Применение метода интервалов к решению неравенств в основной и старшей школе

0. Нахождение области определения левой части неравенства (кратко ОДЗ), кроме, быть может, без учета корней знаменателя.

1. Нахождение корней числителя, и, быть может, знаменателя.

2. Нанесение найденных корней на числовую ось, причем только в пределах ОДЗ.

3. Определение знаков левой части неравенства на полученных промежутках.

4. Выяснение принадлежности концов полученных промежутков (особых точек) множеству решений неравенства.

5. Выбор промежутков, соответствующих знаку неравенства, и запись ответа.

Рассмотрим данную схему обобщенного метода интервалов более подробно и сравним ее с описанной выше схемой метода интервалов.

Прежде всего, решение неравенства данным методом начинается с нахождения ОДЗ, что, как правило, не делается при решении рациональных неравенств, так как их область определения совпадает со всей числовой осью, кроме корней знаменателя, которые как раз и не учитываются. Чтобы не нарушить соответствие пунктов обсуждаемого и описанного ранее методов, первая операция обобщенного метода интервалов пронумерована цифрой ноль. Иногда из соображений удобства (а именно, ради краткости) при нахождении ОДЗ можно корни знаменателя не учитывать. Тогда они должны находиться в последующем.

В случае, когда область определения неравенства совпадает с числовой осью, за исключением конечного числа точек, являющихся корнями знаменателя, ОДЗ можно и не указывать. Так поступают, например, при решении рациональных неравенств.

При решении нерациональных неравенств после нахождения корней числителя и знаменателя разлагать левую часть неравенства на множители, вообще говоря, нельзя. Например, функцию нельзя заменить множителем x - 1, хотя значение x = 1 является корнем уравнения = 0.

Если при решении рациональных неравенств на числовую ось наносятся все корни числителя и знаменателя, то при решении нерациональных неравенств эти корни наносятся только в пределах ОДЗ, которую удобно выделить с помощью дугообразной кривой. Иногда может случиться, что все корни числителя и знаменателя лежат вне ОДЗ (тогда множество решений неравенства либо совпадет с ОДЗ, либо пусто) или в ОДЗ лежат лишь некоторые корни. Только эти корни и концы ОДЗ будут особыми точками неравенства.

Пункты 3-5 обобщенного метода интервалов полностью повторяют соответствующие пункты описанного раньше метода интервалов.

Для определения знаков произвольной непрерывной функции так же можно использовать все правила и свойства, используемые для определения знаков рациональной функции. Из этих правил наиболее надежным является правило отдельной точки. В случае каких - либо сомнений в отношении определяемого знака левой части неравенства, особенно, на начальной стадии освоения метода рекомендуется использовать это правило. При решении многих неравенств показ знаков левой части неравенства с помощью волнообразной кривой, зачастую загромождающей рисунок, неудобно и нецелесообразно.

Особое внимание следует уделить концам промежутков ОДЗ, которые не являются корнями ни числителя, ни знаменателя. Такие точки могут как принадлежать, так и не принадлежать множеству решений неравенства, что надо выяснить дополнительно, подставив их значения в неравенство. До такого исследования эти точки можно отмечать короткой вертикальной черточкой. Например, для функции lg (x - 1) точка x = 1 не принадлежит ее области определения (1; +), поэтому при решении неравенств, содержащих эту функцию, точка x = 1 обязательно не принадлежит множеству решений неравенства и сразу же отмечается маленьким кружочком. В то же время, для функции точка x = 1 принадлежит ее области определения [1; +), поэтому при решении неравенств, содержащих эту функцию, принадлежность точки x = 1 множеству решений неравенства надо проверять дополнительно, подставив значение x = 1 в неравенство.

3.2 Неравенства с двумя неизвестными

Метод интервалов без существенных изменений переносится с числовой оси на координатную плоскость, а также на пространства трех и более измерений. При этом роль особых точек на координатной плоскости играют «особые» линии, а роль промежутков - области. Эти линии делят область определения функции двух переменных на «более мелкие» области, в каждой из которых непрерывная функция сохраняет знак. Для нахождения этого знака достаточно взять в рассматриваемой области какую-нибудь отдельную «удобную» точку и найти знак функции в выбранной точке, который сохраняется во всей области. При переходе через критические линии знак функции, как правило, меняется. Случаи, когда знак меняется, аналогичны случаям критических точек четной кратности.

