе наблюдения и опыта устанавливается некоторое представление об исследуемом объекте, а результаты служат посылками для индуктивных выводов. В частности, вывод о знаке при прохождении через чётные корни делается как обобщение вычислений и построения кривой знаков выполняемых учащимися.

Вопросы, что вы подметили, какой вывод можно сделать и т.д., должны постоянно сопровождать изучение материала. Но следует иметь в виду, что выводы, сделанные по индукции, т.е. на основании определённого числа наблюдений, не исчерпывающих всех частных случаев, являются правдоподобными, но недостоверными. История математики знает случаи, когда выводы, сделанные по индукции одним учёным, опровергались другими.

Термин «дедукция» используется для обозначения метода рассуждений, заключающегося в переходе от общего к частному. Термин «дедукция» употребляется и в смысле перехода от знания более общих положений к знанию менее общих.

Обобщение и конкретизация. Формирование определенных типов мышления учащихся Методологические принципы формирования эмпирических и теоретических типов мышления явно и неявно реализуется в каждом разделе школьного курса математики. Содержательно-методическая линия решения неравенств может быть разработана на базе развитых в школьном курсе математики функциональной линии и линии уравнений и неравенств с переменной. Тип мышления формирующийся в задачах должен развивать те способы обобщения и абстрагирования, которые используются в процессе образования понятий, разработки методов исследования функций и связанных с ними уравнений и неравенств.

Метод интервалов в значительной степени обусловлен средствами соответствующих функций. Эта закономерность вытекает из глубокой связи функциональной линии уравнений и неравенств. Итак, понятие функции выступает в форме теоретического понятия, которое «служит способом выведения особенных и единичных явлений из всеобщей основы» (Давыдов В.В. Теория развивающего обучения - М. - 1996 - с. 67) Развертывание понятие функции осуществляется посредством выделения классов функций, обладающих общностью аналитического способа задания, сходными особенностями графиков.

Исследование конкретных классов функций и насыщение общего понятия функции «сопутствующими» свойствами реализует положение теории развивающего обучения о том, что «систематическое развертывание знаний о предмете не только исключает, а наоборот, предполагает постоянное насыщение исходных понятий (абстрактного) все новыми и новыми чертами, особенностями - возвращение к предыдущему с позиции последующего (движение от абстрактного к конкретному)». (Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении -М. - 1972 - с. 377).

В условиях реального учебного процесса сформированность у учащихся обобщения и абстрагирования, свойственных теоретическому типу мышления определяется как системой заданий предлагаемых в учебниках, так и внутренней направленностью учителя на выработку именно такого типа мышления.

В процессе решения неравенств осуществляется усвоение учащимися как свойств определенного класса функций, так и общих свойств функции. В этой связи вполне естественным является представление о том, что обобщение и абстрагирование будут развиваться и при развертывании линии уравнений и неравенств. Однако линия уравнений и неравенств тесно связана и с другими содержательно-методическими линиями школьного курса (числовой, тождественных преобразований, алгоритмической и пр.); оперирующими чувственно данными, внешними свойствами единичных объектов, решающими задачи их классификации по внешним признакам. Тем самым, с позиций соотношения эмпирического и теоретического типов мышления уравнения и неравенства с переменной занимают промежуточное значение между функциональной линией, линией алгоритмов и тождественных преобразований. Это положение отражено в спектре задач: «в итоге изучения материала линии уравнений и неравенств учащиеся должны не только овладеть применением алгоритмических предписаний к решению конкретных задач, но и научиться использовать логические средства для обоснования решения в условиях, когда это необходимо». (Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: учебное пособие для студентов педагогических институтов по физико-математическим специальностям/ А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и другие; Сост.: В.И. Мишин - М. - 1987 - с. 115).

Фактически метод интервалов реализует положение о том, что «Всякое, в том числе и математическое обобщение опирается на сопоставление частных случаев и постепенное выделение общего, причем должна быть обеспечена широкая вариация несущественных признаков при инвариантности существенных» (Колягин Ю.Н., Луканкин Г.А. и другие, Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики М. - 1977 - с. 237).

С позиции формирования теоретического типа мышления главная ценность в методе интервалов представляют не частные эвристические приемы и методы (несомненно важные и значимые), а рассмотрение процесса решения конкретного неравенства с позиции общих понятий, общего метода, их закономерные и особенные проявления в данном случае. В результате процесс решения неравенств с набором общих и особенных факторов из самоцели превращается в реальный момент становления теоретического мышления.