Схема исследования неравенств с двумя неизвестными методом областей аналогична схеме решения неравенств с одной неизвестной методом интервалов.

3.3 Система заданий на обобщенный метод интервалов

3.3.1Решение неравенств смешанного типа

Преимущества метода интервалов особенно ярко проявляются при решении неравенств, содержащих разные функции.

Пример 28. Решить неравенство

(13)

Решение. Для сравнения приведем решение двумя методами.

1. Метод интервалов. Найдем ОДЗ:

Найдем по - отдельности корни числителя и знаменателя.

На числовой оси дугообразной кривой выделим ОДЗ и в пределах ОДЗ отметим корень числителя x = - 2 и корень знаменателя x = 1 (маленькими кружочками, так как неравенство строгое). Точку x = - 3, являющуюся концом ОДЗ, сначала, до выяснения ее принадлежности множеству решений исходного неравенства отметим короткой вертикальной черточкой. Корень знаменателя x = - 11/3 не входит в ОДЗ, поэтому он вовсе не отмечается.

Рис. 28

Найдем знаки левой части неравенства (дроби) на полученных промежутках. По правилу большого числа, считая x большим положительным числом (например, x = 100), найдем знак дроби на самом правом промежутке: Так как точки x = 1, x = 2 являются корнями кратности 1, то при переходе через них знак дроби меняется (рис.28).

Проверим принадлежность точки x = - 3 множеству решений неравенства, для чего, подставив значение x = - 3 в исходное неравенство, получим 1>0 - верное числовое неравенство. Следовательно, точка x = - 3 принадлежит множеству решений неравенства, поэтому теперь отметим ее жирно.

2. Метод сведения к двум системам. Неравенство равносильно совокупности

Решим каждую систему в отдельности.

Нанося полученные решения на числовую ось (рис.29), найдем решение первой системы:

Рис. 29

Решением второй системы будет (рис.30):

Рис. 30

Объединяя найденные решения двух систем, получим

Ответ:

Сравнение приведенных методов решения неравенства (13) предоставляем читателю.

При использовании метода интервалов в правильности найденных знаков левой части неравенства (13) можно лишний раз убедиться, определив их еще по правилу отдельной точки:

При x = -2,5 имеем - положительное число;

При x = 0 имеем - отрицательное число;

При x = 2 имеем - положительное число.

Таким образом, на промежутках (-3; -2) и (1; +) имеем знак плюс, а на промежутке (-2; 1) - знак минус, что соответствует рис.30.

Пример 29. Решить неравенство

(14)

Решение. ОДЗ:

или

Возводя обе части в квадрат, решим уравнение

Сделав проверку, определяем, что x₁ не является, а x₂ является корнем уравнения.

На числовой оси выделим ОДЗ (рис.31), отметим корень x = 3 и на полученных промежутках найдем знаки левой части неравенства

Рис. 31

При x = 4 имеем - положительное число;

При x = 2,5 имеем - отрицательное число;

При x = -3 имеем - отрицательное число;

При исходное неравенство не выполняется.

Ответ:

Пример 30. Решить неравенство

Решение ОДЗ:

Раскрывая модуль со знаками плюс, минус и возводя обе части полученных уравнений в квадрат (при таких действиях могут появиться лишь «посторонние» корни), найдем корни числителя:

(15)



откуда x₁ = -2, x₂ = 0. Сделав проверку, убеждаемся, что оба значения x₁ и x₂ являются корнями уравнения (15), причем x = 0 является также корнем знаменателя, т.е. особой точкой кратности 2.

На числовой оси отметим ОДЗ, особые точки (рис.32) и найдем знаки левой части неравенства.

Рис. 32

При x = 1 дробь имеет знак При переходе через особую точку x = 0 кратности 2 знак дроби не измениться, а при переходе через точку x = -1 - изменится. Оба конца ОДЗ x = -2 и x = 2 принадлежат множеству решений неравенства, что проверяется непосредственной подстановкой их в неравенство.

Ответ:

Пример 31. Решить неравенство

Решение ОДЗ:

Корни множителей:

Рис. 33

При большом по величине отрицательном x имеем знак Далее знаки чередуются (рис.33).

Ответ:

Пример 32. Решить неравенство

Решение. ОДЗ: и знаменатель

Корни числителя:

Корни знаменателя:



Таким образом,

Рис.34

Ответ: .

На основании рис.34 легко решить также неравенства

которые имеют одно и тоже множество решений

Пример 33. Решить неравенство

Решение.

ОДЗ:

Корни множителей:



Для первого множителя, обозначив имеем:

Рис. 35

При большом x левая часть неравенства имеет знак Далее знаки чередуются (рис.35). Кроме того, значение x = - 1/2, как корень одного из множителей, является решением неравенства.

Ответ:

Пример 34. Решить неравенство

Решение. ОДЗ: и знаменатель Обозначив , найдем корни числителя:

Корни знаменателя:

Таким образом, x = 2 является особой точкой кратности 2, поэтому левая часть неравенства, которая при большом х имеет знак плюс, на всех промежутках также имеет знак плюс (рис.36). Следовательно, единственным решением неравенства будет значение х = -2, являющееся корнем только числителя и входящее в ОДЗ.

Рис. 36

Ответ:

Пример 35. Решить неравенство

Решение. ОДЗ (без учета корней знаменателя):

или

Для нахождения корней числителя, приведя первый логарифм к основанию 3, получим

Корни знаменателя:

или

Найденные корни отметим на числовой оси в пределах ОДЗ (рис.37) и найдем знаки левой части неравенства. При больших по величине , как положительных, так и отрицательных х левая часть неравенства имеет знак минус. В этом лишний раз можно убедиться, взяв, например x = 4 и x = - 4. Далее знаки чередуются.

Рис. 37

Ответ:

Пример 36. Решить неравенство

Решение ОДЗ:

Замечаем, что x = 0 - корень уравнения Так как функция - возрастающая, а - убывающая, то первый множитель числителя других корней не имеет. Решить уравнение

Таким образом, x = 0 - корень числителя кратности 2. С учетом этого левая часть неравенства, которая при больших по величине отрицательных x имеет знак на остальных промежутках имеет знаки, указанные на рис. 38.

Рис.38

Ответ:

Пример 37. Решить неравенство

Решение ОДЗ:

Найдем корни уравнения

НА числовой оси выделим ОДЗ, в ее пределах отметим найденные корни и на полученных интервалах найдем знаки левой части неравенства (рис. 39), взяв в качестве контрольной точки x = 0, в которой имеем знак минус. Значения x = -1 и x = 6, как корни уравнения , являются также решениями неравенства.

Рис. 39

Ответ:

Пример 38. Решить неравенство

Решение ОДЗ (без учета корней знаменателя):

Корни числителя:

Корни знаменателя:

Отметив найденные корни на числовой оси в пределах ОДЗ, найдем знаки левой части неравенства на полученных интервалах. При x = 0 имеем lg 16 - 1 - положительное число. Значит, на интервале имеем знак плюс, а на остальных интервалах - чередующиеся знаки (рис. 40).

Рис. 40

Ответ:

Пример 39. Решить неравенство

Решение. ОДЗ:



Решим уравнение

Отметив найденные корни на числовой оси в пределах ОДЗ и учитывая, что при левая часть неравенстваимеет знак плюс, расставим ее знаки на других промежутках (рис.41). Значение x = -3, как решение уравнения x + 3 = 0 , является также решением неравенства.

Рис. 41

Ответ:

Пример 40. Решить неравенство

Решение. ОДЗ: и знаменатель

Корни числителя:

причем значения является корнями кратности 2 (на рис.42 они подчеркнуты дважды).

Корни знаменателя:

Рис. 42

При левая часть неравенства имеет знак С учетом этого и с учетом кратности корней расставим знаки левой части неравенства на полученных промежутках.

Ответ:

Пример 41. Решить неравенство

Решение. Найдя корни совокупности уравнений

отметим их на числовой оси (рис. 43).

Рис. 43

При x = 0 левая часть неравенства имеет знак плюс. Значит, на интервале имеем знак плюс, а на остальных интервалах - чередующиеся знаки.

Ответ:

Пример 42. Решить неравенство

Решение. ОДЗ: и знаменатель

Корни числителя:

Корни знаменателя:



Отметив найденные корни на числовой оси в пределах отрезка [-1; 1] и учитывая, что при x = 0 левая часть неравенства имеет знак минус, расставим ее знаки на полученных промежутках (рис. 44).

Рис. 44

Значение x = -1, как корень знаменателя, неравенству не удовлетворяет, а значение x = 1 - удовлетворяет, что проверяется непосредственно.

Ответ:

3.3.2 Решение неравенств с параметрами

Пример 43. Для всех значений параметра а решить неравенство

Решение. На числовой оси отметим точки x = 2а , x = 3 - а и найдем знаки левой части неравенства на полученных промежутках.

Возможны случаи:

1.

Тогда имеем три промежутка, на которых знаки левой части неравенства чередуются (рис. 45).Следовательно,

• Рис. 45
• 2.
• Тогда будет единственной критической точкой кратности 2, при переходе через которую знак левой части неравенства не меняется (рис. 46). Следовательно, решением неравенства будет являться x = 2.
• Рис. 46
• 3. Тогда (рис. 47)
• Рис. 47
• Ответ:
• если а < 1, то
• если а = 1, то
• если а > 1, то
• Пример 44. Для всех значений параметра а решить неравенство

Решение. Разложив знаменатель на линейные множители, получим

Чтобы решить это неравенство методом интервалов, надо на числовой оси отметить точки

Возможны случаи:

1.

• Рис. 48
• 2.
• Рис. 49
• 3.
• Рис. 50

• 4.
• Рис. 51
• 5.
• Рис. 52
• На основании рисунков 48 - 52 имеем
• Ответ:
• если а < 0, то
• если а = 0, то
• если 0 < а < 5, то
• если а = 5, то
• если а > 5, то
• Пример 45. Для всех значений параметра а решить неравенство

Решение. ОДЗ:

и

Найдем корни числителя:

В зависимости от значения x = 1 - a возможны случаи.

1.

В данном случае точка x = 1 - a в ОДЗ не входит, поэтому вовсе не отмечается (рис. 53).

• Рис. 53
• По правилу большого числа на промежутке (0; +) левая часть неравенства имеет знак минус, который меняется при переходе через точку x = 0 . Подставив значение x = -1 в неравенство, убеждаемся, что оно является решением неравенства.
• 2.
• Этот случай отличается от предыдущего только тем, что точка x = -1, как корень знаменателя, не входит в множество решений неравенства (рис. 54).
• Рис. 54

• 3.
• Тогда корни числителя и знаменателя разбивают ОДЗ на три промежутка, на которых знаки левой части неравенства чередуются (рис. 55). Значение x = -1 неравенству не удовлетворяет.
• Рис. 55
• 4.
• Тогда x = 0 является особой точкой кратности 2. Она разбивает ОДЗ на два промежутка, на которых обеих, а также в точке x = -1 левая часть неравенства имеет знак минус (рис. 56).
• Рис. 56
• 5.
• Рис. 57
• На основании рисунков 53 - 57, объединяя случаи 2 и 3, получаем
• Ответ:
• если а > 2, то
• если 1 < а 2, то
• если а = 1, то ;
• если а < 1, то
• Пример 46. Для всех значений параметра а решить неравенство

Решение. ОДЗ (без учета корней знаменателя):

Корни числителя:

Корни знаменателя:

,

В зависимости от порядка расположения точки x = 2 относительно точек x = а и x = а + 3 возможны случаи.

1.

• Рис. 58
• 2.
• Рис. 59
• 3.
• Рис. 60
• 4.
• Рис. 61
• На основании рисунков 58-61 имеем
• Ответ:
• если а 2, то
• если - 1 < а < 2, то
• если а = - 1, то
• если а < - 1, то

3.3.3 Решение неравенств с двумя неизвестными

Пример 47. На координатной плоскости изобразить множество точек (x, y), координаты которых удовлетворяют неравенству

Решение. На координатной плоскости нарисуем линии, определяемые равенствами

которые разбивают плоскость на несколько областей. При x = 1, y =0 левая часть неравенства равна -1. Следовательно, в области, содержащей точку (1; 0), она имеет знак минус, а в остальных областях ее знаки чередуются (можно убедиться в этом дополнительно вычислив знак левой части неравенства в отдельных «удобных» точках каждой области).

• Рис.62
• Ответ: заштрихованные области на рис. 62
• Пример 48. На координатной плоскости изобразить множество точек (x, y), координаты которых удовлетворяют неравенству

Решение. Нарисуем штрихами линии



• Рис.63
• При x = 1, y = 0 левая часть приведенного неравенства имеет знак плюс, в соответствии с чем ее знаки распределяются по областям так, как на рисунке.
• Ответ: заштрихованные области на рис. 63.
• Пример 49. На координатной плоскости изобразить множество точек (x, y), координаты которых удовлетворяют неравенству

Решение. Нарисовав график функции

и отобразив ее «верхнюю» часть симметрично относительно оси абсцисс, получим линию (рис. 64), определяемую уравнением

• Рис.64
• При x = 0, y = 0 левая часть неравенства имеет знак минус. Следовательно, в области, содержащей точку (0; 0), она имеет знак минус, а в остальных двух областях - знак плюс.
• Ответ: заштрихованные области на рис. 64 и луч
• Пример 50. На координатной плоскости изобразить множество точек (x, y), координаты которых удовлетворяют неравенству

Решение. ОДЗ: и

В верхней полуплоскости нарисуем линии, определяемые условиями:

• Рис. 65
• При x = 0, y = 1 и в соответствующей области дробь имеет знак плюс, который меняется при переходе через особые линии. Непосредственной проверкой убеждаемся, что при y = 0, неравенство выполняется.
• Ответ: заштрихованные области на рис. 65.
• Пример 51. На координатной плоскости изобразить множество точек (x, y), координаты которых удовлетворяют неравенству

Решение. ОДЗ:

В пределах ОДЗ нарисуем линии

которые разбивают ОДЗ на шесть областей. При x = -1, y = 2; x = 1, y = 2 и в соответствующих областях левая часть неравенства имеет знак плюс, который при переходе через критические линии меняется. В тоже время, при переходе через луч x = 0, y > 0 он не меняется (убедится в этом можно, взяв в примыкающих к лучу областях отдельные точки).

• Рис. 66
• Ответ: заштрихованные три области на рис. 66 (кроме луча )
• Пример 52. На координатной плоскости изобразить множество точек (x, y), координаты которых удовлетворяют неравенству

Решение

Нарисовав графики функций

и учитывая, что в области, содержащей точку x = 0, y = 0, дробь имеет знак плюс, расставим ее знаки в остальных областях.

• Рис. 67
• Ответ: заштрихованные четыре области на рис. 67.
• Пример 53. На координатной плоскости изобразить множество точек (x, y), координаты которых удовлетворяют неравенству
• где [x] - целая часть числа x.

Решение. Особые линии y = [x], y = 1/ x² и распределение знаков левой части неравенства в областях, на которые делится плоскость этими линиями, приведены на рис.68.

• Рис. 68
• 

Заключение

Данная работа содержит психолого-педагогические, методические и теоретические обоснования универсальности метода интервалов, а так же набор решений задач на различные виды неравенств, который помещен в настоящую работу как практическое подтверждение возможности применения метода интервалов к решению неравенств в основной и старшей школе.

В проведённом исследовании, посвящённом теме «применение метода интервалов к решению неравенств в основной и старшей школе» был изучен имеющий отношение к теме материал и получены следующие результаты:

Проанализирована психолого-педагогическая литература по теме дипломной работы, изучены психолого-педагогические особенности учащихся средней и старшей школы и даны педагогические обоснования данной теме.

Изучена методическая литература по интересующей нас теме.

Проведен анализ существующих программ и комплектов учебников с 7 по 11 класс по теме дипломной работы, и определена теоретическая база для решения неравенств методом интервалов в основной и старшей школе.

Приведены практические подтверждения универсальности метода интервалов применительно к неравенствам курса алгебры общеобразовательной школы. (Всего в настоящей работе приведено 53 разобранные задачи); и создана ориентировочная основа учебной деятельности в процессе решения неравенств методом интервалов.

Проведено обобщение метода интервалов для решения произвольных неравенств, (представленных в виде композиции непрерывных функций, а также для неравенств с параметрами и неравенств с двумя переменными), иллюстрированное примерами.

Таким образом, достигнуты цели, поставленные в дипломной работе, а именно: проведено обобщение метода интервалов для решения неравенств, изучаемых в основной и старшей школе; обоснована его универсальность. Дополнительным итогом работы является создание банка решений задач.



Библиография

Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.-3-е изд. - М.: Просвещение, 1996. - 239 с.: ил.

Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1995. - 223 с.: ил.

Алгебра и начала анализа: учеб. для 10-11 кл. сред. шк. / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1993. - 254 с.: ил.

Алгебра: для 8 кл.: учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. Математики/Виленкин, Н.Я., Виленкин А.Н., Сурвилло Г.С. и др. Под ред. Н.Я. Виленкина. - 2-е изд. - М.: Просвещение, АО «Московские учебники»,1997. -256 с.: ил.

Башмаков, М.И. Алгебра и начала анализа 10-11 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учеб. заведений. - 2-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2000. - 400 с.: ил.

Басова, Н.В.: Педагогика и практическая психология. - Ростов н/Д.: Феникс, 2000. - 416 с.

Васильева, В.А. и др. Методическое пособие для поступающих в вузы. В.А. Васильева, Т.Д. Кудрина, Р.Н. Молодожникова - М.: Изд-во МАИ, 1991. -304 с.: ил.

Виленкин, Н.Я. и др.,: Алгебра и математический анализ для 10 кл.: учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики/ Н.Я Виленкин,. О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд; - 6-е изд. - М.: Просвещение, АО «Московские учебники», 1999.-336 с.: ил.

Виленкин, Н.Я. и др.,: Алгебра и математический анализ для 11 кл.: учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики/ Н.Я Виленкин,. О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд; - 7-е изд. - М.: Просвещение, АО «Московские учебники», 1999.-288 с.: ил.

Горнштейн, П.И, Мерзляк А.Г: Решение задач по математике из сборника задач под редакцией М.И. Сканави, главы VI-IX группы Б. - Киев: Техника, 1992. - 320 с.

Горбачев, В.И.: диссертация «технология развивающего обучения в курсе алгебры средней школы» - Брянск, 2000

Гусев, В.А., Мордкович, А. Г. Математика: справочные материалы: Кн. для учащихся. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1990. - 416 с.

Денищева, Л.О. и др. Алгебра: Тематический сборник задач: 8кл. Л.О. Денищева Н.В. Карюхина, Т.М. Михеева М. - М. - Вербум, 2002. - 144 с.

Егоров, А., Раббот, Ж. Иррациональные неравенства. Урок.// Математика. - 2002 - № 15. - С. 13-14.

Егоров, А., Раббот, Ж. Некоторые логарифмические неравенства. Урок.// Математика. - 2002 - № 33. - С. 30-32.

Изучение алгебры в 7-9 кл.: Кн. для учителя / Ю.М Колягин, Ю.В. Сидоров, М.В. Ткачева и др. - М.: Просвещение, 2002. -287 с.: ил.

Кривоногов, В. Квадратные неравенства// Математика. - 2002 - № 3. - 16-22 янв. - С.15-17.

Куланин, Е.Д., Федин, С.Н. Математика. Варианты вступительных экзаменов. Финансово-экономические специальности. - М.: Рольф, Айрис-пресс, 1998. - 160 с., илл. - (Домашний репетитор).

Мордкович, А.Г.: Алгебра. Учеб. для 7 кл. общеобразоват. шк. - М.: Мнемозина, 1997. - 160 с.: ил.

Мордкович, А.Г. и др. Алгебра. 7 кл.: Задачник для общеобразоват. учреждений/ А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская -3-е изд., доработ. - М. Мнемозина, 2000. - 160 с.: ил.

Мордкович, А.Г.: Алгебра. 8 кл .: Учеб. для. общеобразоват. учреждений. - 3-е изд., доработ. - М.: Мнемозина, 2001.- 223 с.: ил.

Мордкович, А.Г. и др. Алгебра. 8 кл.: Задачник для общеобразоват. учреждений/ А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская -3-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2001. - 239 с.: ил.