В теории развивающего обучения способ восхождения от абстрактного к конкретному разработан достаточно глубоко. Однако во всякой новой области восхождение осуществляется в своеобразной форме, подчиненной внутренним закономерностям, и проявляющийся через многие опосредующие звенья. Поэтому «при восхождении не может быть простого формального подведения (подгонки) частных явлений под общее, под закон» (Давыдов В.В. Виды обобщений в обучении М. - 1972 - с. 313).

Решение каждого конкретного неравенства означает исследование всех типов соответствующих частных неравенств, отличающихся друг от друга внешним видом, множеством решений, перечнем равносильных преобразований. Но на начальном этапе исследования конкретное неравенство выступает как нерасчлененная целостность.

В процессе абстрагирования свойств, общих всем конкретным неравенствам создается формальная целостность - понятие неравенства f(x)>0 как начальный этап восхождения от абстрактного к конкретному.

Введенная система понятий в своей внутренней взаимосвязи позволяет выделить структурные компоненты исходной целостности в виде областей однотипности и соответствующих им общих решений совокупности решений частных неравенств.

Установленная сущность отношений между понятиями реализуется в виде общего способа классификации частных неравенств по типам - метода интервалов (где первым пунктом в исходном неравенстве из уравнения находятся нули и точки разрыва; и т. д.), к рассмотрению которого мы и переходим. Начнем с ним знакомство с обзора существующих учебников и нормативных документов.

1.4 Обзор учебной литературы

1.4.1 Содержание нормативных документов и программно-методических материалов

В объяснительной записке к программе для общеобразовательных учреждений, одной из целей изучения курса алгебры в VII-IX классах обозначено: усвоение аппарата уравнений и неравенств как основного средства математического моделирования прикладных задач. Основной целью изучения курса алгебры в X-XI классах является систематическое изучение функций, но также обозначено формирование умения применять преобразования тригонометрических, логарифмических и показательных выражений к решению соответствующих уравнений и неравенств.

В требованиях к математической подготовке учащихся в V-IX классах указано одним из умений, определяющих уровень обязательной подготовки по методической линии «числа и вычисления», сравнивать числа, упорядочивать в несложных случаях наборы чисел, понимать связь «больше», «меньше» с расположением точек на координатной прямой, изображать числа точками на координатной прямой. Изучение программного материала по методической линии «уравнения» дает возможность учащимся освоить основные приемы решения рациональных уравнений, неравенств и систем. В уровень обязательной подготовки включены требования: правильно употреблять термины «неравенство», «система», «решение системы»; понимать их в тексте, в речи учителя, понимать формулировки заданий «решить неравенство, систему»; уметь решать линейные неравенства с одной переменной и их системы. Уровень обязательной подготовки по этой же методической линии для X-XI классов определяется требованием: применять метод интервалов для решения несложных рациональных неравенств, а также, решать простейшие показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения.

В содержание обучения VII-IX классов включены числовые неравенства и их свойства; почленное сложение и умножение числовых неравенств; линейные неравенства с одной переменной и их системы; неравенства второй степени с одной переменной. В X-XI классах: неравенства с одной переменной; решение неравенств методом интервалов; показательные и логарифмические неравенства; уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля, простейшие уравнения, неравенства и системы с параметрами.

В программе для классов с углубленным изучением математики дополнительно к содержанию базового курса включены неравенства с переменными, геометрическая интерпретация линейных неравенств с двумя переменными и их систем; метод интервалов; и доказательства неравенств - для VII-IX классов; для X- I классов: тригонометрические, показательные, логарифмические неравенства и системы; основные виды и методы их решения; обобщенный метод интервалов для решения неравенств; иррациональные неравенства (последние два пункта обозначены звездочкой); доказательства неравенств; [некоторые классические неравенства]; системы уравнений и неравенств; применение графиков к решению уравнений, неравенств, систем; уравнения, неравенства и системы с параметром; методы решения; уравнения и неравенства, не решаемые стандартными методами.

Обязательный минимум содержания образования по математике также включает в себя числовые неравенства и их свойства; линейные неравенства с одной переменной и их системы; квадратные неравенства с одной переменной.

По примерному планированию учебного материала (для учебника Ю.Н. Макарычева и др.) систематическое изучение неравенств в основной школе начинается в 8 классе. При 119 уроках за год на тему “неравенства” отводится 19 уроков (при 102 уроках за год - 18 часов), которые включают в себя темы: числовые неравенства и их свойства, сложение и умножение числовых неравенств, решение неравенств с одной переменной и решение систем неравенств с одной переменной. А также две контрольные работы по данным темам. В 9 классе в тему «квадратичная функция» (21 урок) включены темы: решение неравенств второй степени с одной переменной и решение неравенств методом интервалов (на обе темы - 7 уроков). И, хотя отдельной контрольной работы по этой теме не предусмотрено, в последующую - включены два (из пяти) задания на проверку усвоения данных тем. В старшей школе, в примерном планировании на 10 класс (по учебнику А.Н. Колмогорова и др.), отведено два урока на решение простейших тригонометрических неравенств (и одно задание по теме в контрольной работе); в 11 классе - 4 урока на общую тему: решение показательных уравнений и неравенств, решение систем уравнений, содержащих показательную функцию; и 6 уроков на аналогичную тему по логарифмам. Также по обеим темам включено по одному заданию (непосредственно на решение неравенств) в соответствующих контрольных работах. И в двухчасовой обобщающей контрольной работе по итогам 11 класса предложено одно задание на логарифмическое неравенство.

Проведенный анализ программно - методических материалов и нормативных документов показывает, что тема “неравенства” (в частности, и тема “метод интервалов”) включена в обязательные для изучения темы базового курса алгебры, что еще раз показывает ее важность и актуальность данной работы в целом.

Теперь рассмотрим содержание учебников по курсу алгебры и начал анализа.

1.4.2 Обзор учебников

Мною были рассмотрены:

Комплект книг для изучения алгебры в общеобразовательных учреждениях А.Г. Мордковича и др. с 7 по 11 класс, который представляет собой набор учебник-задачник для каждого класса и пособие «алгебра тесты 7-9»;

Тема «неравенства» впервые встречается в конце 8 класса, где рассматриваются свойства числовых неравенств, решение линейных и квадратных неравенств. Решение последних рассматривается сначала методом параболы на примерах, на основе которых выводится алгоритм, и, далее под рубрикой «узнаете далее» он (пока на примерах) обобщается в метод интервалов. В задачнике за 8 класс присутствует множество примеров на решение квадратных неравенств (но без указания способа решения). Два аналогичных задания в теме «неравенства» содержит сборник тестов (ориентированный на определенный уровень обязательных результатов), и одно - включено в итоговый тест за восьмой класс.. Девятый класс начинается с главы «Рациональные неравенства и их системы», где дублируются сведения 8-го класса, и далее вводится понятие «метод интервалов» как упомянутый выше и применяемый для решения рациональных неравенств. Ниже приводится 8 разобранных примеров, на которых рассматриваются возможные нюансы (такие как включение/исключение корней числителя и знаменателя из множества решений, чередование знаков, четные корни и т.п.). В задачнике приведена обширная система заданий на решение различных рациональных неравенств. В тест по теме «неравенства» входит два задания на решение квадратных неравенств и два - на решение рациональных (одно из которых с параметром).

В учебнике «Алгебра и начала анализа 10-11» в главах касающихся тригонометрии неравенства не встречаются. В теме «показательная и логарифмическая функции» решение неравенств опирается на известные свойства этих функций, разбирается ряд примеров, в которых иллюстрируется метод замены переменных, сведения неравенств к рациональным неравенствам а также к их системам, и, как возможный вариант, рассматривается дальнейшее решение методом интервалов. После прохождения основных тем курса (тригонометрия; производная и первообразная; степенная (вскользь упоминается об основных методах решения иррациональных неравенств (которые приводят их рациональным)), показательная и логарифмическая функции) идет отдельной заключительной главой тема «Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств», в которой идет речь о принципиальных вопросах, связанных с решением неравенств с одной переменной (таких как понятие равносильности и равносильные преобразования, системы и совокупности неравенств и их решения); также приводится 6 разобранных примеров, каждый из которых решен несколькими способами. Метод же интервалов впрямую здесь не используется и не упоминается.

Комплект учебников по алгебре 7-11 для общеобразовательных учреждений Ш.А. Алимова и др., а также методических пособий для данных учебников «Изучение алгебры 7-9» и «Изучение алгебры и начал анализа 10-11» Федоровой Н.Е. и Ткачевой М.В.;

Тема «неравенства» впервые встречается в начале 8 класса, где рассматриваются основные свойства числовых неравенств, решение линейных неравенств и их систем, а также решение линейных неравенств, содержащих модуль. Метод интервалов вводится в заключительной главе 8 класса «квадратные неравенства» после решения их методом параболы. Вводится метод интервалов на примере решения квадратного неравенства, далее примерами же обобщается для рациональных и дробно-рациональных неравенств больших степеней, которые могут быть представлены в виде произведения линейных множителей. Четкого алгоритма в учебнике не обозначено. Упражнения на повторение курса алгебры 8 класса присутствуют задания на решение линейных неравенств и их систем, неравенств содержащих модуль, квадратных неравенств, и отдельным блоком идет ряд заданий непосредственно на применение метода интервалов. В 9 классе тема неравенств затрагивается лишь однажды: в главе «степенная функция» в параграфе «неравенства и уравнения, содержащие степень» разобран способ решения иррациональных неравенств путем возведения в степень (другими словами, приведения его к рациональному неравенству, хотя в дальнейшем решении метод интервалов не упоминается).