Мордкович, А.Г.: Алгебра. 9 кл .: Учеб. для. общеобразоват. учреждений. - 3-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2001.- 192 с.: ил.

Мордкович, А.Г. и др. Алгебра. 9 кл.: Задачник для общеобразоват. учреждений/ А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская -3-е изд., испр. - М. Мнемозина, 2001. - 143 с.: ил.

Мордкович, А.Г., Е.Е. Тульчинская: Алгебра: Тесты для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений. - М.: Мнемозина, 2000. -127 с.: ил.

Мордкович, А.Г.: Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: В двух частях. Ч. 1: учебник для общеобразоват. учреждений. - 3-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2002. - 375 с.: ил.

Мордкович, А.Г., Тульчинская, Е.Е.: Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Контрольные работы для общеобразоват. учреждений. - М.: Мнемозина, 2000. - 62 с.

Муравин, К.С. и др. Алгебра.7 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений/ К.С. Муравин, Г.К. Муравин, Г.В Дорофеев. - 2-е изд., испр. и доп. - М.: Дрофа, 1998. - 240 с.: ил.

Муравин, К.С. и др. Алгебра.8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений/ К.С. Муравин, Г.К. Муравин, Г.В Дорофеев. - 3-е изд., стереотип. - М.: Дрофа,2000. - 208 с.: ил.

Муравин, К.С. и др. Алгебра.9 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений/ К.С. Муравин, Г.К. Муравин, Г.В Дорофеев. - М.: Дрофа,2000. - 240 с.: ил.

Назаретов, А.П., Пигарев Б.П. Математика. Универсальный сборник заданий и их решений для абитуриентов вузов. - М.: РИПОЛ КЛАССИК, 1999. - 736 с.

Обухова, Л.Ф. Возрастная психология. Учебное пособие. - М.: Педагогическое общество России, 2000. - 448 с.

Подласый, И.П. Педагогика. Новый курс: Учеб. для студ. высш. учеб. заведений: В 2 кн. - М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2001. - Кн.1: Общие основы. Процесс обучения. -576 с.: ил.

Подласый, И.П. Педагогика. Новый курс: Учебник для студ. Пед. Вузов: В 2 кн. - М.: Гуманит. Изд. Центр ВЛАДОС, 2000. - Кн.2: Процесс воспитания. - 256 с.: ил.

Пособие по математике для поступающих в ВУЗы/ А.Д. Кутасов, Т.С. Пиголкина В.И. Чехлов и др.; под ред. Г.Н. Яковлева. - М.: Наука. Главная редакция физ.-мат. Литературы,1981. - 607 с.: ил.

Примерное планирование учебного материала и контрольные работы по математике 5-11. В.И Жохов, Г.Д. Карташева, Л.Б. Крайнева, С.М. Саакян -М.: Вербум-М, 2001. - 208с.

Программно-методические материалы. Математика. 5-11кл.: Сборник нормативных документов/ сост. Г.М. Кузнецова: М.: Дрофа, 1999. -192 с.

Саранцев, Г.И.: Методика обучения математике в средней школе: Учеб. пособие для студентов математика. спец. пед. вузов и ун-тов. - М.: Просвещение, 2002.- -224 с.: ил.

Сборник дипломных работ. В.И. Глизбург, Л.О. Денищева, А.Е. Захарова и др.; - М.: Интеллект-центр, 2003. - 64с.

Сильвестров, В.В.: Обобщенный метод интервалов: учеб. пособие. - Чебоксары: изд-во Чувашского университета, 1998. - 80 с.

Токарева Л. Применение тригонометрических неравенств и функций к решению прикладных задач. 10-11 класс// Математика. - 2002 - № 47 - С. 23-26.

Федорова, Н.Е., Ткачева, М.В.: Изучение алгебры и начал анализа в 10-11 кл. - М. Просвещение, 2003. -205 с.: ил.

Фридман, Л.М. Турецкий, Е. Н. Как научиться решать задачи: пособие для учащихся. -2-е изд., перераб. и доп. - М.: Просвещение, 1984. - 175 с., ил.

Цыпкин, А.Г. Справочник по математике для средней школы/ под ред. С.А. Степанова. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980. - 400 с.: ил.

Размещено на Allbest.ru