В курсе алгебры 10-11 указано, что решение показательных неравенств часто сводится к решению стандартных неравенств данного типа, на примерах разбирается метод замены переменной. Решение логарифмических неравенств вводится на примерах; заключается в переходе к более простому (рациональному - прим. автора) неравенству или системе неравенств (однако, в дальнейшем решении метод интервалов не упоминается). И к логарифмическим и к показательным неравенствам прилагается система упражнений. Последний раз неравенства в данном курсе встречаются в главе «тригонометрические уравнения и неравенства», задания в которой ограничиваются простейшими тригонометрическими неравенствами. В задания для повторения кура алгебры включены рациональные, дробно-рациональные, с модулем, логарифмические, показательные, неравенства, а также несколько неравенств смешанного типа.

Комплект учебников по алгебре для общеобразовательных учреждений «Алгебра 7», «Алгебра 8», «Алгебра 9» Муравина К.С. ,Муравина Г.К., Дорофеева Г.В. и «Алгебра и начала анализа 10-11» Башмакова М.И.;

В данной серии учебников способ решения неравенств методом интервалов впервые встречается в 9 классе одновременно с первым знакомством учащихся с неравенствами. Данной теме предшествуют линейные неравенства и решение систем линейных неравенств с одной переменной. В данном учебнике он тесно связывается с решением целых алгебраических уравнений (уравнения, которые с помощью алгебраических преобразований приводятся к виду f(x)=0, где f(x) - многочлен стандартного вида). Говорится о том, что умения найти корни многочлена достаточно для решения целых алгебраических неравенств (вида f(x)>0) и далее метод интервалов рассматривается на двух примерах. В первом рассматривается рациональное неравенство и приводится подробное описание действий. Второй - на решение дробно-рационального неравенства по конкретному алгоритму: 1. Найдем нули числителя и знаменателя дроби; 2. Отметим найденные значения на координатной прямой (обращая внимание на то, что нуль знаменателя не является решением неравенства); 3. Определим знаки выражения на образовавшихся интервалах; и 4. Запишем ответ (в учебнике он записывается в виде простейших неравенств). Далее следует дифференцированная система упражнений, в которую включены задания на прямое применение алгоритма, примеры в которые входят множители второй степени, а также множители, стоящие под знаком модуля. В главе «повторение и обобщение» за курс 9 класса по теме «неравенства» входят системы упражнений на определение знака рациональных и дробно-рациональных выражений, на нахождение области определения выражений, содержащих корни; на решение систем неравенств и на решение квадратных неравенств. Решение иррациональных неравенств в данном курсе отдельно не рассматривается.

В курсе алгебры 10-11 по Башмакову также встречается метод интервалов в первой же главе «Функции и графики». Следует заметить, что весь учебник разбит на главы, каждая из которых начинается тестом на проверку готовности по ранее изученным темам и таблицей результатов изучения по трем уровням: А, Б и В. В подтаблице результатов изучения «применение алгоритмов» по теме метод интервалов в уровне А обозначено: решение линейных, квадратичных и дробно-линейных неравенств. Уровень Б: решение рациональных неравенств. Уровень В: Решение неравенств, требующих преобразований. В главу «Тригонометрические функции» в данном учебнике решение неравенств не входит; Глава «Показательная и логарифмическая функции» включает решение неравенств, используя свойства, описанные мной в I главе данной работы, и с помощью введения новой переменной. В подтаблице результатов изучения «овладение теорией» по теме уравнения и неравенства в уровне А обозначено: решение простейших показательных и логарифмических уравнений и неравенств. Уровень Б: Различные приемы преобразований показательных и логарифмических уравнений и неравенств к простейшему виду. В уровень В по данной теме неравенства не входят. В систему упражнений входят задачи на решение показательных и логарифмических неравенств от простейших до тех, над которыми необходимо производить преобразования. Последний раз неравенства встречаются в завершающей главе «Уравнения и неравенства», где также упоминается метод интервалов. В данной главе не приводится таблица результатов изучения, зато в тесте на проверку готовности «Поиск плана решения» предложено интересное, на мой взгляд, задание: Для каждого неравенства выбрать наиболее рациональный первый шаг в решении: